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4.6 正弦定量和余弦定理


§4.6

正弦定理和余弦定理

基础知识 自主学习
要点梳理
1.正弦定理:
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ,其中R是三角形

外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;

(2)a=

2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ;
(3) A ? sin
a b c 等形式,以 , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

解决不同的三角形问题.

2.余弦定理:a2= b2+c2-2bccos A ,b2= a2+c2-2accos B ,
c2= a2+b2-2abcos C .余弦定理可以变形为:cos A
b2 ? c2 ? a2 ,cos B= 2bc a 2 ? b2 ? c2 2ab a 2 ? c2 ? b2 ,cos C= 2ac

.

3.S ?ABC ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ac sin B ? abc ? 1 (a ? b ? c) 2 2 2 4R 2 ·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.

4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
(1)已知两角及任一边,求其它边或角; (2)已知两边及一边的对角,求其它边或角. 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解, 应注意区分.

余弦定理可解决两类问题:
(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题; (2)已知三边问题. 5.解三角形的类型 在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

A为锐角

A为钝角 或直角

图形
关系式 解的 个数

a ? b sin A b sin A ? a ? b
一解 两解

a?b

a?b

一解

一解

基础自测
1.(2008·陕西)△ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c= 2 ,b= 6 ,B=120°, 则a等于( D ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2

解析 由正弦定理得 b ? c , sin B sin C
c ? sin B 2 sin 120? 1 ? ? , b 6 2 ? C ? 30?,? A ? 180? ? 120? ? 30? ? 30?.? a ? c ? 2. ? sin C ?

2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若
a、b、c成等比数列,且c=2a,则cos B等于( B ) A. 1 4 解析 B. 3 C. 2 4 4 由已知得b2=ac,c=2a, D. 2 3

a 2 ? c 2 ? b 2 5a 2 ? 2a 2 3 ? cos B ? ? ? . 2 2ac 4 4a

3.在△ABC中,A=60°,a=4 3 ,b=4 2 ,则B等
于( C ) A.45°或135° C.45° 解析 由正弦定理得 B.135° D.以上答案都不对

a b ? , sin A sin B 4 3 4 2 4 2 2 即 ? ,? sin B ? sin 60? ? . sin 60? sin B 4 3 2

又∵a>b,A=60°,∴B=45°.

4.已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形
的三边,若abc=16 2 ,则三角形的面积为( C ) A. 2 2 B. 8 2 C. 2 D. 2 2 解析 ? a ? b ? c ? 2 R ? 8, sin A sin B sin C

c ? sin C ? , 8 1 1 1 ? S ?ABC ? ab sin C ? abc ? ?16 2 ? 2. 2 16 16

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
若∠B=45°,b= 2 ,a=1,则∠C= 105° . 解析 ∵a<b,∠B=45°,∴∠A为锐角.

2 1 1 由 ? , 得 sin A ? ,? A ? 30?. sin 45? sin A 2

∴∠C=180°-30°-45°=105°.

题型分类 深度剖析
题型一 正弦定理的应用
【例1】 (1)在△ABC中,a= 3 ,b= 2 ,B=45°. 求角A、C和边c;

(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°.求边b 和c; (3)在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2= bsin B ac-bc,求∠A及 的值. c 思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及 一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注 意解的个数的判断.

a b 3 ? 得 sin A ? . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A=60°或A=120°.



(1)由正弦定理

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c? b sin C 6? 2 ? ; sin B 2

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°.
c? b sin C 6? 2 ? . sin B 2

6? 2 ? A ? 60?, C ? 75?, c ? . 2 6? 2 或A ? 120?, C ? 15?, c ? . 2

(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.
由正弦定理 a b c ? ? sin A sin B sin C

sin B sin C 得b ? ? a ? 4 6, c ? ? a ? 4 3 ? 4. sin A sin A

(3)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,又∵a2-c2=ac-bc, ∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中,由余弦定理得

b2 ? c2 ? a 2 1 cos A ? ? ,? ?A ? 60?. 2bc 2

在 Δ ABC 中,由正弦定理得 sin B ? ? b 2 ? ac, ?A ? 60?,

b sin A . a

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? ? sin 60? ? . c ac 2
探究提高 (1)已知两角一边可求第三角,解这

样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正

弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是
解题的难点,应引起注意.

知能迁移1

在△ABC中,若b= 2 ,c=1,B=45°,

求a及C的值. 解 由正弦定理得

2 1 1 ? , 所以 sin C ? . sin 45? sin C 2 因为c<b,所以C<B,故C一定是锐角,

所以C=30°,所以A=105°,

所以

1 a ? , sin 30? sin 105? 6? 2 . 2

所以a ? 2 sin 105? ?

题型二

余弦定理的应用

【例2】 在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C cos B b ?? . 的对边,且 cos C 2a ? c

(1)求角B的大小;
(2)若b= 13,a+c=4,求△ABC的面积.
思维启迪

由 cos B ? ? b , 利用余弦定理 cos C 2a ? c

转化为边的关系求解.

a 2 ? c2 ? b2 解 (1)由余弦定理知: B ? cos , 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab

cos B b 将上式代入 ?? 得: cos C 2a ? c a2 ? c2 ? b2 2ab b ? 2 ?? 2ac a ? b2 ? c2 2a ? c 整理得 : a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? ac a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? cos B ? ? ?? 2ac 2ac 2 2 ? B为三角形的内角,? B ? ? . 3 2 (2)将b ? 13, a ? c ? 4, B ? ?代入 3 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, 得b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B

1 ? b ? 16 ? 2ac(1 ? ),? ac ? 3. 2 1 3 3 ? S ?ABC ? ac sin B ? . 2 4
2

探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦

定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意 整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

知能迁移2 已知△ABC中,三个内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且 2S=(a+b)2-c2,求tan C的值. 解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C.

所以,absin C=2ab(1+cos C),
即sin C=2+2cos C,
C C C cos ? 4 cos 2 , 2 2 2 C 化简得 : tan ? 2. 2 C 2 tan 2 ? ? 4. 从而 tan C ? C 3 1 ? tan 2 2 所以2 sin

题型三

三角形形状的判定

【例3】 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=
(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.
思维启迪 利用正弦定理、余弦定理进行边角

互化,转化为边边关系或角角关系.
解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]

=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为: sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A

∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A,2B<2π 得2A=2B或2A=π -2B, ? 即A=B或A= -B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 2 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理,可得
2 2 2 b2 ? c2 ? a 2 2 a ?c ?b ab ?b a 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 2

即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形.

探究提高 判断三角形形状可通过边和角两种途 径进行判断,应根据题目条件,选用合适的策略:

(1)若用边的关系,则有:若A为锐角,则b2+c2 -a2>0;若A为直角,则b2+c2-a2=0;若A为钝角, 则b2+c2-a2<0.

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的
三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得 出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时 要注意应用A+B+C=π这个结论.

知能迁移3

在△ABC中,已知2sin Acos B=
) B.等腰三角形 D.正三角形 因为在△ABC中,A+B+C=π ,

sin C,那么△ABC一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 解析 方法一

即C=π -(A+B),所以sin C=sin(A+B).
由2sin Acos B=sin C, 得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.

又因为-π <A-B<π ,所以A-B=0,即A=B.
所以△ABC是等腰三角形,故选B. 方法二 利用正弦定理和余弦定理

a 2 ? c2 ? b2 2sin Acos B=sin C可化为 2a ? ? c, 2ac 2+c2-b2=c2,即a2-b2=0, 即a
即a2=b2,故a=b. 所以△ABC是等腰三角形.

答案

B

题型四

正、余弦定理的综合应用

【例4】 (12分)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,
C的对边,且满足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角B的大小; (2)若b=

7,a+c=4,求△ABC的面积.

思维启迪 (1)用正弦定理,将边用角代换后求解. (2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.

解题示范 解 (1)在△ABC中,由正弦定理得: a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C,

整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,
4分 即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC中,sin A>0,2cos B=1, ∵∠B是三角形的内角,∴B=60°. 6分

(2)在△ABC中,由余弦定理得
b2=a2+c2-2ac·cos B =(a+c)2-2ac-2ac·cos B, 8分 将b= 7 ,a+c=4代入整理,得ac=3.
故S ?ABC 1 3 3 3 ? ac sin B ? sin 60? ? . 2 2 4

10分 12分

探究提高 在求角问题中,一般都是用正、余弦定

理将边化为角.由三角函数值求角时,要注意角的 范围.在应用余弦定理时,要注意配方这一小技 巧,通过配方,使之出现(a+b)2或(a-b)2. 将a+b或a-b作为一个整体,可以带来非常好的效果.

知能迁移4

(2008·辽宁)在△ABC中,

内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2,C ? ? . 3 (1)若△ABC的面积等于 3 ,求a、b的值; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的 面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4. 又因为△ABC的面积等于 3 , 1 所以 absin C= 3 ,所以ab=4. 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?a ? 2, 联立方程组? 解得? ?b ? 2. ?ab ? 4,

(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,
即sin Bcos A=2sin Acos A,
4 3 2 3 ,b ? . 2 6 3 3 当cos A≠0时,得sin B=2sin A, 当cos A ? 0时, A ? ,B ? ,a ?

?

?

由正弦定理得b=2a,
2 3 ? ?a ? 3 , ?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? 联立方程组 ? 解得? ?b ? 2a, ?b ? 4 3 . ? ? 3 1 2 3 所以?ABC 的面积S ? ab sin C ? . 2 3

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的
重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系, 三角函数的变形公式去判断三角形的形状,求 解三角形,以及利用它们解决一些实际问题. 2.应熟练掌握和运用内角和定理:

A+B+C=π , A ? B ? C ? ? 中互补和互余的情况, 2 2 2 2 结合诱导公式可以减少角的种数.

3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由
正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C2sin B·sin C·cos A,可以进行化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种 途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦 (余弦)定理实施边、角转换.

失误与防范
在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边
的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角 时,有时可能出现一解、两解,所以要进行分类

讨论.

定时检测
一、选择题

1.△ABC的三边分别为a,b,c且满足b2=ac,
2b=a+c,则此三角形是 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解析 B.直角三角形 D.等边三角形 ( D)

∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,

又∵b2=ac,∴(a-c)2=0.∴a=c. ∴2b=a+c=2a.∴b=a,即a=b=c.

2.△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0,b= 3 ,则c∶sin C等于 ( D) A.3∶1 C.

2 ∶1 解析 cos 2B+3cos(A+C)+2=2cos2B1 3cos B+1=0,∴cos B= 或cos B=1(舍去). 2
?B ? ?

B. 3 ∶1 D.2∶1

?

3

.

c b 3 ? ? ? 2. 3 sin C sin B 2

3.△ABC中,AB=
面积等于 A. 3 2 解析

3,AC=1,∠B=30°,则△ABC的
( D)

B. 3 4

C. 3 或 3 2

D. 3 或 3 2 4

1 3 3 ? ,? sin C ? . ? 0? ? C ? 180?, sin 30? sin C 2

∴C=60°或120°. (1)当C=60°时,A=90°,∴BC=2,此时, 3 S ?ABC ? ; 2 (2)当C=120°时,A=30°,
1 3 S ?ABC ? ? 3 ?1? sin 30? ? . 2 4

4.(2008·四川)△ABC的三内角A、B、C
的对边边长分别为a、b、c.若 a ? 5 b, A=2B, 2 则cos B等于( B) A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6

解析

由正弦定理得 a ? sin A , b sin B

5 sin A 5 ?a ? b可化为 ? . 2 sin B 2 又A ? 2 B,? sin 2 B 5 5 ? ,? cos B ? . sin B 2 4

5.(2008·福建)在△ABC中,角A、B、C的对边
分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3 ac,则 角B的值为 (D ) A. ? B. ? 6 3 C. ? 或 5? D. ? 或 2? 6 6 3 3 解析 ∵(a2+c2-b2)tan B= 3 ac,
a2 ? c2 ? b2 3 ? ? tan B ? , 2ac 2 3 即 cos B ? tan B ? sin B ? . 2

? 2? ? 0 ? B ? ? ,? 角B的值为 或 . 3 3

6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若 a b2+c2-bc=a2,且 ? 3 ,则角C的值为 ( C) b A.45° B.60° C.90° D.120°
解析 由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,
b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? ? ,? A ? 60?. 2bc 2 a sin A 又 ? 3,? ? 3, b sin B 3 3 3 1 ? sin B ? sin A ? ? ? , 3 3 2 2 ? A ? B且 A ? 60?,? B ? 30?, ? C ? 180? ? A ? B ? 90?.

二、填空题
7. 在△ABC中,若AB=3, ∠ABC=75°, ∠ACB=60°,则BC= 解析

6 .

根据三角形内角和定理知

∠BAC=180°-75°-60°=45°.
BC AB 根据正弦定理得 ? , sin ?BAC sin ?ACB

2 3? BC 3 3 sin 45? 2 ? 6. 即 ? ,? BC ? ? 3 sin 45? sin 60? sin 60? 2

8. 在△ABC中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD为边
BC上的高,则AD的长是

3

.

a 2 ? b2 ? c2 2 2 解析 cos C ? ? ,? sin C ? . 2ab 2 2
? S ?ABC 1 1 ? ab sin C ? a ? AD.? AD ? 3. 2 2

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,
1 c,若其面积 S ? (b2+c2-a2),则∠A= 4 解析 S ? 1 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 1 (2bc cos A) 4 4

?

4

.

1 1 ? bc cos A, 又S ?ABC ? bc sin A,? sin A ? cos A, 2 2 即 tan A ? 1.又A为?ABC 的内角,? A ? . 4

?

三、解答题 10.在△ABC中,若 △ABC的形状.

b cos C 1 ? cos 2C , 试判断 ? c cos B 1 ? cos 2 B

1 ? cos 2C 2 cos 2 C cos 2 C b cos C 解 由已知 ? ? ? , 2 2 1 ? cos 2 B 2 cos B cos B c cos B
cos C b ? . cos B c 方法一 利用正弦定理边化角. 所以

b sin B cos 2 C sin B 由正弦定理, 得 ? , 所以 2 ? , c sin C cos B sin C
即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B. 因为B、C均为△ABC的内角, 所以2C=2B或2C+2B=180°,

所以B=C或B+C=90°, 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. a2 ? b2 ? c2 b 2ab 方法二 由余弦定理,得 2 2 ? , 2 c a ?c ?b 2ac 即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2),

所以a2c2-c4=a2b2-b4,
即a2b2-a2c2+c4-b4=0, 所以a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,

即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0,
所以b2=c2或a2-b2-c2=0, 即b=c或a2=b2+c2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

11.在△ABC中,角A、B、C 所对边长分别为a、b、c, c 1 设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 ? ? 3, 求角A b 2 和tan B的值.

1 ? 即cos A ? , 又0 ? A ? ? ,? A ? . 2 3 c 1 sin C 1 又 ? ? 3, ? ? 3, b 2 sin B 2 2? C ?? ? A? B ? ? B, 3 2? 1 ? sin( ? B) ? ( ? 3) sin B, 3 2 3 1 1 整理得 cos B ? sin B ? sin B ? 3 sin B. 2 2 2 1 1 ? cos B ? sin B, 则 tan B ? . 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 由b2+c2-bc=a2,得 ? , 2bc 2

12.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, A? B 7 已知a+b=5,c= 7 ,且 4 sin 2 ? cos 2C ? . 2 2 (1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°,

A? B 7 ? cos 2C ? , 2 2 7 2C 得4 cos ? cos 2C ? , 2 2 1 ? cos C 7 2 ?4? ? (2 cos C ? 1) ? , 2 2 由4 sin 2

1 整理, 得4 cos 2 C ? 4 cos C ? 1 ? 0, 解得 cos C ? , 2 ? 0? ? C ? 180?,? C ? 60?.
(2)由余弦定理得c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,

即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,
? S ?ABC 1 1 3 3 3. ? ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

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