绥化市第二中学
卜艳波
设直线ι、m的方向向量分别为a、b平面α、β 的法 向量分别为μ、ν,则
? ? a ‖b <=> a = k b , k ? R ; 线线平行ι‖ m <=>_______
a ⊥b <=> 线线垂直ι ⊥m<=>_______ a ⊥? <=> 线面平行ι ‖α <=>_______
a ‖? <=> a = k ? , k ? R ; 线面垂直ι⊥α <=>______
? ? a ·b = 0 ; ? ? a ·? = 0 ; ? ?
?
? ‖? <=> 面面平行α ‖ β <=>_______ ? ⊥? <=> 面面垂直α ⊥ β <=>_______
? ? = k? , k ? R ; ? ?
? ·?
=0 ;
基础测试
? 1、已知直线 ?
向量为 n =(6,-3,-6) 则ι与α的位置关系 ι⊥α
? ι的方向向量为 a =(2,-1,-2)平面α的法
? ? 2、平面α和β的法向量分别为 n 1=(-2,2,5) ? n2 =(6,-4, 4)则α和β位置关系 α⊥β
? 3、平面α经过三点A(1,2,3) B(2,0 ,-1) C(3,-2,0,)下
面可以作为平面ABC的法向量的是( B ) A、(1,2,-1) B、(2,1,0 ) C、(1,2,0 ) D、(1,-2,1)
如何求平面的法向量
? 方法一
? 待定系数法:设平面α法向量 n = ? ? a , b (x,y,z) α内取两个不共线向量 ? ? n a =0 ? ? 取其中一组解 (非零向量)即可 n b =0
· ·
? 方法二
定义法:若可证ι⊥α,则取ι的一个 方向向量,即为α的法向量。
例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB于 点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小
P
F
D
E C
A
B
【思路点拨】 本题涉及的问题包括:判定直线与平面平行和垂直, 计算二面角的大小,这些问题都可以利用向量方法解决, 由于已知中存在两两垂直的直线,所以非常适合建立空 间直角坐标系表示向量。
z P
例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,EF⊥PB交 PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB
x
F D o A
E C
y
B
? 证法二:设面DEB的法向量为 n =(x,y,z)
1 1 ? ? y+ 2 z=0 EO =0 n· 2 令 y=2 ? ? x+y=0 DB =0 n· ? n=(-1,1,-1) ? ? ? ? PA ·n =(1,0,-1)(-1,1,-1)=0 ∴ PA ⊥ n
∴ PA‖平面EDB
【方法技巧】证明直线与平面平行
? (1)可通过证明直线方向向量与平面内一向量共
线(如图1) ? (2)利用直线与平面的法向量垂直证得(如图2)
A
ι
B
A
α
ι?
n
B
? n α ? ? A B = ka
图1
? ? AB · n=0
图2
z P
例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,EF⊥PB交 PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD
F D A
E C
y
x
B
? 证法二
设F(x,y,z) ? ? PF =k PB 即(x,y,z-1)=k(1,1,-1) ∴x=k y=k z=1-k 1 ? ? 又∵ PF DE =0 即(k,k,1-k) (0, 2 ,
· ·
? 则 PF =(x,y,z-1)
1 2
)=0
? 求得DEF的法向量 n =(1,1,-1) ? ? PB ‖n ∴ PB ⊥平面DEF
1 解得 k= 3 1 1 ∴ F( 3 , 3
2 ,3 )
【方法技巧】证明直线与平面垂直的方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量平行 (2)可证明直线的方向向量与平面内两不共线向 量垂直
A
B
? ? AB = ? n
? n
A
B
? a
? b
? ? A? B·a ?=0 AB · b=0
z
例 如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB于 交PB于点F (1)求证:PA‖平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小 A
x
P F D O B E C
y
? 解 : 由(2)PB⊥平面EFD
? 得PB⊥FE
PB⊥FD
·
∴∠EFD为二面角平面角 ? ? ? ? FE 1 F? D ? cos< FE , FD > = FE FD = 2
∴二面角C-PB-D的大小为60°
z
【变式训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面 ABCD PD=DC, 求二面角C-PB-D 的大小 ? 解:作DF ⊥PB,CG ⊥PB ? ? ? 设 PG =λPB =(λ,λ,-λ)
P
F D A C y
G
B
x
? 得G(λ,λ,1-λ) ? ? ? 又∵ GC PB =0 即(-λ,1-λ,λ-1) (1,1,-1)=0
·
·
2 ? 解得λ= 3 2 1 ? 1 ? ∴ GC =(- 3 , 3 ,- 3?)
? ? cos< GC FD > =
·
GC FD
? GC D ? F?
·
=
1 2
∴ 二面角大小60 °
【解法二】
【方法技巧】向量法求二面角
? ? (1)设 n 1,n 2 是二面角α-ι-β的 ? 两个面α,法向量,则向量 n 1 ? 与 n 2 的夹角(或真补角)就是二面
角的平面角的大小(如图1) (2)若AB,CD分别是二面角α-ι-β 的两个面内与棱ι垂直的异面直线, ? ? CD 的 则二面角的大小就是向量 AB 与 夹角(如图2)
? n
α
1
? n
2
β ι 图1 α C A β D 图2 B
ι
【巩固练习】 ? 1、若两个平面α,β的法向量分别是n =(1,0,1) ? ? =(-1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是 60° 2、在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,AD//BC 1 1 0 ,∠ABC=90 ,SA⊥面ABCD,SA= 2 ,AB=BC=1,AD = 2 , 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 。 z 2 S 3
A
D x C B y
【课堂总结】
利用直线的方向向量与平面的法向量,证明线面间的平行垂 直关系。 向量法求二面角,注意①法向量夹角与二面角之间的 相等或互补关系。② 利用两半平面内与棱垂直的两向量夹 角求二面角,注意两向量的“同向性” 。
【作业布置】
(一)必做部分:课本112页6题、8题; (二)选做部分:课本113页2题; (三)思考题:如何用综合法解决本节内容。