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2012 No.5 全国高中数学联合竞赛模拟试题


全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(5)
一、 填空题
1、数列{an}满足 an = 1 +

1 1 + ? 1 ,则 a1+a 2+a 3+…+a 2008 =____________ 2 n (n + 1) 2

2、 将各位数码不大于 3 的全体正整数 m 按 自小到大的顺序排成 一个数列 {an } , 则

a2009 =



3 、递 增 的 正 整 数 数 列 a1 , a 2 , L ,满 足 a 7 = 120, a n + 2 = a n + a n +1 (n ≥ 1), 则 a8 的

值是



4 、在 四 面 体 ABCD 中 , AB=AC=AD=5 , BC=3 , CD=4 , DB=5 ,则 该

四面体的体积为


3 3 + = 2( x + 2 + y + 2 ) 的 解 为 x ?1 y ?1

5 、 设 x > 1, y > 1, 则 方 程 x + y +

( x, y ) =



6 、 由 模 为 1 的 n ( 2 < n < 6) 个 复 数 满 足 下 面 两 个 条 件 组 成 一 个 集 合 S : 设 (1)1 ∈ S ; (2) 若 z1 ∈ S , z 2 ∈ S , 则 z1 ? 2 z 2 cos θ ∈ S , 其 中 θ = arg
S=

z1 。 则 集 合 z2



7 、 考 虑 十 进 制 中 的 四 位 数 , 其 数 码 是 正 整 数 , 且 数 码 之 和 是 10 , 则

这样的四位数共有



8、 若数列 {an } 满足: 对任意的 n ∈ N ? , 只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立, 记这样的 m 的个数为 ( an )? ,则得到一个新数列 (an )? .例如,若数列 {an } 是 1, 2, 3…, n, … ,则数 列 (an )? 是 0,1, 2, …,n ? 1, … .已知对任意的 n ∈ N ? , an = n 2 ,则 ( a5 )? =

{

}

{

}



(( an )? )? =
二、解答题
9.已知曲线



Cn:y = nx 2 ,点 Pn ( xn , yn )( xn > 0, yn > 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…).

(1)试写出曲线

Cn

在点

Pn

处的切线

ln

的方程,并求出
1/7

ln

与 y 轴的交点

Qn

的坐标;

(2)若原点 O (0, 0) 到

ln

的距离与线段

PnQn

的长度之比取得最大值,试求试点

Pn

的坐标

( xn , yn )



(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数,

xn



yn

是满足(2)中条件的点

Pn

的坐标,


证明:
n =1

s

(m + 1) xn ? (k + 1) yn < 2

ms ? ks

( s = 1, 2, …)

10. 10.证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。
2 2 2

(2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成等差数列。

11.已知椭圆 Γ 的方程为 个顶点. (1)若点 M 满足 AM =

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , A(0, b) 、 B (0, ?b) 和 Q (a, 0) 为 Γ 的三 a2 b2

uuuu r

r 1 uuur uuu ( AQ + AB ) ,求点 M 的坐标; 2

( 2 ) 设 直 线 l1 : y = k1 x + p 交 椭 圆 Γ 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y = k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 = ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2

(3) 设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 Γ 的 两个交点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ ?令 a = 10 , b = 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1) ,若 1 1 椭圆 Γ 上的点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ ,求点 P 、 P2 的坐标. 1 1 1

uuu uuur r

uuu r

uuu uuur r

uuu r

2/7

全国高中数学联赛模拟试题( 全国高中数学联赛模拟试题(5)
二、 填空题
1、数列{an}满足 an = 1 +

1 1 2009 + ? 1 ,则 a1+a 2+a 3+…+a 2009 =____________ 2 2 n (n + 1) 2010

2、 将各位数码不大于 3 的全体正整数 m 按 自小到大的顺序排成 一个数列 {an } , 则

a2007 =



解:简称这种数为“好数” ,则一位好数有 3 个;两位好数有 3 × 4 = 12 个;三位好数有

3 × 42 = 48 个 ; … , k 位 好 数 有 3 × 4 k ?1 个 ; k = 1, 2,L , 记 S n = 3∑ 4k ?1 , 因
k =1

n

S5 < 2007 < S6 , 2007 ? S5 = 984 ,即第 2007 个好数为第 984 个六位好数;而六位好数
中,首位为 1 的共有 4 = 1024 个,前两位为 10,11,12,13 的各有 4 = 256 个,因此第 2007
5 4

个好数的前两位数为 13 ,且是前两位数为 13 的第 984 ? 3 × 256 = 216 个数;而前三位为

130,131,132,133 的各 64 个,则 a2007 的前三位为 133 ,且是前三位数为 133 的第 216 ? 3 × 64 = 24 个数;而前四位为 1330,1331,1332,1333 的各 16 个,则 a2007 的前四位为 1331 ,且是前四位数为 1331 的第 24 ? 16 = 8 个数;则 a2007 的前五位为 13311 ,且是前五
位数为 13311 的第 8 ? 4 = 4 个数,则 a2007 = 133113 .

3 、递 增 的 正 整 数 数 列 a1 , a 2 , L ,满 足 a 7 = 120, a n + 2 = a n + a n +1 (n ≥ 1), 则 a8 的

值是

。 194

4 、在 四 面 体 ABCD 中 , AB=AC=AD=5 , BC=3 , CD=4 , DB=5 ,则 该

四面体的体积为

。5 3
3 3 + = 2( x + 2 + y + 2 ) 的 解 为 x ?1 y ?1

5 、 设 x > 1, y > 1, 则 方 程 x + y + ( x, y ) = 。 (
3 + 13 3 + 13 , ) 2 2

6 、 由 模 为 1 的 n ( 2 < n < 6) 个 复 数 满 足 下 面 两 个 条 件 组 成 一 个 集 合 S : 设 (1)1 ∈ S ; (2) 若 z1 ∈ S , z 2 ∈ S , 则 z1 ? 2 z 2 cos θ ∈ S , 其 中 θ = arg
3/7

z1 。 则 集 合 z2

S=

。 {?1,1,?i, i}

7、 考 虑 十 进 制 中 的 四 位 数 , 其 数 码 是 正 整 数 , 且 数 码 之 和 是 10, 则 这样的四位数共有 。 84) (

8、 若数列 {an } 满足: 对任意的 n ∈ N ? , 只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立, 记这样的 m 的个数为 ( an )? ,则得到一个新数列 (an )? .例如,若数列 {an } 是 1, 2, 3…, n, … ,则数 列 (an )? 是 0,1, 2, …,n ? 1, … .已知对任意的 n ∈ N , an = n 2 ,则 ( a5 )? =

{

}

{

}

?



(( an )? )? =



三、

二、解答题 解答题
9.已知曲线

Cn:y = nx 2 ,点 Pn ( xn , yn )( xn > 0, yn > 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…).

(1)试写出曲线

Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; ln 的距离与线段 PnQn 的长度之比取得最大值,试求试点 Pn 的坐标

(2)若原点 O (0, 0) 到

( xn , yn );
(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数,

xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn 的坐标,


证明:
n =1

s

(m + 1) xn ? (k + 1) yn < 2

ms ? ks

( s = 1, 2, …)

4/7

10. 10.证明以下命题: (3) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a 2,b 2,c 2 成等差数列。 (4) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成等差数列。
5/7

证明:考虑到结构特征,取特值 1 , 5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征, 将等差数列分解, 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。
2 2 2 2 2 2 2 证明:当 an,bn ,cn 成等差数列,则 bn ? an = cn ? bn ,

2

2

2

分解得: (bn + an )(bn ? an ) = (cn + bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n( n ? 1) 做两种途径的分解
2

4n(n 2 ? 1) = (2n ? 2)(2n 2 + 2n) = (2n 2 ? 2n)(2n + 2) 4n(n 2 ? 1)
? an = n 2 ? 2 n ? 1 ? 对比目标式,构造 ? bn = n 2 + 1 ( n ≥ 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c = n 2 + 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任 取 正 整 数 m , n , 若 △
m ,



n

相 似 : 则 三 边 对 应 成 比 例

m 2 ? 2m ? 1 m 2 + 1 m 2 + 2m ? 1 = = , n 2 ? 2n ? 1 n 2 + 1 n 2 + 2n ? 1
由比例的性质得:

m ?1 m + 1 = ? m = n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n + 1

x2 y2 11.已知椭圆 Γ 的方程为 2 + 2 = 1(a > b > 0) , A(0, b) 、 B (0, ?b) 和 Q ( a, 0) 为 Γ 的三 a b
个顶点. (1)若点 M 满足 AM =

uuuu r

r 1 uuur uuu ( AQ + AB ) ,求点 M 的坐标; 2

( 2 ) 设 直 线 l1 : y = k1 x + p 交 椭 圆 Γ 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y = k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 = ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2

(3) 设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 Γ 的 两个交点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ ?令 a = 10 , b = 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1) ,若 1 1

uuu uuur r

uuu r

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椭圆 Γ 上的点 P 、 P2 满足 PP + PP2 = PQ ,求点 P 、 P2 的坐标. 1 1 1
a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2

uuu uuur r

uuu r

? y = k1 x + p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a 2 k12 + b2 ) x 2 + 2a 2 k1 px + a 2 ( p 2 ? b2 ) = 0 , ? 2 + 2 =1 b ?a
因为直线 l1 : y = k1 x + p 交椭圆 Γ 于 C 、 D 两点, 所以?>0,即 a 2 k12 + b2 ? p 2 > 0 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),
? x1 + x2 a2 k p =? 2 21 2 ? x0 = 2 a k1 + b ? , 则? 2 ?y = k x + p = b p 1 0 ? 0 a 2 k12 + b2 ? ? y = k1 x + p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x=p, ? y = k2 x ? a2 k p p x= = ? 2 2 1 2 = x0 ? k2 ? k1 a k1 + b b2 ? 又因为 k2 = ? 2 ,所以 ? , 2 a k1 ?y = k x = b p = y 2 0 ? a 2 k12 + b 2 ?

故 E 为 CD 的中点; 所以点 F 在椭圆 Γ 内, 可以求得直线 OF 的斜率 k2, (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上, uuur uuur uuu r b2 由 PP + PP2 = PQ 知 F 为 P1P2 的中点,根据(2)可得直线 l 的斜率 k1 = ? 2 ,从而得直线 l 1 a k2 的方程. 1 1 b2 1 F (1, ? ) ,直线 OF 的斜率 k2 = ? ,直线 l 的斜率 k1 = ? 2 = , 2 2 a k2 2
1 ? ? y = 2 x ?1 ? 解方程组 ? 2 ,消 y:x2?2x?48=0,解得 P1(?6,?4)、P2(8,3). 2 ? x + y =1 ?100 25 ?

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