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二元一次不等式组与平面区域(3课时)


3.3.1 二元一次不等式(组)与 平面区域

一、引入:
一家银行的信贷部计划年初投入2500万元用

于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个

人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资
金呢?

问题:这

个问题中存在一些不等关系

应该用什么不等式模型来刻画呢?

设用于企业贷款的资金为x万元,用于个人贷款的 资金y万元。则

x ? y ? 2500 ?12%?x ? ?10%?y ? 3 x ? 0, y ? 0

所以得到分配资金应该满足的条件:

? x ? y ? 2500 ?12x ? 10 y ? 300 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

二元一次不等式(组)的解集表示的图形

(1)复习回顾 一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ——数轴上的区间。

?x ? 3 ? 0 如:不等式组 ? 的解集为数轴上的一个区间(如图)。 ?x ? 4 ? 0
-3≤x≤4

思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集
表示什么图形?

下面研究一个具体的二元一次不等式

x +y -1>0 的解集所表示的图形。 想 问题 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢?
y? 答:分成三部分: (1)点在直线上
1

1

0

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

探索规律

直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、以二元一次不等式x +y -1< 0
的解为坐标的点都在直线x + y (1,1) (0,0) 1= 0的左下方; (2,0) x ( -1,0 ) 2、以二元一次不等式 +y -1>0 代入点的坐标 的解为坐标的点都在直线 +)y (2,1) (x -1,1 1= 0的右上方。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0正 叫做这两个区域 负 x+y-1值的正负 的边界。
区域内的点 右上方点 左下方点

1

0

1

x

x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:

方法总结:

1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

典例精析
题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

练习2:
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0
的( B )

(A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方 2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是( D )

题型二:画二元一次不等式组表示的区域

不等式组

?x ? 3y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0

表示的平面区域是

题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

题型三:综合应用

例 4、 试确定m的范围,使点(1,2)和 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 由于在异侧,则( 解析 : 由于在同侧,则(1 1, ,2 2)和( )和(1 1, ,1 1) )
代入 代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值异号, 所得数值同号, 则有( <0 0 则有(3-2+m 3-2+m)( )(3-1+m 3-1+m) )>

所以( <0 所以(m+1 m+1) )(m+2) (m+2)> 0
即: 即:-2<m<-1 m <-2或m>-1

课堂小结:
⑴ 二元一次不等式表示平面区域:

直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
1、线定界 2、点定域 3、交定区

3.3.2 二元一次不等式(组)与 平面区域

复习
⑴ 二元一次不等式表示平面区域:

直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
1、线定界 2、点定域 3、交定区

理论联系实际
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲
种肥料的主要原料是磷酸盐4 t、硝酸盐12 t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t、硝酸 盐15 t.现库存磷酸盐10 t、硝酸盐60 t,在此基 础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学

关系式,并画出相应的平面区域.
分析:列表 甲种肥料 乙种肥料 总吨数 磷酸盐t 硝酸盐t 车皮数 4 1 12 15 12 x ? 15 y

x y

4x ? y

解:设x ,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数, 于是满足以下条件:

?4 x ? y ? 10 ?12 x ? 15 y ? 60 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

y
10 8 6 4 2

4 x ? y =10
12 x ? 15 y ? 60
1 2 3 4 5

用图形表示以上限

制条件,得到的平面区 域如阴影部分所示.

O

x

1、线定界 2、点定域 3、交定区

练习

? 要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规 格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板 的块数如下表所示:
A规格 B规格 C规格

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A,B,C三种规格的成品分别15,18,27块, 用数学关系和图形表示上述要求。

?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

题型四:根据平面区域写出二元一次不等式(组) 例3、写出表示下面区域 的二元一次不等式组
y

(0,1)

x
(-4,-1) (2,-1)

方法总结

根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

题型三:综合应用

x-y+5≥0

例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0
D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2 -5

2A

B
2

y=2

o

x

x=2

题型三:综合应用 x-y+5≥0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

变式训练 题型三:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

a y=7
y=5 a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a

3.3.3 二元一次不等式(组)与 平面区域

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件)
乙产品 (1件) 0 4 2 资源限额

资源
A种配件 B种配件 所需时间 4 0 1 ≤16 ≤12

≤8

设甲、乙两种产品分别生产x、y件.

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
y
4

y?3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
y
4

y?3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得 的利润为 z ,则 z ? 2 x ? 3 y.
y
2x ? 3 y ? 0
4 B 2 N M

y?3

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

z ? 2x ? 3 y

不等组(1)是一组对变量 x、 y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、 y 的一次不等式, 所以又称为线性约束条件.

函数 z ? 2 x ? 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z ? 2 x ? 3 y 是 关于变量 x、 y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数.

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题.

满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解.

y
4

由所有可行解组 成的集合叫做可行域.

y?3
2x ? 3 y ? 0
2 M

使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解.

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? 在线性约束条件 ? 下, ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

求(1)目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值; (2)目标函数 z ? x ? y 的最大值和最小值.
y
4
x? y ?0

B
x ? 2y ? 0

N
M

y?3

2

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

举一反三
xy≥0 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1 求z=2x-y最大值与最小值 。
①作可行域(如图) 解:
②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x,若直线截距-z取得最大 值,则z取得最小值;截距-z取得最 小值,则z取得最大值.

y x+y=1

y=2x x-y=0

1
0 y=-1
B(-1,-1)

C

x
1

③因此z在A(2,-1)处取得最大值, 即Zmax=2×2+1=5; 在B(-1,-1)处取得最小值, 即Zmin=2×(-1)-(-1)=-1。 ④综上,z最大值为5;z最小值为-1.

(2,-1) A

变式演练
x-y≥0 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
①作可行域(如图) 解:

y x+y=1 1 0
C

求z=-x-y最大值与最小值。 y=-x

x-y=0 x

②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B(-1,-1)处截距-z取 得最小值,z取得最大值即Zmax=2; 在边界AC处取得截距-z最大值, z取得最小值即Zmin=-2-(-1)=-1。

1
(2,-1) A

B(-1,-1)

学案P69典型例题 例1 已知x,y满足现行约束条件 ? x-2y ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 求(1)u=4x-3y的最大值与最小值。 (2)z=(x+3) +(y+1) 的最大值和最小值。 y ?1 (3)t = 的最值。 x?3
2 2

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

x+2y-3=0
P(-3,-1)

X-2y+7=0

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

x+2y-3=0

tmax ? kPA
X-2y+7=0
Q(x,y)

t ?

y ?1 x?3

4x-3y-12=0

tmin ? kPB

P(-3,-1)

x+2y-3=0


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