立体几何中的向量方法课件

绥化市第二中学

卜艳波

设直线ι、m的方向向量分别为a、b平面α、β 的法 向量分别为μ、ν，则
? ? a ‖b <=> a = k b , k ? R ； 线线平行ι‖ m <=>_______

a ⊥b <=> 线线垂直ι ⊥m<=>_______

a ⊥? <=> 线面平行ι ‖α <=>_______

a ‖? <=> a = k ? , k ? R ； 线面垂直ι⊥α <=>______

? ? a ·b = 0 ; ? ? a ·? = 0 ; ? ?
?

? ‖? <=> 面面平行α ‖ β <=>_______ ? ⊥? <=> 面面垂直α ⊥ β <=>_______

? ? = k? , k ? R ； ? ?

? ·?

=0 ;

基础测试
? 1、已知直线 ?

向量为 n =（6,-3,-6) 则ι与α的位置关系 ι⊥α

? ι的方向向量为 a =（2,-1,-2）平面α的法

? ? 2、平面α和β的法向量分别为 n 1=（-2,2,5） ? n2 =（6,-4, 4）则α和β位置关系 α⊥β
? 3、平面α经过三点A(1,2,3) B(2,0 ,-1) C(3,-2,0,)下

面可以作为平面ABC的法向量的是（ B ） A、（1,2,-1） B、(2,1,0 ） C、（1,2,0 ） D、(1,-2,1）

如何求平面的法向量
? 方法一

? 待定系数法：设平面α法向量 n = ? ? a , b (x,y,z) α内取两个不共线向量 ? ? n a =0 ? ? 取其中一组解 (非零向量）即可 n b =0
· ·

? 方法二

定义法：若可证ι⊥α,则取ι的一个 方向向量，即为α的法向量。

例 如图，在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点，作EF⊥PB于 点F (1)求证：PA‖平面EDB (2)求证：PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小

P

F
D

E C

A

B

【思路点拨】 本题涉及的问题包括：判定直线与平面平行和垂直， 计算二面角的大小，这些问题都可以利用向量方法解决， 由于已知中存在两两垂直的直线，所以非常适合建立空 间直角坐标系表示向量。

z P

例 如图，在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点，EF⊥PB交 PB于点F (1)求证：PA‖平面EDB
x

F D o A

E C

y

B

? 证法二：设面DEB的法向量为 n =（x,y,z)
1 1 ? ? y+ 2 z=0 EO =0 n· 2 令 y=2 ? ? x+y=0 DB =0 n· ? n=（-1,1,-1） ? ? ? ? PA ·n =(1,0,-1)(-1,1,-1)=0 ∴ PA ⊥ n

∴ PA‖平面EDB

【方法技巧】证明直线与平面平行
? (1)可通过证明直线方向向量与平面内一向量共

线（如图1） ? (2)利用直线与平面的法向量垂直证得（如图2）

A

ι

B

A
α

ι?

n

B

? n α ? ? A B = ka
图1

? ? AB · n=0
图2

z P

例 如图，在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点，EF⊥PB交 PB于点F (1)求证：PA‖平面EDB (2)求证：PB ⊥平面EFD

F D A

E C

y

x

B

? 证法二

设F(x,y,z) ? ? PF =k PB 即(x,y,z-1)=k(1,1,-1) ∴x=k y=k z=1-k 1 ? ? 又∵ PF DE =0 即(k,k,1-k) (0, 2 ,
· ·

? 则 PF =(x,y,z-1)

1 2

)=0

? 求得DEF的法向量 n =(1,1，-1） ? ? PB ‖n ∴ PB ⊥平面DEF

1 解得 k= 3 1 1 ∴ F( 3 , 3

2 ,3 )

【方法技巧】证明直线与平面垂直的方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量平行 (2)可证明直线的方向向量与平面内两不共线向 量垂直

A
B
? ? AB = ? n

? n

A
B
? a
? b

? ? A? B·a ?=0 AB · b=0

z

例 如图，在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD PD=DC,点E是PC的中点，作EF⊥PB于 交PB于点F (1)求证：PA‖平面EDB (2)求证：PB ⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小 A
x

P F D O B E C

y

? 解 : 由(2)PB⊥平面EFD

? 得PB⊥FE

PB⊥FD
·

∴∠EFD为二面角平面角 ? ? ? ? FE 1 F? D ? cos< FE ， FD > = FE FD = 2

∴二面角C-PB-D的大小为60°

z

【变式训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面 ABCD PD=DC, 求二面角C-PB-D 的大小 ? 解:作DF ⊥PB，CG ⊥PB ? ? ? 设 PG =λPB =（λ，λ，-λ）

P
F D A C y

G
B

x

? 得G（λ，λ，1-λ） ? ? ? 又∵ GC PB =0 即（-λ，1-λ，λ-1） （1,1,-1）=0
·
·

2 ? 解得λ= 3 2 1 ? 1 ? ∴ GC =(- 3 , 3 ,- 3?)

? ? cos< GC FD > =
·

GC FD

? GC D ? F?
·

=

1 2

∴ 二面角大小60 °

【解法二】

【方法技巧】向量法求二面角

? ? (1)设 n 1,n 2 是二面角α-ι-β的 ? 两个面α，法向量，则向量 n 1 ? 与 n 2 的夹角(或真补角)就是二面
角的平面角的大小（如图1） (2)若AB，CD分别是二面角α-ι-β 的两个面内与棱ι垂直的异面直线， ? ? CD 的 则二面角的大小就是向量 AB 与 夹角（如图2）

? n
α

1

? n

2

β ι 图1 α C A β D 图2 B

ι

【巩固练习】 ? 1、若两个平面α，β的法向量分别是n =(1,0,1) ? ? =(-1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是 60° 2、在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC 1 1 0 ，∠ABC=90 ,SA⊥面ABCD,SA= 2 ，AB=BC=1,AD = 2 , 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值 。 z 2 S 3
A
D x C B y

【课堂总结】
利用直线的方向向量与平面的法向量，证明线面间的平行垂 直关系。 向量法求二面角，注意①法向量夹角与二面角之间的 相等或互补关系。② 利用两半平面内与棱垂直的两向量夹 角求二面角，注意两向量的“同向性” 。

【作业布置】

(一)必做部分:课本112页6题、8题； (二)选做部分:课本113页2题; (三)思考题:如何用综合法解决本节内容。