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人大附中高三尖子生训练函数及其表示(人教版)


北京市人大附中高三数学尖子生专题训练:基本初等函数 I 卷 一、选择题 1.下列对应法则 f 中,构成从集合到的映射的是( ) A. B. C.P={有理数},S={数轴上的点},x∈P, f: x→数轴上表示 x 的点 D.P=R,S={y|y>0}, x∈P, y∈S, f: x→y= 【答案】C[来源:学科网 ZXXK] 2.函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是

( ) A. B. C. D. 【答案】C 3.定义在[1,+)上的函数满足:①(为正常数) ;②当时, 。若函数的图象上所有极大值 对应的点均落在同一条直线上,则等于( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.4 或 2 【答案】C 4.设α ∈,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有α 值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【答案】A 5.在下列区间中,函数的的零点所在的区间为 ( ) A. (-,0) B. (0, ) C. (, ) D. (, ) 【答案】C 6. 已知偶函数满足,当时,,则为( ) A. 2 B.0 C.-2 D.1 【答案】A 7.对于函数,适当地选取的一组值计算,所得出的正确结果只可能是 ( ) A.4 和 6 B.3 和-3 C.2 和 4 D.1 和 1 【答案】D 8.已知函数,的零点分别为,则的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 9.设函数是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若,则 a 的取值范围是 ( ) A. B . C. D. 【答案】A 10.已知函数(其中 a>0,且 a≠) ,在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图 像,其中正确的是( ) [来源:Zxxk.Com]

【答案】B 11.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 12.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象可能是( 图 2-1 【答案】B 13.设方程的两个根为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 14.函数的图像可能是( ) 【答案】B

)

II 卷 二、填空题 15.若函数f(x)=-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=b-ax-1的 零点 . 【答案】 16. 若函数的值域为,则实数的取值范围是 【答案】 17.若函数 f(x)=loga|x+1|在区间(-2,-1)上恒有 f(x)>0,则关于 a 的不等式 f(4a-1)>f(1) 的解集为________. 【答案】(0,) 18.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 220 元,每桶水的进价是 5 元,销 售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价(元)[来源:Zxxk.Com] 6[来源:学_科_网] 7 8 9 10 11 12 日均销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 根据以上数据,这个经营部要使利润最大,销售单价应定为 元。 【答案】 19 . 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 当 时 , 的 图 象 如 上 图 所 示 , 那 么 不 等 式 的 解 集 为 . 【答案】 20.设 a>1,函数 y=|logax|的定义域为 m,n (m<n),值域为 0,1,定义“区间 m,n 的长度 等于 n-m” ,若区间 m,n 长度的最小值为,则实数 a 的值为________. 【答案】6

三、解答题 21.设关于的方程 (Ⅰ)若方程有实数解,求实数的取值范围; (Ⅱ)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解. 【答案】 (Ⅰ)原方程为, , 时方程有实数解; (Ⅱ)①当时, ,∴方程有唯一解; ②当时,. 的解为; 令 的解为; 综合①.②,得 1)当时原方程有两解: ; 2)当时,原方程有唯一解; 22.已知函数是定义在 R 上的单调函数满足,且对任意的实数有恒成立 (Ⅰ)试判断在 R 上的单调性,并说明理由. (Ⅱ)解关于的不等式 【答案】 (Ⅰ)是 R 上的减函数 由可得在 R 上的奇函数, 在 R 上是单调函数, 由,所以为 R 上的减函数。 (Ⅱ)由,又由于 又由(Ⅰ)可得 即: 解得: 不等式的解集为 23. 在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台, 每批都购入 x 台 (x 是正整数) , 且每批均需付运费 4 元, 储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值 (不 含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【答案】

24.设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; (2)若 f(1)=,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 【答案】∵f(x)是定义域为 R 上的奇函数,∴f(0)=0,

∴k-1=0,即 k=1. (1)∵f(1)>0,∴a->0.又 a>0 且 a≠1, ∴a>1,f(x)=ax-a-x. ∵f′(x)=axlna+a-xlna=(ax+a-x)lna>0, ∴f(x)在 R 上为增函数, 原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x). ∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0. ∴x>1 或 x<-4. ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. (2)∵f(1)=,∴a-=,即 2a2-3a-2=0. ∴a=2 或 a=-(舍去). ∴g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x) =(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2. 令 t(x)=2x-2-x(x≥1), 则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 即 t(x)≥t(1)=, ∴原函数变为 w(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2. ∴当 t=2 时,w(t)min=-2,此时 x=log2(1+). 即 g(x)在 x=log2(1+)时取得最小值-2. 25.已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0 且 a≠1),设 h(x)=f(x)-g(x). (1)求函数 h(x)的定义域; (2)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 【答案】 (1)由对数的意义,分别得 1+x>0, 1-x>0, 即 x>-1,x<1.∴函数 f(x)的定义域为(- 1,+∞),函数 g(x)的定义域为(-∞,1), ∴函数 h(x)的定义域为(-1,1). (2)∵对任意的 x∈(-1,1),-x∈(-1,1), h(-x)=f(-x)-g(-x) =loga(1-x)-loga(1+x) =g(x)-f(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数. (3)由 f(3)=2,得 a=2. 此时 h(x)=log2(1+x)-log2(1-x), 由 h(x)>0 即 log2(1+x)-log2(1-x)>0, ∴log2(1+x)>log2(1-x). 由 1+x>1-x>0,解得 0<x<1. 故使 h(x)>0 成立的 x 的集合是{x|0<x<1}. 26.已知函数 f(x)=x+,g(x)=x+ln x,其中 a>0.(1)若 x=1 是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极值 点, 求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1, x2∈1, e(e 为自然对数的底数)都有 f(x1)≥g(x2)成立, 求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)∵h(x)=2x++ln x, 其定义域为(0,+∞), ∴h′(x)=2-+, ∵x=1 是函数 h(x)的极值点,

∴h′(1)=0,即 3-a2=0. ∵a>0,∴a=. 经检验当 a=时,x=1 是函数 h(x)的极值点,∴a=. (2)对任意的 x1,x2∈1,e 都有 f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的 x1,x2∈1,e, 都有 f(x)min≥g(x)max. 当 x∈1,e 时,g′(x)=1+>0. ∴函数 g(x)=x+ln x 在 1,e 上是增函数, ∴g(x)max=g(e)=e+1. ∵f′(x)=1-=, 且 x∈1,e,a>0. ①当 0<a<1 且 x∈1,e 时, f′(x)=>0, ∴函数 f(x)=x+在 1,e 上是增函数, ∴f(x)min=f(1)=1+a2. 由 1+a2≥e+1,得 a≥, 又 0<a<1,∴a 不合题意. ②当 1≤a≤e 时, 若 1≤x≤a, 则 f′(x)=<0, 若 a<x≤e, 则 f′(x)=>0. ∴函数 f(x)=x+在 1,a)上是减函数, 在(a,e 上是增函数.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ∴f(x)min=f(a)=2a. 由 2a≥e+1,得 a≥. 又 1≤a≤e,∴≤a≤e. ③当 a>e 且 x∈1,e 时 f′(x)=<0, 函数 f(x)=x+在 1,e 上是减函数. ∴f(x)min=f(e)=e+. 由 e+≥e+1,得 a≥, 又 a>e,∴a>e. 综上所述,a 的取值范围为,+∞). 27.设函数的定义域为. (Ⅰ)若, ,求实数的范围; (Ⅱ)若函数的定义域为,求实数的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)由题意,得 所以. 故实数的范围为. (Ⅱ)由题意,得在上恒成立, 则 解得. 故实数实数的范围为.

28.设函数(a 为实数).⑴若 a<0,用函数单调性定义证明:在上是增函数;⑵若 a=0,的图 象与的图象关于直线 y=x 对称,求函数的解析式. 【答案】 (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= == . 又,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数. (2)当 a=0 时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1). 解析:通过用定义证明函数的单调性考查指数函数的运算及其性质,通过求关于直线 y=x 对 称函数的解析式考查指对互化及简单求反函数的方法,该题属于简单题.


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