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25-2014年全国高中数学联赛四川赛区预赛


2 0 1 4年第 8 期 

2 0 1 4年全 国高中数学联赛 四川赛 区预赛 
中圈分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码:A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 8— 0 0 2 5—0 5  





选择题 ( 每

小题 5分 , 共3 O分)  

1 . 设口 、 b ∈R, 复数 = 0 + 4   i , 且÷
则 b= (   ) .  

= 4   i .  

)   ( B ) (   1 , + ∞ )   ( c ) [ } ,   1 )   ( D ) 【   1 , 丢 】  




+ ∞

( A) 一 1 6   ( B ) 1   ( C ) 1 6   ( D) 1 7   2 . 过椭圆的左焦点 F作倾 斜角为 4 5 。 的直线  f 与该椭 圆交于 A 、 曰两 点. 若I B Fl = 2 I A FI , 则该 

4 . 已知 a 、 b 为正实数 , 记 
P=

/  ̄+ - b 2   一 a 丁 + b


Q=  

一  

椭 圆的离心率为 (  

) .  

( A )   1  ( B ) 孚 ( c )   1  ( D )  
3 . 已知公 差为 d的等差数列 { a   } 满足 d > 0 ,   且a   是a   、 a   的等 比中项. 记b   = a :   ( / " b ∈ Z+ ) ,   对任意 的正整数 n均有 
】  
+ 

R:河 一   .   a + D  
则下列判断正确的是 (  
( A) P≥Q≥尺   ( C ) Q≥  ≥P  

) .  

( B) Q≥P≥R  

1  

一 +  

1  

<  2‘  

.  

( D ) P、 Q、 R的大小关系不能确定  5 . 已知一个 半径 为 6的球. 则该 球 内接正 三 

则公差 d的取值范 围是 (  

) .  

棱锥 的体积 的最大值为(  

) .  

从而, 满 足条 件 的有 序 数 对 个 数 为 
1 O +1 8+ 1 2 +2 =4 2 .  

PM = =  一 PC  =—— OP =~ =   2  =   …厂,   一   = =一   2   , … , f   .  
=  

8 .  

.  

注意到 , P  + p c =船 + P M>  ̄B M.   过点 M 作 MH上 B C于点 H 则 
MH =   c=   1( 0 c O M)=   9


如图5 , 设△ A B C内切 圆为oD, 取O C上 的  
点  , / [  ̄O M= lo c
.  

,  





C H :6  



竽=   4.  

故B M =  



 



 






C  

— — 2   ‘  

图5  

因 此 

+  

c=胁

? P M>  ̄B M =  

.  

由正△ A B C的边长为 6 √  , 知 
OC =6, DP =3, OM =   3  

当动点 P为 B M 与 内切 圆的交点 时 , 得 到最 

小 值 单 .  
( 李延 林 提供 )  

j  —— O P  : =一   0C   : :—   2 —    

A /    O PM ( / ) A  OC P

中 等 数 学 

( A ) 3 2  

( B ) 5 4  

( C ) 6 4  

( 0) 7 2  

1 5 . 已知 k 为给定正整数 , 数列 { 口   } 满足 
口 l =3 , a   + l =( 3 T  ̄ - r 1 —1 ) S   + 3 ( / 7 , ∈ Z+ ) ,  

6 . 已知 a 、 b 、 c 、 d均为实数 , 函数 
) =   +   +   + d ( 口 < 0 )  

其 中, . s   是数列 { a   } 的前 n项和.  
1  

有两个极值点 。 、  (   。 <  ) , 满 足f (   )=  。 . 则 
方 程 

令b   = ÷ l o g 3   O , 1 口 2 … 0   ( n ∈z + ) , 记  
2 k  


  I



l  

(  ) +  

) + c = 0   ( C ) 3   ( O) 4  

∑l   b   一 ÷ 1 .  
1   1   l   I  

的实根有 (  
( A ) O  

) 个.  
( S ) 2  

若  ∈ z+ , 求 k的所有可能值.  

1 6 . 过 椭圆 争+  = 1 的 右焦 点F 作 两条 垂  
J  二 

二、 填空题 ( 每小题 5 分, 共3 0分 )  

7 . 设在 5× 5的方格表的第 i 行第 列所填的 
数为 n   ( a   ∈{ 0 , 1 } ) , 口   =  ( 1 ≤   、  ≤5 ) . 则 表  中共有五个 1的填 表方法 总数为— — ( 用具 体  数字作答 ) .   8 . 已知二面角 O t — f — J B 大小 为 6 o 。 , 该二面角  内一点 P到平面  的距离为 3 , 到平 面 』 B的距 离  为5 . 若 A∈ O t , B∈』 B , 则△ P A B周 长的最小值为 

直 的弦 A B、 C D . 设A B 、 C D的中点分别为  、  

( 1 ) 证明: 直线 M N必过定点 , 并求 此定点 ;   ( 2 ) 若弦 A B 、 C D 的斜率 均存 在 , 求△ F MN  
面积 5的最大值.  

参 考 答 案 




1 . D.  

由题意知 

a + 4   i =[ ( a + b )+ 4   i ] 4   i =一1 6 + 4 ( 口+ b ) i   9 . 设a , b 为实数 , 对任 意满 足 0 ≤  ≤1 的实 
数 均有 l a x+ b   I ≤1 . 贝 0   I 2 0 a+1 4 b   l +1 2 0 a 一1 4 b   I  
j 口:一1 6, 4 ( 口+6 ): 4   b =1 7 .  
2 . B .  

的最大值为— —_ .  

如图 1 , 设A F=  则B F= 2 d .  
I ’ ,  

1 0 . 设( 1 — 2 x )   = ∑  . 则  
2 o 2+3 a 3+4 a 4+5 0 5+6 口 6+7 a 7=  
c  
B 

, 一  、

 

1 1 . 已知 向量 、 J 6 『 是平面内两个互相垂直的 

单位 向量 , 且 
( 3 a—y) ? ( 4  一  )=0 .  
A  

/   、 一  
0  

则I  l 的最大值为一

 

1 2 . 对 任意正 整数 / 7 , , Z( n ) 是满 足 1+ 2+… 

+ / 7 1 , 为 n的倍数的最小 的正整数 m . 则满足 Z ( 1 7 , )  


6的全部正整数 t / , 之和为— — .   三、 解答题 ( 每小题 2 0分 , 共8 0分 )   1 3 . 已知 口为常数 , 函数 
1   ^ ,  

由椭 圆的第二定 义 , 知  , :   , B B, : 一 2 d
.  

于是 , B C: 一 d
.  

)= l n  

一 似?  

B C = A C =  ̄2d 3



( 1 ) 求函数厂 (  ) 的单调递减 区间 ;   ( 2 ) 若 口=一 q 6 - , 求  ) 的极值.  
1 4 . 已知对一切 的  ∈ R恒有 
3 s i n 2 x —c o s 2   +4 a c o s   +a 2 ≤3 1
.  

故e =   3.  

3 . A.  

由题意知  口   = a l a 4 =  ( a l + d ) 2 = 0 l ( 口 l + 3 d )  
j  a l=d .  

求实数 a的取值 范围.  

于是 , a   = i r d . 从而 , b   = a 2 . = 2 " d .  

2 0 1 4年第 8期 

2 7  

则 吉 【 丢 + (   )   + … + (   ) “ 】 < 2 .   故 d >   【 1 一 ( 丢 )   】 对 任 意 正 整 数 n 均 成 立 .   因 此 , d ≥ 吉 .  
4 . B.  

若  ) =  , 此时 , 方程有两个 根 ;  
若  ) =  , 此时 , 方程有一个根.   综上 , 方程应有三个实根.  
二 、 7 . 3 2 6 .  

符合条件 的填法总数为 
c 5 1 乙 2 l o+c5 3 乙1 0+C  =3 2 6 .  


&1 4 .  

注意到 ,  
铮   +   … 6  

作 P关于平面 、 卢的对称点 P 。 、 P   . 则P 。 P   的距离即为△ P A B周长 的最小值 , 即 
Pl P2=   +1 0  一2   X   6   X   1 0 c o s   1 2 0— 1 4 .  

2  



半 砌 .  
一   ≥  一   2 a b  

9. 8 0.  

于是 , 不等式成立.  
P≥ R 甘  

令 = 0 , 知I   b   I ≤1 ;   令 =1 , 知I 口 + 6   l ≤1 .   故I 口 I =1  + b—b   l ≤l 口+b   I +I   b   l ≤2 , 当 



哇  + 3 口 6 一   丽
≥  +  

 

0= 2 , b =一1 时, 上式等号可以取到.   若1 2 0 a l ≥I 1 4 b I , 则 
l 2 0 a +1 4 b   I +I 2 0 a一 1 4 b   I  


2   I 2 0 aI=4 0I nI ≤8 0:  

若I 2 0 a I ≤I 1 4 b I , 则 
甘  



+ 。     f

0 +6   2  

≥ 

’  。  、  

.  

I 2 0 a +1 4 b   I +I 2 0 a 一1 4 b   I   =2I 1 4 bI =2 8I   bl ≤2 8 .  

于是 , 不等式成立.  
综上 , Q≥P≥  .  
5 . C.  

综上 , 所求 最 大值 为 8 0 , 当 口:2 , 6= 一1时 
可 以取 到 .  
1 O . 0 .  

设正三棱锥 的高与一条侧棱 的夹角为  则 

侧棱长 l = 1 2 c o s  , 高h =1 2 c o s  
故底面正三角形的边长 为 
口 :1 2   s i n  ? C O S   0 .  

对( 1 — 2 x )   = ∑口   戈   两边的  求导得  


1 4( 1—2 x )  
6 a 6   +7 a 7  .  

=口 l+2 a 2   +3 a 3  2+4 a 4 戈  +S a 5   4+  

从而 , 所求体 积为 
V:4 3 2 ̄ / 3C O 8 4 0. s i n 2 0  


对上式分别令  = 0 ,  =1 得 
口1 = 一1 4,  

2 1 6  ̄- C O S 2 0  ̄ C O S 2 0 . 2 s i n 2 0  

6   (  


) 。  

0 l +2 a 2+3 a 3+4 a 4+5 0 5+6 0 6+7 a 7= 一1 4 .  

故2 口 2 + 3 0 3 + 4 口 4 + 5 口 5 + 6 o 6 + 7 口 7  
= 一1 4一( 一1 4)=0 .  
1 1 . 5 .  

6 4  

.  

当t o n   0 = ÷时, 上式等号成立.  
6 . C.  

如图2 , 设 
— - - - 

O A =3  .  
?- - -

』   ) ,  
, _ 、  

注意到 ,   (  ) = 似  +   + C .   由口 < 0 ,   。 <   2 , 则f (  ) 在 区 间( 一∞ ,   1 ) 上 

0  

O B= 4 I 6 『 ,  
—  - - 

A  

OC =  

单调 递 减 , 在 区间 (   。 ,  ) 上单调递增 , 在 区间   (   : , +∞) 上单 调递 减 , 且 

由已知得A e上 曰 e . 于 



 

0   、— 

冤  

是, 点 C在 以 A B为直 径 的 
圆上 , 且此圆过原 点.  
图2  

似  +  1 + c = 0 , 似; +  2 + c = 0 .  

2 8  

中 等 数 学 

从而 , I   I 的最大值为 5 .  
1 2 . 2 8 .  

故当t ∈[ 一 1 , 1 ] 时, 恒有 
g ( t )=一 4 t   + 4 a t + a   一 2 8 ≤0 .  

注 意 到 , n l  
从而, , l = 1 , 3 , 7 , 2 1 .   经验证 n : 7 , 2 1 .  

。  

注 意 到, 二 次函 数g ( £ ) 的 对 称 轴 为   = 詈.   ( 1 ) 当 詈<一 1 , 即n < 一 2 时, g ( t ) 在区间  
[ 一 1 , 1 ] 上单调递减.   故g ( t ) 的最大值为 
g ( 一 1 ) = a   一 4 a一 3 2 ≤ 0   一 4 ≤n <一 2 .  
( 2 ) 当 一1 ≤  ≤ l , 即 一2≤0 ≤2时 , g( £ ) 的 

由 z ( n ) : 6 , 知 n I  .  
因此 , 所求为 7+ 2 1 = 2 8 .   三、 1 3 . ( 1 ) 由题 意 知 函数 f (  ) 的 定 义 域  为( 一1 , 1 ) , 且 
)=I n ( 1一  )一I n ( 1 +  )一口 戈 .  

注意到 ,   (   ) =   -1

  一 一

最大值为 
口 =  一  



( 号 ) = 2 。   - 2 8 ≤ 0   j一 2 ≤ 口  

因为 一 1 <  <1 , 所 以,  

<一 2 .  

( 3 ) 当 詈> 1 , 即0 > 2 时, g ( t ) 在区间[ 一 1 , 1 ]  
上单调递增.   故g ( t ) 的最大值为 
g ( 1 ) = a   + 4 a 一 3 2 ≤0   j  2< 口 ≤4 .  

当a ≥一 2时 , 厂   (   ) < 0 恒成立.  

于是 , 单调递减 区间为 ( 一 1 , 1 ) .   当 a<- 2时 , E h f   (   ) < 0 , 知 
_=   <口   2>一 a +2  
a  l 一  ‘  

综上 , 所求 a的取值范围是 [ 一 4 , 4 ] .  
1 5 . 由题 意 知 

j  

<   < 1 或一 1 <   < 一 N /  ̄ + 2 .  

a 2 =( 3 丽 一 1 )× 3+ 3= 3   .   又a   + l =( 3   一 1 ) S   + 3 ,   a   =( 3   一 1 ) J s   一 l + 3 ( n ≥2 ) ,   故口   + l — n   =( 3   一1 ) 口  
a   + 1 =3 丽 0  

于是 , 单调递减 区间为 

(   , - ) U (  一   ) .  
( 2 ) 注意到 , 口 :一   8<


2 .  

由,   (   ) = 0 , 知驻点为 =一   1 或  1
. 

a   = a 2 ( 3   )   = 3 2 n   +   2 k   3 ( n ≥2 )
.  

2  

一  

当 一 l <   < 一 号 时 , ,  ) < o ;   当 一   <   < 丢 时 , 厂   (   ) > 0 ;  
当  <  <1 时, 厂   )< 0 .  

显然 , n= 1 也符合.   从而 , 数列 { a   } 的通项公式 为 
a   = 3 1   ( n∈ Z+ ) .  

故6   :  l o g 3   o q a 2  ̄ - - a n  

故 , (   ) 的 极 小 值 为   —   1 ) = 一 了 4 + l n   3 , 极   大 值 为   丢 ) = 了 4 一 l n   3 .  
1 4 . 设  ) = 3 s i n  一 c 0 s   戈 + 4 口 c 0 s  + 口   一 3 1 .  

寺 
, 

+ 2 k - 3 )  

n 一 上   + 

贝 0   ) :一 4 c o s  + 4 a C O l f  + a   一 2 8 .  
令 t =C o s  . 则 t∈『 一1 . 1 ] .  

吾 :  

.  

2 0 1 4年第 8 期 

从而, 当, l ≤ I i } 时, b   一 ÷< 0 ;  

则 直 线 z 删 过 定 点 (   3 , 0 ) .  
2 ) 当I j } = ±1时 , 易得 l 删:  =   3 也 过 点 


当n ≥  + 1 时, b   一 ÷> 0 .  



3   I   骞 (   3  ) + l 薹 。 b i -   3 )  
=   一  
 

) .  
( i i ) 当弦 A B或 弦 C D 的斜 率 不 存在 时 , 易 




_  2
2 k一1 ‘  

因为  ∈ Z+ , 即( 2 k 一 1 ) I k   , 所 以,  
( 2 k 一1 ) I ( 4 k   一1 + 1 ) .   于是 , ( 2 k一 1 ) J   1 .  
故2 k一1=1   k=1 .  

知 , 直 线 删为   轴 , 也 过 点 (   , 0 ) .   综 上 , 直 线 删必 过 定 点 E (   , 0 ) .  
( 2 ) 由( 1 ) 知 
. s=l l E FI   I y -y s   I  

=  

从而 , 所求 k的所有可能值为 1 .  
1 6 . ( 1 ) 由题意知 F ( 1 , O ) .  
一 一  

5 1   l   3   -   2 + k 2   一   2 k 2   k   + 3   l I  
!   墨 ( 墨 : ± 1   2   1  
一 一

( 3   2 + 2 ) ( 2   2 + 3 )。  
不 妨设 k> 0 . 则求 导 得 


( i ) 当弦 A B 、 C D的斜率均存在时 , 设A B的斜 

率为 k . 则C D的斜率为 一 ÷.  
设  : y=   (  一 1 ) .  
一 一

二  

二  

±  

±  

( 3 k  + 2 )  ( 2 k   +3 )  
 

( =  

= 丝墨 : 二  2 (  二   )  
’  

代 人 椭 圆 方 程 等 + 专 = 1 , 得  
( 3 k   + 2 )   一 6 k   +( 3 k   一 6 ) = O .  

( 3 k   + 2 )   ( 2 k   + 3 )  

由S   = O , 知k = 1 .  

又 当 k∈( 0 , 1 ) 时, S   > 0 ;  
当 k∈( 1 , +∞) 时, S   < 0 .  

故 M = x T A + x B =  3 k 2  
,  

故 当 k = 1 时 , S 有 最 大 值 为 素.  
y M= k ( x M-1 ) =  -   2 k
. 

从而 , △F MN的面积最大值为  .  
于是 ,   3 k 2  
,  


2 k ) .  
编 读 往

( 李 昌勇 提供 )  
来  

因为 C D上A B, 所以, 将 点 M 坐标 中的 k 换 
为一   1


即 得 点 Ⅳ 2 k ? + 3 , ,   2 k) .  
2  
+ 

1 . 广东省乳源高级 中学读 者王业坤指 出   2 0 1 3年 第 1期 《 数 学 奥林 匹克 高 中训 练题 

1 ) 当k ≠± 1 时,  
2  

( 1 6 1 ) 》 填 空第 4题 是道错题 , 题设 中的 四面 
体是不存 在的.  

k M N   3   3 k   2 — — — — — k ’ 。 2 。 。 。 。 。 + 。 。 。   。 — 3 —— 。 — 3 — — k — — — — 2 ’ 。 。 。   + 。 — —   ’ 2 — —  

2 . 湖南 省吉首市 民族 中学读者 阙浩 涛指  出2 0 1 4 年第 2期《 数学奥林 匹克高 中训练题  ( 1 7 4 ) 》 填空第 8 题 中“ 在[ 1 , +。 o ) 上” 改 为 
“ 在 N上” .  





 

!   墨 ( 墨 : ± 1   2 一 —  
6—6 k   一3 k  一3 ’   2 k
=  

3) .  

本刊 编辑部 


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