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关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论


椭圆,双曲线的对偶性质
1. (1)椭圆中,PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 证明:延长 F2H 至 M,交 PF1 于 M ∵PT 平分∠MPF2 , 又 F2H⊥PT,∴ | PM |=| PF2 | 又 | PF1 | + | PF2 |= 2a ,∴ | PM | + | PF1 |= 2a =| F1 M |= 2 | OH || OH |= a . ∴H 轨迹是以长轴为直径的圆,除长轴端点. (2)双曲线中,PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直 径的圆,除去实轴的两个端点. 证明:延长 F1H 到 M,交 PF2 于 M,则 PM = PF1 , 又 | PF1 | | PF2 |= 2a ,∴ | F2 M |= 2a 又 H,O 为 MF1,F1F2 中点, ∴OH
1 F2 M | OH |= a 2

∴ H 点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点. 2. (1)椭圆中,以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 证明:设 PQ 中点 S,作 PM⊥l 于 M,SA⊥l 于 A,QN⊥l 于 N
| SA |= 1 1 (| PM | + | QN |) = (| PF2 | + | QF2 |) 2 2e 1 1 > (| PF2 | + | QF2 |) = | PQ |= r 2 2

∴以 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (2)双曲线中,以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 证明:PB 为焦点弦,S 为 PQ 中点,作 PC ⊥ l 于 C SM ⊥ l 于 M, QD ⊥ l 于 D 则 | SM |= (| PC | + | QD |) = ∴ | PQ |<| SA | ∴以 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 注:抛物线中,以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相切. 3. (1)椭圆中,椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明:如图,设以焦半径 MF2 为直径的圆的半径为 r1,圆心为 O1, 由椭圆定义知 | MF1 | + | MF2 |=| AB || MF1 |=| AB | | MF2 | ∴ | OO1 |=
1 1 | MF1 |= (| AB | | MF2 |) = a r1 2 2 1 2 1 2 1 1 (| PF | + | FQ |) < | PQ | 2e 2

∴⊙O,⊙O1 相内切

(2)双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切). 证明:以焦半径 MF2 为直径的圆的半径为 r1,圆心为 O1;以 MF1 为直径的圆的半径为 r2,圆心为 O2, 由双曲线定义知 | MF1 |=| MF2 | + | AB | ∴ | OO1 |= 1 | F1 M |= 1 (| M F2 | + | AB |) = r1 + a ,
2 2

∴圆 O1 与圆 O 外切 又 | MF1 | | AB |=| MF2 | ∴ | OO 2 |= 1 | F2 M |= 1 (| MF1 | | AB |) = r2 a ,
2 2

∴圆 O2 与圆 O 内切 4. (1)设 A1,A2 为椭圆的左,右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直

线切于 A2(或 A1). 证明:设旁切圆切 x 轴于 A ' ,切 PF2 于 M,F1P 于 N, 则 | PN |=| PM | | MF2 |=| MA ' | | F1 N |=| F1 A ' | ∴ | PF1 | + | PM |=| F1 F2 | + | MF2 |
| PF1 | + | PF2 | | F2 A ' |=| F1 F2 | + | F2 A ' | 2a = 2c + 2| F2 A ' | | F2 A ' |= a c =| F2 A2 |

∴ A ' 与 A2 重合. (2)设 A1,A2 为双曲线的左,右顶点,则△PF1F2 的内切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1). 证明:设 A1 A2 切 X 轴于点 A ' ,与 PF1 切于 M,PF2 切于 N ∵ | PF1 | | PF2 |= 2a | PM | + | MF1 | | PN | | NF2 |= 2a ∵|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|= | A ' F2 | ∴ | F1 A ' | | A ' F2 |= 2a 又 | F1 A ' | + | A ' F2 |= 2c ∴ | A ' F2 |= c a =| A2 F2 | ,∴ A ' 与A 2 重合. 注:可知,圆心在直线 x = a 或直线 x = a 上.
x2 y2 + = 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1,P2 时, a 2 b2 x2 y2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 2 = 1 . a b 证明:设交点 S ( x0 , y0 ) , P (m, n) , P2 (m, n) 1

5. (1)椭圆

∵ KP A = K A S
1 1 1

K P2 A2 = K P2 S ,

y0 n m + a = x + a y0 y y2 n n2 n 0 ∴ = 0 2 = 2 0 2 2 m + a m a x0 + a x0 a a m x0 a n = y0 m a x0 a

又 ∴

m2 n2 n2 m2 n2 b2 + 2 = 1 2 = 1 2 2 = 2 2 2 a b b a a m a

2 y0 x2 y 2 b2 x2 y2 = 2 0 0 = 1 ,即轨迹方程为 2 2 = 1 2 x0 a 2 a a 2 b2 a b

x2 y2 = 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 a2 b2 x2 y2 P1,P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 + 2 = 1 . a b 证明:设交点 S ( x0 , y0 ), P (m, n), P2 (m, n) 1

(2)双曲线

∵ KP A = K A S
1 1 1

K P2 A2 = K P2 S ,

y0 n m + a = x + a y0 y y2 n n n2 0 ∴ = 0 2 = 2 0 2 2 m + a m a x0 + a x0 a a m x0 a n = y0 m a x0 a

又 ∴

m2 n2 n2 m2 n2 b2 2 = 1 2 = 2 1 2 = 2 , 2 2 a b b a a m a
2 y0 x2 y 2 b2 x2 y2 = 2 0 + 0 =1 即 2 + 2 =1 2 x0 a 2 a a2 b2 a b

*6. (1)若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

xx y y x2 y2 + = 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 + 02 = 1 . a 2 b2 a b 2 xb 2x 2 y y ' 证明:求导可得: 2 + 2 = 0 ∴ y ' = 0 2 , y0 a a b

∴切线方程: y y0 =

x0 b 2 ( x x0 ) y0 a 2

2 2 y0 ya 2 y0 a 2 = xx0 b 2 + x0 b 2

2 2 y0 ya 2 + xx0 b 2 = x0 b 2 + y0 a 2 = a 2 b 2



xx0 yy0 + 2 =1 a2 b

xx y y x2 y2 2 = 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 02 02 = 1 . 2 a b a b ′ x0 b 2 x0 b 2 x0 x y0 y 2x 2 y y 证明:求导可得: 2 2 = 0 y ' = ,切线方程 y y0 = ( x x0 ) 2 2 = 1 y0 a 2 a b a b y0 a 2

(2)若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

7. (1)若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 线方程是

x2 y2 + = 1 外 ,则过 P0 作椭圆的两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的直 a2 b2

x0 x y0 y + 2 =1. a2 b x1 x y1 y xx y y + 2 = 1, l2 : 22 + 22 = 1 a2 b a b

证明:设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则过点 P,P2 切线分别为 l1 : 1 1 ∵ P0 在 l1,l2 上 ∴过 P1,P2 方程 ∴
x1 x0 y1 y0 xx y y + 2 = 1, 2 20 + 2 2 0 = 1 2 a b a b

x0 x yy0 + 2 =1 a2 b

(2)若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y2 = 1 (a>0,b>0)外 ,则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 P1,P2, a2 b2 xx y y 则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 02 = 1 . a b x1 x y1 y xx y y 2 = 1 , l2 : 22 22 = 1 2 a b a b

证明:设 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则过 P P2 切线分别为 l1 : 1 1 ∵ P0 在 l1,l2 上 ∴过 P P2 方程 1 8. (1)AB 是椭圆 ∴

x1 x0 y1 y0 xx y y + 2 = 1, 2 20 + 2 2 0 = 1 2 a b a b

x0 x y0 y 2 =1 a2 b

x2 y2 b2 + 2 = 1 的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM k AB = 2 . a2 b a

证明:设 A( x A , y A ), B( xB , yB )
K OM K AB =

则M(

x A + xB y A + y B , ) 2 2

y A + yB y A yB y A2 yB 2 = 2 ① x A + xB x A xB x A xB 2



xA2 y A2 x 2 y 2 x 2 x 2 y 2y 2 + 2 = 1 = B2 + B2 A 2 B = A 2 B 2 a b a b a b

∴ kOM k AB =

b2 a2

(2)AB 是双曲线
kOM k AB = b2 . a2

x2 y2 = 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 a2 b2

证明:设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) ,则 M (
K OM K AB =

x A + xB y A + y B ), 2 2

2 2 y A + y B y A yB y A y B = 2 2 x A + xB x A xB x A xB



2 2 2 2 x A y A xB y B x2 x2 y 2 y2 b2 2 = 2 2 A 2 b = A 2 B ,∴ K OM K AB = 2 2 a b a b a b a

9. (1)若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

xx y y x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 内,则被 P0 所平分的中点弦的方程是 02 + 02 = 02 + 02 . a2 b a b a b 证明:设中点弦交椭圆一个定点为 A (m, n) ,则另一个为 B (2 x0 m, 2 y0 n)



(2 x0 m) 2 (2 y0 n) 2 + = 1① a2 b2
2 x0 x0 m y2 y n = 0 2 0 a2 b

,

m2 n2 + =1② a 2 b2

①-②得: 又 kAB =

2 y0 2 n y0 n b 2 x0 = = 2 x0 2m x0 m y0 a 2 b 2 x0 yy xx y2 x2 ( x x0 ) 20 + 20 = 0 + 0 2 y0 a b a b2 a 2 b2 x b2 b2 y k AB = 2 0 = 2 0 , 2 a a x0 a y0

∴弦 AB 方程为 y y0 =

证明二:由第 9 题得: k AB kOP =
0

∴弦 AB 方程为 y y0 =

b 2 x0 yy xx y2 x2 ( x x0 ) 20 + 20 = 0 + 0 y0 a 2 b a b2 a 2 x2 y2 = 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 P0 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a2 b2

( 2 ) 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线
x0 x y0 y x0 2 y0 2 2 = 2 2 . a2 b a b

证明:设中点弦交双曲线一个交点 A (m, n) ,则另一个 B (2 x0 m, 2 y0 n) ∴
(2 x0 m) 2 (2 y0 n) 2 =1 a2 b2 2 x0 2m y0 a x2 x n y2 y n m2 n2 2 =1 0 2 0 = 0 2 0 2 a b a b

2 又 K 弦 = 2 y0 2n = b x0 , 2

b 2 x0 x x y y x2 y 2 ∴方程为 y y0 = ( x x0 ) 02 02 = 0 0 y0 a 2 a b a2 b2

10. (1)若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 x2 y 2 x x y y + 2 = 1 内,则过 P0 的弦中点的轨迹方程是 2 + 2 = 02 + 02 . a2 b a b a b 证明:设弦交椭圆于 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) 中点 S (m, n) . 1 n y0 x12 y12 x2 y2 ( x + x )b 2 mb 2 + 2 = 1 = 2 + 2 k P1 P2 = 1 2 2 = 2 = k P0 S = 2 2 2 m x0 ( y1 + y2 )a a b a b na

∴ m 2 b 2 + mx0 b 2 = n 2 a 2 ny0 a 2 (2) P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 若

m 2 n 2 x0 m y0 n + = 2 + 2 a2 b2 a b



x 2 y 2 x0 x y0 y + = 2 + 2 . a2 b2 a b

x2 y2 x2 y2 x x y y 2 =1 (a>0,b>0) 则过 P0 的弦中点的轨迹方程是 2 2 = 02 02 . 内, 2 a b a b a b 证明:设弦与双曲线交于 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,中点 S (m, n) 1
2 2 n y0 x12 y12 x2 y2 ( x + x )b 2 mb 2 2 = 2 2 K P1 P2 = 1 2 2 = 2 = K POS = 2 m x0 a b a b ( y1 + y2 )a na

m 2 b 2 mb 2 x0 = n 2 a 2 na 2 y0

m 2 n 2 x0 m y0 y + = 2 2 , a2 b2 a b



x 2 y 2 x0 x y0 y = 2 2 a2 b2 a b x2 y2 + = 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点, a2 b2

11. 过椭圆 (1)

则直线 BC 有定向且 k BC =

b 2 x0 (常数). a 2 y0

(x 证明:设两直线与椭圆交于点 ( x1 , y1 ) 2 , y2 ) . y y0 x +x k AB = 1 = 1 0 2 2 2 2 2 2 x1 x0 y1 + y0 x1 y1 x2 y2 x0 y0 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 =1 2 a b a b a b k = y2 y0 = + x2 + x0 AC x2 x0 y 2 + y0 b2 ① a2 b2 ② a2

由题意得①=② ∴
y1 y0 x2 + x0 b 2 y y0 x1 + x0 b 2 = 2, 2 = x1 x0 y 2 + y0 a x2 x0 y1 + y0 a 2
2 2 ( y1 y2 y0 y2 + y0 y1 y0 )a 2 = ( x1 x2 x2 x0 + x1 x0 x0 )b 2 ③ 2 2 2 2 ( y1 y2 y0 y1 + y0 y2 y0 )a = ( x1 x2 x1 x0 + x2 x0 x0 )b ④

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2a 2 y0 ( y1 y2 ) = 2b 2 x0 ( x1 x2 )

③-④得:

y1 y2 b 2 x0 = = K BC (定值) x1 x2 a 2 y0

(2) 过双曲线

x2 y2 = 1(a>0,b>o) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C a 2 b2 b2 x 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = 2 0 (常数). a y0

证明:设两直线与双曲线交于点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则
y y0 x1 + x0 b 2 k AB = 1 = ① 2 2 2 2 x1 x0 y1 + y0 a 2 x12 y12 x2 y2 x0 y2 = = 2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 k = y2 y0 = x2 + x0 b ② AC x x y2 + y0 a 2 2 0

由题意得①=-② ∴
y1 y0 ( x + x ) b 2 y y0 x + x b2 = 2 0 2, 2 = 1 0 2 x1 x0 y2 + y0 a x2 x0 y1 + y0 a
2 2 ( y1 y2 y0 y2 + y1 y0 y0 )a 2 + b 2 ( x1 x2 x0 x2 + x0 x1 x0 ) = 0 2 2 2 2 ( y1 y2 y0 y1 + y0 y2 y0 )a + b ( x1 x2 x0 x1 + x0 x2 x0 ) = 0

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③ ④

③-④ 12. (1)椭圆

b2 x y1 y2 = 2 0 = K BC (定值) x1 x2 a y0

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点 a 2 b2 2b 2 γ ∠F1 PF2 = γ , 则 椭 圆 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 | PF1 || PF2 |= ; SF1PF2 = b 2 tan ; 2 1 + cos γ P(±

a 2 γ b2 γ c b 2 tan 2 , ± tan ) . c 2 c 2 证明:设 | PF1 |= m , | PF2 |= n ,则 m + n = 2a .

由余弦定理 m 2 + n 2 2mn cos γ = 4c 2 = 4a 2 4b 2 = (m + n)2 4b 2 ,
2b 2 = (1 + cos γ )mn | PF1 || PF2 |= 2b 2 . 1 + cos γ

S△F1PF2 =

1 1 2b 2 γ m n sin γ = sin γ = b 2 tan = c | yP | , 2 2 1 + cos γ 2 b2 γ a 2 γ tan xP = ± c b 2 tan 2 2 2 c c

∴ yP = ±

x2 y2 = 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上异于顶点任意一点 a 2 b2 2b 2 γ ∠F1 PF2 = γ , 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 | PF1 || PF2 |= ; SF1PF2 = b 2 co t ; 2 1 cos γ

(2)双曲线

a 2 γ b2 γ c + b 2 tan 2 , ± cot ) . c 2 c 2 证明:设 | PF1 |= m,| PF2 |= n,| m n |= 2a , P(±
m 2 + n 2 2mn cos γ = 4c 2 = 4a 2 + 4b 2 = (m n)2 + 4b 2 , 2b 2 = mn(cos γ + 1) | PF1 || PF2 |= S △F1 PF2 = 2b 2 1 cos γ

1 sin γ γ mn sin γ = b 2 = b 2 cot = c | y p | , 2 cos γ + 1 2

c b2 γ γ cot x p = ± 1 c 2 + b 2 tan 2 c 2 c 2 2 2 x y (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β , 13.1) P 为椭圆 2 + 2 = 1 ( 若 a b ac α β 则 = tan co t . a+c 2 2 r +r a 证明:设 | PF1 |= r1 | PF2 |= r2 . r1 + r2 = 2a , 1 2 = ① | F1 F2 | c

∴ yp = ±

α +β α β α β 2 sin cos cos r1 + r2 sin α + sin β 2 2 = 2 又 = = α +β α +β α +β | F1 F2 | sin(α + β ) 2sin cos cos 2 2 2
= cos cos

α α

2 2

cos cos

β β

2

+ sin sin

α α

2

sin sin

β

β β

2 =

1 + tan 1 tan

α

α

2

tan tan

β

β

2



2 ac 由①,②得: tan tan = 2 2 a+c 2 x y2 (2) P 为双曲线 2 2 = 1 若 (a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ∠PF1 F2 = α , a b ca α β ca β α ∠PF2 F1 = β ,则 = tan co t (或 = tan co t ). c+a 2 2 c+a 2 2 证明:设 P 在左支, | PF2 | PF1 |= 2a , | F1 F2 |= 2c

2

2

2

2

α

| PF2 | | PF1 | a = c | F1 F2 |


2 sin 2sin

| PF2 | | PF1 | sin α sin β = = | F1 F2 | sin(α + β ) sin sin

α β α +β β β
2 2 2 cot cot 2

cos cos

α +β α +β
2 2 =

sin sin

α β α +β
2 2

α α
2

=

cos cos

β β
2

sin + sin

β β
2

cos cos

α α
2 = 2

1 tan 1 + tan

α α
2 2



2

2

2

1 tan cot a 2 2 c a = tan β cot α 由①,②得: = β α 2 2 c 1 + tan cot c+a 2 2 ca β α 同理,P 在右支时, = tan co t c+a 2 2

β

α

14. (1)椭圆
M ( x0 , y0 ) ).

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的焦半径公式: | MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a ex0 .( F1 (c, 0) , F2 (c, 0) , a 2 b2 a2 a2 , d 2 = x0 ,∴ | MF1 |= a + ex0 c c

证明:椭圆上点 M 到左右准线距离 d1 = x0 + (2)双曲线

| MF2 |= a ex0

x2 y2 = 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (c, 0) , F2 (c, 0) , M ( x0 , y0 ) a 2 b2 | MF1 |= ±(ex0 + a) , | MF2 |= ±(ex0 a) . a2 a2 , d 2 = x0 , | MF1 |= d1e = ex0 + a c c | MF2 |= a ex0

当 x0 > 0 时,取"+" ;当 x0 < 0 时,取"-". 证明:若 M 在右支,则 M 到左准线距离 d1 = x0 + 若 M 在左支,则 d1 = 15. (1)P 为椭圆
| MF2 |= ex0 a

a2 a2 x0 , d 2 = x0 , | MF1 |= d1e = a ex0 c c

x2 y2 + = 1 (a>b>0)上任一点,F1 ,F2 为左,右焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2 2a | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.

证明:若 A,F2,P 不共线, 在△APF2 中 | PA | + | AF2 |>| PF2 | | | AF2 |<| PF 2 | | PA ∴ | PF2 | | AF2 |<| PA |<| PF2 | + | AF2 | , 2a | AF2 |<| PA | + | PF2 |< 2a + | AF2 | 当 A,P,F2 共线时取等号. (2)P 为双曲线
x2 y2 = 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为左,右焦点,A 为双曲线内一定点,则 a 2 b2 | AF2 | 2a ≤| PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

证明:若 A,P,F2 不共线, 在 △ APF2 中 | AF2 | | PA |<| PF2 | | AF2 | | PA | | PF1 |<| PF2 | | PF1 |= 2a ∴ | AF2 | 2a <| PA | + | PF1 | 当且仅当 P 和 A,F2 在 y 同侧且共线时, | AF2 | | PA |=| PF2 | , 此时 | AF2 | 2a =| PA | + | PF1 | 16. (1)椭圆
x2 y2 (a 2 b 2 ) 2 + 2 = 1(a>b>0)上存在两点关于直线 l : y = k ( x x0 ) 对称的充要条件是 x0 2 ≤ 2 . 2 a b a + b2 k 2
1 ,其中垂线 l 为 y = k ( x x0 ) k

分析:该问题等价于在椭圆上找两点,过这两点直线 l1 ,斜率为
2 x0 <



(a 2 + b 2 ) 2 . a2 + b2 k 2

证明:设 l1 方程为 y = x + m

1 即 x = mk ky ,中点为 ( x′, y ′) k 得 (b 2 k 2 + a 2 ) y 2 2mb 2 k 2 y + b 2 k 2 m 2 a 2 b 2 = 0

2mb 2 k 2 mb 2 k 2 y′ = 2 a2 + b2 k 2 a + b2 k 2 ma 2 k x ′ = mk my0 = 2 2 y y ′ = k ( x x ′) b k + a2 y1 + y2 =

代入 ( x0 , 0) , x0 =

mk (a 2 + b 2 ) a2 + b2 k 2

2 x0 =

m2 k 2 (a 2 + b 2 )2 (a 2 + b 2 k 2 ) 2

又△>0 m 2 < 注:还可以用点差法. (2)双曲线

a 2 + k 2b2 (a 2 + b 2 )2 ,∴ x0 < 2 2 2 k2 a +b k

x2 y2 = 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 存 在 两 点 关 于 直 线 l : y = k ( x x0 ) 对 称 的 充 要 条 件 是 a 2 b2 (a 2 + b 2 )2 x0 2 > 2 . a b2 k 2
1 , 其中垂线 l 为 y = k ( x x0 ) ,则 k

证明:该问题等价于在双曲线找两点,过这两点直线 l1 ,斜率为
2 x0 >

(a 2 b 2 ) 2 a2 b2 k 2 1 k x = mk ky

设 l1 方程为 y = x + m

代入

x2 y2 = 1, a2 b2

得 (b 2 k 2 a 2 ) y 2 2mb 2 k 2 y + b 2 k 2 m 2 a 2 b 2 = 0
y1 + y2 = 2mb 2 k 2 mka 2 mb 2 k 2 ,中点为 ( 2 2 2 , 2 2 2 ) , 2 2 2 b k a b k a b k a mb 2 k 2 mka 2 = k(x 2 2 ) 代入 ( x0 , 0) b2 k 2 a 2 b k a2

则 l 可以写成 y 得 x0 =

mk (a 2 b 2 ) m2 k 2 (a 2 b 2 ) 2 2 ,即 x0 = b2 k 2 a2 (b 2 k 2 a 2 )2

其中 = 4m 2 b 2 k 4 4b 2 (k 2 m 2 a 2 )(b 2 k 2 a 2 ) > 0 m 2 > 17. (1)P 是椭圆

a2 b2 k 2 (a 2 b 2 ) 2 2 代入①,得 x0 > 2 2 2 a b k k2

x = a cos 1 (a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 e 2 = . y = b sin 1 + sin 2

证明: P(a cos , b sin ) , F1 P = (a cos + c, b sin ) , F2 P = (a cos c, b sin ) , F1 P ⊥ F2 P ∴ (a cos + c)(a cos c) + b 2 sin 2 = 1
a 2 cos 2 c 2 + b 2 sin 2 = 1

又 cos 2 = 1 sin 2 , a 2 (1 sin 2 ) c 2 + b 2 sin 2 = 1 ∴ e 2 = (2)P 是双曲线
e2 = 1 . 1 tan 2

1 1 + sin 2

x = a sec (a>0,b>0)上一点,则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是 y = b tan

证明:设 P(a sec , b tan ) ,双曲线方程为

x2 y2 = 1, a 2 b2 设焦半径为 C, c 2 = a 2 + b 2 ,焦点 C1 (c, 0), C2 (c, 0) , PC1 ⊥ PC2 , 1 1 tan 2

∴ PC1 PC2 = 0 ,即 (a sec + c)(a sec c) + b 2 tan 2 = 0
a 2 sec 2 + b 2 tan 2 c 2 = 0 a 2 (tan 2 + 1) + b 2 tan 2 c 2 = 0 2 =

x2 y2 x2 y2 + 2 =1( a>b>0)和 2 + 2 = λ ( 0 < λ < 1 ) ,一直线顺次与它们相交于 A,B,C,D 2 a b a b 四点,则│AB│=|CD│. 证明:设直线方程为 y = kx + m ,

18. (1)已知椭圆

x2 y2 1 k2 2km x 2 (kx + m) 2 m2 2 + 2 =λ 2+ = λ ( 2 + 2 ) x2 + 2 x + 2 λ = 0 b a 2 a b a b b b y = kx + m

x2 y2 + = 1 视作 λ = 1 的特殊情况. a 2 b2 2km 2 x1 + x2 1 弦中点坐标 xD = = b 2 与 λ 无关. 2 2 1 k + 2 a2 b 而 yD = kxD + m ∴ D ( xD , yD ) 与 λ 无关.∴线段 AD, BC 中点重合 | AB |=| CD | .

(2)已知双曲线

x2 y2 x2 y2 2 = 1(a>0,b>0)和 2 2 = λ ( 0 < λ < 1 ) ,一条直线顺次与它们相交于 A, 2 a b a b

B,C,D 四点,则│AB│=|CD│. 证明:设直线方程为 y = kx + m ,代入双曲线方程
x2 y 2 m2 1 k2 2km 2 2 =λ ( 2 2 ) x2 2 x 2 λ = 0 b a a b b b y = kx + m
x2 y2 = 1 视作 λ = 1 的特殊情况 a2 b2 2km 2 x1 + x2 1 弦中点坐标 xD = = b 2 与 λ 无关 2 2 1 k a2 b2

∴ D ( xD , yD ) 与 λ 无关,∴ AD , BC 的中点同为 T, | AT |=| DT | 且 | BT |=| CT | ∴ | AB |=| AT | | BT |=| DT | | CT |=| CD | 19. (1)已知椭圆
x2 y2 + = 1 ( a>b>0),A,B,是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 a2 b2 a 2 b2 a2 b2 点 P( x0 , 0) , 则 < x0 < . a a 证明:设 A 为 ( x1 , y1 ) B 为 ( x2 , y2 )

x12 x12 2 + 2 = 1 ( x x )( x + x ) ( y + y2 )( y1 y2 ) x y a b 1 2 2 1 2 = 1 D = D k 2 2 2 2 a b a b2 x2 + y2 = 1 a 2 b2 yD 1 a 2 b2 ∴ PD = = xo = xD + yD k = xD xo xD k a2
a 2 b2 a2 b2 < xD < a a 2 2 x y (2)已知双曲线 2 2 = 1 (a>0,b>0),A,B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a b a2 + b2 a2 + b2 交于点 P( x0 , 0) , 则 x0 ≥ 或 x0 ≤ . a a x y 证明:设 A 为 ( x1 , y1 ) ,B 为 ( x2 , y2 ) ,由点差法得: 中 = 中 k ① 2 a b2 0 y中 b2 + a 2 1 b2 x 又有: x中 = x0 = ky中 + x中 ,由①得 k = 2 中 ,∴ x0 = x0 x中 k a y中 a2

∵ a > xD < a

显然 x中 ≤ -

a 2 + b2 a 2 + b2 或 x0 ≥ a a

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