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12量子力学


一、光的量子性 热辐射→平衡热辐射
C2 ?T

M (T ) ? ? T

4

黑体辐射

M ? (T ) ? C1? ?5e

?

?mT ? b

M ? (T ) / M (T )
M ? ? 2? hc 2

? ?5 /(e ? kT ? 1)
普朗克公式 hc

M ? (T ) ? C3? ?4T
普朗克能量子假设

? ? nh? (n ? 1, 2,3,?)
康普顿效应

光电效应 1 2 h? ? mv ? W 2

爱因斯坦光量子假设

? ? nh?
光的量子性

光的波动性(干涉、 衍射、偏振)

h ?? ? (1 ? cos ? ) m0 c

光的波粒二象性:

E ? h? , p ? h / ?

不确定关系

?r ? ?pr ? ? / 2
不起作用

实物粒子的波 粒二象性

不确定关系

?r ? ?pr ? ? / 2
起作用

德布罗意关系式

E ? h? p ? h / ?
波的描述 ? , ? 波函数(概率波) ( x, y, z, t ) ? 薛定谔方程:
?? ?2 ? 2? i? ?? ? V ( x, t ) ? 2 ?t 2m ?x

粒子描述E, P 位置,速度,粒子轨道

? ? dp 牛顿方程 ?F dt
一维无限深势阱 氢原子

定态:

? 2 ? 2? ? ? V ( x)? ? E? 2 2m ?x

一维无限深势阱:
nπ ? ( x) ? A sin x a ?n

d 2? 8π 2 mE ? ? ?0 2 2 dx h 2 2 nπ 2 ? ( x) ? sin x a a 2 ?n
16E1

n?4

n?3 n?2
n ?1 x?0
a2

9E1 4E1

n2 h2 En ? 8ma 2

a

x?0

a2

a

E1

Ep ? 0

氢原子—原子能级、光谱
2 1 ? ?? 1 ? 2? ? e 2 ? 2 ? ? ? 2 ?? ? ? 2 (sin ? )? 2 2 ? ? ? E? ? 2? 2 ? 2 ?? r sin ? ?? ? 4?? 2m ? ?r r ?r r sin ? ?? ? ?

E1 ~= 1 =? =R? En ? 2 n ? 1,2,3,? ? ? c ? ? ? n

1 1 ? ? 2? 2 n f ni ? ?

h? ? Ei ? E f
氢 原 与 子 光 能 谱 级 跃系 迁

? 1 ? me 4 R ?? ? 1.097371534?107 m?1 里德伯常数 ? 4?? ? ? 3 0 ? 4? ? c ?

2

?

?

n?4 n?3 n?2

n??
帕邢系 巴耳末系
莱曼系

E? ? 0
布拉开系

n ?1

E

氢原子--四个量子数

E1 En ? 2 n ? 1,2,3,? n

L ? l (l ? 1) ? l ? 1,2,3,?(n ? 1) Lz ? ml ?, ml ? 0,?1,?2,...,?l S z ? ms ? ms ? ?1/ 2
多电子原子
①泡利不相容原理
N n ? ? 2(2l ? 1) ? 2n 2
n ?0 n ?1

②能量最小原理

例1.光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相互作 用过程。对此,在以下几种理解中,正确的是: (A)两种效应电子与光子组成的系统都服从动量守恒和 能量守恒。 (B)两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程。 (C)两种效应都属于电子吸收光子的过程。 (D)光电效应是吸收光子的过程,而康普顿效应则相当 于光子和电子的弹性碰撞过程。
答:D

例2.处于静止状态的自由电子能否吸收光子,把全部的能 量来增加自己的动能?

答:假设原来静止的自由电子与光子碰撞后吸收光子,并 以速度v 运动,则根据能量守恒定律有:
h? ? m0 c 2 ? mc 2 ? m0 c 2 / 1 ? (v / c) 2 ? v ?

c h 2? 2 ? 2h? m0c 2 h? ? m0c 2
h? c

又根据动量守恒定律有:
m0 v h? ? c 1 ? (v / c ) 2

?v?

2 h 2? 2 ? m0 c 4

显然,用动能守恒定律得到的速度与用动量守恒定律得到 的速度不同,这说明自由电子吸收光子的过程不能同时遵 守动能守恒定律和动量守恒定律。因而这一过程不可能同 时发生。

例3.图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 (1)求证对不同材料的金属,AB线的斜率相同。 (2)由图中数据求出普朗克恒量 h
U a (V )

解:(1)由 e U a ? h? ? A

2.0

U a ? h? / e ? A / e 得: U a / d? ? h / e d
(恒量)所以对不同材料的金属, 曲线的斜率相同。

0 5.0 10.0 υ (1014Hz)

(2)

2.0 ? 0 h ? tg? ? e ? ?1.6 ?10?19 ? 6.4 ?10?34 J ? S 14 (10.0 ? 5.0) ?10

例4.用波长为10nm的光子做康普顿散射实验。 (1)散射角等于900 时的康普顿散射波长是多少? A (2)分配给这个反冲电子的动能多大? (普朗克恒量 h ? 6.63 ? 10 ?34 J ? s me ? 9.11 ? 10 ?31 kg)
?

解:(1)康普顿散射光子波长改变: h ?? ? (1 ? cos ? ) ? 0.024 ?10?10 m me c

? ? ?0 ? ?? ? 1.024 ? 10 ?14 m
2

(2)根据能量守恒: h? 0 ? me c 2 ? h? ? mc 2

h? 0 ? h? ? (m ? me )c ? h? ? E K
hc / ?0 ? hc / ? ? E K ? hc /(?0 ? ?? ) ? E K
E K ? hc?? / [?0 (?0 ? ?? )] ? 4.46 ? 10 ?17 J ? 219eV

例5*.求波长为?(或频率为 ? )的光子能量、动量、质量。 h? h? ? ? h? P? m? 2 问题:为何 c c c E电子 ? h ? 6 ? 21 ? 103 eV ? hc h h ?? P? m? ? ? ? c? v电子
例2.电子与光子各具有 ?=20nm 它们的动量、总能量各等于多少? 电子的动能等于多少? 解:电子与光子的动量均为: 总能量

E电子 ? h

? ? v速度 ? ?? 频率

?

―相速度” “群速度”
电子动能 (非相对论性)

P ? h ? 3 ? 32 ? 10 ?14 kg ? m ? s ?1 ?
E光子 ? h? ? h c ? ? Pc ? 6 ? 21 ? 10 eV
3

h ?? ? 2mE k
h2 ? Ek ? ? 37 ? 7eV 2 2m ?

E电子 ?

2 p 2c 2 ? m0 c 4 ? 0 ? 512 ? 105 eV

例6*.电子由能量为 –0.85eV的状态跃迁到激发能为10.21 eV 的 状态时,所发射光子的能量。
状态能量:原子系统处于某激发态时所具有的能量。 激发能量:原子从基态被激发到某一激发态,外界所提供的能量。

某一状态的激发能量 = 该状态的状态能量— 基态能量。
氢原子的状态能量 ? 氢原子中电子的状态能量 结合能:将动能为零的电子从无限远处移来和一个离子 结合成基 态 的原子所放出的能量。数值上等于最低能量的绝对值。 电离能:把某能级的电子搬到无限远处所需要的能量。数值上 等于状态能量的绝对值。

解:激发能为10.21eV的状态能量

E x ? ( ?13 ? 6) ? 10 ? 21 ? ?3 ? 39eV

h? ? (?0.85) ? (?3.39) ? 2.54eV

4

例7.试证:如果确定一个低速运动的粒子的位置时,其不 确定量等于这个粒子的德布罗意波长,则同时确定这个粒子 的速度时,其不确定量将等于这粒子的速度。(不确定关系 式 ?x ? ?p x ? h ) 证明:不确定关系式: ?x ? ?p x ? h h h ?x ? ? ?Px ? ? ?x ?

?Px Px h ?u ? ? ? ?u ?Px ? ?(mu) ? m?u m m? m u ?u ? ?x ? ?p x ? ? / 2 4?

在实验仪器100%精确的情况下,不确定关系式中等号才成立, 实际中经常用不确定关系式去估算某些量值,对于微观粒子,其 线度很小,速度通常很大,按照现有的实验条件,估算时只要数 量级正确就够了,通常不苛求不确定关系式。

例8. 利用不确定关系式估算氢原子基态的结合能和第一玻尔半 径。 ? h 解:设 ?x ? r , ?P ? P 由?x ? ?P ? ? ? P ? ? r 2?r 2 2 2 2 P e h e E? ? ? 2 2? 2m 4?? 0 r 4?? 0 r 8? mr
dE 令 ? 0, dr 则得到

rmin

h2 ? 0 ? ?me 2

? 玻尔半径 , 将其代入上式 :

Emin

me 4 ? ? ?13 ? 6 eV 2 2 8h ? 0

基态结合能为

E * ? ? E ? 13 ? 6

例9.光子的波长为 ? 3000 A 如果确定此波长的精确度为 ?

?

?? / ? ? 10 ,试求此光子位置的不确定量。
?5

解:光子动量

p ? h/?
?p ? ? h / ?2 ?? ? (h / ? ) ? (?? / ? )

则动量数值的不确定量为

根据不确定性关系式得:
h? ? ?x ? h /( 4? ? ?p) ? ? 4?h(?? / ? ) 4? (?? / ? )

?x ? 0.024m ? 24mm

例10.如图,一束动量为 P 的电子通过缝宽为 a 的狭缝,在距 离狭缝为 R 处放置一荧光屏,屏上衍射图样中央最大的宽度 d 等于

( A) 2a 2 R ( B ) 2ha P

(C ) 2ha ( RP ) ( D) 2 Rh aP
答:D

例11. 粒子运动的波函数图形分别为以下各图确定粒子动量 的精确度最高的波函数是哪个图?
A B

C

D

答:A

例12.一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间, 描写粒子状态的波函数为 y ? cx(l ?.x) 求:在区间 0 ~ 1 l 发现粒子的几率 3 解:波函数可以乘以任何一个常数,仍描述原来的粒子, 但是它的模方是几率密度,对全空间的积分应该为1(归一 化条件),这就要求算几率时应该用描写粒子状态的归一 化的波函数。

? | ? | dx ? 1
2 0

l

? ? c x (l ? x) dx ? 1
2 2 2 0

l

? c 2 ? 30 / l 5

30 y ? 5 x(l ? x) l
1 在 0 ~ l 区间发现粒子的几率为: 3

P ? ? | ? | dx ?? 30 x (l ? x) / l dx ? 17 / 81
2 2 2 5 0 0

l /3

l /3

例13. 原子内电子的量子态由 n 、l 、m l 、 m s 四个量子数表 征.当 n、l、m l 一定时, 不同的量子态数目为______;当 n 、 2

2( 2l ? 1 l 一定时,不同的量子态数目为_______ ) ;当 n 一定时,不同
2 的量子态数目为______。 2n

例14. 主量子数n=4 的量子态中,角量子数 l 的可能取值为
_______ 0,1,2,3 ; 磁量子数m l的可能取值为____________。 0,?1,?2,?3

例15.根据泡利不相容原理,在主量子数n=2的电子壳层上 最多可能容纳多少电子?写出每个电子的四个量子数之值。 答:在n=2的电子壳层上最多可容纳8个电子。它们所具有 n 的四个量子数( n, l , ml , ms )为

(1)2,0,0,1/2; (3)2,1,0,1/2; (5)2,1,1,1/2; (7)2,1,-1,1/2;

(2)2,0,0,-1/2; (4)2,1,0,-1/2; (6)2,1,1,-1/2; (8)2,1,-1,-1/2


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