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2005年全国高中数学联赛湖南赛区预赛


38

中 等 数 学

2005 年全国高中数学联赛湖南赛区预赛
, 一 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 60 分)
1. 命题甲 : x ≠ 002 或 y ≠ 003 ; 1 1 ( C) (D)
a + b a + b 2 2 > a+ b a + b
2 2 3 3 3 2 2



命题乙 : x + y ≠ 005. 2 ) 则命题甲是命题乙的 ( . (A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件 ( C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 2. 如果圆 x + y = n 至少覆盖函 数
f ( x ) = 3 sin
2 2 2

a - b a - b > 2 2 a- b a - b

3

7. 记 A xy =

( 1 - x2 ) ( 1 - y2 )
xy

.若 a + b+ c

) = abc ,则 A = A bc + A ac + A ab 的值为 ( . (A) 3 (B) - 3 ( C) 4 (D) - 4 8. 某个货场有 2 005 辆车排队等待装

货 ,要求第一辆车必须装 9 箱货物 ,每相邻的
4 辆车装的货物总数为 34 箱 . 为满足上述要 ) 求 ,至少应该有货物的箱数是 ( . (A) 17 043 (B) 17 044 ( C) 17 045 (D) 17 046 9. 若干个棱长为 2 ,, 的长方体 ,依相同 3 5

πx
n

的一个最大点和一个最小

) 点 ,则正整数 n 的最小值为 ( . (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 4 3. 如果椭圆的焦距 , 短轴长 , 长轴长成等 ) 差数列 ,则其离心率为 ( . (A) 3 4 (B) 2 3 ( C) 3 5 (D) 9 10

方向拼成棱长为 90 的正方体. 则正方体的一条 ) 对角线贯穿的小长方体的个数是 ( .
(A) 64 (B) 66 ( C) 68 (D) 70 10. 一套重要资料锁在一个保险柜中 ,现

4. 对于 x ∈R , 函数 f ( x + 2 ) + f ( x - 2 ) = f ( x ) , 则它是周期函数 . 这类函数的最小 ) 正周期是 ( . (A) 4 (B) 6 ( C) 8 (D) 12 5. 函数 y = f ( x ) 的图像为 C , 而 C 关于

有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜 , 但 其中只有一把真的可以打开柜门 . 平均来说 , ) 打开柜门需要试开的次数为 ( .
n- 1 (D) 2 二, 填空题 ( 每小题 6 分 ,共 24 分) 11. 设 x ∈R , 对于函数 f ( x ) 满足条件

直线 x = 1 对称的图像为 C1 ,将 C1 向左平移
1 个单位后得到的图像为 C2 . 则 C2 所对应 ) 的函数为 ( . (A) y = f ( - x ) ( C) y = f ( 2 - x )
2

(A) 1 (B) n ( C)

n +1

2

(B) y = f ( 1 - x ) (D) y = f ( 3 - x )

f ( x + 1) = x + 5 x - 3. 那 么 , 对 所 有 的 x ∈R , f ( x - 1) =
2

4

2

.

6. 当 a , 是两个不相等的正数时 , 下列 b ) 不等式中 ,不成立的是 ( . (A) (B)
a+ a+

12. 一张坐标纸对折一次后 , 点 A ( 0 ,4 )

1
a

b+ b+

1
b

> >

ab + a+b

1
ab
2

2

与点 B ( 8 ,0) 重叠 . 若点 C ( 6 ,8 ) 与点 D ( m , n ) 重叠 ,则 m + n = .
13. 一个球与正四面体的六条棱都相切 .

1
a

1
b

2

+

2 a+b

若正四面体的棱长为 a , 则这个球的体积为
.

2006 年第 6 期

39

14. 集合 X 中的元素是正整数 , 且有性

质 : 若 x ∈X ,则 12 - x ∈X . 这样的集合 X 共 有 个. 三, 解答题 ( 共 66 分) 15. (12 分) 数列{ a n }满足
1 2 a1 = , an + 1 = a n + an ( n ∈N) , 2 1 bn = , S = b1 + b2 + …+ bn , 1 + an n
Pn = b1 b2 …bn .

一车厢内 ; 当他准备在 F 站下车时 , 还有 5 名旅客在这一车厢内 . 试问开始时火车的这 一节车厢有多少湖北人 , 有多少湖南人 ? 且 在旅途中这些数目如何变化 ?

参考答案
一 , B. 1. 从原命题的等价命题的逆否命题来考虑 .
2. B.

试求 2 Pn + S n 的值 .
16. ( 12 分 ) 如 图 1 ,已知 D 是面积为 1

因为 f ( x ) = 3 sin

πx
n

为奇函数 , 图像关于原点

对称 ,所以 ,圆 x2 + y2 = n2 只要覆盖 f ( x ) 的一个最 πx π 值点即可 . 令 = ,解得 f ( x ) 距原点最近的一个 n 2 最大点 P
n

的 △ABC 的边 AB 上 的任意一 点 , E 是 边 AC 上的任意一点 , 联 结 DE , F 是线段 DE

2

2 , 3 . 由题意 n ≥

n

2 2 + ( 3) ,得

2

正整数 n 的最小值为 2.
图1

3. C.

AD AE DF 上的任意一点 ,设 = x, = y, = z ,且 AB AC DE y+z- x=

由 2 a + 2 c = 4 b , a2 = b2 + c2 ,消去 b 得 3 a = 5 c .
4. D.

1 . 试求 △BDF 面积的最大值 . 2

将 x - 2 代替式中的 x ,则有
f ( x ) + f ( x - 4) = f ( x - 2) .

17. (12 分) 过点 P ( 3 + 2 2 ,4) 作一条直

于是 , f ( x + 2) = - f ( x - 4) . 可得 f ( x + 6) = - f ( x ) ,故 f ( x + 12) = f ( x ) .
5. B.
C1 : y = f (2 - x ) , C2 : y = f (2 - ( x + 1) ) = f (1 - x ) .

线和 x 轴 , 轴分别交于点 M , . 试求 OM + y N ON - MN 的最大值 ( 其中 O 为坐标原点) . 18. (16 分) 若正数 a , , 满足 b c
a b+ c b

=

b a+c

-

c a+ b

,

6. B.

≥ 17 - 1 . a+ c 4 19. (14 分) 从岳阳到郴州的快速列车包 括起始站和终点站共有六站 , 将这六站分别 记为 A , , , , , . 有一天 , 张兵和其他 B C D E F 18 名旅客乘同一车厢离开岳阳 , 这些旅客中 有些是湖北人 ,其他的是湖南人 ,认识所有同 车厢旅客的张兵观测到 : 除了终点站 ,在每一 站 ,当火车到达时 ,这节车厢上的湖南人的数 目与下车旅客的数目相同 , 且这次行程中没 有新的旅客进入这节车厢 . 张兵又进一步观 测到 : 当火车离开 B 站时 ,车厢内有 12 名旅 客 ;当火车离开 D 站时 , 还有 7 名旅客在这 求证 :

当 a = 1 , b = 5 时 ,有 a + 而
7. C.
a+ b

1
a

b+

1
b

2

+

2 a+ b

2

=

令 a = tan α, b = tan β, c = tan γ ,α+ β+ γ =π.
8. A.

除第一辆车装 9 箱 ,其余 2 004 辆车中每 4 辆装
34 箱 ,则有 9. B. 2 004 × + 9 = 17 043 箱 . 34 4

由 2 ,, 的最小公倍数为 30 , 而棱长为 2 ,, 3 5 3 5 的小长方体组成的棱长为 30 的正方体的一条对角 线穿 过 的 小 长 方 体 为
30 2 + 30 3 + 30 5 -

100 > 1014. 9

= 1014.

40 30 2× 3 30 2× 5 30 3× 5 + 30 2× × 3 5 = 22 个 ,

中 等 数 学 当且仅当 z = 1 - x = y , y + z - x =
=z= 1 时 ,等号成立 . 2 1 . 8 1 ,即 x = y 2

所以 ,棱长为 90 的正方体的一条对角线穿过的小长 方体的个数应为 3 × = 66. 22
10. C. 1
n

所以 , △BDF 面积的最大值为
, 所以 , 打

已知每名学生打开柜门的概率为 开柜门次数的平均数 ( 即数学期望) 为
1× 1
n

17. 过点 P (3 + 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴 , 轴分别 y

相切于点 A , ,且使点 P 在优弧AB 上 , 则圆的方程 B
.

+2×

1
n

+ …+ n ×

1
n

=

n+1

2

为 ( x - 3) 2 + ( y - 3) 2 = 9. 于是 ,过点 P 作圆的切线 和 x 轴 , 轴分别交于点 M1 , 1 , 圆为 Rt △OM1 N 1 y N 的内切圆 . 故 OM1 + ON 1 - M1 N 1 = 6. 若过点 P 的直线 MN 不和圆相切 , 则作圆的平 行于 MN 的切线和 x 轴 , 轴分别交于点 M0 , 0 . 从 y N 而 , OM0 + ON 0 - M0 N 0 = 6. 由折线 M0 MNN 0 的长大于 M0 N 0 的长及切线 长定理得
OM + ON - MN

二 , x4 + x2 - 9. 11. 利用换元法即得 .
12. 1418.

可解得对称轴方程为 y = 2 x - 6. 由
n+8

2

= (6 + m ) - 6 ,

n- 8 1 = 得 m- 6 2

13.

可把正四面体变为正方体的内接正四面体 , 此
2a 2a ,于是 ,球的半径为 . 2 4

时 ,正方体的棱长为
14. 63.

记 Y = { (1 ,11) , (2 ,10) , (3 ,9) , (4 ,8) , (5 ,7) ,6}. 故满足条件的集合为 26 - 1 = 63 个 . 三 , 因为 a1 = 15.
1 2 , an + 1 = a n + an , n ∈N , 所 2

以 , an + 1 = an ( an + 1) . 则
bn = an an + 1 - an 1 1 1 = = = , 1 + an an an + 1 an an + 1 an an + 1
2

S n = b1 + b2 + …+ bn

故 2 Pn + S n =

16. 如图 1 ,联结 B E. 则
S △BDF = zS △BDE = z (1 - x ) S △AB E

由均值不等式得

z + (1 - x) + y z (1 - x ) y ≤

m = 716 , n = 712.

π 3 2 a . 24

= ( OM0 - MM0 ) + ( ON 0 - NN 0 ) - MN = ( OM0 + ON 0 - M0 N 0 ) + [ M0 N 0 - ( M0 M + MN + NN 0 ) ] < OM0 + ON 0 - M0 N 0 = 6.

所以 , OM + ON - MN 的最大值为 6.
18. 由条件有
b c a = + . a+ c a+ b b+ c

令 a + b = x , b + c = y , c + a = z. 则
a= x+z- y

2

,b=

x+ y- z

2

,c =

y+z- x

2

.

从而 ,原条件可化为
x+ y y+z z+ x = + - 1 z x y

a1 a2 an 1 Pn = b1 b2 …bn = · · · … = , a2 a3 an + 1 2 an + 1

≥ z + z + 1 ≥ 4 z + 1. x y x+ y
1

=

1

a1

-

1

a2

+

1
a2

-

1
a3

+ …+

1
an

-



an + 1

x+ y 4 = t ,则 t ≥ + 1. z t

=2-

1

an + 1

.

1+ 解得 t ≥ + 21
an + 1

17 2

( 负值已舍去) .

1

an + 1

= 2.



b x+ y- z t 1 ≥ 17 - 1 = = . a+ c 2z 2 2 4

19. 由条件得在 B 站有 7 人下车 , 即 19 名旅客

中有 7 个湖南人 ,在 E 站有 2 人下车 ,即在 D —E 途 中有 2 个湖南人 , C —D 中至少有 2 个湖南人 , 在 D 站至少有 2 人下车 , 所以 , C 站后车厢内至少有 9

= z (1 - x ) yS △ABC = z (1 - x ) y .
3

3

=

1 . 8

人 . 又因为

12 - 7 > 2 ,所以 , B —C 途中至少有 3 个湖 2

2006 年第 6 期

41



2005 年上海市高中数学竞赛 ( CASIO 杯)
说明 : 解答本试卷不得使用计算器 . 一, 填空题 ( 第 1~4 小题每小题 7 分 , 第 5~8 小题每小题 8 分 ,共 60 分)
1. 计 算 : i
0!

7. 对任意实数 x , ,函数 f ( x ) 满足 y f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) - xy - 1.

+ i

1!

+ i

2!

+ …+ i

100 !

=

( i 表示虚数单位) . 2. 设 θ是某三角形的最大内角 , 且满

足 sin 8θ= sin 2θ. 则 θ的可能值构成的集 ( 用列举法表示) . 合是 3. 一个九宫格如图 1 , 每个小方格内 都填一个复数 ,它的每行 , 每列及对角线上 三个格内的复数和都相等 . 则 x 表示的复 数是
.

若 f ( 1) = 1 ,则对负整数 n , f ( n ) 的表 达式为 . 8. 实数 x , , 满足 x + y + z = 0 , 且 y z 2 2 2 2 2 2 x + y + z = 1. 记 m 为 x , , 中的最 y z 大者 ,则 m 的最小值为 .
2 ( 二 ,14 分) 设 f ( x ) = ax + bx . 求满 足下列条件的实数 a 的值 : 至少有一个正 数 b ,使 f ( x ) 的定义域和值域相同 .

x y ( 三 ,14 分 ) 已 知 双 曲 线 2 - 2 = 1 a b

2

2

( a , ∈R+ ) 的半焦距为 c , 且 b = ac . P , b
Q 是双曲线上任意两点 , M 为 PQ 的中点 .

2

当 PQ 与 OM 的 斜 率 k PQ , OM 都 存 在 时 , k 求 k PQ ·OM 的值 . k ( 四 ,16 分 ) 设 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数 . 求集合
n| n = k
2

图1

图2

4. 如图 2 , 正四面体 ABCD 的棱长为 6 cm , 在棱 AB , 上各有一点 E , . 若 CD F
A E = 1 cm , CF = 2 cm , 则线段 EF 的长为

2 005

,1 ≤k ≤ 004 , k ∈N 2

cm. 5. 若关于 x 的方程 x x 4 + ( a + 3) 2 + 5 = 0

的元素个数 . ( 五 ,16 分) 数列{ f n }的通项公式为
1 1+ 5 - 1- 5 ,n ∈ + . Z 2 2 5 1 2 n 记 S n = C nf 1 + C nf 2 + …+ Cn f n . 求所有
fn =
n n

至少有一个实根在区间 [1 ,2 ] 内 ,则实数 a 的取值范围是 . 6. a , , , , 是从集合 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} b c d e 中任取的 5 个元素 ( 允许重复) . 则 abcd + e 为奇数的概率为 .
南人 ,因此 ,经过 C 站后车厢内至多有 9 人 , 故经过
C 站后车厢内有 9 人 .

的正整数 n ,使得 S n 能被 8 整除 .

参考答案
一 , 95 + 2 i. 1. 人 ,个湖北人下车 , D 站有 2 个湖北人下车 , E 站 2 有 2 个人下车 .
( 刘金国 提供)

综上所述 , AB 段有 7 个湖南人 ,12 个湖北人 ; B 站有 4 个湖南人 , 个湖北人下车 , C 站有 1 个湖南 3

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