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一道高考题推广的巧解及应用


中学数学研究 

2 0 0 8年第 1 1 期 



道 高 考题 推广 的巧解 及应 用 
江苏省南京市建邺高级 中学   ( 2 1 0 0 1 7 )   丁兴春 
=了 2 因此 当 口  ≤  ≤Ⅱ   即  ≤  ≤   时 


设, (   )=∑

l  一  1 , 则八   ) 的最小值为  
(   ) .  
A.1 9 0; B. 1 7l;   C. 9 0; D.1 4 5.  

) 取 

到最 小值 , 而此时 

)=( 2 x一1 )+( 2— 3 x )+(  

+2 ) =3 . 于是所 求 的最 小值是 : 3 .  

我们来研 究一般 的情况 即 :  
设Ⅱ l , a 2 , …, 0  ∈R且 a l ≤8 2 ≤… ≤n   , n∈  

例2   已知, (  ):   2   I   —l   l +   I   +3   I +  
I   一2   I , 求厂 (  )的最小 值.  

N  , n≥2 . 求 函数  ):I   —a l   I + I   一Ⅱ 2   I +… 
+ I   一口   I的最 , J 、 值.   本文 给 出此 问题 的一 种巧 解 , 这要 用到 绝对 值  中的基本 不等式 :   一0 I   I 十 l   —b   l ≥l   a—b   I , 当  且仅 当 r a i n { o , b }≤   ≤m a x { o , b } 时取 到等号.  
由于f ( x ): I   —a I   l 十 I  一 0 2   I +… +  一 I 0   一 l   I +  
l   —a   I   ) =I   一a  I +   一n l   一 l   I +… + I   一  

解   )   音( 3    + I 3   I + 4   I  一 1   I + 6   I  一  
2   I ) . 于是 : a l=口 2=a 3   一3 , 0 4=a 5=Ⅱ 6=a 7  


1 , a 8=口 9= …a I 3=2 . 因此 当 :   =a 7: 1时 
.  

厂 (  )有最小 值- 厂 ( 1 ):  1  ll+3   I + I   1—2   l =3 例3   设 实数 a使得不 等式 I   2 x一0   I +   I 3 x一   2 a I ≥a   对 任意 实数 恒 成立 , 求 满足条件 的 n 的取 
值范 围.  

口 2   J + I   一口 l   I . 两式 相力 日 有: 2 U ( x )= ( 1   一日   l I +  
I   一0  I )+( I   一0 2   l + I   一n   一 l   1 )+ … +  

( I   ~a   一 l + I   一0 2   I )+( 1   一口   I + I   一 n l   I )≥  
I  al一 8   I+IⅡ 2一 口  l +l  a   l— a 2   I+    l+ …
一 一

解   ) = I   2 x 一 0   I + l   3 x 一 Ⅱ I =l  一 导『 +  

1   0  一Ⅱ I   I . 于是厂 (  )≥  _ ( 1 口 l 一口   I + I 口 2 一口   一 l   I +  


+ 1   0   n _ l 一0 2   I + l   a  一0 l   I )=   当 n为偶数 时 ,  

I   一 号 l +   1 一 詈 l + 1   一 詈 I +   I 一 了 a   1 . 若 n ≥  
0 , 则n 。 = 口   : 。 , = 詈, a   = r z   : 詈, 此 时 当  =  
。, =

当且仅 当  满 足不 等式 组 0 。≤   ≤n   , 口  ≤   ≤  0  I , …, 口 _ } ≤   ≤0 ÷ + l , 且 口 0 号≤  ≤口 号 + l 时  ) 取 


到最小值  .   类 似的 当  为 奇数 时 , 当 且仅 当  = a n    ̄ l 时,   )取到 最小值  .   我 们只要知 道 当  ) 取 到最小值 的时候 相应  的值 , 即可求 出函数  )的最 小值.  

詈时  ) 有 最 小 值   詈 ) ? 若 。 < o , N   n t  

0 2   了, 詈,   0 , 3   =   a 4   = o 0   5   = 詈, , 此时 此H   当 | _    =   a 3   : 了 a 时 H    
。: =

) 有 最 小 值   等 ) .  

下 面我们 回到原 问题上来 


):l   一1   I + I  

2   I +… + l   一l 9   I . 显然: Ⅱ l= 1 , a 2=2 , …, n l 9  

综 上  ) 有 最 小 值   等 ) =   . 由 题 意 知 :  
一   1 ≤ 。≤   l 了   a   l≥。 2解得 :

. 

=1 9 , 于 是 当  = o 。 。= 1 0时  X )取 到 最 小 值  厂 ( 1 0 ) , 而  1 0 )=2 ( 1+2+… +9 )=9 0 , 因此本 
题 选择 C .  

再来 看几例 :  
例1   已知  厂 (  )= I   2  一1   f + f   3  一2   f + f   X+  

本 题为 2 0 0 7年全 国高 中数学联 赛试题 , 这里 的  解答 比提供 的解答 要 简 单 得 多. 一般 的 , 我 们 可 以 
简 洁的解决 下列问题 :  
设b 1 , b 2 , …, b ,   ∈Q , Ⅱ 1 , n 2 , …, a  ∈ R, 且0 1  
≤ a2 ≤ … ≤ a  .  

2   I , 求. 厂 (  )的最小 值.   解  )=l   2  一1   I + I   3  一2   I + I   +2   I=I  

  —a   I的最 小值. 当然如果不 能有 : n 。 ≤口  ≤ …  + 2   t + f   一   { + l   一   f + l   一   f +   l 一   f +  I ≤o   , 这 时 只要对 Ⅱ   , 0 , , …, n   重新 排序 即可.  

求 

)= b l   I   一a l   I +b 2   I   一a 2   I +… +b  

I  一 ÷1 . 于是: 0 l : 一 2 , o 2 : Ⅱ 3 = ÷, n 4 : 0 5 = 0 6  


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