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高二数学(1.1分类加法与分步乘法计数原理


高中新课程数学选修2-3
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理

提出问题

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将1元人民币兑换成角票,共有多 少种不同的兑换方法? 10种

问题探究

/>1.用一个大写的英文字母或一个阿拉 伯数字给教室里的座位编号,总共能 够编出多少种不同的号码? 26+10=36

问题探究

2.从甲地到乙地可以乘火车,也可以乘 汽车,一天中火车有4班,汽车有8班, 那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法? 4+8=12

问题探究

3.从师大声乐系某6名男生或8名女生 中任选一人表演独唱,共有多少种不 同的选派方法?

6+8=14

形成结论

4.上述计数问题的算法有何共同特点? 完成一件事有两类不同方案,在 第1类方案中有m种不同的方法,在第 2类方案中有n 种不同的方法,那么完 成这件事共有N=m+n种不同的方法.

上述原理称为分类加法计数原理.

问题探究

如何从集合运算的角度理解这个原理?
A B

若A∪B=U,A∩B=Φ ,则 card(U)=card(A)+card(B).

形成结论

如果完成一件事有n类不同方案,在第 1类方案中有m1种不同的方法,在第2 类方案中有m2种不同的方法,…,在 第n类方案中有mn种不同的方法,那么 完成这件事的方法总数为: N=m1+m2+…+mn

问题探究

1.用A~F六个大写的英文字母和1~9 九个阿拉伯数字,以A1,A2,…,B1, B2,…的方式给教室里的座位编号, 总共能够编出多少种不同的号码?
6×9=54

问题探究

2.从甲地到乙地,先要从甲地乘火车到 丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一 天中从甲地到丙地的火车有4班,从丙地 到乙地的汽车有8班,那么两天中,乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种 不同的走法? 4×8=32

问题探究

3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱,共有多少种 不同的选派方法? 6×8=48

上述原理称为分步乘法计数原理.

问题探究

4.上述计数问题的算法有何共同特点? 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步有n 种不同的 方法,那么完成这件事共有N=m×n种 不同的方法.

如何从集合运算的角度理解这个原理? 若U={(a,b)|a∈A,b∈B},则 card(U)=card(A)×card(B).

形成结论

如果完成一件事需要n个步骤,做第1步 有m1种不同的方法,做第2步有m2种不 同的方法,…,做第n步有mn种不同的 方法,那么完成这件事的方法总数如何 计算?

N=m1×m2×…×mn

典例讲评

例1 在填写高考志愿时,一名高中毕业 生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴 趣的强项专业,具体情况如下: A大学:生物学 化学 医学 物理学 工程学 B大学:数学 会计学 信息技术学 法学 如果这名同学只能选一个专业,求他共有多 少种不同的选择方法?

5+4=9(种)

典例讲评

例2 某班有男生30名,女生24名, 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛,求共有多少种不同 的选派方法? 30×24=720(种)

例3 书架有三层,其中第一层放有4本 不同的计算机书,第二层放有3本不同的 文艺书,第三层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不 同的取法? (2)从书架的第一,二,三层各取1本 书,有多少种不同的取法? (1)4+3+2=9(种) (2)4×3×2=24(种)

典例讲评

例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上 的指定位置,求共有多少种不同的挂 法?

3×2=6(种)

课堂小结

1.分类加法计数原理和分步乘法计数 原理,都是解决完成一件事的方法数的 计数问题,其不同之处在于,前者是针 对“分类”问题的计数方法,后者是针 对“分步”问题的计数方法. 2.在“分类”问题中,各类方案中的 每一种方法相互独立,选取任何一种方 法都能完成这件事;在“分步”问题中, 各步骤中的方法相互依存,只有各步骤 各选一种方法才能完成这件事.

课堂小结

3.在应用分类加法计数原理时,分 类方法不惟一,但分类不能重复,也 不能遗漏. 在应用分步乘法计数原理 时,分步方法不惟一,但分步不能重 叠,也不能缺少.

布置作业

作业: P12习题1.1A组:
1,2,3,4,5.

分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的应用

(习题课) 第一课时

复习巩固

1.分类加法计数原理: 完成一件事有两类不同方案,在第1类方 案中有m种不同的方法,在第2类方案中 有n 种不同的方法,那么完成这件事共 有N=m+n种不同的方法.

复习巩固

推广:如果完成一件事有n类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法,在 第2类方案中有m2种不同的方法,…, 在第n类方案中有mn种不同的方法,那 么完成这件事的方法总数为 N=m1+m2+…+mn

2.分步乘法计数原理:
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步有n 种不同的 方法,那么完成这件事共有N=m×n种 不同的方法.

推广:如果完成一件事需要n个步骤, 做第1步有m1种不同的方法,做第2步 有m2种不同的方法,…,做第n步有 mn种不同的方法,那么完成这件事的 方法总数为N=m1×m2×…×mn

典例讲评

例1 给程序模块命名,需要用3个字 符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z, 后两个要求用数字1~9,问最多可以给 多少个程序命名? 最多可以给1053个程序命名

例2 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞 中发现的化学成分,一个RNA分子是一个有着 数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一 个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占 据.总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G, U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任 意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基 与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分 子由100个碱基组成,那么能有多少个不同的 RNA分子?

4100个

A C A G U C C G AU G A

例3 电子元件很容易实现电路的通与断、电位 的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两 种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1 两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够 识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以 用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中 数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制 位构成.问: (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同 的字符? 256个 (2)计算机汉字国际码(GB码)包含了6 763个 汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行 编码,每个汉字至少要用多少个字节表示? 2个

例4 计算机编程人员在编写好程序以后需 要对程序进行测试,程序员需要知道到底有 多少条执行路径(即程序从开始到结束的路 线),以便知道需要提供多少个测试数据.一 般地,一个程序模块由许多子模块组成.如图 所示是一个具有许多执行路径的程序模块. (1)这个程序模块有多少条执行路径; (2)为了减少测试时间,程序员需要设法减 少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试 方法,以减少测试次数吗?

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径

子模块3 28条执行路径

A
子模块4 38条执行路径 子模块5 43条执行路径 结束

7371条

178次

例5 随着人们生活水平的提高,某 城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合 成一组出现,3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照? 共能给22 464 000辆汽车上牌照.

布置作业

集合A={a1,a2,…,an}共有多少个 子集?

作业:
P10练习:1,2,3,4.

分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的应用

(习题课) 第二课时

典例讲评

例1 一种号码锁有4个拨号盘, 每个拨号盘上有从0到9共10个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码?

N=10×10×10×10=10000(种)

典例讲评

例2 要从甲、乙、丙3名工人中 选出2名分别上日班和晚班,有多少 种不同的选法? 第一步:选1人上日班; 有3种方法

第二步:选1人上晚班. 有2种方法
N=3×2=6(种)

例3 某班有5人会唱歌,另有4人 会跳舞,还有2人能歌善舞,从中任 选1人表演一个节目,共可表演多少 个节目?
第1类:从会唱歌者中选1人唱歌;
第2类:从会跳舞者中选1人跳舞; 第3类:从能歌善舞者中选1人唱歌 或跳舞;

N=5+4+2×2=13(种)

例4 有架楼梯共6级,每次只允 许上一级或两级,求上完这架楼梯共 有多少种不同的走法? 1种走法 第1类:走3步 6种走法 第2类:走4步 5种走法 第3类:走5步 第4类:走6步 1种走法

N=1+6+5+1=13(种)

典例讲评

例5 由数字0,1,2,3,4,5可 以组成多少个无重复数字的三位数? 百位 十位 个位
5种 5种 4种 N=5×5×4=100(种)

典例讲评

例6 从5人中选4人参加数、理、 化学科竞赛,其中数学2人,理、化 各1人,求共有多少种不同的选法? 物理1人 化学1人 数学2人

5种

4种

3种

N=5×4×3=60(种)

例7 在1,2,3,…,200这些自 然数中,各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个?
不含8的一位数 8个 8×9=72个 9×9+1=82个

不含8的二位数
不含8的三位数

N=8+72+82=162(个)

例8 用5种不同颜色给图中A,B, C,D四个区域涂色,每个区域只涂 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 求共有多少种不同的涂色方法? A5 C3
4 B D3

N=5×4×3×3=180(种)

例9 将一个四棱锥的每个顶点染上 一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜 色不同,如果只有5种颜色可供使用,求 共有多少种不同的染色方法?
S C D A

涂S点 涂A点 涂D点 B 涂B、C点

5 4 3 7

N=5×4×3×7=420(种)

例10 从-3,-2,-1,0,1,2, 3中任取三个不同的数作为抛物线 2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物 y=ax 线过原点,且顶点在第一象限,问 这样的抛物线共有多少条? c取值 c=1 1种 a取值 a<0 3种 3种 b取值 b>0 N=3×3×1=9(种)

例11 某4名田径运动员报名参加100m, 200m和400m三项短跑比赛. (1)每人限报1个项目,共有多少种不 同的报名方法? (2)每个项目限报1人,共有多少种不 同的报名方法? (1)34=81种;
(2)43=64种.

典例讲评

例12 630的正约数(包括1和630) 共有多少个? 630=2×32×5×7 正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2=24(个)

典例讲评

例13 将20个大小相同的小球放入编号 为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子 内的球数不小于该盒子的编号数,求共 有多少种不同的放法? 15+14+…+2+1=120(种)

例14 某电视节目中有A、B两个信箱, 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信,其中A信箱中有30封来信,B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众,再由该幸运观众 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 求共有多少种不同的可能结果? 30×29×20+20×19×30 =17400+11400=28800(种)


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