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高一数学教案(必修1)


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课题:集合的含义与表示(1)
课 型:新授课 教学目标: (1) 了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; (2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; (3) 掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教

学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是 高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一 个新的概念——集合(宣布课题) ,即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 2. 3. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体 叫集合(set) ,也简称集。 思考 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流; (3) 非负奇数; (4) 方程 x ? 1 ? 0 的解;
2

能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

(5) 某校 2007 级新生; (6) 血压很高的人; (7) 著名的数学家; (8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9) 全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。
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4.

关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的 个体(对象) ,因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

5.

元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作:a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记 作:a ? A 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A

4 ? A,等等。 6.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的 元素用小写的拉丁字母 a,b,c,?表示。 7.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R; (二)例题讲解: 例 1.用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 (3)-3 印度 N; Z; A,英国 (2)0 (4) 2 A。
2

N; Q; A,美国 A,

(5)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国

例 2.已知集合 P 的元素为 1, m, m 的值。

? 3m ? 3, 若 3∈P 且-1 ? P,求实数 m

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(三)课堂练习: 课本 P5 练习 1; 归纳小结: 本节课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例 对集合的概念作了说明,然后介绍了常用集合及其记法。 作业布置: 1.习题 1.1,第 1- 2 题; 2.预习集合的表示方法。 课后记:

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课题:集合的含义与表示(2)
课 型:新授课 教学目标: (1)了解集合的表示方法; (2)能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同 的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:掌握集合的表示方法; 教学难点:选择恰当的表示方法; 教学过程: 一、复习回顾: 1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的关系;常用的数集 及表示。 2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系 二、新课教学 (一) .集合的表示方法 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合,但这将给我们带来很 多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ? 表示集合的方法叫列举法。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?;

? ”括起来

说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考 虑元素的顺序。 2.各个元素之间要用逗号隔开; 3.元素不能重复; 4.集合中的元素可以数,点,代数式等; 5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间 的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示 为 ?1, 2,3, 4,5,......?
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例 1. (课本例 1)用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1 到 20 以内的所有质数组成的集合; (4)方程组 ?

? x ? 2 y ? 0; 的解组成的集合。 ?2 x ? y ? 0.

思考 2: (课本 P4 的思考题)得出描述法的定义: (2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ 内。 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或 变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共 同特征。 一般格式: ? x ? A p ( x ) }

?

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},?; 说明: 1.课本 P5 最后一段话; 2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略, 例如:{x︳整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写 法{实数集},{R}也是错误的。 例 2. (课本例 2)试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2—2=0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合;
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(3)方程组 ?

? x ? y ? 3; 的解。 ? x ? y ? ?1.

思考 3: (课本 P6 思考) 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示 法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (二) .课堂练习: 1.课本 P6 练习 2; 2.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数 3.集合 A={x|

4 ∈Z,x∈N},则它的元素是 x?3
2



4.已知集合 A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x +1,x∈A},则 集合 B 用列举法表示是 归纳小结: 本节课从实例入手,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 作业布置: 1. 习题 1.1,第3.4 题; 2. 课后预习集合间的基本关系. 课后记:

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课题:集合间的基本关系
课 型:新授课 教学目标: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。 教学重点:子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点:弄清楚属于与包含的关系。 教学过程: 一、复习回顾: 1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集合? (1)10 以内 3 的倍数; (2)1000 以内 3 的倍数 2.用适当的符号填空: 0 N; Q; -1.5 R。 思考 1:类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小” 关系呢? 二、新课教学 (一). 子集、空集等概念的教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) C ? {汝城一中高一

班全体女生} , D ? {汝城一中高一

班全体学生} ;

(3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 由学生通过观察得结论。 1. 子集的定义: 对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说 这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ? B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:

B

A

如: (1)中 A ? B
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2. 集合相等定义: 如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的 元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如(3)中的两集合 E ? F 。 3. 真子集定义: 若集合 A ? B , 但存在元素 x ? B, 且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) 。记作: A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 如: (1)和(2)中 A B,C D; 4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 。 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

?; ?

??? ; ?0?

???

思考 2:课本 P7 的思考题 5. 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不 包含于”的关系; 2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 (二)例题讲解: 例 1.填空: ? {2} (1) . 2 N; N; A; (2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 例 2. (课本例 3)写出集合 {a, b} 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
2

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例 3.若集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

?

?

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?

?

A,求 m 的值。

(m=0 或 或-

1 3

1 ) 2

例 4.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2 m ?1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。 (m?3)

?

?

?

?

(三)课堂练习: 课本 P7 练习 1,2,3 归纳小结: 本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念 及符号;并用 Venn 图直观地把这种关系表示出来;注意包含与属于符号的运用。 作业布置: 1. 习题 1.1,第 5 题; 2. 预习集合的运算。 课后记:

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课题:集合的基本运算㈠
课 型:新授课 教学目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 教学重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。 教学难点:理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 教学过程: 一、复习回顾: 1.已知 A={1,2, 3},S={1, 2,3,4,5},则 A 2.用适当符号填空: 0 {0}
2

S;{x|x∈S 且 x ?A}=



{0}; 0 Φ; Φ {x|x +1=0,x∈R} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ;

{x|x>-3}

{x>2}

二、新课教学 (一). 交集、并集概念及性质的教学: 思考 1.考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

由学生通过观察得结论。 6. 并集的定义: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集(union set) 。记作:A∪B(读作: “A 并 B ” ) ,即

A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

用 Venn 图表示:

这样,在问题(1) (2)中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A ∪Ф = , A∪B A∪B=A ? , A∪B=B ?
第 10

B∪A .

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巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 7. 交集的定义: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集(intersection set) ,记作 A∩B(读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

常见的五种交集的情况:

B

A

A(B)

A

B

A B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A ∩Ф =

A∩B

B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习(口答) : ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 (二)例题讲解:

;

例 1. (课本例 5)设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A∪B. 变式:A={x|-5≤x≤8}

?

?

?

?

例 2. (课本例 7)设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,试 用集合的运算表示 l1 , l2 的位置关系。

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例 3.已知集合 A ? x x ? mx ? m ?19 ? 0 ,
2 2

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?
(m=-2)

?

?

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?

?

B ? y y ?5y ?6 ? 0
2

?

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?

(三)课堂练习: 课本 P11 练习 1,2,3 归纳小结: 本节课从实例入手,引出交集、并集的概念及符号;并用 Venn 图直观地把 两个集合之间的关系表示出来,要注意数轴在求交集和并集中的运用。 作业布置: 3. 习题 1.1,第 6,7; 4. 预习补集的概念。 课后记:

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课题:集合的基本运算㈡
课 型:新授课 教学目标: (1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义, (2)正确理解补集的概念,正确理解符号“ CU A ”的涵义; (3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。 教学重点:补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点:补集的概念。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的? 2. 提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示? 3. 交集和补集的有关运算结论有哪些? 4. 讨论:已知 A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则 A、B 与 R 有何关系? 二、新课教学 思考 1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、 B={全班没有参加足球队的同学},则 U、A、B 有何关系? 由学生通过讨论得出结论: 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质的教学: 8. 全集的定义: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个 集合为全集(universe set),记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 9. 补集的定义: 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set) ,记作: CU A , 读作: “A 在 U 中的补集” ,即

CU A ? ?x x ?U , 且x ? A?

用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析

A ? CU A ? ?, CUU ? ?,

A ? CU A ? U , CU ? ? U

CU (CU A) ? A
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巩固练习(口答) : ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = (二)例题讲解: 求 CU A , CU B .

2, 3?,B ? ?3, 4, 5, 6? , 例 1. (课本例 8)设集 U ? x x是小于9的正整数 , A ? ?1,

?

?

例 2. 设全集 U ? x x ? 4 , 集合A ? x ?2 ? x ? 3 , B ? x ?3 ? x ? 3 , 求 CU A ,

?

?

?

?

?

?

A ? B , A ? B, CU ( A ? B),(CU A) ? (CU B),(CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) 。
(结论: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B), CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B))

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例 3.设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

?

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?

B ? x x ? 5x ? q ? 0 ,若
2

?

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?

(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B 。 (答案: ?2,3, 4? )

(三)课堂练习: 课本 P11 练习 4 归纳小结: 补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn 图) 。 作业布置: 习题 1.1A 组,第 9,10;B 组第 4 题。 课后记:

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课题:集合复习课
课 型:新授课 教学目标: (1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质; (2)掌握集合的有关术语和符号; (3)运用性质解决一些简单的问题。 教学重点:集合的相关运算。 教学难点:集合知识的综合运用。 教学过程: 一、复习回顾: 1. 提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些? 2. 提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示? 3. 提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质? 3. 交集、并集、补集的有关运算结论有哪些? 4. 集合问题的解决方法:Venn 图示法、数轴分析法。 二、讲授新课: (一) 集合的基本运算: 例 1:设 U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求 A∩B、A∪B、C U A 、C U B、 (C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U (A∪B)、C U (A∩B)。 (学生画图→在草稿上写出答案→订正)

说明:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。
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例 2: 全集 U={x|x<10, x∈N ? }, A ? U, B ? U, 且 (C U B) ∩A={1,9}, A∩B={3}, (C U A)∩(C U B)={4,6,7},求 A、B。

说明:列举法表示的数集问题用 Venn 图示法、观察法。 (二)集合性质的运用: 例 3: A={x|x 2 +4x=0}, B={x|x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0}, 若 A∪B=A, 求实数 a 的值。

说明:注意 B 为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要 注意判别式。 例 4:已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪B=A,求实数 a 的取 值范围。

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(三)巩固练习: 1.已知 A={x|-2<x<-1 或 x>1},A∪B={x|x+2>0},A∩B={x|1<x≦3},求集合 B。 2.P={0,1},M={x|x ? P},则 P 与 M 的关系是 。

3.已知 50 名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为 40、31 人,两项均 不及格的为 4 人,那么两项都及格的为 人。 4.满足关系{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}的集合 A 共有 个。

5.已知集合 A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则 B 的子集的 集合一共有多少个元素? 6.已知 A={1,2,a},B={1,a },A∪B={1,2,a},求所有可能的 a 值。 7.设 A={x|x -ax+6=0},B={x|x -x+c=0},A∩B={2},求 A∪B。 8.集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q。 9. A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B。 10.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围。 归纳小结: 本节课是集合问题的复习课,系统地归纳了集合的有关概念,表示方法及其 有关运算,并进一步巩固了 Venn 图法和数轴分析法。 作业布置: 5. 课本 P14 习题 1.1 B 组题; 6. 阅读 P14~15 材料。 课后记:
2 2 2

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课题:函数的概念(一)
课 型:新授课 教学目标: (1)通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻 画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的三要素; (3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程: 一、复习准备: 1.讨论: 放学后骑自行车回家, 在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有 唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的概念: 思考 1: (课本 P15)给出三个实例: A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高 度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 。 B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是 南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。 (见课本 P15 图) C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生 活质量的高低。 “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。 (见课 本 P16 表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之 间存在着怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x,按 照某种对应关系 f,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f : A?B 函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作: y ? f ( x), x ? A 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y { f ( x ) | x ? A } 值叫函数值,函数值的集合 叫值域(range) 。显然,值域是集合 B 的 子集。
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(1)一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R,值域也是 R; (2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的定义域是 R,值域是 B;当 a>0 时,值

? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b2 ? ? ? ? ? 域 B ? ?y y ? ? ;当 a﹤0 时,值域 B ? ? y y ? ?。 4a ? 4a ? ? ? ? ? ? ? k (3)反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ,值域是 ? y y ? 0? 。 x
(二)区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a,b) ; a ? x ? b 或 a ? x ? b (3) 满足不等式 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示 为 ? a, b ? , ? a, b? ; 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 (数轴表示见课本 P17 表格) 符号“∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大” 。我

们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? ,

? ??, b?, ? ??, b? 。

巩固练习: 用区间表示 R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} (学生做,教师订正) (三)例题讲解: 例 1.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,求 f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。

变式:求函数 y ? x2 ? 2 x ? 3,

x ?{?1,0,1, 2}的值域

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例 2.已知函数 f ( x) ?

x?3? 2 3

1 , x?2

(1) 求 f (?3), f ( ), f

? f ? ?3? ? 的值;

(2) 当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

(四)课堂练习: 1. 用区间表示下列集合:

? x x ? 4? , ? x x ? 4且x ? 0? , ?x x ? 4且x ? 0, x ? ?1? , ?x x ? 0或x ? 2?

2. 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1)的值; 3. 课本 P19 练习 2。 归纳小结: 函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示 作业布置: 习题 1.2A 组,第 4,5,6; 课后记:

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课题:函数的概念(二)
课 型:新授课 教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示; (2)掌握复合函数定义域的求法; (3)掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点:复合函数定义域的求法。 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数 y= 数?为什么? 2. 用区间表示函数 y=ax+b(a≠0) 、y=ax 2 +bx+c(a≠0) 、y= 义域与值域。 二、讲授新课: (一)函数定义域的求法: 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 y=f(x),而没 有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集 合。 例 1:求下列函数的定义域(用区间表示) x x ?3 ⑴ f(x)= 2 ; ⑵ f(x)= 2 x ? 9 ; ⑶ f(x)= x ? 1 - ; 2? x x ?2 学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组合式)
k (k≠0)的定 x

3x 2 与 y=3x 是不是同一个函 x

说明:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组)

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*复合函数的定义域求法: (1)已知 f(x)的定义域为(a,b) ,求 f(g(x))的定义域; 求法:由 a<x<b,知 a<g(x)<b,解得的 x 的取值范围即是 f(g(x))的定义域。 (2)已知 f(g(x))的定义域为(a,b) ,求 f(x)的定义域; 求法:由 a<x<b,得 g(x)的取值范围即是 f(x)的定义域。 例 2.已知 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x+1)的定义域。

例 3.已知 f(x-1)的定义域为[-1,0],求 f(x+1)的定义域。

巩固练习: 1.求下列函数定义域:

1 1 ; (2) f ( x ) ? 1 x?4 1? x 2 2. (1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f ( x ? 1) 的定义域; (2)已知函数 f(2x-1)的定义域为[0,1],求 f(1-3x)的定义域。 (二)函数相同的判别方法: 函数是否相同,看定义域和对应法则。 例 5. (课本 P18 例 2)下列函数中哪个与函数 y=x 相等?
(1) f ( x ) ? 1 ? x ? (1) y ? ( x )2 ; (3) y ?

x2 ;

x3 ; x2 (4) y ? 。 x

(2) y ?

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(三)课堂练习: 1.课本 P19 练习 1,3; 2.求函数 y=-x +4x-1 ,x∈[-1,3) 的值域。 归纳小结: 本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。 作业布置: 习题 1.2A 组,第 1,2; 课后记:
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课题:函数的表示法(一)
课 型:新授课 教学目标: (1)掌握函数的三种表示方法(解析法、列表法、图像法) ,了解三种表示方法 各自的优点; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 教学难点:分段函数的表示及其图象。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:函数的概念?函数的三要素? 2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课: (一)函数的三种表示方法: 结合课本 P15 给出的三个实例,说明三种表示方法的适用范围及其优点: 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(1) ; 优点:简明扼要;给自变量求函数值。 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(2) ; 优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如 1.2.1 的实例(3) ; 优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等。 例 1. (课本 P19 例 3)某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔 记本需要 y 元.试用三种表示法表示函数 y=f(x) .

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例 2: (课本 P20 例 4)下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度六次数学测 试的成绩及班级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 87 91 92 88 95 甲 90 76 88 75 86 80 乙 68 65 73 72 75 82 丙 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

(二)分段函数的教学: 分段函数的定义: 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这 样的函数通常叫做分段函数,如以下的例 3 的函数就是分段函数。 说明: (1) .分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定 自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数图象 时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出; (2) .分段函数只是一个函数,只不过 x 的取值范围不同时,对应法则不相同。 例 3: (课本 P21 例 6)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的俺公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数 解析式,并画出函数的图象。

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?2 x ? 3, x ? ( ??,0) 例 4.已知 f(x)= ? 2 ,求 f(0)、f[f(-1)]的值 ?2 x ? 1, x ? [0,??)

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 1,2; 2.作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元) 。试用三种方法表示此实例中 的函数。 3.某水果批发店,100kg 内单价 1 元/kg,500kg 内、100kg 及以上 0.8 元/kg, 500kg 及以上 0.6 元/kg。试用三种方法表示批发 x 千克与应付的钱数 y(元) 之间的函数 y=f(x)。 归纳小结: 本节课归纳了函数的三种表示方法及优点; 讲述了分段函数概念; 了解了函数 的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2 A 组第 8,9 题; 课后记:

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课题:函数的表示法(二)
课 型:新授课 教学目标: (1)了解映射的概念及表示方法; (2)掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系数法,消去法,分段 函数的解析式。 教学重点:求函数的解析式。 教学难点:对函数解析式方法的掌握。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例: 对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 2.讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点? 3.导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集” 弱化为 “任意两个非空集合” , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的 对应关系,即映射(mapping) 。 二、讲授新课: (一) 映射的概念教学: 定义: 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) 。记作:
f : A?B

讨论:映射有哪些对应情况?一对多是映射吗? 例 1. (课本 P22 例 7)以下给出的对应是不是从 A 到集合 B 的映射? (1) 集合 A={P | P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所 代表的实数对应; (2) 集合 A={P | P 是平面直角坐标系中的点},B=

?( x, y) x ? R, y ? R? ,对应

关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3) 集合 A={x | x 是三角形},集合 B={x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形 都对应它的内切圆; (4) 集合 A={x | x 是新华中学的班级}, 集合 B={x | x 是新华中学的学生}, 对应 关系:每一个班级都对应班里的学生。

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例 2.设集合 A={a,b,c},B={0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射一共有几个?并将它 们分别表示出来。

(二)求函数的解析式: 常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。 例 3.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数 f(x)的解析式。 (待定系数法)

例 4.已知 f(2x+1)=3x-2,求函数 f(x)的解析式。 (配凑法或换元法)

例 5.已知函数 f(x)满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ,求函数 f(x)的解析式。 (消去法)

1 x

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例 6.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求函数 f(x)的解析式。

(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 4;

1 ? x 1 ? x2 f ( )? 2.已知 ,求函数 f(x)的解析式。 1 ? x 1 ? x2 1 1 2 3.已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求函数 f(x)的解析式。 x x 4.已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ? 1 ,求函数 f(x)的解析式。
归纳小结: 本节课系统地归纳了映射的概念,并进一步学习了求函数解析式的方法。 作业布置: 7. 课本 P24 习题 1.2B 组题 3,4; 8. 阅读 P26 材料。 课后记:

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课题:函数的表示法(三)
课 型:新授课 教学目标: (1)进一步了解分段函数的求法; (2)掌握函数图象的画法。 教学重点:函数图象的画法。 教学难点:掌握函数图象的画法。 。 教学过程: 一、复习准备: 1.举例初中已经学习过的一些函数的图象,如一次函数,二次函数,反比例函数 的图象,并在黑板上演示它们的画法。 2. 讨论:函数图象有什么特点? 二、讲授新课: 例 1.画出下列各函数的图象: (?2 ? x ? 2) (1) f ( x) ? 2 x ? 2   (2) f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 3   (0 ? x ? 3) ;

例 2. (课本 P21 例 5)画出函数 f ( x) ? x 的图象。

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例 3.设 x ? ? ??, ?? ? ,求函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3 x 的解析式,并画出它的图象。

变式 1:求函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 3 x 的最大值。

变式 2:解不等式 2 x ?1 ? 3 x ? ?1。

例 4.当 m 为何值时,方程 x2 ? 4 x ? 5 ? m 有 4 个互不相等的实数根。

变式:不等式 x ? 4 x ? 5 ? m 对 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围。
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(三)课堂练习: 1.课本 P23 练习 3;

?1 (0 ? x ? 1) ? ,  2.画出函数 f ( x) ? ? x 的图象。 ? ( x ? 1) ? x, 
归纳小结: 函数图象的画法。 作业布置: 课本 P24 习题 1.2A 组题 7,B 组题 2; 课后记:

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课题:函数及其表示复习课
课 型:复习课 教学目标: (1)会求一些简单函数的定义域和值域; (2)掌握分段函数、区间、函数的三种表示法; (3)会解决一些函数记号的问题. 教学重点:求定义域与值域,解决函数简单应用问题。 教学难点:对函数记号的理解。 教学过程: 一、基础习题练习: (口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法) 1. 说出下列函数的定义域与值域: y ? 2.已知 f ( x) ?

1 8 ; y ? x2 ? 4x ? 3 ; y ? 2 ; x ? 4x ? 3 3x ? 5

1 ,求 f ( 2) , f ( f (3)) , f ( f ( x)) ; x ?1 ? 0 ( x ? 0) ? 3.已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) , ? x ? 1( x ? 0) ?
(1)作出 f ( x) 的图象; (2)求 f (1),  f (? 1),  f (0), f { f [ f (? 1)]}的值 二、讲授典型例题: 例1.已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,
2

求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].

例 2.求下列函数的定义域: (1) y ?

( x ? 1)0 x ?x



(2) y ?

x2 ? 4 ; x2 ? 2 x ? 3

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例3.若函数 y ? (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

围.

( a ??1,9? )

2 的定义域为R,求实数 a 的取值范 a ?1

例4. 中山移动公司开展了两种通讯业务: “全球通” , 月租 50 元, 每通话 1 分钟, 付费 0.4 元; “神州行”不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟,两种通讯方式的费用分别为 y1 , y2 (元) . (1) .写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式? (2) .一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? (3) .若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式?

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三.巩固练习: 1.已知 f ( x) =x ?x+3 ,求:f(x+1), f(
2

1 )的值; x

2.若 f ( x ? 1 的解析式; ) ? x ? 2 x ,求函数 f ( x) 3.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10,图象 过点(0,3),求 f ( x) 的解析式. 4.已知函数 f ( x) ? 归纳小结: 本节课是函数及其表示的复习课, 系统地归纳了函数的有关概念, 表示方法. 作业布置: 9. 课本 P24习题 1.2 B 组题1,3; 10.预习函数的基本性质。 课后记:

3x ? 1 的定义域为R,求实数 a 的取值范围. ax ? ax ? 3
3 2

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课题:单调性与最大(小)值 (一)
课 型:新授课 教学目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明和 判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点:理解概念。 教学过程: 一、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变 的特征呢? 2. 观察下列各个函数的图象,并探讨下列 变化规律: ①随 x 的增大,y 的值有什么变化? ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称性? 3. 画出函数 f(x)= x+2、 f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步骤: 列表→描点→连线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: 随 x 的增大, 函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时, f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性 质? ③定义增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 2.教学增函数、减函数的证明: 例 1.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每 个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少?

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1、 例题讲解 例 1(P29 例 1) 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

k (k 为正常数) ,告诉我们对于一定 V 量的气体,当其体积 V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明 .
例 2: (P29 例 2)物理学中的玻意耳定律 p ?

例 3.判断函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的单调性 x ?1

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三、巩固练习: 1.求证 f(x)=x+
1 的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。 x

2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。

3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。

推广:二次函数的单调性

4.课堂作业:书 P32、 2、3、4、5 题。

四、小结: 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至最 简→判断差的符号→下结论。 五、作业:P39、1—3 题 课后记:

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课题: 单调性与最大(小)值 (二)
课 型:新授课 教学目标: 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、 判别方法, 理解函数的最大 (小) 值及其几何意义. 教学重点:熟练求函数的最大(小)值。 教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 教学过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征? f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ? [ ?1, 2] ; f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 x ?[?2, 2] ② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大 值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举 例说明方法. 2、 例题讲解: 例 1(学生自学 P30 页例 3)
2 2

例 2. (P31 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

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例 3.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值

3 3 的图象与 y ? 的关系? x?2 x (解法一:单调法; 解法二:换元法)
探究: y ? 三、巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y ? 3 ? 2x ? x2 , x ?[? , ] ; 2 2 (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |

2.一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房 率的数据如右:欲使每天的的营业额最高,应如何定价?(分析变化规律→建立函 数模型→求解最大值) 房价(元) 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85

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3、 求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值.

四、小结: 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变 量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 五、作业:P39 页 A 组 5、B 组 1、2 后记:

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课题:奇偶性
课 型:新授课 教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点:熟练判别函数的奇偶性。 教学难点:理解奇偶性。 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:什么叫增函数、减函数? 2.指出 f(x)=2x -1 的单调区间及单调性。 →变题:|2x -1|的单调区间 3.对于 f(x)=x、f(x)=x 、f(x)=x 、f(x)=x ,分别比较 f(x)与 f(-x)。 二、讲授新课: 1.教学奇函数、偶函数的概念: ①给出两组图象: f ( x) ? x 、 f ( x) ?
2 3 4 2 2

1 、 f ( x) ? x3 ; f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | . x

发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征 ② 定义偶函数: 一般地, 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 叫偶函数(even function). ③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? ? f ( x) ) , 那么函数 f ( x) 叫 奇函数。 ④ 讨论: 定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点? (定义域关于原点对称; 整体性) ⑤ 练习:已知 f(x)是偶函数,它在 y 轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。 (假如 f(x)是奇函数呢?) 1. 教学奇偶性判别: 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x (2) f ( x ) ?
2

x ?[?1, 2]

x3 ? x 2 x ?1

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例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x4 (2) f ( x) ? x5 (3) f ( x ) ? x ?

1 x

( 4) f ( x ) ?

1 . x2

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 (5) g ( x ) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

(6) y ? 1 ? x 2 ?

x2 ?1

4、教学奇偶性与单调性综合的问题: ①出示例:已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,问 f(x)的(-∞,0)上的单调 性。 ②找一例子说明判别结果(特例法) → 按定义求单调性,注意利用奇偶性和已知 单调区间上的单调性。 (小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论) ③变题: 已知 f(x)是偶函数, 且在[a,b]上是减函数, 试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性, 并给出证明。 三、巩固练习: 1、判别下列函数的奇偶性: 1 3 x f(x)=|x+1|+|x-1| 、 f(x)= 2 、 f(x)=x+ 、 f(x)= 、 f(x)=x 2 ,x∈[-2,3] x 1 ? x2 x
7

2.设 f(x)=ax +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值。

3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)-g(x)=

1 ,求 f(x)、g(x)。 x ?1

4.已知函数 f(x),对任意实数 x、y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),试判别 f(x)的奇偶性。 (特值代入)
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5. 已知 f(x) 是奇函数,且在 [3,7] 是增函数且最大值为 4 ,那么 f(x) 在 [-7,-3] 上是 ( )函数,且最 值是 。

四、小结 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义 法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是 否关于原点对称,单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合 函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质. 五、作业 P39 页 A 组 6、B 组 3 后记:

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课题:函数的基本性质运用
课 型:练习课 教学目标: 掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应用函数的基 本性质解决一些问题。 教学重点:掌握函数的基本性质。 教学难点:应用性质解决问题。 教学过程: 一、复习准备: 1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小 值? 2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的 定义?

二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型: ①出示例 1:作出函数 y=x -2|x|-3 的图像,指出单调区间和单调性。 分析作法:利用偶函数性质,先作 y 轴右边的,再对称作。→学生作 →口答 → 思考:y=|x -2x-3|的图像的图像如何作?→ ②讨论推广:如何由 f ( x) 的图象,得到 f (| x |) 、 | f ( x) | 的图象? ③出示例 2:已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0) 上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练 ④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系? (偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单 调性一致) 2. 教学函数性质的应用: ①出示例 :求函数 f(x)=x+
2 2

1 (x>0)的值域。 x

分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作 图与结论推广 ②出示例:某产品单价是 120 元,可销售 80 万件。市场调查后发现规律为降价 x 元后可多销售 2x 万件,写出销售金额 y(万元)与 x 的函数关系式,并求当降价多少 个元时,销售金额最大?最大是多少? 分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值? 小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。

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2.基本练习题: 1、判别下列函数的奇偶性:y= 1 ? x + 1 ? x 、
2 ? ?? x ? x( x ? 0) y= ? 2 ? ? x ? x( x ? 0) (变式训练:f(x)偶函数,当 x>0 时,f(x)=….,则 x<0 时,f(x)=? )

2、求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。

x?2 单调区间并证明。 x ?1 cx ? d (定义法、图象法; 推广: 的单调性) ax ? b

3、判断函数 y=

4、讨论 y= 1 ? x 2 在[-1,1]上的单调性。

(思路:先计算差,再讨论符号情况。 )

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三、巩固练习: 1.求函数 y=
ax 2 ? b 为奇函数的时,a、b、c 所满足的条件。 (c=0) x?c

2.已知函数 f(x)=ax 2 +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。

3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何 f(2-a)-f(a-3)<0。求 a 的范围。

4. 求二次函数 f(x)=x 2 -2ax+2 在[2,4]上的最大值与最小值。

四、小结: 本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识,综合运用函数性质 解题 五、作业 P44 页 A 组 9、10 题 B 组 6 题 后记:

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课题:指数与指数幂的运算(一)
课 型:新授课 了解指数函数模型背景及实用性必要性 , 了解根式的概念及表示方法 . 理解 根式的概念 教学重点:掌握 n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?( a 2 、 a3 ) 2、 回顾初中根式的概念: 如果一个数的平方等于 a, 那么这个数叫做 a 的平方根; 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根. → 记法: a , 3 a 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1.某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口 数为多少万? 实例 2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次( 8 次) 计算:若报纸长 50cm,宽 34cm,厚 0.01mm,进行对折 x 次后,问对折后的面积 与厚度? ② 书 P52 问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国未来 20 年 GDP(国 内生产总值)年平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 书 P52 问题 2. 生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死 t 1 亡 t 年后体内碳 14 的含量 P 与死亡时碳 14 的关系为 P ? ( ) 5730 . 探究该式意义? 2 ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变 化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念: (?2)2 ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根; 33 ? 27 ,3 就叫 27 的立 方根. 探究: (?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的?次方根, 依此类推,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根: 一般地, 若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.( n th root ),其中 n ? 1 , n ? ?? 简记: n a . 记: x ? n a
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教学目标:

例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2
3

③ 讨论:当 n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如:

27 ? 3 , 3 ?27 ? ?3 ,

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4

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当 n 为偶数时, 正数的 n 次方根情况? 例如: (?3) ? 81 , 81 的 4 次方根就是
?3 , 记: ? n a

强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④ 练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为 ; b3 ? a , 则 a 的 3 次方根为
n

.

⑤ 定义根式:像 a 的式子就叫做根式( radical ) , 这里 n 叫做根指数( radical exponent), a 叫做被开方数(radicand). ⑥ 计算 ( 2 3)2 、 3 43 、 n (?2) n → 探究: ( n a ) n 、 n a n 的意义及结果? (特殊 到一般) 结 论 : ( n a )n ? a . 当 n 是 奇 数 时 ,
n
n

an ? a ; 当 n 是 偶 数 时 ,

?a ( a ? 0 ) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)
(P5O 例题 1) :求下列各式的值

3、例题讲解

(1)

3

( ?8)3

(2)

( ?10) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

( a ? b) 2

三、巩固练习: 1. 计算或化简: 5 ?32 ; 3 a6 (推广:
np

amp ? n am , a ? 0).

2、 化简: 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

3、求值化简:

3

( ? a )3 ;

4

(?7) 4 ;

6

( 3? ? 6) ;

2

( a ? b) 2 ( a ? b )

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四、小结: 1. 根式的概念: 若 n>1 且 n ? N , 则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,
*

n 为偶数时, x ? ? n a ;
2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a )n , n为偶数时,n a n ?| a |? ? 五、 作业:书 P59 、 1 题. 六,后记

?a (a ? 0) ??a (a ? 0)

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课题:指数与指数幂的运算(二)
课 型:新授课 教学目标: 使学生正确理解分数指数幂的概念, 掌握根式与分数指数幂的互化, 掌握有理 数指数幂的运算. 教学重点:有理数指数幂的运算. 教学难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫根式? →根式运算性质: ( n a ) n =?、 n a n =?、 2. 计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ; 2 34 , 5 a10 , 3 79 二、讲授新课: 1. 教学分数指数幂概念及运算性质 : ① 引例: a>0 时,5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 → a ??. ② 定义分数指数幂: 规定 a n ? a ( a ? 0, m, n ? N , n ? 1) ; a
n m * m
? m n
10

np

a mp =?



3

a12 ? ? ;

3

a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3

3

2

2

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式: n am (a ? 0, m, n ? N ? n ? 1) ; 2 35 ;
3

54
2

2

27 3 ; 5 5 ; 6 3 ; a 2 . B. 求值 ④ 讨论: 0 的正分数指数幂? 0 的负分数指数幂?⑤ 指出: 规定了分数指数幂的 意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数, 那么整数指数幂的运算性 质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: a ? 0, b ? 0, r , s ? Q

?

4

?

5

a r · a r ? a r ?s ;
2. 教学例题: (1) 、 (P51,例 2) 解:① 8 3 ? (2 ) 3 ? 2
3 2 2 3?

(a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r a s .

2 3

? 22 ? 4
1 2?( ? ) 2

② 25

?

1 2

? (52 )

?

1 2

?5

? 5?1 ?

1 5

③ ( )

1 2

?5

? (2?1 ) ?5 ? 2?1?( ?5) ? 32

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④(

16 ) 81

3 ? 4

2 ?( ) 3
1

3 4?( ? ) 4

2 27 ? ( ) ?3 ? 3 8
1 2 7

(2) 、 (P51,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) 解: a . a ? a ? a 2 ? a
3 3 2 3 2 2 2 3 3?

? a2 ?a

a ? a ?a ?a ? a
a3 1

2?

2 3

8 3

a ? a ? a 3 ? a 3 ? (a 3 ) 2 ? a 3

4

4 1

2

3、无理指数幂的教学

3 2 的结果?→定义:无理指数幂.(结合教材 P58 利用逼近的思想理解无理指数幂 意义) 无理数指数幂 a? (a ? 0, ?是无理数 ) 是一个确定的实数.实数指数幂的运算性 质? 三、巩固练习:
1、练习:书 P54 1 、2、3 题.

2

2、求值: 27 3 ;

16 3 ;

?

4

3 ( )?3 ; 5

(

25 ? 3 ) 49

2

2

1

1

1

1

5

1

3

3、化简: (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (m 4 n 8 )16

1 (2n?1 )2 ? ( )2n?1 2 4. 计算: 的结果 4n8?2

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5. 若 a3 ? 3,

a10 ? 384, 求a3 ? [(

a10 ) ] 的值 a3

1 7 n ?3

四. 小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.

五、作业:书 P59 2、4 题. 后记:

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课题 指数与指数幂的运算(三)
课 型:练习课 教学目标: n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点:掌握根式与指数幂的运算. 教学难点:准确运用性质进行计算. 教学过程: 一、复习提问: (学生回答,老师板演) 1. 提问:什么叫做根式? 运算性质? 2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质? 3. 基础习题练习: (口答下列基础题) ( x ? 0) ? n ① n为 时, x n ?| x |? ?........... . ( x ? 0) ? ② 求下列各式的值:
6
3

26 ;

4

16 ;

6

81 ;

6

(?2) 2 ;

15

? 32 ;

4

x8 ;

a 2b 4
例 1. (P52,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

二、教学典型例题:

(2) ( m 4 n 8 )

?

3 8

例 2. (P52 例 5)计算下列各式 (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 (2)

a2 a. 3 a2

(a >0)

1

例 3..已知 a 2 ? a

?

1 2

=3,求下列各式的值:

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2 ?2

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(1) a ? a

?1



(2) a ? a



(3)

3 a2 1 a2

?a ?a

? ?

3 2 1 2



三、巩固练习: 1. 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) .
1 2 1 2 1 4 1 4

2. 已知 f ( x) ? ? x , x1 ? x2 ? 0 ,试求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值

1

3. 用根式表示 (m 4 n

?

2 3),

其中 m, n ? 0 .

1

4. 已知 x+x-1=3,求下列各式的值: (1) x 2 ? x

?

1 2

, (2) x ? x .

3 2

?

3 2

5. 求值: 25 ;

3 2

2 27 3 ;

36 ( )2 ; 49

3

25 ? ( ) 2; 4

3

4

81 ?

3 92

; 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

6. 已知 x ? a ?3 ? b?2 , 求 4 x2 ? 2a?3 x ? a?6 的值.

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7.从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升,又用水填 3 3

满,这样进行 5 次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?

四、小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 五,作业 化简: (1) ( 9) 3 ( 10 ) 2 ? 100
3 2 ? 2 9
5

2

(2) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 (3)
a a

a a

后记:

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课题: 指数函数及其性质(一)
课 型:新授课 教学目标: 使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联 系;理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的 性质. 教学重点:掌握指数函数的的性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的? 2. 提问:有理指数幂的运算法则可归纳为几条? 二、讲授新课: 1.教学指数函数模型思想及指数函数概念: ① 探究两个实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次 由 4 个分裂成 8 个,如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与 次数 x 的函数关系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%, 那么以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? ② 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么? ③ 定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) , 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. ④讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?→ 举例:生活中 其它指数模型? 2. 教学指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和 方法吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ③ 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: y ? ( ) x , y ? 2x (师生共作→ 小结作法) ④ 探讨:函数 y ? 2x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2x 的图象画出

1 2

1 2

1 归纳出这两个指数函数的性质. y ? ( ) x 的图象?根据两个函数的图象的特征, 2
→ 变底数为 3 或 1/3 等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质 (书 P56) 3、例题讲解 例 1: (P56 例 6)已知指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,
x

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π) ,求 f (0), f (1), f (?3)的值.

例 2: (P56 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 ( 2 ) 0.8 (3)
?0.1



1.73
?0.2

与 0.8

1.70.3 与

0.93.1

例 3:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x ? 4
4

(2) y ? ( )

2 3

| x|

三、巩固练习: 4、 P58 1、2 题

5、 函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)ax 是指数函数,则 a 的值为

.

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0.7 0.9

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0.8

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3、 比较大小: a ? 0.8 , b ? 0.8 ,c ? 1.2 ;

1 , 0.4

0

?2.5

,2

?0.2

, 2.51.6 .

4、探究:在[m,n]上, f ( x) ? ax (a ? 0且a ? 1) 值域?

四、小结 1、理解指数函数 y ? a x (a ? 0), 注意a ? 1 与0 ? a ? 1两种情况。 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨 论的数学思想 . 五、作业 P59 习题 2.1 A 组第 5、7、8 题 后记:

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课题:指数函数及其性质(二)
课 型:新授课 教学目标: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的函数定义域、值域,判 断其单调性;培养学生数学应用意识 教学重点:掌握指数函数的性质及应用. 教学难点:理解指数函数的简单应用模型. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: 指数函数的定义?底数 a 可否为负值?为什么?为什么不取 a=1?指数
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函数的图象是 2. 在同一坐标系中, 作出函数图象的草图:y ? 2x ,y ? ( ) x ,y ? 5x ,

1 2

1 1 y ? ( ) x , y ? 10 x , y ? ( ) x 10 5
3. 提问:指数函数具有哪些性质? 二、讲授新课: 1.教学指数函数的应用模型: ① 出示例 1:我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育 着 22%的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人 口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增 长,实行计划生育成为我国一项基本国策. (Ⅰ)按照上述材料中的 1%的增长率, 从 2000 年起, x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? (Ⅱ)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少? (师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结:从特殊到一般的归纳 法) ② 练习: 2005 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年平均增长率为 8%, 经 过 x 年后的总产值为原来的多少倍? → 变式:多少年后产值能达到 120 亿? ③ 小结指数函数增长模型: 原有量 N, 平均最长率 p, 则经过时间 x 后的总量 y=? →一般形式: 2. 教学指数形式的函数定义域、值域: ① 讨论:在[m,n]上, f ( x) ? ax (a ? 0且a ? 1) 值域? ② 出示例 1. 求下列函数的定义域、值域: y ? 2 x ? 1 ; y ? 3 5 x ?1 ; y ? 0.4 x ?1 . 讨论方法 → 师生共练 → 小结:方法(单调法、基本函数法、图象法、观察 法) ② 出示例 2. 求函数 y ? 2? x ?
1

1 的定义域和值域. 2 讨论:求定义域如何列式? 求值域先从那里开始研究?

3、例题讲解

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例 1 求函数 y ?

2 ?1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 1
x

例 2(P57 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口 年平均均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到 亿)?

例 3、已知函数 y ? 9 ? 2 ? 3 ? 2, x ? ? 1,2? ,求这个函数的值域
x x

三、巩固练习: 1、P58、3

y ? bx
2、 一片树林中现有木材 30000m3, 如果每年增长 5%Y= , 经过 x 年树林中有木材 ym3, 写出 x, y 间的函数关系式, 并利用图象求约经过多少年, 木材可以增加到 40000m3

3 ? 2 ?1 3 0.76 ?0.75 与( 3) 3. 比较下列各组数的大小: ( ) 2 与(0.4)2 ; ( ) . 5 3

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四、小结 本节课研究了指数函数性质的应用, 关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a x 的图象,在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如

y ? ka x (a>0 且 a ≠1).
五、作业 6、 P59、9 7、 设 y1 ? a3x?1 , y2 ? a?2 x , 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有: ① y1 ? y2 后记: ② y1 > y2

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课题:对数与对数运算 (一)
课 型:新授课 教学目标: 理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互化. 教学重点:掌握对数式与指数式的相互转化 . 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1.问题 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭
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(1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? (得到: ( )4 =?,

1 2

1 ( ) x =0.125 ? x=?) 2
2.问题 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经 过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? ( 得到: (1 ? 8%) x =2 ? x=? ) 问题共性: 已知底数和幂的值, 求指数 怎样求呢?例如: 课本实例由 1.01x ? m 求
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x 二、讲授新课: 1. 教学对数的概念: ① 定义:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 (logarithm). 记作 x ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 → 探究问题 1、2 的 指化对 ② 定义:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把 常用对数 log10 N 简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的
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对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 log e N 简记作 lnN → 认识: lg5 ; lg3.5; ln10; ln3 ③ 讨论:指数与对数间的关系 ( a ? 0, a ? 1 时, a x ? N ? x ? loga N ) 负数与零是否有对数? (原因:在指数式中 N > 0 ) log a 1 ? ? , log a a ? ?
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④:对数公式 a

loga N

n ? N , log a a ?n

2. 教学指数式与对数式的互化: ① 出 示 例 1. 将 下 列 指 数 式 写 成 对 数 式 : 53 ? 125 ; 2?7 ?

1 ; 3a ? 27 ; 128

10?2 ? 0.01 (学生试练 → 订正→ 注意:对数符号的书写,与真数才能构成整体) ② 出示例 2. 将下列对数式写成指数式: log 1 32 ? ?5 ; lg0.001=-3; ln100=4.606
2

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2

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(学生试练 → 订正 → 变式: log 1 32 ? ? lg0.001=? ) 3、例题讲解 例 1(P63 例 1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)54=645 (4) log 1 16 ? ?4
2

(2) 2

?6

?

1 64

(3) ( ) ? 5.73
m

1 3

(5) log10 0.01 ? ?2

(6) loge 10 ? 2.303

例 2: (P63 例 2)求下列各式中 x 的值

log 64 x ? ? (1)

2 3

(2) log x 8 ? 6

lg100 ? x (3)

? ln e ? x (4)
2

三、巩固练习: 1. 课本 64 页练习 1、2、3、4 题

2.计算: log9 27 ; log3 243 ; log 4 3 81 ; log(2?

3)

(2 ? 3) ; log 3 54 625 .

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+

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3.求 a

loga b? logb c? logc N

的值(a,b,c ? R , 且不等于 1,N>0).

4.计算 3

log3 5

? 3

log3

1 5

的值.

四. 小结: 对数的定义: ab ? N ? b ? loga N (a >0 且 a ≠1) 1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质 :

log 1 a >0 且 a ≠1 a a ?

al
五.作业:P74、1、2 后记:

oa N g

?N

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课题:对数与对数运算(二)
课 型:新授课 教学目标: 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;能较熟练地运用 法则解决问题. 教学重点:运用对数运算性质解决问题 教学难点:对数运算性质的证明方法 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数式的互化: a x ? N ? x ? log a N 2. 提问:指数幂的运算性质? 二、讲授新课: 1. 教学对数运算性质及推导:
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① 引例: 由 a p a q ? a p ? q ,如何探讨 log a MN 和 log a M 、 log a N 之间的关系?
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设 log a M ? p , log a N ? q ,由对数的定义可得:M= a ,N= a ∴MN= a a = a ∴ loga MN=p+q,即得 loga MN= loga M + loga N
p q p?q

p

q
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② 探讨:根据上面的证明,能否得出以下式子? 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则

loga (MN)= loga M +loga N

;

loga

M = log a M - log a N N



loga M n = nloga M (n ? R)
③ 讨论:自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通 过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据 对数定义将指数式化成对数式 ) 1 n ④ 运用换底公式推导下列结论: logam bn ? loga b ; log a b ? log b a m
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2. 教学例题: 例 1. 判断下列式子是否正确, ( a >0 且 a ≠1,x >0 且 a ≠1,x >0, x >

y) ,
(1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (4) loga xy ? loga x ? loga y (6) log a x ? ? log a
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x ? log a x ? log a y y

(5) (loga x)n ? n loga x
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1 x

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(7) n log a x ?

1 log a x n

例 2( P65 例 3 例 4):用 log a x , log a y , loga z 表示出(1) (2)小题, 并求出(3) 、 (4)小题的值.

xy (1) log a z

(2) log a

x2 y
3

8

(3)log z (47 ? 25 )

(4) lg 5 100

三、巩固练习: 1、P681、2、3 3. 设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 . 变式:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12、lg 3 的值.

3、计算: lg14 ? 2lg ? lg 7 ? lg18; 4. 试求 lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5的值

7 3

lg 243 lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 ; . lg 9 lg1.2

5. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证:
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1 1 1 ? ? c a 2b

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四 、小结: 对数运算性质及推导;运用对数运算性质;换底公式. 五、作业:P743、4、5 后记:

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课题:对数与对数运算(三)
课 型:新授课 教学目标: 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题,加强数学应用意识的训练,提高 解决应用问题的能力. 教学重点:用对数运算解决实践问题. 教学难点:如何转化为数学问题 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数的运算性质及换底公式? 2. 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示 log42 56 3. 问题:1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然增长率控制在 1.25℅, 问 哪 一 年 我 国 人 口 总 数 将 超 过 14 亿 ? ( 答 案 : 12 ? (1 ? 0.0125) x ? 14 → lg 7 ? lg 6 7 ? 12.4 ) 1.0125x ? → x ? lg1.0125 6 二、讲授新课: 1.教学对数运算的实践应用:让学生自己阅读思考 P67~P68 的例 5,例 6 的题 目,教师点拨思考: ① 出示例 1 20 世纪 30 年代, 查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度, 就是使用测震仪衡量地震能量的等级, 地震能量越大, 测震仪记录的地震曲线的振 幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级 M,其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了 修正测震仪距实际震中距离造成的偏差). (Ⅰ) 假设在一次地震中, 一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅 是 20,此时标准地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (Ⅱ)5 级地震给人的振感已比较明显,计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最 大振幅的多少倍?(精确到 1) ② 分析解答:读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识? ③ 出示例 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每 经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得 了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答下列问题: (Ⅰ)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (Ⅱ)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡的年数 t,并用函 数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (Ⅲ)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%,试推算古墓 的年代? ④分析解答:读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想 ⑤探究训练: 讨论展示并分析自己的结果, 试分析归纳, 能总结概括得出什么结论? 结论:P 和 t 之间的对应关系是一一对应;P 关于 t 的指数函数 P ? (5730
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1 x ) ; 2

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8、 例题选讲 例 1、已知: log18 8 ? a,18b ? 5, 求 log36 45(用含 a,b 的式子表示)

例 2、计算 log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9

例 3,已 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) 求 log

2

x 的值 y

三、巩固练习: 1. 计算: 51? log0.2 3 ; log 4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32
2
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2. 我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的 GDP 在 1999 年的 基础上翻两翻?

3 . P68、4 四、小结: 初步建模思想(审题→设未知数→建立 x 与 y 之间的关系→) ; 用数学结果解释现 象 五、作业 P749、11、12 后记:

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课题:对数函数及其性质(一)
课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例, 直观了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步理解对数函数 的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象 . 能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系 的观点分析问题. 教学重点:对数函数的图象和性质 教学难点:对数函数的图象和性质及应用 教学过程: 一、复习准备: 1. 画出 y ? 2x 、 y ? ( ) x 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质 . 2. 根据教材 P73 例,用计算器可以完成下表: 碳 14 的含量 P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数 t 讨论: t 与 P 的关系?(对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系

1 2

t ? log
5730

1 2

P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数)

二、讲授新课: 1.教学对数函数的图象和性质: ① 定义:一般地,当 a >0 且 a≠1 时,函数 y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函数的定义域是(0,+∞) ② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如: y ? 2 log 2 x , y ? log5 (5 x) 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数 对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) .

③ 探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容 和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y ? log2 x ; y ? log 0.5 x ⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? 列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察(定义域、值域、单调性、定点) 引申:图象的分布规律?

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2、总结出的表格 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图 象逐渐上升,当 0< a <1 时,图象 逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,

当 0 < a <1 时, y ? loga x 是减函 数. (4)当 a >1 时

x >1,则 loga x >0 (4)当 a >1 时,函数图象在(1, 0) 点右边的纵坐标都大于 0, 在 (1, 0< x <1, loga x <0 0)点左边的纵坐标都小于 0. 当 0 当 0< a <1 时 < a <1 时,图象正好相反,在(1, x >1,则 loga x <0 0) 点右边的纵坐标都小于 0, 在 (1, 0)点左边的纵坐标都大于 0 . 0< x <1, loga x <0
2. 教学例题 例 1: (P71 例 7)求下列函数的定义域 (1) y ? log a x2 (2) y ? loga (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1)

例 2. (P72 例 8)比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 , (2) log0.3 1.8 , (3) loga 5.1, 三.巩固练习:
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log2 8.5
log0.3 2.7 loga 5.9
( a >0,且 a ≠1)

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1、P73 页 3、4 题

2.求下列函数的定义域: y ? log0.2 (? x ? 6) ; y ? 3 log2 x .

3.比较下列各题中两个数值的大小: log 2 3和log 2 3.5 ; log0.3 4和log0.2 0.7 ;log0.7 1.6和log0.7 1.8 ; log 2 3和log3 2 .

4. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: log3 m< log3 n ; log0.3 m> log0.3 n ;

loga m> loga n (a>1)

5. 探究:求定义域 y ? log2 (3x ? 5) ; y ? log0.5 4x ? 3 .

四.小结: 对数函数的概念、图象和性质; 求定义域;利用单调性比大小. 五、作业 P74 页 7、8、10 后记:

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课题: 对数函数及其性质(二)
课 型:新授课 教学目标: 了解对数函数在生产实际中的简单应用 . 进一步理解对数函数的图象和性质 ; 学习反函数的概念 ,理解对数函数和指数函数互为反函数 , 能够在同一坐标上看出 互为反函数的两个函数的图象性质. 教学重点与难点:理解反函数的概念 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:对数函数 y ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 的图象和性质? 2. 比较两个对数的大小: log10 7 与 log10 12 ; log 0.5 0.7 与 log 0.5 0.8 3. 求函数的定义域 y ? ?1 ? log3 2x?
?1

; y ? log a (2 x ? 8)

二、讲授新课: 1. 教学对数函数模型思想及应用: ① 出示例题(P72 例 9) :溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度 pH 的计算公式

pH ? ? lg[ H ? ] ,其中 [ H ? ] 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系? (Ⅱ)纯净水 [ H ? ] ? 10?7 摩尔/升,计算纯净水的酸碱度. ②讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? → 强调数学应用思 想 2.反函数的教学: ① 引言 : 当一个函数是一一映射时 , 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的 自变量 , 而把这个函数的自变量新的函数的因变量 . 我们称这两个函数为反函数 (inverse function) ② 探究:如何由 y ? 2x 求出 x?
③ 分析:函数 x ? log2 y 由 y ? 2x 解出,是把指数函数 y ? 2x 中的自变量与因变量 对调位置而得出的 . 习惯上我们通常用 x 表示自变量, y 表示函数,即写为 y ? log2 x . 那么我们就说指数函数 y ? 2x 与对数函数 y ? log2 x 互为反函数 ④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2x 及其反函数 y ? log2 x 图象,发 现什么性质? ⑤ 分析:取 y ? 2x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标, 并判断它们是否在 y ? log2 x 的图象上,为什么?
x ⑥ 探究:如果 P 0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点

在函数 y ? log2 x 的图象上吗,为什么? 由上述过程可以得到什么结论? ( 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称)

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3、例题讲解 例 1、求下列函数的反函数 ( 1 ) y ? 5x (2) y ? log0.5 x

例 2、求函数 log1 ( x ? 6 x ? 17) 的定义域、值域和单调区间
2 2

三、巩固练习:

y?log 1 练习:求下列函数的反函数: y ? 3x ; 6 x (师生共练 → 小结步骤:解 x ;习惯表示;定义域)

2.求下列函数的反函数: y= ( 2) x (x∈R);

y= loga

x (a>0,a≠1,x>0) 2

3. 己知函数 f ( x) ? a ? k 的图象过点(1,3)其反函数 y ? f
x

-1

? x? 的图象过(2,

0)点,求 f ? x ? 的表达式.

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4.教材 P75、B 组 1、2

四、小结: 函数模型应用思想;反函数概念;阅读 P73 材料 五、作业 P74 页、9、12 后记:

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课题 :幂函数
课 型:新授课 教学目标: 通过具体实例了解幂函数的图象和性质, 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的 对称性并能进行简单的应用. 教学重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 教学过程: 一、新课引入: (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a ,这里 S 是 a 的函数;
2

(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S ,这里 a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a ,这里 V 是 a 的函数;
3

1 2

(4) 某人 ts 内骑车行进了 1 km , 则他骑车的平均速度 v ? t km / s , 这里 v 是 t 的 函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数. 观察上述五个函数,有什么共同特征?(指数定,底变) 二、讲授新课: 1、教学幂函数的图象与性质 ① 给出定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

?1

1 ② 练:判断在函数 y ? , y ? 2 x2 , y ? x3 ? x, y ? 1 中,哪几个函数是幂函数? x
③ 作出下列函数的图象: ( 1) y ? x ; (2 ) y ? x 2 ; ( 3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x 3 . ④ 引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (Ⅲ)? ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 在 第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限 地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限 地逼近 x 轴正半轴.
1

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2、教学例题: 例 1(P78 例 1) .证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数

证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x2
( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

=

= 因 x1 ? x2 <0,

x 1 ? x2 x 1 ? x2

x 1 ? x2 >0
x在[0, ? ?] 上是增函数.
? 2
? 2 3

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ? 例 2. 比较大小: (a ? 1)1.5 与 a 、
1 .5

; (2 ? a 2 ) 3 与 2

; 1 .1 2 与 0 . 9

?

1

?

1 2

.

三、巩固练习: 1、论函数 y ? x 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调 性.
2 3

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3 4
3 4

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6 5

2. 比较下列各题中幂值的大小:2.3 与 2.4 ;0.31 与 0.35 ;( 2 )

6 5

?

3 2

与 ( 3)

?

3 2

.

四、小结: 提问方式 : (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 五、作业 P79 页 1、2、3 题 六、课后记:

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课题:基本初等函数习题课
课 型:复习课 教学要求: 掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、对数函数的图象,并能根据 图象说出指数函数、对数函数的性质,了解五个幂函数的图象及性质. 教学重点:指数函数的图象和性质. 教学难点:指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

2. 求 下 列 函 数 的 定 义 域 :

?1? y ? 8 2 x ?1 ; y ? 1 ? ? ? ? 2?

1

x



y ? loga (1 ? x)2 (a ? 0, 且a ? 1)
3. 比 较 下 列 各 组 中 两 个 值 的 大 小 : log6 7与log7 6 ; log3 ?与log2 0.8 ;

1.012.7 与1.013.5
二、典型例题: 例 1:已知 log54 27 = a ,54b=3,用 a, b表示 log108 81 的值 解法 1:由 54 =3 得 log54 3 =b ∴ log108 81 =
b

log54 81 log54 27 ? log54 3 a?b a ?b = ? ? log54 108 log54 2 ? 1 2 ? log54 27 2 ? a

解法 2:由 log54 27 ? a 得 54 ? 27 设 x ? log108 81, 则 108x ? 81 所以 (54 ? 27 ) ? 3 ? 27
2 ?1 x

即: (54 ? 54 ) ? 54 ? 54
2 b

?a x

a

? 54a? b ,即2x ? ax ? a ? b a?b 因此得: x ? 2?a
所以 54 例 2、函数 y ? log 1 x ? 2 的定义域为
2

2 x ?ax

.

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例 3、函数 y ? ( ) x

1 2

2

?3 x ? 2

的单调区间为

.

例 4、已知函数 f ( x) ? log a 明.

1? x (a ? 0且a ? 1) .判断 f ( x) 1? x

的奇偶性并予以证

例 5、按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r ,设本利和为 y 元, 存期为 x ,写出本利和 y 随存期 x 变化的函数解析式. 如果存入本金 1000 元, 每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和是多少(精确到 1 元)?(复利是一 种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期 的利息. ) (小结:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,会用函数性质解决 一些简单的应用问题. )

三、 巩固练习: 1.函数 y ? log3 (?4x ? 5) 的定义域为

.,值域为

.

2. 函数 y ? 2 ? x

2

?3 x ? 2

的单调区间为

.

3. 若 点 (2, ) 既 在 函 数 y ? 2 ax ?b 的 图 象 上 , 又 在 它 的 反 函 数 的 图 象 上 , 则

1 4

a =______, b =_______
4. 函数 y ? a
x ?2

? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点

.

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5. 计算 0.064

1 ? 3

? 4? 3 ? ? ? ? ? ?? 2? ? 5?

0

?

?

?

4 3

? 16?0.75 ? 0.01 ?

1 2

.

6. 求下列函数的值域:

y?5

1 2? x

; y?? ?

?1? ? 3?

1? x

;

?1? y ? ? ? ?1 ?2?

x

; y ? 1? 2x

四、小结 本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力 五、课后作业: 教材 P82 复习参考题 A 组 1——8 题 课后记:

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课题:方程的根与函数的零点
课 型:新授课 1.理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系, 掌握零点存在的判定条件. 2.通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点,找 到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法. 教学重点、难点 重点: 零点的概念及存在性的判定. 难点: 零点的确定. 学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、 讨论和概括,从而完成本节课的教学目标。 2. 教学用具:投影仪。 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出)
2 ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2
2 2

教学目标

2 ②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2 ③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

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1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标 的关系,引出零点的概念. 生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念: 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点.
函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象 与 x 轴交点的横坐标. 即: 方 程 f ( x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数

y ? f ( x) 有零点.
函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结 概括形成结论. 二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴
2

有两个交点,二次函数有两个零点.
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(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,
2

二次函数无零点. 3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有零点______;

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
. f (?2) · f (1) _____0(<或>=) ② 在区间 [2,4] 上有零点______;

f (2) · f (4) ____0(<或>=) .
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>=) .
② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

f (b) · f (c) _____0(<或>=) .
③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

f (c) · f ( d ) _____0(<或>=) .
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况, 与函数零点是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进 行交流、评析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题
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例1. 求函数 f(x)= ? x ? 2 x ? 3 的零点个数。 问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特 性? 例 2.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算 器来画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的 区间,然后利用函数单调性判断零点的个数. 2.P88 页练习第二题的(1) 、 (2)小题 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想 又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P88 页练习第二题的(3) 、 (4)小题。 课后记:

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课题:用二分法求方程的近似解(1)
课 型:新授课 理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的近似 解;体会程序化解决问题的思想,为算法的学习作准备。 教学重点、难点 重点:用二分法求解函数 f(x)的零点近似值的步骤。 难点:为何由︱a - b ︳< 教学设想 (一) 、创设情景,揭示课题 提出问题: (1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑ x +2x-6=0 的根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知 识来求她的根呢? (2)通过前面一节课的学习,函数 f(x)=㏑ x+2x-6 在区间内有零点;进 一步的问题是,如何找到这个零点呢? (二) 、研讨新知 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,那么在一定 的精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点” 的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间 (2, 3) 的中点 2.5, 用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 f(2.5)*f(3) <0,所以零点在区间(2.5,3)内; 再取区间( 2.5 , 3 )的中点 2.75 ,用计算器算得 f(2.75) ≈ 0.512, 因为 f(2.75)*f(2.5)<0,所以零点在(2.5,2.75)内; 由于(2 ,3) , (2.5,3) , (2.5,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实 越来越小了;重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越小,这样在有限次重复 相同的步骤后,在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作为 零点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如,当精确度为 0.01 时,由于∣ 2.5390625 - 2.53125 ∣ =0.0078125 < 0.01 ,所以我们可以将 x=2.54 作为函数 f(x)=㏑ x+2x-6 零点的近似值, 即方程㏑ x+2x-6=0 近似值。 这种求零点近似值的方法叫做二分法。 1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟
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教学目标

? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)?

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其中的思想方法. 生:认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的一般步骤,探索求法。 2.为什么由︱a - b ︳< ? 便可判断零点的近似值为 a(或 b)? 先由学生思考几分钟,然后作如下说明: 设函数零点为 x0,则 a<x0<b,则: 0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于︱a - b ︳< ? ,所以 ︱x0 - a ︳<b-a< ? ,︱x0 - b ︳<∣ a-b∣< ? , 即 a 或 b 作为零点 x0 的近似值都达到了给定的精确度 ? 。

㈢、巩固深化,发展思维
1. 学生在老师引导启发下完成下面的例题 例 2. 借助计算器用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解 (精确到 0.01) 问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的? 引导学生在方程右边的常数移到左边,把左边的式子令为 f(x),则原方程的 解就是 f(x)的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点 所在的区间,然后利用二分法求解. (四) 、归纳整理,整体认识 在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题: (1) 本节我们学过哪些知识内容? (2) 你认为学习“二分法”有什么意义? (3) 在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方? (五) 、布置作业 P92 习题 3.1A 组第 4 题,第 5 题。 课后记:
x

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课题:用二分法求方程的近似解(2)
课 型:新授课 教学目标 继续了解函数的零点与对应方程根的联系,理解在函数的零点两侧函数值乘 积小于 0 这一结论的实质;通过探究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问 题、解决问题的能力。 教学重点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 教学难点 “在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”的理解. 教具准备 多媒体课件、投影仪. 教学过程 一、创设情景,引入新课 师:观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象(如下图) ,我们发现函数 f(x) =x2-2x-3 在区间[-2,1]上有零点.计算 f(-2)与 f(1)的乘积,你能发现 这个乘积有什么特点? 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究,可以发现,在区间[- 2, 1 ]的端点上, f(- 2 )> 0 , f( 1 )< 0 ,即 f(- 2) · f( 1 )< 0 ,函数 f( x ) = x2- 2x- 3 在区间(- 2, 1) 内有零点 x=- 1,它是方程 x2 - 2x - 3=0 的一个根 . 同样,在区间[ 2, 4]的端 点上, f( 2)< 0, f( 4 )> 0,即 f(2) ·f(4)<0,函数 f(x)=x2-2x-3 在 (2,4)内有零点 x=3,它是方程 x2-2x-3=0 的另一个根. 我们能从二次函数的图象看到零点的性质: 1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号 . 例如,函数 y=x2-x-6 的图象在零点-2 的左边时,函数值取正号,当它通 过第一个零点-2 时,函数值由正变负,再通过第二个零点 3 时,函数值又由负 变正.
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2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 师: 对任意函数, 结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象, 观察图象, 看看是否得出同样的结论. 二、讲解新课 1.零点的性质 如果函数 y= f( x )在区间[ a,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且 有 f( a) · f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) , 使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零点.一般地,对于不 能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说,我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来, 利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根. 2.应用举例 【例 1】 教科书 P88 例 1. 本例是考查函数零点的个数 . 通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性 质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用. (1)函数 f(x)=lnx+2x-6 的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通 过观察教科书上的图 3.1-3,发现函数的图象与 x 轴有一个交点,从而对函数 有一个零点形成直观的认识. (2)教科书上的表 3-1,可以让学生用计算器或计算机得出,使学生通过 动手实践获得对表 3-1 的认同感.通过观察表 3-1,结合图象 3.1-3,不难得出 函数的一个零点在区间(2,3)内. (3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义 域内是单调的.可以由增(减)函数的定义证明函数在( 0,+∞)上是增函数,也 可以由 g(x)=lnx、 h(x)=2x-6 在(0,+∞)上是增函数,说明函数 f(x)=g(x)+h(x)在(0, +∞)上是增函数. 【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx+1 具有以下性质: ①对任意实数 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)时,满足 x1+x2=2; ②对任意 x1、x2∈(1,+∞) ,总有 f( 则方程 ax2+bx+1=0 根的情况是 (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )> . 2 2


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A.无实数根 C.有两个异号实根

B.有两个不等正根 D.有两个相等正根

方法探究: (1)本题由条件①,知函数 f(x)的对称轴为 x=1;由条件②, 知函数 f(x)是凸函数,即 a<0;再由函数 f(x)的表达式,知 f(x)的图象过 点(0,1).根据这三点,可画出函数 f(x)的草图,如下图,发现函数 f(x)与 x 轴交点的位置,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C.

( 2 )由条件②,知函数 f( x )的图象开口向下,即 a < 0. 又由 x 1 x 2 = 0 ,可知 f(x)=0 有两个异号实根,故应选 C.

1 < a

方法技巧:解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷,但却不如解析(1) 直观,用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰,便于理解.但不难发现,如 果解析 (1) 中的三个函数语言之中有 1 个没有转化 (或错误地转化) 为图形语言, 那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到数转化过 程的等价性. 【例 3】 研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数. 方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦 . 从函数图象角度分析,只需研究函数 y=|x2-2x-3|与 y=a 的图象的交点的个数. 解:设 y=|x2-2x-3|和 y=a,利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,分别 作出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图, 当 a=0 或 a>4 时,有两个实根;当 a=4 时,有三个实根;当 0<a<4 时,有四 个实根.

方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想 .做这类题目,必 须遵循两个步骤:一是构造两个熟悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准确. 三、课堂练习 教科书 P88 练习题 1.(1) (2)
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四、课堂小结 1.本节学习的数学知识: 零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于 0;零点的确定. 2.本节学习的数学方法: 归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想. 五、布置作业 教科书 P92 习题 3.1 补充题: 1.定义在区间[-c,c]上的奇函数 f(x)的图象如下图所示,令 g(x)=af (x)+b,则下列关于函数 g(x)的叙述正确的是 1、2、3.

A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则函数 g(x)有大于 2 的零点 C.若 a≠0,b=2,则函数 g(x)有两个零点 D.若 a≥1,b<2,则函数 g(x)有三个零点 2.方程 x2-2mx+m2-1=0 的两根都在(-2,4)内,则实数 m 的取值范围为 ________. 3.已知二次函数 f(x)=x2+2(p-2)x+3p,若在区间[0,1]内至少存在一 个实数 c,使得 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 课后记:

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课题:几类不同增长的函数模型
课 型:新授课 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、 对数增长等不同增长的函数模型意义, 理 解它们的增长差异性. 教学重点、难点: 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数 函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型增长的含义. 2.教学难点 学法与教学用具: 1. 学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思考,并相互讨论,进 行探索. 2.教学用具:多媒体. 教学过程: (一)引入实例,创设情景. 教师引导学生阅读例 1,分析其中的数量关系,思考应当选择怎样的函数模 型来描述;由学生自己根据数量关系,归纳概括出相应的函数模型,写出每个方 案的函数解析式,教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. (二)互动交流,探求新知. 1. 观察数据,体会模型. 教师引导学生观察例 1 表格中三种方案的数量变化情况,体会三种函数的增 长差异,说出自己的发现,并进行交流. 2. 作出图象,描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象,分析三种方案的不同变 化趋势,并进行描述,为方案选择提供依据. (三)实例运用,巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素, 使学生认识到要做出正确选择除 了考虑每天的收益,还要考虑一段时间内的总收益 . 学生通过自主活动,分析整 理数据, 并根据其中的信息做出推理判断, 获得累计收益并给出本例的完整解答, 然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例 2 中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,
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教学目标:

选择合适的数学模型分析解决实际问题.

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使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况,进一步体会三种基本函数 模型在实际中广泛应用,体会它们的增长差异. 3.教师引导学生分析得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万 元,以及奖励比例是否超过 25%进行分析,才能做出正确选择,学会对数据的特 点与作用进行分析、判断。 4.教师引导学生利用解析式,结合图象,对例 2 的三个模型的增长情况进 行分析比较,写出完整的解答过程 . 进一步认识三个函数模型的增长差异,并掌 握解答的规范要求. 5.教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析,探究幂函数 y ? xn( n > 0) 、指数函数 y ? a n ( a >1) 、对数函数 y ? log a x ( a >1)在区间(0,+∞) 上的增长差异,并从函数的性质上进行研究、论证,同学之间进行交流总结,形 成结论性报告. 教师对学生的结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示. 6. 课堂练习 教材 P98 练习 1、2,并由学生演示,进行讲评。 (四)归纳总结,提升认识. 教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数模型的含义及其差异, 认识数学与现实生活、 与其他学科的密切联系, 从而体会数学的实用价值和内在变化规律. (五)布置作业 教材 P107 练习第 2 题 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实 例,对它们的增长速度进行比较,了解函数模型的广泛应用,并思考。有时同一 个实际问题可以建立多个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎样选用合理 的函数模型. 课后记:

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课题: 函数模型的应用实例(Ⅰ)
课 型:新授课 能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二次函 数模型解决实际问题. 教学重点与难点: 1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型. 学法与教学用具 1. 学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究 . 2. 教学用具:多媒体 教学过程 (一)创设情景,揭示课题 引例:大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的 一道题: “今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四 句的意思就是: 有若干只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个 “鸡兔同笼” 问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法:他假设砍去每只鸡 和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡” 和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数,即:47-35=12;鸡 数就是:35-12=23. 比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望. 可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. (二)结合实例,探求新知 例 1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北京 2h 内行驶的路程. 探索: 1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; 2)所涉及的变量的关系如何? 3)写出本例的解答过程. 老师提示:路程 S 和自变量 t 的取值范围(即函数的定义域) ,注意 t 的实际 意义.
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教学目标:

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学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析. 例 2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 5 元,该 商店制定了两种优惠办法: 1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述? 2)本例涉及到几个函数模型? 3)如何理解“更省钱?” ; 4)写出具体的解答过程. 在学生自主思考,相互讨论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例, 数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特 征和关系抽象出来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题的关 键。数学模型可采用各种形式,如方程(组) ,函数解析式,图形与网络等 . 课堂练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客 满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会 减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金 总收入最高? 引导学生探索过程如下: 1)本例涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解? 根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交 流、进行评析. [略解:] 设客房日租金每间提高 2 x 元,则每天客房出租数为 300-10 x ,由 x >0, 且 300-10 x >0 得:0< x <30 设客房租金总上收入 y 元,则有:

y =(20+2 x )(300-10 x )
=-20( x -10)2 + 8000(0< x <30) 由二次函数性质可知当 x =10 时, ymax =8000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客户租金总收入最高, 为每天 8000 元. 课堂练习 2 要建一个容积为 8m3, 深为 2m 的长方体无盖水池, 如果池底和
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池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元, 试求应当怎样设计, 才能使水池总造

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价最低?并求此最低造价. (三)归纳整理,发展思维. 引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤: 1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问 题转化为 函数模型问题: 2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答; 3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解; 4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图 形的直观 性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制. (四)布置作业 作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 3 、4 题:

课后记:

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课题: 函数模型的应用实例(Ⅱ)
课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题, 进一步感受运 用函数概念建立函数模型的过程和方法, 对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、 教学重点 重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点:将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评 价. 三、 学法与教学用具 1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论. 2. 教学用具:多媒体 四、 教学设想 (一)创设情景,揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的, 但需我们利用问题中 的数据及其蕴含的关系来建立 . 对于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的 数学模型进行分析评价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. (二)实例尝试,探求新知 例 1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 . 1)写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2)写出汽车行驶路程 y 关于时间 t 的函数关系式,并作图象; 3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 4)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立 汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图 象. 本例所涉及的数学模型是确定的,需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建 立数学模型,此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现 形式. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律, 可以为有效控制人口增长提供依据. 早在 1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自
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型:新授课

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然状态下的人口增长模型:

y ? y0ert
其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1950 55196 1955 61456 1951 56300 1956 62828 1952 57482 1957 64563 1953 58796 1958 65994 1954 60266 1959 67207

1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并 检验所得模型与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 探索以下问题: 1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要 几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做 出如何评价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算 方法? 本例的题型是利用给定的指数函数模型 y ? y0ert 解决实际问题的一类问题, 引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数 y0 与 t . 完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器. 在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时,可引导学生利用计算 器或计算机作出所确定函数的图象,并由表中数据作出散点图,通过比较来确定 函数模型与人口数据的吻合程度,并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种 形式. 引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测,实质上是通过求一 个对数值来确定 t 的近似值. 课堂练习:某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,
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1.2 万件,1.3 万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数可以选用二次函数 或函数 y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由. 探索以下问题: 1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2)如何对所确定的函数模型进行评价? 本例是不同函数的比较问题, 要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是 4 月份产量的吻合程度,这也是 对函数模评价的依据. 本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用. 三. 归纳小结,发展思维. 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; 2)利用待定系数法,确定具体函数模型; 3)对所确定的函数模型进行适当的评价; 4)根据实际问题对模型进行适当的修正. 通过以上三题的练习,师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般 方法,指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,是解决实际问题的重 要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下:
收 集 数 据 画 散 点 图 选 择 函 数 模 型 求 函 数 模 型

符合 检


实际

不符合实际 从以上各例体会到:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象, 判断问题适用的函数模型,借助计算器或计算机数据处理功能,利用待定系数法 得出具体的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用 的一个基本过程. 图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式 . 在实际应用时,经 常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化. (四)布置作业:教材 P107 习题 3.2(A 组)第 6 题.
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课题:第三章单元复习 课
教学目标 了解方程的根与函数零点的关系,理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二 分法求方程的近似解,了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、 对数函数、幂函数增长速度的比较,能熟练进行数学建模,解决有关函数实际应 用问题。 教学重点 应用函数模型解决有关实际问题. 教学难点 二分法求方程的近似解,指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较. 教具准备 多媒体、课时讲义. 教学过程 一、知识回顾 (一)第三章知识点 1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质. 2.二分法,用二分法求函数零点的步骤. 3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长) ,指数函数、 对数函数、幂函数增长速度的比较. 4.函数模型,解决实际问题的基本过程. (二)方法总结 1.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此,求函数的零点问题通 常可转化为求相应的方程的根的问题. 2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途 径: (1)利用求根公式; (2)利用二次函数的图象; (3)利用根与系数的关系. 无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间 断性,有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.
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型:复习课

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3.用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似 值 x,使它与零点的误差不超过正数ε ,即使得|x-x0|≤ε . (1)在 D 内取一个闭区间[a,b] ? D,使 f(a)与 f(b)异号,即 f(a) ·f (b)<0. 令 a0=a,b0=b. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为 x0=a0+

1 1 (b0-a0)= (a0+b0). 2 2

计算 f(x0)和 f(a0). 判断:①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0) ·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]内,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0) ·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]内,令 a1=x0,b1=b. (3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为 x1=a1+

1 1 (b1-a1)= (a1+b1). 2 2

计算 f(x1)和 f(a1). 判断:①如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a1) ·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2=a1,b2=x1. ③如果 f(a1) ·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2=x1,b2=b1. ?? 实施上述步骤,函数的零点总位于区间[ an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区 间[an,bn]的中点 xn=

1 ( a n+ b n ) . 2

就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点与真 正零点的误差不超过ε .
x 4.对于直线 y=kx+b (k≥0) , 指数函数 y=m· a( m>0, a >1 ) , 对数函数 y=logbx

(b>1) , (1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次 函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快. (2)通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象(图象可借助于现代 信息技术手段画出)进一步体会: 直线上升,其增长量固定不变;
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指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的 .随着自变 量的不断增大,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差 距大得惊人,所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容. 对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上 升. 5.在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1) ,y=logax(a>1) ,y=xn(n> 0)都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不在同一个‘档次’上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会远远超过 y=xn(n>0)的增长速 度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个 x0,当 x >x0 时,ax>xn>logax. 6.实际问题的建模方法. (1)认真审题,准确理解题意. (2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系 .运用已 有的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表示出来,建立函数关系式. (3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答. 必须说明的是: (1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养同学们应用数 学的意识和分析问题的能力. (2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似地反映实 际问题所得出的关于实际问题的数学描述,即为数学模型. 7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:

二、例题讲解 【例 1】 作出函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象,并写出方程 x3=3x-1 的近似解. (精确到 0.1)
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解:函数 y=x 与 y=3x-1 的图象如下图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相 等.

因此,这三个交点的横坐标就是方程 x3=3x-1 的解. 由图象可以知道, 方程 x3=3x-1 的解分别在区间 (- 2, -1) 、 (0, 1) 和 (1, 2)内,那么,对于区间(-2,-1) 、 (0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以 求得它精确到 0.1 的近似解为 x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5. 【例 2】 分别就 a=2,a= 程 ax=logax 的解的个数. 思路分析:可通过多种途径展示画函数图象的方法. 解:利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下 图所示.

5 1 和 a= 画出函数 y=ax,y=logax 的图象,并求方 4 2

根据图象,我们可以知道,当 a=2,a= 分别为 0,2,1.

5 1 和 a= 时,方程 ax=logax 解的个数 4 2

【例 3】 根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,1999 年上海 完成 GDP(国内生产总值)4035 亿元,2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、 市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%, 若 GDP 与人口均按
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教案总序号___

这样的速度增长,则要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需 ________年.(按:1999 年本市常住人口总数约为 1300 万) 思路分析:抓住人均 GDP 这条线索,建立不等式. 解:设需 n 年,由题意得 化简得
(1 ? 9%) n (1 ? 0.08%) n 4035? (1 ? 9%) n 13000000? (1 ? 0.08%)
n



2 ? 4035 , 13000000

≥2,解得 n>8.

答:至少需 9 年. 三、课堂练习 教科书 P112 复习参考题 A 组 1~6 题. 四、课堂小结 1.函数与方程的紧密联系,体现在函数 y=f(x)的零点与相应方程 f(x)=0 的实数根的联系上. 2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般 步骤. 3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及 幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型. 五、作业布置 教科书 P112 复习参考题 A 组 7,8,9. 课后记: B 组 1,2

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