当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

3高中数学竞赛专题讲座---数列


第 3 讲 等差数列和等比数列
例 1.正实数1 , 2 , 3 , 4 , 5 中, 1 , 2 , 3 成等差数列, 2 , 3 , 4 成等比数列, 且公比不等于 1, 又3 , 4 , 5 的倒数成等差数列,则( ) 1 , 3 , 5 成等比数列 ()1 , 3 , 5 成等差数列
1 1 3 5

,

1

, 成等差数列


1

()

1

6 1 3 3 2 5

,

1

,

1

成等比数列

例 2. 满足 > > 9, 且使得, , ? , + 可以按某一次序排成等比数列的实数对


(, )的个数为(



0 个, ()恰有一个, 恰有两个, 不少于三个. 例 3.各项为实数的等差数列的公差为 4,其首相的平方与其余各项之和不超过 100,这样的 数列至多有 项. 例 4.已知等差数列{ } 的公差 不为 0,等比数列{ } 的公比 是小于 1 的正有理数.若 1 = , 1 = 2 ,且
1 2 + 2 2 + 3 2 1 + 2 + 3

是正整数,则等于

.

例 5.设各项均为正数的数列{ }和{ }满足: , , +1 成等差数列, , +1 , +1 成 等比数列,且1 = 1, 1 = 2,2 = 3,求通项 , . 例 6. 设 { } 是等差数列, { } 是等比数列,且 1 = 1 2 , 2 = 2 2 , 3 = 3 2 (1 < 2 ) , 又
lim →∞

1 + 2 + ? + = + ,试求数列{ }的首项与公差.

例 7. 2 ( ≥ 4)个整数排成行列: 11 12 13 ? 1 21 22 23 ? 2 31 32 33 ? 3 ??????? 1 2 3 ? 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知24 = 1, 42 = ,43 =
8 1 3 16

,试求11 + 22 + 33 + ? + .

例 8.设非负等差数列{ }的公差 ≠ 0,记 为数列{ }的前项和,证明: (1) 若, , ∈ ?,且 + = 2,则 + ≥ ;


1

1

2

(2) 若503 ≤

1 1005

,则
2007

n=1

1 > 2008.

例 9.给定正整数和正数, 对于满足条件1 2 + +1 2 ≤ 的所有等差数列1 , 2 , 3 , ?,试求 S = +1 + +2 + ? + 2 +1 的最大值.

练习题 1. 设{ },{ }分别是等差数列和等比数列,且1 = 1 = 4,4 = 4 = 1,则以下结论正确 的是( ) 2 > 2 3 < 3 5 > 5 ()6 > 6 2.已知正项非常值数列{ },{ }满足: , , +1 成等差数列, , +1 , +1 成等比 数列,令 = ,则下列关于数列{ }的说法正确的是( ) { } 为等差数列 { } 为等比数列 { }的每一项为奇数 (){ }的每一项为偶数 3.在等差数列{ }中,若2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 80,则7 ? 2 8 的值为(
1

)

4 6 8 ()10 4. 设等差数列{ }满足38 = 513 ,且1 > 0, 为数列{ }的前项和,则 中的最大数是( ) 10 11 20 ()21 5.在公差为 4 的正项等差数列中,3 与 2 的算术平均值等于3 与 2 的几何平均值,其中3 表 示数列的前三项和,则10 为( ) 38 40 42 ()44 6. 已知,,,是偶数, 且0 < < < < , ? = 90, ,,成等差数列, ,, 成等比数列,则 + + + =( ) 384 324 284 ()194 7. 已知0 < < ,在,之间插入一个正数, 使,,成等比数列;在,之间插入两 个正数, 使,,,成等差数列,则( + 1)2 与 + 1 ( + 1)的大小关系为( ) ( + 1)2 < + 1 ( + 1) ( + 1)2 = + 1 ( + 1) ( + 1)2 > + 1 ( + 1) ()不确定 8. 等差数列{ }中, 为数列{ }的前项和,4 = 1,8 = 4,则2002 + 2003 + 2004 + 2005 的值为 . 9. 等差数列3,10,17, ? ,2005与3,8,13, ? ,2003中,值相同的项有 个. 10. 等差数列{ }的前项和为 90,前2项和为 360,则前4项和为 . 11. 已知{ }是公差不为 0 的等差数列,{ }是等比数列,其中1 = 3,1 = 1,2 = 2 , 3 5 = 3 ,且存在常数 α,?使得对每一个正整数都有 = logα + ?,则α + ? = . 12. 已知 是公差为正数的等差数列的前项和,如果 取值范围是 .
1 2 +210

在 = 6时取到最小值,则的

13.在数列{ }中,1 = 1,当 ≥ 2时, , , ? 成等比数列,则nlim 2 = →∞

.

14. 将等差数列{ }: = 4 ? 1( ∈ + )中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数自 小到大排成一个数列{ },求2005 的值. 15. 已知等差数列{ }中,公差 > 0, 其前项和为 ,且满足2 3 = 45,1 + 4 = 14.
(1)求数列{ }的通项公式; (2)通过公式 = + 构造一个新数列{ }, 若{ }也是等差数列, 求非零常数;(3)求() = ( +25)





+1

的最大值.

16.设首项为1 的正项数列{ }的前项和为 , 为非零常数, 已知对任意的正整数,,当 > 时, ? = ? 总成立. (1)求证:数列{ }是等比数列;(2) 若正整数,,?为等差数列,求证: + = .
?

1

1

2


赞助商链接
相关文章:
高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的...5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3 3xn...
高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的...2(bn ? ) 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数 3 3 3 3 解:设 ...
高中数学竞赛专题讲座之 数列
高中数学竞赛专题讲座数列_专业资料。高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 ...5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3 3xn...
高中数学竞赛专题讲座之 数列
高中数学竞赛专题讲座数列_专业资料。高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 ...5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3 3xn...
高中数学竞赛专题讲座——数列
高中数学竞赛专题讲座——数列_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学竞赛专题...(3 an +1 )(6 + an ) = 18, 且a0 = 3 , 全国) (则 ∑a i=o...
高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座数列_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座之...5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3 3xn...
高中数学竞赛专题讲座之 数列
高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的...3 故选 C。 5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 ...
高中数学竞赛专题讲座之 数列
高中数学竞赛专题讲座之一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的...5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3 3xn...
高中数学竞赛专题讲座——数列
高中数学竞赛专题试题讲座——数列一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ...3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3,6...
高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座数列 - 高中数学竞赛专题讲座之 一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 数列 ? A? a1 ? B ? a2...
更多相关标签: