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河北省唐山市2013届高三数学第三次模拟考试试题 理 新人教A版


唐山市 2012-2013 学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学
一、选择题 1.设复数 z ? A. 1 ? i

2i ,则 z ? 1? i B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2.设全集 U ? ?x ? N | x ? 5?, A ? ?1,2,3?,

B ? ?1,4? ,则 (CU A) ? (CU B) ? A. ?5? B. ?0? C. ?0,5? D.27 D. ?1, 4?

3.运行如图所示的程序框图,输出的 n 等于 A.30 零 B.29 C.28

4.一几何体的三视图如图所示,则它的体积为

A.

5 3 3

B. 3

C.

4 3 3

D.

3 3
1

5. ?an ? 为等比数列, a2 ? a3 ? 1, a3 ? a4 ? ?2 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? A. ?24 有 6.已知 cos ? ? ? A. B.24 C. ?48 D.48

1 25

? ? 7 , ? ? (?? , 0) ,则 sin ? cos ? 2 2 25 1 1 1 B. ? C. D. ? 5 5 5

?x ? 2 y ? 3 ? 7.实数 x , y 满足 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ?x ? 6 y ? 5 ?
A. ?2 B. ?1 C.

1 2

D.2

2 2 8.经过点 (1, ) ,渐近线与圆 ( x ? 3) ? y ? 1相切的双曲线的标准方程为

1 2

A . x2 ? 8 y 2 ? 1 D. 4 x2 ? 2 y 2 ? 1

B . 2 x2 ? 4 y 2 ? 1

C . 8 y 2 ? x2 ? 1

9.边界在直线 y ? 0, x ? e, y ? x 及曲线 y ? A.1 B.

1 上的封闭的图形的面积为 x
C.2 D. e

3 2

10.函数 y ? f ( x) 由 (2x ) y ? 2x ? 2 y 确定,则方程 f ( x ) ?

x2 的实数解有 3

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 11.一种电子抽奖方式是:一次抽奖点击四次按钮,每次点击后,随机出现数字 1,2,3, 4。当出现的四个数字不重复,且相邻两数字不是连续数字(即两个数字差的绝对值为 1)时,获头奖,则第一次抽奖获头奖的概率为 A.

1 128

B.

3 256

C.

1 64

D.

1 12

12.定义在 R 上的函数 f ( x) ? A.既有最大值也有最小值 C.有最大值,但没有最小值 二、填空题 13 . 若 向 量 a ? ( 2 , b ? ,? 1) 为 。

x ?1 x ? 4x ? 6
2

,则 f ( x )

B.既没有最大值,也没有最小值 D.没有最大值,但有最小值

?

?

? ? ? ? ( ,1则 1向 量 a ? b 与 a ? b 的 夹 角 的 余 弦 值 , )
12 ,则椭 5

14. P 为椭圆 C 上一点, F1 , F2 为两焦点, | PF1 |? 13,| PF2 |? 15, tan ?PF1 F2 ? 圆 C 的离心率 e ? 。

2

15.三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在半径为 4 的球面上,且三条侧棱两两互相垂直,则该 三棱锥侧面积的最大值为 。 16.如图,在圆内:画 1 条弦,把圆分成 2 部分;画 2 条相交的弦,把圆分成 4 部分,画 3 条两两相交的弦,把圆最多分成 7 部分;…,画 n 条两两相交的弦,把圆最多分成 部分。

三、解答题 17.如图, OMN 是半径为 2,圆心角为 120? 的扇形, ABCD 是扇形的内接矩形。

1? MN 时,求 CD 的长; 4 (2)求矩形 ABCD 面积的最大值。 ? (1)当 CN ?

18.某经销商试销 A、B 两种商品一个月(30 天)的记录如下: 日销售量(件) 0 1 2 3 商品 A 的频数 3 5 7 7 商品 B 的频数 4 4 6 8

4 5 5

5 3 3

若售出每种商品 1 件均获利 40 元, X , Y 表示售出 A、 商品的日利润值 用 B (单位: 。 元) 将频率视为概率。 (1)设两种商品的销售量互不影响,求两种商品日获利值均超过 100 元的概率; (2) 由于某种原因, 该商家决定只选择经销 A、 商品的一种, B 你认为应选择哪种商品, 说明理由。

19.如图,六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是边长为 1 的正六边形, PA ? 底面 ABCDEF 。
3

(1)求证:平面 PAC ? 平面 PCD ; (2)若直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为

1 ,求六棱锥 P ? ABCDEF 高的大小。 4

20.四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 y ? x2 上,A,C 关于 y 轴对称,BD 平行于抛物一 在点 C 处的切线。 (1)证明:AC 平分 ? BAD ; (2)若点 A 坐标为 (?1,1) ,四边形 ABCD 的面积为 4,求直线 BD 的方程。

21.已知 f ( x) ?

x ln x 在 x ? x0 处取得极值。 1? x

(1)证明: f ( x0 ) ? ? x0 ; (2)是否存在实数 a ,使得对任意 x ? (0, ??), f ( x) ? 值;若不存在,说明理由。

a ( x ? 1) ?若存在,求 a 的所有 x

请考生在第 22、23、24 三题中选一题作答。 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC,GD 是圆 O 的 切线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG ? GF 。求证: (1)D、E、C、F 四点共圆; (2) GE ? AB

4

23.在极坐标系 Ox 中,直线 C1 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2, M 是 C1 上任意一点,点 P 在射 线 OM 上,且满足 | OP | ? | OM |? 4 ,记点 P 的轨迹为 C2 。 (1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)求曲线 C2 上的点到直线 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 距离的最大值。

24.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ?| a | f ( ) 。

b a

5

唐山市 2012—2013 学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学参考答案

三、解答题: (17)解: 如图,记⌒的中点为 E,连结 OE,OC,交 BC 于 F,交 AD 于 G,则∠DOG=60?. MN 设∠EOC=θ (0?<θ <60?) . 1 (Ⅰ)当⌒= ⌒时,θ =30?. CN MN 4 在 Rt△COF 中,OF=OCcos 30?= 3,CF=OCsin 30?=1. 3 在 Rt△DOG 中,DG=CF=1,OG= = . tan 30? 3 2 3 所以 CD=GF=OF-OG= . 3 (Ⅱ)与(Ⅰ)同理, …5 分
D O A M N C E B

DG

G

F

BC=2CF=4sin θ ,CD=OF-OG=2cos θ -
则矩形 ABCD 的面积

2sin θ 2 3 =2cos θ - sin θ . …7 分 tan 30? 3

S=BC·CD=4sin θ (2cos θ -


2 3 4 3 sin θ )=4sin 2θ - (1-cos2θ ) 3 3 …10 分

8 3 4 3 sin(2θ +30?)- . 3 3 因 30?<2θ +30?<150?,故当 2θ +30?=90?, 4 3 即 θ =30?时,S 取最大值 . 3

…12 分

6

(19)解: (Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中,CD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCDEF,CD?平面 ABCDEF,所以 CD⊥PA. 又 AC∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAC. 因为 CD?平面 PCD,所以平面 PAC⊥平面 PCD.
z P

…4 分

A F B C x D y E

(Ⅱ)如图,分别以 AC,AF,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz. 设 AP=h(h>0) . 则 P (0,0,h),C ( 3,0,0),D ( 3,1,0),E ( 3 3 , ,0). 2 2

→=( 3,0,-h),→=( 3,1,-h),→=(- 3, 1 ,0). PC PD DE 2 2 设面 PDE 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n·→=0,n·→=0, PD DE

? 3x+y-hz=0, ? 所以? 取 n=(h, 3h,2 3). 3 1 ?- 2 x+ 2 y=0, ?
记直线 PC 与平面 PDE 所成的角为 θ ,则

…8 分

7

3h |→·n| PC __________ sin θ =|cos ?→,n?|= → PC = 2 , 2(h +3) | PC |·|n| 3h 1 由 2 = ,解得 h= 3. 2(h +3) 4 所以六棱锥 P-ABCDEF 高为 3. (20)解: 2 2 2 2 (Ⅰ)设 A (x0,x0),B (x1,x1),C (-x0,x0),D (x2,x2). 2 对 y=x 求导,得 y?=2x,则抛物线在点 C 处的切线斜率为-2x0. …12 分

x2-x2 2 1 直线 BD 的斜率 k= =x1+x2, x2-x1
依题意,有 x1+x2=-2x0. 记直线 AB,AD 的斜率分别为 k1,k2,与 BD 的斜率求法同理,得 k1+k2=(x0+x1)+(x0+x2)=2x0+(x1+x2)=0, 所以∠CAB=∠CAD,即 AC 平分∠BAD. (Ⅱ)由题设,x0=-1,x1+x2=2,k=2.四边形 ABCD 的面积 …4 分

…6 分

S=


1 1 2 2 |AC|·|x2-x1|= |AC|·|x2+x1|·|x2-x1| 2 2 1 ×2×2×|2-2x1|=4|1-x1|, 2 …10 分

由已知,4|1-x1|=4,得 x1=0,或 x1=2. 所以点 B 和 D 的坐标为(0,0)和(2,4), 故直线 BD 的方程为 y=2x. (21)解: ln x+x+1 (Ⅰ)f ?(x)= 2 . (1+x) 依题意,ln x0+x0+1=0,则 ln x0=-(x0+1).

…12 分

x0ln x0 -x0(x0+1) f (x0)= = =-x0. 1+x0 1+x0
(Ⅱ)f (x)≥
2

…4 分

a(x-1) 2 等价于 x (ln x-a)+a≥0. x

设 g (x)=x (ln x-a)+a,则 g ?(x)=x(2ln x-2a+1). 1 令 g ?(x)=0,得 x=ea- 2 . 1 当 x∈(0,ea- 2 )时,g ?(x)<0,g (x)单调递减; 1 当 x∈(ea- 2 ,+∞)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增. 1 1 2a-1 所以 g (x)≥g (ea- 2 )=a- e . 2 于是 f (x)≥

a(x-1) 1 2a-1 恒成立只需 a- e ≥0. x 2

…8 分

8

设 h (a)=a-

1 2a-1 1 e ,则 h ( )=0, 2 2
2a-1

且 h ?(a)=1-e 当 a∈(0, 当 a∈(

,h ?(

1 )=0. 2

1 1 )时,h ?(a)>0,h (a)单调递增,h (a)<h ( )=0; 2 2

1 1 ,+∞)时,h ?(a)<0,g (x)单调递减,h (a)<h ( )=0. 2 2 1 2a-1 1 e ≤0,当且仅当 a= 时取等号. 2 2 1 a(x-1) ,使得对任意 x∈(0,+∞),f (x)≥ .…12 2 x

因此,a-

综上,存在唯一的实数 a= 分

1 1 (注:观察出 g (x)=0,由 ea- 2 =1 得 a= 的不扣分) 2

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. …8 分 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB. …10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (ρ ,θ ),M (ρ 1,θ ),依题意有 ρ 1sin θ =2,ρ ρ 1=4. …3 分 消去 ρ 1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ (ρ ≠0). …5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. …7 分

9

C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d=
3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ . 2

3 2 , 2 …10 分

10


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