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【课堂新坐标】2017届高三理科数学(通用版)二轮复习练习:1.4.2空间中的平行与垂直关系.doc


突破点 11 空间中的平行与垂直关系

提炼 1

异面直线的性质

(1)异面直线不具有传递性.注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条 直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线. π? (2)异面直线所成角的范围是? 所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂 ?0,2?, 直. (3)求异面直线所成角的一般步骤为:①找出(或作出)适合题设的角——用平移法;②求 ——转化为在三角形中求解;③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼 2 平面与平面平行的常用性质

(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. (4)两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼 3 证明线面位置关系的方法

(1)证明线线平行的方法:①三角形的中位线等平面几何中的性质;②线面平行的性质 定理;③面面平行的性质定理;④线面垂直的性质定理. (2)证明线面平行的方法:①寻找线线平行,利用线面平行的判定定理;②寻找面面平 行,利用面面平行的性质. (3)证明线面垂直的方法:①线面垂直的定义,需要说明直线与平面内的所有直线都垂 直;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理. (4)证明面面垂直的方法:①定义法,即证明两个平面所成的二面角为直二面角;②面 面垂直的判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线.

回访 1 异面直线的性质 1.(2016· 全国乙卷)平面 α 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平 面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )

A. C. A

3 2 3 3 1 D. 3

B.

2 2

[设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1.

∵平面 α∥平面 CB1D1,∴m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1=CD1, 同理可证 CD1∥n. 因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1 与 CD1 所成的角. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,△CB1D1 是正三角形, 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60° ,其正弦值为 3 .] 2

2. (2015· 广东高考)若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 α 内, l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的是( A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 D [由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一条与 l 相交.] )

回访 2 面面平行的性质与线面位置关系的判断 3.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l ⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l )

D

[根据所给的已知条件作图,如图所示.

由图可知 α 与 β 相交,且交线平行于 l,故选 D.] 4.(2016· 全国甲卷)α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:

①如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. ②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. ③如果 α∥β,m? α,那么 m∥β. ④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) ②③④ [对于①,α,β 可以平行,也可以相交但不垂直,故错误. 对于②,由线面平行的性质定理知存在直线 l? α,n∥l,又 m⊥α,所以 m⊥l,所以 m ⊥n,故正确. 对于③,因为 α∥β,所以 α,β 没有公共点.又 m? α,所以 m,β 没有公共点,由线面 平行的定义可知 m∥β,故正确. 对于④,因为 m∥n,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 α 所成的角相等.因为 α∥β,所以 n 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等,所以 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等,故正 确.]

热点题型 1 空间位置关系的判断与证明 题型分析: 空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式, 此类题目综合 体现了相关判定定理和性质定理的考查, 同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的 思想. (1)(2016· 兰州三模)α,β 是两平面,AB,CD 是两条线段,已知 α∩β=EF,AB ⊥α 于点 B,CD⊥α 于点 D,若增加一个条件,就能得出 BD⊥EF.现有下列条件: ①AC⊥β;②AC 与 α,β 所成的角相等;③AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上; ④AC∥EF. 其中能成为增加条件的序号是________. 【导学号:85952040】 ①③ [若 AC⊥β,且 EF? β,则 AC⊥EF,又 AB⊥α,且 EF? α,则 AB⊥EF,AB 和

AC 是平面 ACDB 上的两条相交直线,则 EF⊥平面 ACDB,则 EF⊥BD,①可以成为增加的 条件;AC 与 α,β 所成的角相等,AC 和 EF 不一定垂直,可以相交、平行,所以 EF 与平面 ACDB 不一定垂直,所以推不出 EF 与 BD 垂直,②不能成为增加的条件;由 CD⊥α,EF? α,得 EF⊥CD,所以 EF 与 CD 在 β 内的射影垂直,又 AC 与 CD 在 β 内的射影在同一直线 上,所以 EF⊥AC,CD 和 AC 是平面 ACDB 上的两条相交直线,则 EF⊥平面 ACDB,则 EF ⊥BD,③可以成为增加的条件;若 AC∥EF,则 AC∥α,则 BD∥AC,所以 BD∥EF,④不 能成为增加的条件,故能成为增加条件的序号是①③.]

图 111 (2)(2016· 全国乙卷)如图 111,已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶 点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. ①证明:G 是 AB 的中点; ②在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由), 并求四面体 PDEF 的体 积. [解题指导] (2)① 正投影D,E → AB⊥PD,AB⊥DE → AB⊥平面PED → AB⊥PG ② PA⊥PB PB⊥PC → 过点E作EF∥PB 交PA于点F → 证明EF⊥平面PAC → 点D在CG上

2 1 → PE= PG,DE= PC → DE=2,PE=2 2 → EF=PF=2 → 求四面体的体积 3 3 [解] ①证明:因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D, 所以 AB⊥PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E,所以 AB⊥DE.1 分 因为 PD∩DE=D,所以 AB⊥平面 PED,故 AB⊥PG.2 分 又由已知可得,PA=PB,所以 G 是 AB 的中点.3 分

②在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投 影.4 分 理由如下: 由已知可得 PB⊥PA, PB⊥PC, 又 EF∥PB, 所以 EF⊥PA, EF⊥PC.又 PA∩PC =P,因此 EF⊥平面 PAC,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由① 2 知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG.8 分 3 2 1 由题设可得 PC⊥平面 PAB, DE⊥平面 PAB, 所以 DE∥PC, 因此 PE= PG, DE= PC.10 3 3 分

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2,11 分 1 1 4 所以四面体 PDEF 的体积 V= × × 2× 2× 2= .12 分 3 2 3

在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时,我们可以从线、面的概念、定理出 发,学会找特例、反例和构建几何模型.判断两直线是异面直线是难点,我们可以依据定义 来判定,也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线 是异面直线)判定.而反证法是证明两直线异面的有效方法. 提醒: 判断直线和平面的位置关系中往往易忽视直线在平面内, 而面面位置关系中易忽 视两个平面平行.此类问题可以结合长方体中的线面关系找出假命题中的反例. [变式训练 1] (1)(2016· 石家庄二模)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的 平面,给出下列四个命题: ①若 m? α,n∥α,则 m∥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ;③若 α∩β=n,m∥n, 则 m∥α,m∥β;④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中真命题的个数为( A.0 C.2 B )

B.1 D.3

[若 m? α,n∥α,则 m,n 可能平行或异面,①错误;若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ,又

m⊥α,则 m⊥γ,②正确;若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 或 m∥β 或 m? α 或 m? β,③错误; 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α,β 可能平行或相交,④错误,则真命题个数为 1,故选 B.] (2)(2016· 全国丙卷)如图 112,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB= AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.

图 112 ①证明 MN∥平面 PAB; ②求四面体 NBCM 的体积. 2 [解] ①证明:由已知得 AM= AD=2. 3 如图,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC,

1 TN= BC=2. 2 又 AD∥BC,故 TN 綊 AM,2 分 所以四边形 AMNT 为平行四边形, 于是 MN∥AT. 因为 AT? 平面 PAB,MN?平面 PAB, 所以 MN∥平面 PAB.4 分 ②因为 PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点, 1 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA. 2 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC=3 得 AE⊥BC,AE= AB2-BE2= 5.6 分 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5, 1 故 S△BCM= × 4× 5=2 5.8 分 2 1 PA 4 5 所以四面体 NBCM 的体积 VNS × = .12 分 BCM= × 3 △BCM 2 3 热点题型 2 平面图形的翻折问题 题型分析:? 1? 解决翻折问题的关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系 的变化情况. ? 2? 找出其中变化的量和没有变化的量,一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发 生变化,不在同一个平面上的性质发生变化. (2016· 全国甲卷)如图 113,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E, F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置.

图 113 (1)证明:AC⊥HD′; 5 (2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 2,求五棱锥 D′?ABCFE 的体积. 4

[解] (1)证明:由已知得 AC⊥BD,AD=CD.1 分 AE CF 又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF.2 分 AD CD 由此得 EF⊥HD,故 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′.3 分 OH AE 1 (2)由 EF∥AC 得 = = .4 分 DO AD 4 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4. 所以 OH=1,D′H=DH=3.5 分 于是 OD′2+OH2=(2 2)2+12=9=D′H2, 故 OD′⊥OH.6 分 由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以 AC⊥平面 BHD′,于是 AC⊥OD′.8 分 又由 OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD′⊥平面 ABC. EF DH 9 又由 = 得 EF= .10 分 AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S= × 6× 8- × × 3= .11 分 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′?ABCFE 的体积 V= × × 2 2= .12 分 3 4 2

翻折问题的注意事项 1.画好两图:翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图. 2.把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系,哪些 平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是准确把握几何体结构特征, 进行空间线面关系逻辑推理的基础. 3.准确定量:即根据平面图形翻折的要求,把平面图形中的相关数量转化为空间几何 体的数字特征,这是准确进行计算的基础. [变式训练 2] (2016· 海淀二模)已知长方形 ABCD 中,AD= 2,AB=2,E 为 AB 的中 点.将△ADE 沿 DE 折起到△PDE,得到四棱锥 PBCDE,如图 114 所示.

图 114 (1)若点 M 为 PC 的中点,求证:BM∥平面 PDE; (2)当平面 PDE⊥平面 BCDE 时,求四棱锥 PBCDE 的体积;

(3)求证:DE⊥PC. [解] (1)证明:取 DP 中点 F,连接 EF,FM. 因为在△PDC 中,点 F,M 分别是所在边的中点,

1 所以 FM 綊 DC.1 分 2 1 又 EB 綊 DC,所以 FM 綊 EB,2 分 2 所以四边形 FEBM 是平行四边形,所以 BM∥EF.3 分 又 EF? 平面 PDE,BM?平面 PDE. 所以 BM∥平面 PDE.4 分 (2)因为平面 PDE⊥平面 BCDE, 在△PDE 中,作 PO⊥DE 于点 O, 因为平面 PDE∩平面 BCDE=DE,所以 PO⊥平面 BCDE.6 分 在△PDE 中,计算可得 PO= 6 ,7 分 3

1 1 1 6 3 所以 V 四棱锥 P= .8 分 BCDE= Sh= × (1+2)× 2× 3 3 2 3 3 (3)证明:在矩形 ABCD 中,连接 AC 交 DE 于点 I, 因为 tan∠DEA= 2,tan∠CAB= 2 , 2

π 所以∠DEA+∠CAB= ,所以 DE⊥AC,9 分 2 所以在四棱锥 PBCDE 中,PI⊥DE,CI⊥DE,10 分 又 PI∩CI=I,所以 DE⊥平面 PIC.11 分 因为 PC? 平面 PIC,所以 DE⊥PC.12 分


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