当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何中的向量方法课件


绥化市第二中学

卜艳波

设直线ι、m的方向向量分别为a、b平面α、β 的法 向量分别为μ、ν,则
? ? a ‖b <=> a = k b , k ? R ; 线线平行ι‖ m <=>_______

a ⊥b <=> 线线垂直ι ⊥m<=>_______

a ⊥? <=> 线面平行ι ‖α <=>_______

a ‖? <=> a = k ? , k ? R ; 线面垂直ι⊥α <=>______

? ? a ·b = 0 ; ? ? a ·? = 0 ; ? ?
?

? ‖? <=> 面面平行α ‖ β <=>_______ ? ⊥? <=> 面面垂直α ⊥ β <=>_______

? ? = k? , k ? R ; ? ?

? ·?

=0 ;

基础测试
? 1、已知直线 ?

向量为 n =(6,-3,-6) 则ι与α的位置关系 ι⊥α

? ι的方向向量为 a =(2,-1,-2)平面α的法

? ? 2、平面α和β的法向量分别为 n 1=(-2,2,5) ? n2 =(6,-4, 4)则α和β位置关系 α⊥β
? 3、平面α经过三点A(1,2,3) B(2,0 ,-1) C(3,-2,0,)下

面可以作为平面ABC的法向量的是( B ) A、(1,2,-1) B、(2,1,0 ) C、(1,2,0 ) D、(1,-2,1)

如何求平面的法向量
? 方法一

? 待定系数法:设平面α法向量 n = ? ? a , b (x,y,z) α内取两个不共线向量 ? ? n a =0 ? ? 取其中一组解 (非零向量)即可 n b =0
· ·

? 方法二

定义法:若可证ι⊥α,则取ι的一个 方向向量,即为α的法向量。

例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB于 点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小

P

F
D

E C

A

B

【思路点拨】 本题涉及的问题包括:判定直线与平面平行和垂直, 计算二面角的大小,这些问题都可以利用向量方法解决, 由于已知中存在两两垂直的直线,所以非常适合建立空 间直角坐标系表示向量。

z P

例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,EF⊥PB交 PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB
x

F D o A

E C

y

B

? 证法二:设面DEB的法向量为 n =(x,y,z)
1 1 ? ? y+ 2 z=0 EO =0 n· 2 令 y=2 ? ? x+y=0 DB =0 n· ? n=(-1,1,-1) ? ? ? ? PA ·n =(1,0,-1)(-1,1,-1)=0 ∴ PA ⊥ n

∴ PA‖平面EDB

【方法技巧】证明直线与平面平行
? (1)可通过证明直线方向向量与平面内一向量共

线(如图1) ? (2)利用直线与平面的法向量垂直证得(如图2)

A

ι

B

A
α

ι?

n

B

? n α ? ? A B = ka
图1

? ? AB · n=0
图2

z P

例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,EF⊥PB交 PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD

F D A

E C

y

x

B

? 证法二

设F(x,y,z) ? ? PF =k PB 即(x,y,z-1)=k(1,1,-1) ∴x=k y=k z=1-k 1 ? ? 又∵ PF DE =0 即(k,k,1-k) (0, 2 ,
· ·

? 则 PF =(x,y,z-1)

1 2

)=0

? 求得DEF的法向量 n =(1,1,-1) ? ? PB ‖n ∴ PB ⊥平面DEF

1 解得 k= 3 1 1 ∴ F( 3 , 3

2 ,3 )

【方法技巧】证明直线与平面垂直的方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量平行 (2)可证明直线的方向向量与平面内两不共线向 量垂直

A
B
? ? AB = ? n

? n

A
B
? a
? b

? ? A? B·a ?=0 AB · b=0

z

例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB于 交PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小 A
x

P F D O B E C

y

? 解 : 由(2)PB⊥平面EFD

? 得PB⊥FE

PB⊥FD
·

∴∠EFD为二面角平面角 ? ? ? ? FE 1 F? D ? cos< FE , FD > = FE FD = 2

∴二面角C-PB-D的大小为60°

z

【变式训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面 ABCD PD=DC, 求二面角C-PB-D 的大小 ? 解:作DF ⊥PB,CG ⊥PB ? ? ? 设 PG =λPB =(λ,λ,-λ)

P
F D A C y

G
B

x

? 得G(λ,λ,1-λ) ? ? ? 又∵ GC PB =0 即(-λ,1-λ,λ-1) (1,1,-1)=0
·
·

2 ? 解得λ= 3 2 1 ? 1 ? ∴ GC =(- 3 , 3 ,- 3?)

? ? cos< GC FD > =
·

GC FD

? GC D ? F?
·

=

1 2

∴ 二面角大小60 °

【解法二】

【方法技巧】向量法求二面角

? ? (1)设 n 1,n 2 是二面角α-ι-β的 ? 两个面α,法向量,则向量 n 1 ? 与 n 2 的夹角(或真补角)就是二面
角的平面角的大小(如图1) (2)若AB,CD分别是二面角α-ι-β 的两个面内与棱ι垂直的异面直线, ? ? CD 的 则二面角的大小就是向量 AB 与 夹角(如图2)

? n
α

1

? n

2

β ι 图1 α C A β D 图2 B

ι

【巩固练习】 ? 1、若两个平面α,β的法向量分别是n =(1,0,1) ? ? =(-1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是 60° 2、在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,AD//BC 1 1 0 ,∠ABC=90 ,SA⊥面ABCD,SA= 2 ,AB=BC=1,AD = 2 , 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 。 z 2 S 3
A
D x C B y

【课堂总结】
利用直线的方向向量与平面的法向量,证明线面间的平行垂 直关系。 向量法求二面角,注意①法向量夹角与二面角之间的 相等或互补关系。② 利用两半平面内与棱垂直的两向量夹 角求二面角,注意两向量的“同向性” 。

【作业布置】

(一)必做部分:课本112页6题、8题; (二)选做部分:课本113页2题; (三)思考题:如何用综合法解决本节内容。


相关文章:
强化56--立体几何中的向量方法
厦门一中 2010 级高三理科数学总复习—强化练习 56 立体几何中的向量方法 1 班...课件-19(立体几何中的向... 暂无评价 14页 2下载券 课件-18(立体几何中...
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 . 立体几何中的向量方法练习 理-课件
立体几何中的向量方法练习 理-课件_数学_高中教育_教育专区。第七章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法练习 理 [A 组·基础达标练] 1.若直线 l 的方向...
立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离教师版
搜试试 2 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离教师版_高三数学_数学_高中教育_教育...
强化59--立体几何中的向量方法
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...强化59--立体几何中的向量方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。厦门一中 ...
自己的课件空间向量与立体几何
自己的课件空间向量立体几何_数学_高中教育_教育专区。空间向量立体几何要点考...向量,则 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则 2.运用空间向量...
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第讲 立体几何中的向量方法(理)习题-课件
【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第讲 立体几何中的向量方法(理)习题-课件_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第七章 立体...
3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角
3.2.3立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人民教育数学2-2选修课件金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com §3.2.3 立体...
2013高考数学考点27 立体几何中的向量方法
2013高考数学二轮复习课件... 暂无评价 73页 2财富值 2013届高考数学一轮复习...考点27 立体几何中的向量方法(理) 【高考再现】热点一 求角问题 1.(2012 年...
高考数学专题七立体几何第练向量法求解立体几何问题练习(新)-课件
高考数学专题七立体几何第练向量法求解立体几何问题练习(新)-课件_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题七 立体几何 第 56 练 ...
空间向量与立体几何
中的一些简单问题. 技能:将立体几何问题转化为向量的计算问题 过程与方法目标: ...教学难点:将立体几何问题转化为向量的计算问题. 教辅工具:多媒体课件 教学程序...
更多相关标签:
立体几何中的向量方法 | 立体几何的向量方法 | 立体几何向量方法 | 立体几何向量方法评课 | 空间向量与立体几何 | 向量法解立体几何 | 立体几何向量法 | 空间向量解决立体几何 |