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对数与对数运算(二)


对数与对数运算(二)
编辑人:张茂森

学习要求
1.初步掌握对数运算的换底公式及其简单 应用。 2.培养学生的数学应用意识。

自学评价
1.对数换底公式 log a N ? 2. 说明: 由换底公式可得以下常见结论 (也 称变形公式) : ① loga b ? logb ②

关对数问题的基本思想方法, 它在求值或恒 等变形中起了重要作用, 在解题过程中应注 意: (1)针对具体问题,选择恰当的底数; (2) 注意换底公式与对数运算法则结合使 用; (3)换底公式的正用与逆用; (4) 变形公式可简化运算。 例 2:1)已知 log3 12 ? a , 试用 a 表示 log3 24

a=


(2)已知 log3 2 ? a , 3b ? 5 , 用 a 、 b 表示 log3 30

logam bn ?

③ b a 3. 换底公式的意义是把一个对数式的底数 改变,可将不同底问题化为同底,便于使用 运算法则, 所以利用换底公式可以解决一些 对数的底不同的对数运算。

log aglog x ?

(3)已知 log18 9 ? a,18b ? 5 , 用 a , b 表示 log36 45

【精典范例】
例 1:计算 (1) log8 9 ? log3 32

(2) log4 9 ? log27 25 ? log125 16

(3) (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2) ? log 1 4 32
2

分析:这是底不同的对数运算,可考虑用对 数换底公式求解。 点评: 利用换底公式“化异为同”是解决有

点评:当一个题目中同时出现指数式和对数 式时,一般要把问题转化,统一到一种表达 式上,在求解过程中,根据题目的需要,将 指数式转化为对数式, 或将对数式转化为指 数式,这正是数学数学转化思想的具体表 现。

变式练习 1 1.利用换底公式计算: (1) log2 5 ? log5 4

例 3:如图,2000 年我国国内生产总值 (GDP) 为 89442 亿元.如果我国 GDP 年均增 长 7.8%左右,按照这个增长速度,在 2000 年的基础上,经过多少年以后,我国 GDP 才 能实现比 2000 年翻两番的目标?
1998-2002年我国GDP 数据图 GDP/亿元 120000 100000 80000

1 1 1 (2) log 2 ? log 3 ? log 5 25 8 9

60000 40000 20000

o

1998 1999 2000 2001 2002

时间/s

2.求证: log3 4 ?

1 log 4 3

思维点拔: 3. lg 4 ? lg5lg 20 ? (lg5)2 有关增长率问题,满足关系式 y ? m(1 ? a) x , 其中 m 是增长(降低)前的量, a 为增长率 (降低率) , x 为增长(降低)次数, y 是 增长(降低)后的量,要求 a 或 x 需要对等 式两边取对数,选择恰当的底数是关键,在 解题过程中,常取常用对数。 课堂小结: 练习:P68 4 业:P74 –P75

A 组 6 , 11;B 组

1.


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