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圆与圆的位置关系


【课 题】 : 圆和圆的位置关系 【课 型】 :新授课 【课时安排】 :1 课时 【教学目标】 : 1.知识与技能: 理解圆与圆的五种位置关系,利用两点间的距离公式求两圆的连心线长,会用连心线长判断两圆的位 置关系; 2.过程与方法: 通过例题的分析与讲解,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力; 3.情感、态度与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生转化化归和数形结合的思想的应用. 【教学重点】 :能根据两圆的半径与圆心距的数量关系判断圆与圆的位置关系. 【教学难点】 :解析几何中判断圆与圆的位置关系. 【教学方法】 :讲解、启发式 【教学用具】 :多媒体 【教学过程】 一 .课题导入 播放: “日食”过程 问:月亮与太阳的圆形轮廓容易让我们想起哪种图形的位置关系? 本节课我们就从解析几何的角度来进一步的学习这方面的知识. 【设计意图】创设现实问题情境,引导学生发现数学问题,了解知识的产生. 二 .新授课 1. 回顾初中圆与圆的位置关系

外 离

外 切





内 切

内 含

思考:两圆的位置关系与哪些量有关?如何判定? 【设计意图】回顾概念是为下面的内容做铺垫。在已有经验的基础上,自然得出结论,学生是较易接受的. 过渡:对于解析几何中,已知两圆方程,又该如何判定两圆位置关系呢? 2. 圆与圆位置关系的判断方法 设圆 C1 : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 与圆 C2 : ?x ? m? ? ? y ? n? ? R2 ,
2 2 2 2

教师提示:类比直线与圆的位置关系猜想、验证. 学生活动:探索两圆位置关系 教师:在学生探索的基础上展示结果. (1) 几何法 记 d ? C1C2 ?

?a ? m?2 ? ?b ? n?2 ,

外离←→d>R+r;外切←→d=R+r;相交←→R-r<d<R+r;内切←→d< R-r;内含←→d= R-r (2)代数法
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 方程组 ? 2 有两组不同的实数解←→相交; 2 ? ? x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0

有两组相同的实数解←→相切(外切或内切) ;无实数解←→相离(外离或内含)
1

思考:几何法与代数法,哪一个更便于操作?为什么? 三.例题分析 例 1.已知圆 C1: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 ;圆 C2: x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 (I) 判断两圆的位置关系; (II)求两圆的公共弦所在直线方程及其长度; (III)一圆 P 过两圆交点 A、B 和点 M(1,1) ,求圆 P 方程; (IV)过点 C1 作圆 C2 的两条切线,切点分别记为 E、F,求直线 EF 的方程. (I)分析:圆与圆的的位置关系判断刚才介绍了两种方法,下面就分别从这两个角度展开解题: 解法一:把圆 C1 的方程化为标准方程,得 ?x ? 1? ? ? y ? 4? ? 25 ,圆 C1 的圆心是点 C1(-1,-4) ,
2 2

半径长 r1=5; 把圆 C2 的方程化为标准方程, 得 ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? 10 ,圆 C2 的圆心是点 C2 (2, 2) ,
2 2

半径长 r2 ? 10 ,于是得两圆连心线长为 C1C2 ? 而 r1 ? r2 ? 5 ? 10 , r1 ? r2 ? 5 ? 10 , 于是得 5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 即 r1-r2<d<r1+r2 , 所以圆 C1 与圆 C2 为相交关系. 解法二:圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得到方程组 ? (1)-(2) ,得

?? 1 ? 2?2 ? ?? 4 ? 2?2

?3 5

? x 2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 2 2 ?x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0
1? x 2
(3)

?1? ?2?

x+2y-1=0 在整理得 y ?
2

把(3)代入(1) ,并整理得 x ? 2x ? 3 ? 0
2

?4?

由其根的判别式

? ? ?? 2? ? 4 ?1? ?? 3? ? 16 ? 0
故而方程(4)有两个不相等的实数根 x1 、x2,于是解得方程组有两组解 所以圆 C1 与圆 C2 有两个公共点,即为相交关系. (II)分析: 因为两圆公共点的坐标满足方程 x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 和
2 2

y

C2 (2,2)

x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,所以也满足方程
2 2

A

x
O B

?x

2

? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8? ? ? x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? ? 0

,即 6x+12y-6=0. 至于公共弦长,下面就可利用垂径定理解决. 解:由 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

?

? ?

?

C1 (-1,-4)

化简得 x+2y-1=0 即两圆公共弦所在直线方程为 x+2y-1=0, 又圆 C1 的圆心是点 C1(-1,-4) ,半径长 r1=5
2

所以圆心 C1 到公共弦的距离为 d ?

?1 ? 2 ? 4 ?1 12 ? 22

?2 5

2 2 于是公共弦长为 2 r1 ? d ? 2 5 .

( III )分析:类比过两直线公共点的直线系方程的设法,可得过两圆公共点的圆 P 的方程可设为:

?x

2

? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? ? ? ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? ? 0 ,再代入点 M(1,1)即可得圆 P 方程

解:由题意可设所求圆 P 方程为

?x

2

? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? ? x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,

? ?

?

y

( ? ? ?1 ) ,由点 M 在圆 P 上,可得

?1 ? 1 ? 2 ? 8 ? 8? ? ? ?1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 2? ? 0
从而解得 ? ?

C2(2,2)

A
O

M

x
B

1 ,于是所求圆 P 方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 2
C1(-1,-4)

【设计意图】将教材例题拓展延伸,意在于拓宽学生思维的空间, 引导他们将转化、类比思想运用于解题,提升解题能力.

(IV)分析:思路 1:注意到切点 E、F 满足 C1E=C1F, 故以点 C1 为圆心,C1E 为半径的圆必过 E、F 两点, 所以可以将切点弦 EF 所在直线求解问题转化为两圆的公共弦所在直线求解问题; 思路 2:注意到切点 E、F 满足∠C1EC2=∠C1FC2=90°,故作以 C1C2 为直径的圆必过 E、F 两点,余下思路同上. 解:方法 1: 由(I)知圆 C1 的圆心是点 C1(-1,-4) ,圆 C2 的圆心是点 C2(2,2) ,半径长 r2 ? 10 于是得两圆连心线长为 C1C2 ? 所以在 Rt△C1C2F 中: C1F ?

?? 1 ? 2?2 ? ?? 4 ? 2?2
2

?3 5

y

C1C2 ? r22 ? 45 ? 10 ? 35
C2(2,2) E O F

于是以点 C1 为圆心,C1E 为半径的圆的方程为

? x ? 1?

2

? ? y ? 4 ? ? 35
2

即 x ? y ? 2x ? 8 y ?18 ? 0
2 2

x

又圆 C2: x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ,两式相减得 6x+12y-16=0
2 2
C1(-1,-4)

化简得直线 EF 的方程为 3x+6y-8=0 方法 2:求出以 C1C2 为直径的圆,其余过程类似,从略. 【设计意图】培养学生审题时的洞察力,找到切入点,训练其转化问题的意识. 课后思考: 已知圆 C1: x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2: x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 相交于点 A、B
2 2 2 2

(1)求以两圆的公共弦 AB 为直径的圆的方程; (2)判断两圆公切线的条数,并求出公切线方程. 【设计意图】 :对于难度较大的题型,留到习题课处理,不然课堂教学易偏离教学重点.
3

四. 课堂练习 1. 已知圆 A: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,圆 B: x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求两圆 的公共弦所在直线方程及公共弦长.(答案: 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 、

2 51 ) 5

2. 求半径为 2,与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 x=0 相切的圆的方程. (答案: ? x ? 2 ? ? y ? 1 ? 2
2

?

?

2

? 4)

思考:本节课我们学习了哪些知识内容? 五.课堂小结: 1. 如何用几何法和代数法判断两圆的位置关系; 2. 求解两圆公共弦所在直线方程及其长度; 3. 能利用圆与圆的位置关系解决相关问题. 【设计意图】培养学生归纳总结的学习习惯. 六.作业布置 结合个人情况,选做一组 层次一:教材 P132 习题 4.2 A 组 9,10 层次二: 1. 求 圆 心 在 直 线 x+y=0 上 , 且 过 两 圆 C1:

x 2 ? y 2 ? 2x ? 10y ? 24 ? 0 与 C2 :

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点的圆的方程.
2. 已知圆 O1: x 2 ? ? y ? 1? ? 4 ,圆 O2 的圆心 O2(2,1).
2

(1) 若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程,并求出它们内公切线的方程; (2) 若圆 O2 与圆 O1 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 ,求圆 O2 的方程. 【设计意图】分层布置作业,意在于尊重学生的个体差异,让不同层次的学生都能感受到学以致用的乐趣. 【板书设计】 1.回顾圆与圆的位置关系 2.探索圆与圆位置关系的判断方法 (1)几何法(2)代数法 例1 (I) (II) (III) (IV) 练习 1、2 课堂小结 作业布置

【教学后记】 课堂时间要合理分配,侧重于重点内容. 重点内容要反复强调,非重点内容可一带而过,若课堂师生互动 时间偏长,可考虑将例 1 的第(IV)问留在习题课讲解.教师角色要定位为指导者与合作者,不能只顾抛授 结论,要依据学情变化而变化,重在促成学生思考、理解结论、养成正确的学习方法和学习习惯.

4


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