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遵义市第二次联考高三数学(理科)模拟试题(2)


遵义市第二次联考高三数学(理科) 模拟试题
(时间 120 分钟,满分 150 分)

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1、复数

2i ?( i ?1

) C. 1 ? i D

. 1 ? 2 i

A. 1 ? i

B. i ? 1

2、已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {0,1, 2,3, 4} ,则集合 A A. ?1, 2,3? B. ?0,1,2,3? C. ??1,0,1, 2,3?

B?(



D. ?0,1, 2? )

3、已知向量 a ? (?2, ?6), b ? 10, a ? b ? 10 ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 150 B. ?30 C. 120 D. ?60

4、 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? R) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 则该双曲线的离心率为 ( 2 a 4
B.



A.

3 5

5 3 3

C.

5 3

D.

3 5 5

?4 x2 ? 2 ?2 ? x ? 0 5 5、 设 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 3 的函数, 当 x ?? ?2,1? 时, f ? x ? ? ? , 则f( )? 2 0 ? x ?1 ?x
( ) A. ?1 B.1 C.

1 2

D.0 )

6、设 a , b 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a ? ? 且 a ? b ,则 b // ? C.若 a // ? 且 a // ? ,则 ? // ?
3

B.若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? // ? D.若 ? // ? 且 ? // ? ,则 ? // ?

7、已知函数 f ? x ? ? a sin3x ? bx ? 4(a ? R, b ? R) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, 则 f ? 2014? ? f (?2014) ? f ? ? 2015? ? f ?(?2015) ? ( A.8 B.2014 C.2015 D.0
第 1 页 共 1 页



8、为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象,只需把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的图象上所有的点(



? 个单位长度 3 ? C.向左平移动 个单位长度 3
A.向右平移动

? 个单位长度 6 ? D.向左平移动 个单位长度 6
B.向右平移动

9、阅读如下的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(



A.7

B.9

C.10

D.11 )

7 10、二项式 (2 x ? ) 的展开式中

1 x

1 的系数是( x3
D.21

A.42

B.168

C.84

11、某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都 在一个球面上,则该球的表面积为( A. 4? C. B. )

44? 3

28? 3

D. 20?

12、设函数 f ? x? ? e ? 2 x ? a( a ? R, e为自然对数的底数 ) ,若曲线 y ? sin x 上存在点 ( x0 , y0 ) ,使得
x

f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是(
?1 A. ? ? ?1 ? e ,1 ? e ? ?

) C. ?e,1 ? e? D. ?1, e?

B. ?1,1 ? e?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、曲线 y ? e
2x

? 3(e 为自然数的底数)在 x ? 0 处的切线方程为

?x ? y ? 4 ? 0 ? 14、实数 x , y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
15 、 已 知 圆 C : x ? y ? 1 , 过 第 一 象 限 内 一 点 P (a, b) 作 圆 C 的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A, B , 若
2 2

?APB ? 60 ,则 a ? b 的最大值为
第 2 页 共 2 页

16、观察右图的三角形数阵,依次规律, 则第 61 行的第 2 个数是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 3, b ? 2, A ? 2B ,求 cos B 和 c 的值。

18、 (本小题满分 12 分)

?an ? 为公差不为 0 的等差数列, a1 ? 3,且 a1 , a4 , a13 成等比数列
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? 2n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。

19、 (本小题满分 12 分) 某学校为了解学生身体发育情况, 随机从高一学生中抽取 40 人作样本, 测量出他们的身高 (单位: , cm ) 身高分组区间及人数见下表: 分组 人数

?155,160?
a

?160,165?
8

?165,170?
14

?170,175?
b

?175,180?
2

(1)求 a , b 的值并根据题目补全直方图; (2)在所抽取的 40 人中任意选取两人,设 Y 为身高超过 170 cm 的人数,求 Y 的分布列及数学期望。

第 3 页 共 3 页

20、 (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , PA ? AD ? 1, E, F 分别为 PD, AC 的中点。 (1)求证: EF // 平面 PAB ; (2)求直线 EF 与平面 ABE 所成角的大小。

21、 (本小题满分 12 分) 定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,动点 P 满足 BP ? 2 PA . (1)求点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)若过点 ?1,0 ? 的直线与曲线 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的最大值。

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax, a ? R
2

(1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 f ? x ? 由两个极值点 x1 , x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k ,问是否存在 a , 使k ?

2 a ? ,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。 a 2

第 4 页 共 4 页

2015 届高三遵义市第二次联考理科数学模拟试题答案
一、 选择题:1-5CBCDA 6-10DADBC 14. ?1 11-12BA 15. 2 2 16. 3602 二、填空题:13. y ? 2 x ? 4 三、解答题 17. a b ? ............2分 sin A sin B sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分 sin A a 3 ? cos B ? ? ? .............6分 2sin B 2b 4 a2 ? c2 ? b 2 9 ? c2 ? 4 cos B ? ? 2ac 6c 2 2c ? 9c ? 10 ? 0.................8分

解: A ? 2B,

5 解得c ? 2或c= ............9分 2
因为 c=2,不合题意舍去,所以 c ?

5 2
2

18.解(1)设 {an } 的公差为 d,由题意得 (3 ? 3d ) ? 3(3 ? 12d ) ,得 d 公式为 an ? 3 ? (n ?1) 2 ? 2n ? 1 (2) bn ? 2n an ? (2n ? 1)2n

? 2 或 d ? 0 (舍),所以 {an } 的通项

Sn ? 3 21 ? 5 22 ? 7 23 ?

? (2n ? 1) 2n ………………①

2Sn ? 3 22 ? 5 23 ? 7 24 ?

? (2n ?1) 2n?1 ………… ②
? 2 2n ? (2n ?1) 2n?1

①-②得 ?Sn ? 3 21 ? 2 22 ? 2 23 ?

2(1 ? 2n ) ? (2n ? 1) 2n ?1 ∴ Sn ? (2n ? 1) 2n?1 ? 2 … 1? 2 ? ?2 ? (2n ? 1) 2n +1 ? 2?2
19. 解: (1) 解:a=6 b=10

(2)P(Y=0)=

2 1 1 2 C 28 C 28 C12 C12 63 28 11 ? ? ? P ( Y=1 ) = P ( Y=2 ) = 2 2 2 65 C 40 130 C 40 C 40 130

第 5 页 共 5 页

Y P

0

1

2

63 130

28 65

11 130

3 E ( P) = . 5
20(1) 分 别 取 PA 和 AB 中 点 M 、 N , 连 接 MN 、 ME 、 NF , 则
z P

1 1 MEFN 为平行四边形. NF ∥ = 2 AD , ME∥ = 2 AD ,所以 NF ∥ = ME ,? 四边形
? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .
(2) 由 已 知 得 , 底 面

M

E

ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥ 底 面 ABCD, 所 以
A N F B x C H D y

AP , AB , AD 两两垂直.
如图所示, 以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AP 为 x轴,y轴,z轴 的正方向, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

A? x

y , z





P( , , 0

0A , , 1 , )

,

(, , C 0

1 1 1 1 ,D 0 , ,0 ) ,, , ), B ( 0) 1, , E (0 F ( ,, 2 2 2 2

0

,

0

)

,

(

1

1

0, 0) ,所以, EF ? ( , 0, ? ) , AE ? (0, , ), AB ? (1,

1 2

1 2

1 1 2 2

1 ?1 ? b? c ?0 设平面 ABE 法向量 n ? (a, b, c) , n AE ? 0, n AB ? 0, 所以 ? 2 令 b ? 1, 则a ? 0, c ? ?1 2 ? ?a ? 0
所以 n ? (0,1, ?1) 为平面 ABE 的一个法向量

设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? ,于是 sin ? ? cos ? EF , n ? ?

EF n EF n

?

1 . 2

所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为

? . 6

21.解: (1)设 A( x0 ,0) ,B(0, y 0 ) ,P( x, y ) ,由 BP ? 2 PA 得, ( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y) ,即

3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x ?? 2 , ? ? y ? y0 ? ?2 y ? y ? 3 y ? 0
2 2 又因为 x02 ? y02 ? 9 ,所以 ( x ) ? (3 y ) ? 9 ,化简得:

3 2

x2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨迹方程。 4

(2)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ON ? (2,0) (-2,0) ? ?4 当过点(1,0)的直线不为 y ? 0 时
第 6 页 共 6 页

? x2 ? ? y2 ? 1 可设为 x ? ty ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y2 )联立 ? 4 并化简得: (t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0 , ? x ? ty ? 1 ?
由韦达定理得: y1 ? y2 ? ?

2t 3 , y1 y2 ? ? 2 , t ?4 t ?4
2

OM ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1
所以

?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? (t ? 1) 2 ?t 2 ?1 ? 2 ? ? ?4 ? 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4
2

又由 ? ? 4t 2 ? 12(t 2 ? 4) ? 16t 2 ? 48 ? 0 恒成立,所以 t ? R ,对于上式,当 t ? 0 时, OM ON 综上所述 OM ON 的最大值为

?

?

max

?

1 4

1 4
1 1 ? 2 x 2 ? 3x 1 ? 2x ? 3 ? 当0 ? x ? 或 2 x x

22.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,当 a ? 3 时, f ?( x) ?

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) 2 2

x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,.当

(Ⅱ) f ?( x) ?

1 1 ? 2 x 2 ? ax 2 2 ? 2x ? a ? ,令 u( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a ? 8 , x x

1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; 2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值
3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 4 4
若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值
若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,
第 7 页 共 7 页

且 x1 ? x2 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 a 1 ? , x1 x2 ? , k ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 2

?

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ln x1 ? ln x2 a 2 a ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 2 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 ln x1 ? ln x2 2 1 ……………………(*) ? ? x1 ? x2 a x1 ? x2



x1 ?1 x1 x1 ? x2 x2 即 ln ? ? x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2


x1 t ?1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? x2 t ?1

令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1

t ?1 1 ? 1 ? ln t ? t t 1 令 m(t ) ? ln t ? t 1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t
则 g ?(t ) ? ln t ?

? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 ,
即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立

? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0

? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点,
即方程 ln t ?

t ?1 在 t ? (0,1) 上没有实根, t ?1
2 a ? a 2

即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ?

第 8 页 共 8 页


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