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1.5三角函数诱导公式(教师用)


必修Ⅳ——三角函数 1.5 三角函数的诱导公式(教师用) 知识要点:
sin cos tan cot

2 k? ? ? (k ? Z )

sin ?

cos? ?cos? cos? ?cos? cos?
sin ?

tan ? tan ?

cot ?

cot ?

? ?? ?? ? ??
2? ? ?

? sin ? ? sin ?
sin ?

? tan ?
? tan ? ? tan ? cot ? ? cot ? cot ? ? cot ?

? cot ?
? cot ? ? cot ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ?

? sin ?

?
2

?? ??

cos? cos? ?cos? ?cos?

?
2

? sin ? ? sin ?
sin ?

3? ?? 2 3? ?? 2

备注: (1)纵变横不变,符号看象限。
(2)诱导公式关键步骤: (1)把 ? 看成锐角; (2)确定符号; (3)确定函数名称。

典型题型讲解:
题型一 已知角求三角函数值
求下列各三角函数值

例 1:
(1) sin

? 29? ? ? (3) tan ? ?855 ? ?; 6 ? ? 20? 2? ? 2? ? 3 ? 解: (1) sin ; ? sin ? 6? ? ? sin ? ? ? sin 3 3 ? 3 3 2 ? 5? ? ?? 3 ? 29? ? ? ? 5? ? ? 5? ? ? ?? ? (2) cos ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ; 6 ? 6? 2 ? 6 ? ? ? 6 ? ? 6 ? ? ?6?
(2) cos ? ?
? ? ? ? ? ? ? (3) tan ?855 ? tan ?3 ? 360 ? 225 ? tan 225 ? tan 180 ? 45 ? tan 45 ? 1 。

20? ; 3

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? 2? 3? 4? tan10? ? tan170? ? sin1866? ? sin ? ?606? ? ? cos ? cos ? cos ; (2) 5 5 5 5 ? 2? 2 ? ?? ? 2? 2? ? ? ? ? 解: (1)原式 ? cos ? cos ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? cos ? cos ? cos ? 0 5 5 5 ? 5? 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)原式 ? tan10 ? tan ?180 ? 10 ? ? sin ? 5 ? 360 ? 66 ? ? sin ? ?2 ? 360 ? 144 ?

例 2:

cos 计算: (1)

? tan10? ? tan10? ? sin 66? ? sin144? ? sin 66? ? sin ?180? ? 66? ? ? sin 66? ? sin 66? ? 0
1

必修Ⅳ——三角函数
及时演练: 1、求下列三角函数值:

3 ? 4? ? ; ?? 2 ? 3 ? 17? ? 31? ? ? 10? ? ? ? (4)cos ? ?60 ? ? sin ? ?210 ? ? 0 ;(5)sin ? ? ? 0 ; ? ? cos ? ? ? ? tan 4 ? 6 ? ? 3 ? ? cos1290? ?? cos ? ?1020 ?? sin ? ?1050 ? ? tan 855? ? 0 。 (6) sin ? ?1200 ??
(1) cos 210 ?
?

?

3 2

; (2) sin

5? ? 4

?

2 2

; (3) sin ? ?

sin(1440? ? ? ) ? cos(? ? 1080?) sin(3? ? ? ) ? cos(? ? 4? ) ? ?1 。 (8) ? cos(?180? ? ? ) ? sin(?? ? 180?) cos(?? ? 5? ) ? sin(?? ? ? ) ? ? 1 。 (9) cos 2 ( ? ? ) ? cos 2 ( ? ? ) ?
(7)

1 。

4

4

题型二 给值(或式)求值 例 3: 填空
(1) 若c o s 1 6 5
?

,? a 则 tan195? ?

; (2) 若s i n ?

? ? (3)已知 sin 53.13 ? 0.8 ,则 cos ?936.87 ?

?

?

?? ? ? 2? ? 则c ?? ? ? a, o s ? ?? ? ? ?6 ? ? 3 ?
; 。



? 1 ?? ? ?? ? ? x ? ? ? ,且 0 ? x ? ,则 sin ? ? x ? ? 2 5 ?4 ? ?4 ? sin165? ? ? ? ? 解: (1) tan195 ? tan ? 360 ? 165 ? ? ? tan165 ? ? cos165?
(4)已知 sin ? ∵ cos165 ? a
?

∴ sin165? ? 1 ? cos2 165? ? 1 ? a2

?? ? ?? ? ? a ?6 ? ? (3)∵ sin 53.13 ? 0.8
(2)∵ sin ? ∴

1 ? a2 a ?? ? ? ? 2? ? ?? ?? ? ∴ cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?a ? 3 ? ?? ?6 ? ?2 ? 6
∴ tan195 ? ?
?

cos ? ?936.87? ? ? cos ? 936.87? ? ? cos ? 720? ? 216.87 ? ? ? cos ? 216.87 ? ? ? cos ?180? ? 36.87? ? ? ? cos ? 36.87? ? ? ? cos ? 90? ? 53.13? ? ? ? sin 53.13? ? ?0.8

(4) sin ?

?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? x ? ? sin ? ? ? ? x ?? ? cos ? ? x ? ?4 ? ?? ?4 ? ?2 ? 4 ? ? ? 1 ?? ? ∵ sin ? ? x ? ? ? ,且 0 ? x ? ∴? ? ? x ? 0 2 4 4 5 ?4 ?
∴ cos ?

1 2 6 ?? ? ?? ? ? x ? ? 1 ? sin 2 ? ? x ? ? 1 ? ? 25 5 ?4 ? ?4 ?

∴ sin ?

?? ? 2 6 ? x? ? 5 ?4 ?

及时演练: 1、已知 cos ?? ? ? ? ? ? (A)

3 2

1 3? ? ? ? 2? ,则 sin ? 2? ? ? ? 的值是( A ) , 2 2 1 3 3 (B) (C)- (D)± 2 2 2

2

必修Ⅳ——三角函数
1 3? ? ? ? 2? ,则 sin(2? ? ? ) ? 2 2 1 ? tan( ? ? 720?) 3、已知 ? 3? 2 2 , 1 ? tan( ? ? 360?)
2、已知 cos( ? ? ? ) ? ? , 则 [cos (? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2sin (? ? ? )] ?
2 2 2

3 2



1 ? cos (?? ? 2? )

2?

2 2



2? ? 2? 1 ? m2 , cos(? ? ) ? m(m ? 0),则 tan( ??) ? 。 ? 6 3 3 3 m 2 2 5、已知 cos ? ? ,角 ? ? ? 的终边在 y 轴的非负半轴上,则 cos ? 2? ? 3? ? ? ? 。 3 3 1 1 6、已知 sin ? ? , sin(? ? ? ) ? 1, 则 sin(2? ? ? ) ? 。 3 3 sin17 x 7、 若 f (cos x) ? cos17 x, 则 f (sin x) ? 。
4、已知

?

?? ?

8、设 f ? sin x ? ? 3 ? cos 2x ,则 f ? cos x ? ?

3 ? cos 2 x



题型三

证明问题 sin(? ? 3? ) ? cos(? ? 4? ) sin(4? ? ? ) cos(2? ? ? ) ? 例 4:求证: cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ??) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos ? sin[(? ? ? ) ? 4? ] ? cos ? 证明:左边= = cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) sin ? cos ? sin ? ? cos ? cos? ? sin ? (cos? ? sin ? ) ? sin ? cos? = = = , 2 2 cos ? ? sin ? ?cos? ? sin ? ??cos? ? sin ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 右边= = , 所以,原式成立. ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ?
及时演练:

1 ? cos(180? ? ? ) cos(?? ) ? tan3 ? 1、求证 1 ? sin(360? ? ? ) sin(540? ? ? )
1 1 1 ? cos2 ? ? cos? ? cos? sin 2 ? sin ? 3 cos ? cos ? cos ? ? ? 证明: 左边= = =tan α=右边 2 2 1 1 1 ? sin ? cos? cos ? ? sin ? ? sin ? sin(180? ? ? ) sin ? sin ?
所以,原式成立

3? ? ??) sin(4k? ? ? )sin( ? ? ) 2 2 2 2、 求证: ? ? tan(2k? ? ? ) ? cot(?k? ? ? ) cos(5? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 cos ? ? sin ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin ? cos ? 证:左边 ? 左边 ? 右边 所以原式成立 ? 右边 ? ? ? tan ? ? cot ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? sin( ? ? ) ? cos(
3

?

必修Ⅳ——三角函数
题型四 综合、运用、拓展
? 6
的 0 根 , 且 及时演练: n 是 方 程 5x2 ? 7 1 、 已 知 s i? x?

? 为 第 三 象 限 角 , 则

? 3? ? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? tan 2 ? 2? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?
2 、 若 0? ? x ? , 且 l g 4? 5 ? 。
? 2 ? 2 ?

3 4



tx ? a? n

?

l? x g? s ? i n ? x ?? l g

? c xo ?s

3 l? g , c 则 o t 2

2 l

c ox s ?
2 ?

2 2 ?1 xs? i n 3
2 ? 2

? ? sin 88 ? sin 89 ? 3、 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ??

89 2



4 、已知函数 f ? x? ? asin?? x ? ? ? ? b cos? ? x ? ? ? ,其中 a, b,? , ? 都是非零实数,又知 f ? 2003? ? ? 1,则

f ? 2004? ? 1 。
5、若函数 f ? n ? ? sin

n? ? n ? Z ? ,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ????? f ?102? ? 6

2? 3



? 是关于 x 的方程 3x2 ? 3kx ? 3k 2 ? 13 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ? 6 、已知 tan? , cot
cos? 3 ? ? ? ? ? sin? ? ? ?? ?
? ?sin ? x 7、设 f ? x ? ? ? ? ? f ? x ? 1? ? 1
则g? 8、 在

7? ,则 2

3 ?1 2



? ? x ? 0? ? , g ? x? ? ? ? x ? 0? ?g
?3? f? ?? ?4?
3


?

1? ? ?x ? ? 2? ? , 1? ? ? x ? 1? ? 1 ? x ? ? ? 2? ? ? cos ? x

?1? ?? ?4?

?1? ?5? f ? ?? g? ?? ?3? ?6?

? ABC 中,若 sin ? 2? ? A? ? ?
7? 。 12

则A? 2 sin ?? ? B ? , 3 cos A ? ? 2 cos ?? ? B ? ,

? ? ;B ? ; 4 6

C?

9、 已知 sin ?? ? ? ? cos ? ?8? ? ? ? ?

60 ?? ? ? i n ? ? , 且? ? ? , ? , 则s 169 ?4 2?

12 13

;cos? ?

5 13



4


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