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三角函数的图像和性质教师讲义


三角函数的图像和性质 k? ? ? 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 1.诱导公式(把角写成 2
?sin(? x) ? ? sin x ?sin(2k? ? x) ? sin x ? ? Ⅰ) ?cos(2k? ? x) ? cos x Ⅱ) ?cos(? x) ? cos x ?t an(? x) ? ? t an x ?t an(2k? ? x) ? t an x ? ?
?sin(? ? x ) ? sin x Ⅳ) ? ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? ? t an x ?
2 、三角函数公式 1 、两角和与差的三角函数: cos( α + β )=cos α · cos β -sin α · sin β cos( α - β )=cos α · cos β +sin α · sin β sin( α ± β )=sin α · cos β ± cos α · sin β tan( α + β )=(tan α +tan β )/(1-tan α · tan β ) tan( α - β )=(tan α -tan β )/(1+tan α · tan β 2 、倍角公式: sin(2 α )=2sin α · cos α =2/(tan α +cot α ) cos(2 α )=(cos α )^2-(sin α )^2=2(cos α )^2-1=1-2(sin α )^2 tan(2 α )=2tan α /(1-tan^2 α ) cot(2 α )=(cot^2 α -1)/(2cot α ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?
令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

?sin(? ? x ) ? ? sin x ? Ⅲ) ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? t an x ?

? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos? sin( ? ? ) ? cos? ? ? 2 2 Ⅴ) ? Ⅵ) ? ? ? ? ?cos( ? ? ) ? sin ? ?cos(? ? ? ) ? ? sin ? ? ? 2 ? 2 ?

                        ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?   tan ?? ? ? ? ?
4、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,
2 2 2 2 2

? ? csc2 ?

(3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

3、三角函数的图像与性质
1

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 “五点法”描图
(1)y=sin x 的图像在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为:

3? ,?1) (0,0), ( ,1) ,(π ,0), 2 ,(2π ,0). 2

?

(

(2)y=cos x 的图像在[0,2π ]上的五个关键点的坐标为: (0,1), (

?
2

,0) ,(π ,-1), (

3? ,0) ,(2π ,1). 2

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2.周期函数定义:对于函数 f ( x ) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的 每一个值时, f ( x ? T ) ? f ( x ) 都成立,那么就把函数 f ( x ) 叫做周期函数,不为零的常数

T 叫做这个函数的周期。(并非所有函数都有最小正周期) 三角函数的图像和性质
函数性 质 定义域

y=sin x

y=cos x

y=tan x
π {x|x≠kπ + ,k∈Z} 2

R

R

图像

2

值域

[-1,1] π 对称轴:x=kπ + (k∈Z) 2 对称中心:(kπ ,0)(k∈Z)

[-1,1] 对称轴:x=kπ (k∈Z) 对称中心:

R 无对称轴 对称中心:(

对称性

( k? ?

?
2

, 0)

k? ,0)k ? Z 2

周期

2π 单调增区间

2π 单调增区间 [2kπ -π ,2kπ ](k∈ Z); 单调减区间 [2kπ ,2kπ +π ](k∈ Z) 偶

π

[2k? ?
单调性

?
2

,2k? ?

?
2

]k ? Z ;

单调增区间

单调减区间

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)k ? Z

[2k? ?
奇偶性

?
2

,2k? ?


3? ]k ? Z 2



4.由 y=sinx 的图像变换出 y=sin(ω x+ ? )的图像一般有两个途径
利用图像的变换作图像时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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变形途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图像向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图像上各点 的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图像。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的 或向右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图像。

3、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数特点 (1)几个物理量:A―振幅; f ?

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周 期 确 定 ; ? 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如

1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? —相位; ? ―初相; T
Y 2 3 2? 9 X -2 23题 图

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |?

?
2

) 的图象如图所示,则

15 ? f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3 (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:
①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五 2
3

点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 (4) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象 纵坐标不变, 横坐标向左 ( ? >0) 或向右 ( ? <0) 平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ② 函 数 y ?sin ? x ?? ? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

?

,得到函数

y ?sin ??x ? ? ? 的图象;
③ 函 数 y ? si n?? x ? ? ? 图 象 的 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;
④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得 到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。

例:以 y ? sin x 变换到 y ? 4sin(3x ? ? ) 为例 3
y ? sin x 向左平移

?
3

个单位(左加右减) y

?? ? ? sin ? x ? ? 3? ?

横坐标变为原来的

1 ?? ? 倍(纵坐标不变) y ? sin ? 3x ? ? 3 3? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

1 y ? sin x 横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) y ? sin ?3x ? 3
向左平移

? ?? ?? ? ? 个单位(左加右减) y ? sin 3 ? x ? ? ? sin ? 3x ? ? 9 9? 3? ? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

分类解析
一 三角函数的周期 【例 1】?求下列函数的周期:

( 1y)?

?? ? s n ? i? ?3 2

? ?? x? ? ? ; (2) y ? tan ? 3x ? 6 ? ? ?
4

二 三角函数的定义域与值域 【例 2】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x 的定义域.(2)求函数 y=cos x+sin x (| x |?
2 2

?
4

)

的最大值与最小值.

tan( x ? ) sin x 4 y? lg(2 cos x ? 1) (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域;(2)
(3)已知 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,求 f (cos x) 的定义域.

?

三 三角函数的单调性 【例 3】?求下列函数的单调递增区间. (1) y ? cos(

?

1 ? 2 ? ? 2 x ) ,(2) y ? sin( ? x) ,(3) y ? tan( 3 x ? ) . 3 2 4 3 3

【训练 3】 函数 f(x)=sin ( ?2 x ? 四 三角函数的对称性 【例 4】?(1)函数 y=cos ( 2 x ? π A.x=- 6

?
3

) 的单调减区间为______.

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
π C.x= 6 π D.x= 12

).

π B.x=- 12

? π (2)若 0<α < , g ( x) ? sin( 2 x ? ? ? ) 是偶函数,则α 的值为________. 2 4
【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ ) (| ? |?

?
2

) 的一条对称轴为 x= ,则 φ =________.

π 12

(2)函数 y=cos(3x+φ )的图像关于原点成中心对称图形.则 φ =________.

五.综合题

5

3. 设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? ? , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

(1)求 f ? 0 ? ;

(2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ?

1. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)令 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的部分图像如图所示.

7? ) ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 6

三 【习题讲与练】 1.函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是()

A. x ? ?

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
12

2.将函数 y ? sin(2 x ? 则向量 ? 的坐标 可能为( ) A. ( ?

?
3

) 的图像按向量 ? 平移后所得的图像关于点 ( ?

? , 0) 中心对称, 12

? , 0) 12

B. ( ?

?
6

, 0) C. (

? , 0) 12

D. (

?
6

, 0)

3.函数 y ? cos x( x ? R) 的图像向左平移 解析式为( A. ? sin x ) B. sin x

?
2

个单位后,得到 y ? g ( x) 的图像,则 g ( x) 的

C. ? cos x

D. cos x

4.函数 f(x)=cosx (x ? R)的图像按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f(x)的图像,则 m 的 值可以为( ) A.

?
2

B. ?

C.- ?

D. -

?
2
6

5. 已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如右: 那么ω =( A. 1 ) B.2 C.1/2 D. 1/3

6. 将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图像 F 向右平移

?
3

个单位长度得到图像 F′, 若 F′的一条对称

轴是直线 x ?

? , 则 ? 的一个可能取值是( ) 1
B. ?

A.

5 ? 12

5 ? 12

C.

11 ? 12

D. ?

11 ? 12

7. 函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间(

?
2



3? )内的图像大致是() 2

A 8. 为得到函数 y ? cos ? x ?

B

C

D )

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?
B.向右平移

A.向左平移

π 个长度单位 6 5π 个长度单位 6

π 个长度单位 6 5π 个长度单位 6 ? 个单位长度,再把所得图像 3


C.向左平移

D.向右平移

9. 把函数 y ? sin x( x ? R) 的图像上所有的点向左平行移动

上所有点的横坐标缩短到原来的

1 倍 (纵坐标不变) , 得到的图像所表示的函数是 ( 2
B. y ? sin ?

A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6?

7

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ? ?,x ? R 3 ?
2 ,则 f (0) =( 3


10.已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图像如图所示, f ( ) ? ?

?

2

A. ?

2 2 B. 3 3

C.-

1 1 D. 2 2


11. 函数 y ? sin(2 x ? ?)(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 12. 若 B.

, 则( 4 2 A. sin ? ? cos ? ? tan ?
C. sin ? ? tan ? ? cos ?

?

?? ?

?

? 4


C.

? 2

D. ?

B. cos ? ? tan ? ? sin ? D. tan ? ? sin ? ? cos ?

13.函数 y ? 3cos( x ? ) 的最小正周期是()

2 5

?

6

A.

2? 5

B.

5? 2

C. 2?

D. 5?

14.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、y ? sin(2 x ? 的函数有() A. 1 个 15. f ( x) ? sin B. 2 个 C. 3 个

2? 2? 最小正周期为 ? ) 、y ? cos(2 x ? ) 中, 3 3
D. 4 个 )

2 2 x ? cos x 的图像中相邻的两条对称轴间距离为 ( 3 3 4 3 7 A.3π B. ? C. ? D. ? 3 2 6 5 16. 函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的一条对称轴方程( ) 2 ? ? ? 5 A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? ? 2 4 8 4
二、填空题 1.关于 x 的函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) 有以下命题:

①对任意 ? , f ( x ) 都是非奇非偶函数;②不存在 ? ,使 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函 数; ③存在 ? ,使 f ( x ) 是偶函数;④对任意 ? , f ( x ) 都不是奇函数.
8

其中一个假命题的序号是,因为当 ? ? 时,该命题的结论不成立. 2.函数 y ?

3.若函数 f ( x) ? 2sin(2kx ? 4.满足 sin x ?

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x ?
3

) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______.

3 的 x 的集合为_________________________________. 2

5.若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0, 6.若 sin ? ? ?

?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =________.

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? . 5

7.函数 f ( x) ? 2sin(3πx ? 1) ( x ? R) 的最小正周期为. 8.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图像如右图所示,则 ? =. 三、解答题 1. 已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期及对称中心;(2)若 x ? [ ? 值.

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小 6 3

2. 已经函数 f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图像可由函数 g ( x) 的图像经过怎样的变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

9


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