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数学卷·2016届吉林省实验中学高一上学期模块(三)试题(2014.01)


吉林省实验中学 2013—2014 学年度上学期模块三

高一数学试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. sin 585 的值为( A.
?



2 3 3 C. D. ? 2 2 2 2 2 . 已 知 全 集 U ?

{x | ?2 ? x ? 1} , A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , ) C ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则( A. C ? A B. C ? CU A C. CU A ? B D. CU B ? C
B. ? 3.函数 y ? a
x?2

2 2

? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点
B. (1,1) C. (2,1)

(

) D. (2,2)

? ? 4.已知 a , b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( )? ? ? ? ? b =1 A. a 与 b 相等? B. a · ? ? ? ? ? ? C . a 2= b 2? D.如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等
5.方程 sin ? x ? A 4

A. (0,1)

1 x 的解的个数是( 4
B 5 C 6
1 2

) D 7 ( )

6.已知 x=lnπ,y=log52, z = e A. x<y<z

,则

B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x π 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π.为了得到函数 g(x)=cosωx 的 4 图象,只要将 y=f(x)的图象( ) π A.向左平移 个单位长度 8 π B.向右平移 个单位长度 8 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向右平移 个单位长度 4 8.已知向量 a= (cos? , sin? ) ,向量 b= ( 3 ,?1) ,则|2a-b|的最大值是( A.4 B.-4 C.2 D.-2 9.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x 的最小正周期为( A. 2? B. ) D. )

3? 2

C. ?

10.将 y=f(x)· cosx 的图像向右平移 的图像,则 f(x)是 A.cosx B.2cosx

? 个单位后,再关于 x 轴对称而得到 y=1-2sin2x 4
( C.sinx D.2sinx )

? 2

第 1 页 共 8 页

11.已知非零向量 AB 与 AC 满足( 则△ ABC 为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形

AB | AB |



AC | AC |

BC =0 且 )·

AB

| AB | | AC |

·

AC



1 , 2

C.等腰非等边三角形

D.三边均不相等的三角形

12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 最小值,则函数 y ? f (

?
4

处取得

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2
?

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k = 14.非零向量 a 和 b 满足 a ? b ? a ? b ,则 b 与 a ? b 的夹角为 15.tan20° +tan40° + 3 tan20° tan40° 的值是 16.给出下列五个命题: ①函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+ ;

?

?

? ?

?





? ,0) (k∈Z)对称; 2

②函数 f (x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ③函数 y=cos2x+sinx 的最小值为-1; ④设 θ 为第二象限的角,则 tan

? ? ? ? >cos ,且 sin >cos ; 2 2 2 2

⑤若 ? 是第三象限角,则点 P (sin(cos ? ), cos(cos ? )) 在第二象限 . 其中正确的命题序号是________________________. ; 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 10 分) 已知点 A(-3,-4)、B(5,-12) (1)求 AB 的坐标及| AB |;? (2)若 OC = OA + OB , OD = OA - OB ,求 OC 及 OD 的坐标;?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

????

OB ? (3)求 OA ·

??? ? ??? ?

第 2 页 共 8 页

18. (本小题满分 12 分)已知 求 sin2?的值

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 4 13 5

19. (本小题满分 12 分)已知函数 y=4cos2x-4 3 sinxcosx-1(x∈R) . (1)求出函数的最小正周期; (2)求出函数的最大值及其相对应的 x 值; (3)求出函数的单调增区间; (4)求出函数的对称轴。

20. (本小题满分 12 分)

设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值;

?

?

?

?

?

?

? ?

(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

?

?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

π? 1 ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

第 3 页 共 8 页

22. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a);
1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a。 a

第 4 页 共 8 页

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)
题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 A 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)
13.5 14. 150
?

15.

3

16.①③⑤

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 74 分)
17. (本小题满分 10 分) (1) AB =(8,-8) ,| AB |=8 2

??? ?

??? ?

…………………………4 分

(2) OC =(2,-16) , OD =(-8,8)?…………………………8 分

????

????

OB =33 (3) OA ·
18. (本小题满分 12 分) 解:∵ cos(? ? ? ) ?
12 ?0 13

??? ? ??? ?

…………………………10 分

?
2

? ? ?? ?

3? 4

4 5 ∴ sin(? ? ? ) ? 13 3? ∴? ? ? ? ? ? 2 3 又 sin(? ? ? ) ? ? 5

∴0 ?? ? ? ?

?

…………………………3 分 …………………………5 分 …………………………7 分 ∴ cos(? ? ? ) ? ?
4 5

…………………………9 分

∴sin2?= sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? c0s(? ? ? ) sin(? ? ? ) =?

3 12 4 5 56 ? ? ? ?? 5 13 5 13 65

…………………………12 分

19. (本小题满分12分) 解:

第 5 页 共 8 页

20. (本小题满分 12 分)

1 ? cos 2 x 解:y=4cos2x-4 3 sinxcosx-1=4× -4 3 sinxcosx-1 ……………1 分 2 1 3 =2cos2x-2 3 sin2x+1=4( cos2x- sin2x)+1 ………………2 分 2 2
=4cos(2x+ (1)T= ?

? )+1 3

………………4 分 ………………6 分

? ? ? (2)当 cos(2x+ )=1 时,y 最大值=5,此时 2x+ =2kπ,x=kπ- (k∈Z) 3 3 6
………………8 分

2? ? ? ≤2kπ,得- +kπ≤x≤- +kπ, 3 3 6 2? ? ∴函数的单调递增区间是[- +kπ,- +kπ](k∈Z) 3 6 k? ? ? (4)令 2x+ =kπ,得 x= - 2 3 6 k? ? ∴对称轴方程为 x= - (k∈Z) 2 6
(3)令-π+2kπ≤2x+ 21、解: (I)由题设知 f ( x) ?

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………12 分

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π ( k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

………………4 分

1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? ,………………5 分 2 ? 6? 4 4

1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

………………6 分

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 ? 2 2? ? 2 ?

1 π? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? .……………………………………………9 分 2 3? 2 ?
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

第 6 页 共 8 页

函数 h( x) ?

1 π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数,………………………………11 分 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? .………………12 分 ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?

故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ?

22、解析:本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运 用数学知识分析问题、解决问题的能力。 (Ⅰ)令 t ? 1 ? x ? 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], t≥0
2 2



2 t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x ?

1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] ………………………………3 分 2 2 1 2 (Ⅱ)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2
∴m(t)=a( (1)当 a>0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2, 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

2 1 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 2 a 2 1 1 1 1 ? a ? ? 则 g (a) ? m(? ) ? ?a ? ? ( 2, 2] ,即 ? 2 2 a a 2a

若t ? ? 若t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
a?? 1 2

?a ? 2, ? 2 1 1 ? ? a ? ? , ………………………………6 分 综上有 g (a ) ? ?? a ? , ? 2 2 2a ? ? 2 ? 2, a?? 2
第 7 页 共 8 页

(III)解法一: 情形 1:当 a ? ?2 时 由2?

1 1 1 1 ? ? ,此时 g (a ) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a

1 2 ? 2解得a ? ?1 ? ,与 a<-2 矛盾。 a 2 2 1 1 1 1 a ? ? ? 时,此时 g (a ) ? 2 , g ( ) ? ? ? 2 a 2 a a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

2 1 2 1 ,? 2? ?? 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) 2 a 2 a

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

情形 4:当 ?

2 1 1 1 ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a) ? ?a ? , 2 2 a 2a

1 2 2 1 ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? 矛盾。 g ( ) ? 2 ?a ? 2a 2 2 a

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 a 2 a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为 ? 2 ? a ? ?

1 a

2 , 或 a=1………………12 分 2

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