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三角形“四心”向量形式的充要条件应用教师版


三角形“四心”向量形式的充要条件应用 例题讲解
(一)将平面向量与三角形内心结合考查

例 1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP

? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

),


? ? ?0,??? 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的(
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心



解析:因为

AB AB

是向量

AB

的单位向量设

AB



AC

方向上的单位向量分别为

e1和 e2





OP ? OA ? AP ,则原式可化为 AP ? ?(e1 ? e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC ,那么在 ?ABC AP 平分 ?BAC ,则知选 B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2. H 是△ABC 所在平面内任一点, HA? HB ? HB? HC ? HC ? HA ? 点 H 是△ABC 的垂心.

中,

由 HA? HB ? HB? HC ? HB? ( HC ? HA) ? 0 ? HB? AC ? 0 ? HB ? AC , 同理 HC ? AB , HA ? BC .故 H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略) ) 例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? A.外心 解析:由 PA? PB ? B.内心

PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的(D
D.垂心



C.重心

PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 .即 PB ? (PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0
BC, PC ? AB
所以 P 为 ?ABC 的垂心. 故选 D.

则 PB ? CA,同理PA ?

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4. G 是△ABC 所在平面内一点, GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是

△ABC 的重心. 证明 作图如右,图中 GB ? GC ? GE

连结 BE 和 CE,则 CE=GB,BE=GC ? BGCE 为平行四边形 ? D 是 BC 的中点,AD 为 BC 边上的中线. 将 GB ? GC ? GE 代入 GA ? GB ? GC =0, 得 GA ? EG =0 ? GA ? ?GE ? ?2GD ,故 G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略) ) 例 5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 ? PG ?

1 ( PA ? PB ? PC) . 3

-1-

证明

PG ? PA ? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? ( PA? PB ? PC)

∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA ? GB ? GC =0 ? AG ? BG ? CG =0,即 3PG ? PA? PB ? PC 由此可得 PG ?

1 ) ( PA ? PB ? PC) .(反之亦然(证略) 3

例 6 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC

?0

,则 O 是 ?ABC 的(



A.内心

B.外心

C.垂心

D.重心

解析:由

O A? O B? O C?0 得 OB ? OC ? ?OA

, 如 图 以 OB 、 OC 为 相 邻 两 边 构 作 平 行 四 边 形 , 则 ,同理可证其它两边上的这个性质,所以是

1 ,由平行四边形性质知 OE ? OD , OA ? 2 OE O B? O C? O D 2
重心,选 D。 (四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若 O 为 ?ABC 内一点, A.内心 B.外心

OA ? OB ? OC
D.重心

,则 O 是 ?ABC 的(



C.垂心

解析:由向量模的定义知 O 到 ?ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ?ABC 的外心 ,选 B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0,| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1, 求证 证明 △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 由已知 OP 1 + OP 2 =- OP 3 ,两边平方得 OP 1 · OP 2 =?

1 , 2

同理 OP2 · OP 3 = OP 3 · OP 1 =?

1 , 2

∴| P 1 P2 |=| P2 P 3 |=| P 3P 1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 反之,若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心,则显然有 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |. 即 O 是△ABC 所在平面内一点,

OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.
例 9. 若 O、 H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 证明 若△ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图.

OH ? OA ? OB ? OC .

连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD,CD. ∴ AD ? AB , CD ? BC .又垂心为 H, AH ? BC , CH ? AB , ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形 AHCD 为平行四边形,

-2-

∴ AH ? DC ? DO ? OC ,故 OH ? OA ? AH ? OA ? OB ? OC .

课后巩固练习
1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP =

1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2
B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点

( B )

A.AB 边中线的中点 C.重心 解 析 : 取 AB 边 的 中 点 M , 则

OA ? OB ? 2OM , 由 OP

=

1 3

(

1 OA 2

+

1 OB 2

+2

OC ) 可 得

3 OP ? 3OM ? 2MC ,∴ MP ? 2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点 P 不过重心,

3

故选 B. 2.在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: O为 ?ABC 的 A 外心 B ( 内心 D ) C 重心 D 垂心

OA

2



BC

2



OB + CA = OC

2

2

2



AB

2

,则

3.已知 O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:

OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满足:

( C



PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三角形的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2 2



D



5 . 在 三 角 形 ABC 中 , 动 点 P 满 足 : ( A B ) 外心 B 内心 C 重心

CA ? CB ? 2 AB ? CP , 则

P 点 轨 迹 一 定 通 过 △ ABC 的 :

D 垂心 )

→ → → → AB AC AB AC 1 → → → 6.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 解析: 非零向量与满足( B.直角三角形 C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

AB AC )· =0, 即角 A 的平分线垂直于 BC, ∴ ? | AB | | AC |

o s AB=AC, 又c

A?

A B A C ? |A B| | A C|

=

1 , 2

∠A=

? ,所以△ABC 为等边三角形,选 D. 3

7. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH

? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m

=

1

8.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的(D ) -3-

(A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点

(B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点

? ? OB ? OC ? AB AC ? 9.已知 O 是△ABC 所在平面内的一点,动点 P 满足 OP ? ? ?? ? ?, ? ? ?0,??? ,则动 2 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
点 P 一定过△ABC 的〔 C 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

? ? ? AB AC ? 10、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? ,则 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
动点 P 一定过△ABC 的〔 B 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

-4-


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