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7-4数列求和


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考纲要求

考情分析



从近三年高考试题来看,数列求和主 1.熟练掌握等差、 要考查分组求和、错位相减求和和裂 等比数列的求和公 项相消求和,特别是错位相减求和出 式. 现的几率较高;题型上有选择题、填 2.掌握非等差、 空题,也有解答题.如2012年江西卷 等比数列求和的几 16、湖北卷18等. 种常见方法. 预测:2013年对数列求和考查没有大 的改变.

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(对应学生用书 P118)
数列求和的常用方法 1.公式法 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接 利用等差、等比数列的前 n 项和公式,注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q=1 或 q≠1.

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(2)一些常见数列的前n项和公式: n?n+1? ①1+2+3+4+?+n= 2 ②1+3+5+7+?+2n-1= n2 ③2+4+6+8+?+2n= n(n+1) n?n+1??2n+1? ④1 +2 +3 +?+n = 6
2 2 2 2

?n?n+1?? n2?n+1?2 ?2 ⑤13+23+33+?+n3=? ? ? = 4 2 ? ?

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2.倒序相加法 如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数 列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此 法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.

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4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项 可以相互抵消,从而求得其和. 5.分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别 求和而后相加减.

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6.并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并 项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99) +(98+97)+?+(2+1)=5 050.

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数列求和关键是看数列的通项,通项是等差(比)数列就 由等差(比)数列求和公式求.通项是等差与等比数列的乘积 则用错位相减,总之,通项决定了数列的求和方法.

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(对应学生用书P119)

在数列求和中,最常见最基本的求和就是等差、等比 数列中的求和,这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一 些常见的求和结论,再就是分清数列的项数,以免在套用 公式时出错.

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(2012年湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三 项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an |}的前n项和.
【思路启迪】 第(1)问,根据题意列出方程组,求得 a1,d的值即可;第(2)问,先判断只有当an=3n-7时符合题 意,由于{|an |}含有绝对值,要注意分类讨论,得出|an |的通 项公式,然后分别求得前n项和.
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【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,
?3a +3d=-3, ? 1 a3=a1+2d,由题意得? ?a1?a1+d??a1+2d?=8, ? ?a =2, ? 1 解得? ?d=-3 ? ?a =-4, ? 1 或? ?d=3. ?

所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+ 5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7.

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(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不 成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比 数列,满足条件. 故|an |=|3n-7|=
?-3n+7, ? ? ?3n-7, n≥3. ?

n=1,2,

记数列{|an |}的前n项和为Sn.

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当n=1时,S1=|a1 |=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5; 当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4 |+?+|an|=5+(3×3-7)+ (3×4-7)+?+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =5+ =2n - 2 n+10. 2 当n=2时,满足此式, ?4, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10, n>1. ? n=1,

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等差数列和等比数列的通项公式求解的关键是确定数 列的性质,然后根据数列的有关性质利用其首项和公差或 公比表示已知条件,列出方程(组),通过解方程(组),最后 代入其通项公式即可.本例中的第(2)问,由于{|an|}含有绝 对值,要注意分类讨论,分别求出{|an |}的通项公式.注 意,当n≥3时,求得前n项和Sn后,注意验证n=1,2时是否 满足,显然当n=2时,满足此式.

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已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是 其前n项和,且4a1,a5,-2a3成等差数列. (1)求公比q的值; (2)求Tn=a2+a4+a6+?+a2n的值.

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解:(1)由题意得2a5=4a1-2a3. ∵{an}是等比数列且a1=4,公比q≠1, ∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0, 解得q2=-2(舍去)或q2=1,∴q=-1. (2)∵a2,a4,a6,?,a2n是首项为a2=4×(-1)=-4, 公比为q2=1的等比数列,∴Tn=na2=-4n.

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若数列an=bn± n,且数列{bn}、{cn}为等差数列或等比 c 数列,常采用分组转化法求数列{an}的前n项和,即先利用 等差或等比数列的前n项和公式分别求{bn}和{cn}的前n项 和,然后再求{an}的前n项和.

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(2012年包头模拟)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn= 2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数 列.求: (1)p,q的值;(2)数列{xn}前n项和Sn的公式.

【思路启迪】 第(1)问由已知条件列出关于p、q的方 程组求解;第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求 解.

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【解】

(1)由x1=3,得2p+q=3,又因为x4=24p+

4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+ 8q,解得p=1,q=1. (2)由(1),知xn=2n+n,所以Sn=(2+22+?+2n)+(1+ 2+?+n)=2
n+1

n?n+1? -2+ 2 .

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对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求 和的问题,一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分, 转化成若干个等差数列、等比数列的求和.

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? 1? 求和Sn=1+?1+2?+ ? ? ? ? ? 1 1? ?1+1+1+?+ 1 ? ?1+ + ?+?+? n-1?. 2 4 2 4? 2 ? ? ?

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解:和式中第k项为 1 1 1 ak=1+ + +?+ k-1= 2 4 2

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?1?k 1-?2? ? ?

1 1-2

? 1? =2?1- k?. 2? ?

?? ? 1 ?? 1? ? 1? ? Sn=2??1-2?+?1-22?+?+?1-2n?? ? ?? ? ? ? ?? ?

= 1 ?? 1? ? ?1- n?? ? 2? 2 ? 1 ?= =2?n- +2n-2. 1 ? 2n-1 ? 1-2 ? ?
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1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数 列,求数列{an·n}的前n项和时,可采用错位相减法. b 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数 的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
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(2012年天津)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn, {bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记Tn=anb1+an-1b2+?+a1bn,n∈N*,证明Tn+12 =-2an+10bn(n∈N*).

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【解】

(1)设等差数列{an}的公差为d,

等比数列{bn}的公比为q. 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条 件,得方程组
?2+3d+2q3=27, ? ? 3 ?8+6d-2q =10, ? ?d=3, ? 解得? ?q=2. ?

所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.

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(2)证明:由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+?+2na1, ① 2Tn=22an+23an-1+?+2na2+2n 1a1.② 由②-①,得Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+?+ 3×2n+2n
+2 +

12?1-2n-1? n+2 = +2 -6n+2=10×2n-6n-10. 1-2 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n -6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.
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本例中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,Tn为{anbn} 的前n项和,故用错位相减法求和,注意运算的正确性.

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1 2 (2012年江西)已知数列{an}的前n项和Sn=- n +kn(其 2 中k∈N+),且Sn的最大值为8. (1)确定常数k,并求an; 9-2an (2)求数列{ n }的前n项和Tn. 2

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1 2 解:(1)当n=k∈N+时,Sn=- n +kn取最大值,即8= 2 1 2 2 1 2 Sk=- k +k = k ,故k2=16,因此k=4, 2 2 9 从而an=Sn-Sn-1=2-n(n≥2). 7 9 又a1=S1= ,所以an= -n. 2 2

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9-2an n (2)因为bn= n = n-1, 2 2 n-1 2 3 n Tn=b1+b2+?+bn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 1 1 n 1 所以Tn=2Tn-Tn=2+1+ +?+ n-2 - n-1 =4- n-2 2 2 2 2 n+2 - n-1=4- n-1 . 2 2 n

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1 1.一般情况下,若{an}是等差数列,则 anan+1
? ? 1? 1 1 1 ?1 ? - 1 ? ? - 1 ? = ?a , = . d? n an+1? an·n+2 2d?an an+2? a ? ? ?

2.根式在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消 求和.

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3.常见的裂项技巧有: 1 ? 1 1?1 ? ? (1) = ?n- ; k? n+k? n?n+k? ? 1 1 (2) = ( n+k- n); n+k+ n k 1 ? 1 1? 1 ? ? - (3) = ? . ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? ?

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(2012 年黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各项均为正 an?an+1? 数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求证:数列{an}是等差数列; 1 (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+?+bn,求 Tn. 2Sn

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an?an+1? 【解】 (1)证明:∵Sn= ,n∈N*,∴当n=1 2 a1?a1+1? 时,a1=S1= (an>0),∴a1=1. 2
?2S =a2+a , ? n n n ? 当n≥2时,由 ?2Sn-1=a2-1+an-1 n ?
2 得2an=a n +an-a 2-1 n

-an-1. 即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, ∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2), 所以数列{an}是等差数列.
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n?n+1? (2)由(1)可得an=n,Sn= , 2 1 1 1 1 bn= = = - . 2Sn n?n+1? n n+1 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 =1- + - +?+ - 2 2 3 n n+1 1 n =1- = . n+1 n+1

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在裂项相消求和时要注意前面剩下的项数与后面剩下 的项数是相等的,前后剩下的项具有对称性.

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已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足 1 2 Sn=an(Sn- ). 2 (1)求Sn的表达式; Sn (2)设bn= ,求{bn}的前n项和Tn. 2n+1

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? ? ?

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1 2 ?Sn- ? ,an=Sn-Sn-1,(n≥2), 解:(1)∵Sn=an 2? 1 2 ?Sn- ? , ∴Sn=(Sn-Sn-1)
? ? ?

2?

即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意Sn-1·n≠0, S 1 1 ①式两边同除以Sn-1·n,得 - S =2, Sn Sn-1 1 1 1 ∴数列{ }是首项为 = =1,公差为2的等差数列. Sn S1 a1 1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1
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1 ? Sn 1 1? 1 ? ? - (2)又bn= = = ? , 2?2n-1 2n+1? 2n+1 ?2n-1??2n+1? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn
? 1 1 ?? 1 1? ?1 1? 1?? 1 ? ? ?? ? 1- ?+? - ?+?+? - = ? = (1- ) 3? ?3 5? 2?? 2n-1 2n+1?? 2 2n+1 ? ??

n = . 2n+1

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(对应学生用书P120)
易错点 对求和公式理解不透彻致误

求和Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1.

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【错解】 ∵Sn=1+2x+3x2+?+nxn 1① 则xSn=x+2x2+3x3+?+nxn② 由①-②得(1-x)Sn=1+x+x2+?+xn-1-nxn 1+nxn+1-?n+1?xn ∴Sn= ?1-x?2
【错因分析】 没有考虑等式左边(1-x)是否为零;等 式右边在应用等比数列的求和公式时,也缺少对x=1或x≠1 的讨论,这是对课本上等比数列求和公式理解不够透彻的 表现,没有吃透等比数列求和公式的应用条件.
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【正确解答】 (1)当x=1时,Sn=1+2+3+4+?+n n?n+1? = ; 2 1+nxn 1-?n+1?xn (2)当x≠1时,Sn= ?1-x?2 ?n?n+1? ? ,x=1, ? 2 故Sn=? 1+nxn+1-?n+1?xn ? ,x≠1. 2 ? ?1-x? ?


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(1)直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如 当等比数列公比为字母参数时,应对其公比是否为1进行讨 论. (2)在应用错位相减法时,一定要错位对齐,并注意观 察未合并项的正负号. 另外在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对 称性,即前剩多少项则后剩多少项.

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(2012年东北三校二模)已知数列{an}满足:a1=1,a2= a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通 项公式; (2)若{an}是等比数列,求{bn}的前n项和Sn; (3)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比 数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.

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解:(1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2=a,∴an=1+(n -1)(a-1). 又∵b3=12,∴a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12,解得 5 a=2或a=-6. ∵a>0,∴a=2.∴an=n.

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(2)∵{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0),∴an=an-1. ∴bn=anan+1=a2n 1. bn+1 ∵ =a2,∴数列{bn}是首项为a,公比为a2的等比数 bn 列. 当a=1时,Sn=n; a?a2n-1? a2n+1-a 当a≠1时,Sn= 2 = 2 . a -1 a -1


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(3)数列{an}不能为等比数列. bn+1 an+1an+2 an+2 ∵bn=anan+1,∴ = = , bn an anan+1 an+2 则 =a-1.∴a3=a-1. an 假设数列{an}能为等比数列. 由a1=1,a2=a,得a3=a2. 则a2=a-1,此方程无解.∴数列{an} 列.
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不能为等比数

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1.对于一般数列的求和,通常化归为等差数列或等比 数列求和公式的形式;对于非等差数列、非等比数列的求 和就要具体问题具体分析了.由于数列求和的方法是由通 项公式决定的,因此,从寻找数列的通项公式入手,通过 研究它的特点确定使用的方法是解决求和问题的关键.

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2.数列求和的常见类型及方法: (1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; (2)an=a1·n 1,利用等比数列前n项和公式直接求解, q 但要注意对q分q=1与q≠1两种情况进行讨论; (3)an=bn± n,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列, c 采用分组转化法求数列{an}前n项和; (4)an=bn·n,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用 c 错位相减法求数列{an}前n项和;


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(5)对于通项公式可化为an=f(n)-f(n-1)形式的数列, 采用裂项相消法求数列{an}前n项和; (6)an-k+ak=c(c为常数),可考虑采用倒序相加法求 和; (7)an=(-1)nf(n),可采用相邻两项合并求解,即采用 “并项法”求和.如课时作业中6题、12题.

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(2011年山东卷)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表 第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两数 不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列
第一行 第二行 3 6 2 4 10 14

第三行

9
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8

18
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高考总复习 ·课标版 ·A

数学(理)

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的 前n项和Sn.

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【解】

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数学(理)

(1)当a1=3时,不合题意;…………………..1分

当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;…… …………………………………………………………… 2分 当a1=10时,不合题意…………………………………. 3分 因此a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比q=3…………………………………………… 4分 故an=2·n-1. ………..........................................................5分 3 第(1)问赋分细则: ①结果正确,过程合理得满分. ②用观察法写出a1=2,a2=6,a3=18,不进行讨论,得 2分.
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(2)因为bn=an+(-1)nln an =2·n 1+(-1)nln(2·n 1) 3 3 =2·n 1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] 3 =2·n 1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3…………….7分 3 所以Sn=2(1+3+32+?+3n 1)+[-1+1-1+?+(- 1)n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+?+(-1)nn]ln 3…………..8分 所以当n为偶数时, 1-3n n n n Sn=2× + ln 3=3 + ln 3-1………………...10分 2 1-3 2
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数学(理)

当n为奇数时,
?n-1 ? 1-3n ? ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+ ? -n?ln 3 1-3 ? 2 ?

n-1 =3 - 2 ln 3-ln 2-1…………………………...11分
n

综上所述, ? n n ?3 +2ln 3-1,?n为偶数? Sn=? ?3n-n-1ln 3-ln 2-1,?n为奇数? 2 ?

………12分

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数学(理)

第(2)问赋分细则: ①对n没分奇数和偶数讨论,想当然以n为偶数得出了n 为偶数时的结果,得3分. ②写出bn或Sn一个或两个,得1分. ③若结论错误,要看“点”得分,主要得分点有:等 比数列的前n项和公式的正确运用得1分;求得{(-1)nn}或 {(-1)n(n-1)}前n项的和给1分;当n为偶数时结果对,而奇 数时结果错,不再得公式分.

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④偶数情况下求对,奇数情况下三个数列{2·n-1}, 3 {(-1)n(ln 2-ln 3)},{(-1)nnln 3}前n项的和都求对,但最 后结果错了,按点得5分.

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(1)对a1不进行分类讨论,直接写出a1=2,a2=6,a3= 18扣1分. (2)由于没有认真审题,得出两种结果a1=2,a2=6,a3 =18或a1=18,a2=6,a3=2扣2分. (3)不写结论“综上所述,?”扣1分. (4)对通项bn不能写成2·n-1、(-1)n(ln 3 2-ln 3)、(-

1)nnln 3三项和的形式,找不出求数列{bn}前n项和Sn的方法 导致第2问不得分.
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(5)通项中含有(-1)n在求和时想不到分n为偶数和n为奇 数两种情况讨论扣4分.

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