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二次函数知识点梳理


初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点
一、二次函数概念:

b c 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax ? bx ? c ( a , , 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。
2

c 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b , 可以为零.二次函数的定义域是全
体实数. 2. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的结构特征:
2

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2.

b c ⑵ a , , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项.
二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: y ? ax 的性质:
2

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

0 ?0, ?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的
增大而减小; x ? 0 时,

y 有最小值 0 .

a?0

向下

0 ?0, ?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的
增大而增大; x ? 0 时,

y 有最大值 0 .

2. y ? ax ? c 的性质:上加下减。
2

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

c ?0, ?
c ?0, ?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的
增大而减小; x ? 0 时,

y 有最小值 c .

a?0
2

向下

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的
增大而增大; x ? 0 时,

y 有最大值 c .

3. y ? a ? x ? h? 的性质:左加右减。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

0 ? h, ?
0 ? h, ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的
增大而减小; x ? h 时,

y 有最小值 0 .

a?0

向下

X=h

x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的
增大而增大; x ? h 时,

y 有最大值 0 .

4. y ? a ? x ? h? ? k 的性质:
2

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

? h ,k ? ? h ,k ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的
增大而减小; x ? h 时,

y 有最小值 k .

a?0

向下

X=h

x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的
增大而增大; x ? h 时,

y 有最大值 k .

三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 方法二: ⑴

y ? ax2 ? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax2 ? bx ? c 变成

y ? ax2 ? bx ? c ? m (或 y ? ax2 ? bx ? c ? m )


y ? ax2 ? bx ? c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ? ax2 ? bx ? c 变成

y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c (或 y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c )

四、二次函数 y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax ? bx ? c 的比较
2

2

从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得
2

2

到前者,即 y ? a ? x ?

? ?

b ? 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? ,其中 h ? ? . , ? k ? 2a ? 4a 2a 4a
2

五、二次函数 y ? ax ? bx ? c 图象的画法
2

五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h) ? k ,确定其开口方
2 2

c 与 0 c 以及 ? 0 , ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , ? 、 x 轴的交点 ? x1 , ? ,? x2 , ? c 0 y 轴的交点 ? 0 , ? 、 (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.
与 六、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的性质
2

向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、

1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?

? b 4ac ? b 2 ? b , ,顶点坐标为 ? ? ?. 4a ? 2a ? 2a

当x??

b b b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 时, y 2a 2a 2a

有最小值

4ac ? b2 . 4a

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, 对称轴为 x ? ?

? b 4ac ? b 2 ? b b ,顶点坐标为 ? ? 时, , ? .当 x ? ? 4a ? 2a 2a ? 2a

y 随 x 的增大而增大;当 x ? ?
2

4ac ? b2 b b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 有最大值 . 2a 2a 4a

七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: y ? ax ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h) ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ;
2

3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只 有抛物线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析 式的这三种形式可以互化.
2

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 .
2

⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大. 总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下, 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?
就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与

b 在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧则 ab ? 0 ,概括的说 2a

y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.

⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ;

总结起来, c 决定了抛物线与 二次函数解析式的确定:

y 轴交点的位置.

b c 总之,只要 a , , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称

y ? ax2 ? bx ? c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

2. 关于

y 轴对称

y ? ax2 ? bx ? c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称

y ? ax2 ? bx ? c 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;
y ? a ? x ? h ? ? k 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k ;
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)

y ? ax2 ? bx ? c 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ?
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h ? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k .

n 5. 关于点 ? m , ? 对称
n y ? a ? x ? h ? ? k 关于点 ? m , ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k
2 2

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 a 永远不变.求 抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原 抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向, 然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况.
2

2

图象与 x 轴的交点个数:

0 B 0 ① 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A? x1 , ? , ? x2 , ? ( x1 ? x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一
2

元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根.这两点间的距离 AB ? x2 ? x1 ?
2

b2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点.

1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 .
2. 抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象与
2

y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ;

3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax ? bx ? c 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的
2

符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一 个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 ax ? bx ? c( a ? 0) 本身就是所含字母 x 的二次函
2

数;下面以 a ? 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

??0

抛物线与 x 轴有两 个交点 抛物线与 x 轴只有 一个交点 抛物线与 x 轴无交 点

二次三项式的值可正、可 零、可负 二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个不相等实根

??0
??0

一元二次方程有两个相等的实数根

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

十一、函数的应用

?刹车距离 ? 二次函数应用 ?何时获得最大利润 ?最大面积是多少 ?


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