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【创新设计】2016届 数学一轮课件(理科)苏教版 江苏专用 第五章 平面向量 5-4


第4讲

平面向量应用举例

考试要求

1.用向量方法解决某些简单的平面几何问题,A级要

求;2.用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,A
级要求.

知识梳理
1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积

解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、 夹角等问题.

(1) 证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线
向量定理:a∥b(b≠0)? a=λb ? x1y2-x2y1=0 .

(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a·b=0? x1x2+y1y2=0 (a,b均为非零向量).

(3)求夹角问题,利用夹角公式

cos θ=

a· b |a||b|



x1x2+y1y2 2 2 2 x2 + y x + y 1 1 2 2

(θ为a与b的夹角).

2.向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是
高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积 的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外,还 应掌握三角恒等变换的相关知识. 3.向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的
一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线 和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考 查的主体.

诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
→ → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线. (√ )

(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以 用向量解决. (√ )

(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转 化的主要手段是向量的坐标运算. (√ )

→ → (4)在△ABC 中,若AB· BC<0,则△ABC 为钝角三角形.(×)

→ → → 2.(2015· 东北三省三校联考)已知在△ABC 中,|BC|=10,AB· AC → =-16,D 为边 BC 的中点,则|AD|=________.
解析 在△ABC 中,由余弦定理可得 AB2+AC2-2AB· ACcos

→ → A=BC2,又AB· AC=AB· ACcos A=-16,所以 AB2+AC2+32 → → =100,AB2+AC2=68.又 D 为边 BC 的中点,所以AB+AC= → →2 → 2AD,两边平方得 4|AD| =68-32=36,解得|AD|=3.

答案 3

3.平面上有三个点

? y? → → A(-2,y),B?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC, ? ?

则动点 C 的轨迹方程为__________.

y? → ? y? → ? 解析 由题意得AB=?2,-2?,BC=?x,2?,
? ? ? ?

→ → → → 又AB⊥BC,∴AB· BC=0,
? y? ? y? ?x, ?=0,化简得 y2=8x 即?2,-2?· 2? ? ??

(x≠0).

答案 y2=8x (x≠0)

4.(2014· 镇江调研)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 → → → 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的面积比为________.
解析 → → → → → 设 AB 的中点为 D, 由 5AM=AB+3AC, 得 3AM-3AC

→ → → → =2AD-2AM,即 3CM=2MD.

→ 3→ 如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD=5CD,也就是△ABM 3 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 ,则△ABM 与△ABC 的面积 5 3 比为 . 5

3 答案 5

2π → → 5. (2015· 南京、 盐城模拟)在△ABC 中, BC=2, A= 3 , 则AB· AC 的最小值为________.

解析

依题意得 a2 = b2 + c2 - 2bccos A ,即 b2 + c2 + bc =

4 → → 1 2 4≥3bc,bc≤3,AB· AC=bccos A=-2bc≥-3,当且仅当 b =c= 4 2 → → AC的最小值是-3. 3时取等号,因此AB·

2 答案 -3

考点一 平面向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)(2015· 苏北四市调研)在平面四边形 ABCD 中,已知 → → AB=3, DC=2, 点 E, F 分别在边 AD, BC 上, 且AD=3 AE, → → → → → → BC = 3 BF . 若向量 AB 与 DC 的夹角为 60° ,则 AB · EF 的值为 ________. (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° , → → 点 E, F 分别在边 BC, DC 上, BC=3BE, DC=λDF.若AE· AF =1,则 λ 的值为________.

解析

→ → → → (1)因为EF=EA+AB+BF

→ → → → ①,EF=ED+DC+CF=-

→ → → 2EA+DC-2 BF

→ → → → ②, ①×2+②得 3 EF=2 AB+DC, 所以EF

2→ 1 → ? 2 → 2 1→ → 2→ 1 → → → →? ? AB+ DC?= |AB| + AB· =3AB+3DC.所以AB· EF=AB· 3 ? 3 3 DC=6 ?3 1 +3×3×2cos 60° =7.

→ → → → 1→ → → → → (2)法一 如图, AE=AB+BE=AB+3BC, AF=AD+DF=AD+ 1 → ? ?→ 1→? ? 1? 1 → → 1→ → → → ? ?BC+ AB? = ?1+ ? AF = ?AB+3BC? · λ ? ? 3λ? λ DC = BC + λ AB ,所以 AE · ? ? ? 1? 4 4 → → 1→2 1→2 ? AB· BC+ λ AB +3BC =?1+3λ?×2×2×cos 120° + λ +3=1, 解得
? ?

λ=2.

法二

如图建立平面直角坐标系.

由题意知: A(0,1),C(0,-1),B(- 3,0),D( 3,0). 由 BC=3BE,DC=λDF, 2 3 1 可求点 E,F 的坐标分别为 E(- 3 ,-3),
? F? ? ? 1? 1? 3?1- λ ?,- λ ?, ? ? ?

? ? 1? 1 4? → → ? ? 2 3 ?? ? 3?1- ?,- -1? ∴AE· AF=?- · ,- ? λ? λ 3 3? ? ? ? ? ? 1 ? 4? 1 ? =-2?1-λ ?+3?1+ λ ?=1,解得 ? ? ? ?

λ=2.

答案 (1)7 (2)2
规律方法 用平面向量解决平面几何问题时,在便于建立直角

坐标系的情况下建立平面直角坐标系,可以使向量的运算更简 便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定 理起主导作用.

【训练 1】 (1)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不 → → → → 共线的三个动点, 若动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC), λ∈(0, +∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心. (2)(2014· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ∠BAD=60° , → → E 是 BC 的中点,则AC· AE=________. → → → → → → 解析 (1)由原等式, 得OP-OA=λ(AB+AC), 即AP=λ(AB+
→ → → AC), 根据平行四边形法则, 知AB+AC是△ABC 的中线 AD(D → 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍, 所以点 P 的轨迹必过△ ABC 的重心.

(2)建立如图平面直角坐标系,则
? A? ?- ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? , C , 0 , 0 ? ? 2 ?, 2 ? ? ?

? 1? B?0,-2?. ? ?

∴E

? 点坐标为? ? ?

3 1? ? , ,- 4 4? ?

1? → → ? ?3 3 ? ∴AC=( 3,0),AE=? , ,- ? 4? ? 4
? 1? 9 3 3 → → ∴AC· AE= 3× 4 +0×?-4?=4. ? ?

9 答案 (1)重 (2)4

考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例 2】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知向量
? m=?sin ? ? A A? A A? ?, ?cos ,-cos ?, , cos n = n 2 2? 2 2 ? 且 2m· ?

2 → → +|m|= 2 ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小; (2)求△ABC 的面积 S.



A A 2A (1)因为 2m· n=2sin 2 cos 2 -2cos 2

π =sin A-(cos A+1)= 2sin(A-4)-1, 又|m|=1,所以 2m· n+|m|= π 1 即 sin(A-4)=2.
? π? 2sin?A-4?= ? ?

2 2,

因为 0<A<π, π π 3π 所以-4<A-4< 4 , π π 5π 所以 A-4=6,即 A=12.

?π π? 5π (2)cos A=cos 12=cos?6+4? ? ?

6- 2 π π π π =cos 6cos 4-sin 6sin 4= 4 , → → 因为AB· AC=bccos A=1, 所以 bc= 6+ 2.
?π π? 6+ 2 5π ? ? 又 sin A=sin 12=sin 6+4 = 4 , ? ?

1 1 所以△ABC 的面积 S=2bcsin A=2( 6+ 2)× 6+ 2 2+ 3 4 = 2 .

规律方法 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准
确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中 的有关问题解决.(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几 何意义、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等 变换、正、余弦定理等知识.

【训练 2】 (2015· 无锡模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 3 别为 a,b,c,cos C=10. → → 9 (1)若CB· CA=2,求 c 的最小值; (2)设向量 x=(2sin B,- ∥y,求 sin(B-A)的值.
? 3),y=?cos ?

B? 2B,1-2sin 2 ?,且 x ?
2

9 → → 9 解 (1)∵CB· CA=2,∴abcos C=2,∴ab=15. 3 ∴c =a +b -2abcos C≥2ab-2ab· 10
2 2 2

=21(当且仅当 a=b 时取等号). ∵c>0,∴c≥ 21,∴c 的最小值为 21. (2)∵x∥y,∴2sin
? ? 2B B?1-2sin 2 ?+ ? ?

3cos 2B=0,

2sin Bcos B+ 3cos 2B=0,即 sin 2B+ 3cos 2B=0, 2π 5π π 5π ∴tan 2B=- 3,∴2B= 3 或 3 ,∴B=3或 6 .

3 3 π 5π π ∵cos C=10< 2 ,∴C>6,∴B= 6 (舍去),∴B=3. ∴sin(B-A)=sin[B-(π-B-C)]
? π? =sin?C-3?=sin ? ?

π π Ccos3-cos Csin3

91-3 3 91 1 3 3 = 10 ×2-10× 2 = . 20

考点三 向量在解析几何中的应用 【例 3】 (2015· 南京模拟)如图,已知椭圆 E 的中心为 O,长轴 → → 的两个端点为 A,B,右焦点为 F,且AF=7 FB,椭圆 E 的 16 右准线 l 的方程为 x= 3 .

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若 N 为准线 l 上一点(在 x 轴上方),AN 与椭圆交于点 M, → → → → 且AN· MF=0,记AM=λMN,求 λ.



x2 y2 (1)由题意,设椭圆方程为a2+b2=1,半焦距为 c,

→ → 由AF=7 FB得 a+c=7(a-c),得 3a=4c.① a2 16 由准线方程得 c = 3 .② 解①②得 a=4,c=3,∴b2=a2-c2=7. x2 y2 ∴所求椭圆 E 的标准方程为16+ 7 =1.

→ → → → (2)设 M 坐标为(x,y),由AN· MF=0,即AM· MF=0 得(x+4)(3- x)-y2=0,∴y2=-x2-x+12. x2 y2 又点 M 满足16+ 7 =1,消去 y 得 9x2+16x-80=0, 20 解得 x= 9 或 x=-4(舍去). → → 将 A,M,N 的横坐标代入AM=λMN,
?16 20? 20 得 9 +4=λ? 3 - 9 ?, ? ?

∴λ=2.

规律方法 向量在解析几何中的作用:(1)载体作用,向量在解
析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是 利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐 标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值 等问题;(2)工具作用,利用a⊥b?a·b=0;a∥b?a= λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的 坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可

行的方法.

【训练 3】 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平 面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 =0.
?→ 1→? ?→ 1→? ?PC- PQ? Q,且?PC+2PQ?· 2 ? ? ??

(1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任一条直径,求PE· PF的
2 2

最值.



(1)设 P(x,y),则 Q(8,y).

→ 1→ → 1→ 由(PC+2PQ)· (PC-2PQ)=0, →2 1→2 得|PC| -4|PQ| =0, 1 即(x-2) +y -4(x-8)2=0,
2 2

x2 y2 化简得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1.

→ → → → → → (2)因PE· PF=(NE-NP)· (NF-NP) → → → → → → → =(-NF-NP)· (NF-NP)=NP2-NF2=NP2-1, x2 y2 P 是椭圆16+12=1 上的任一点,设 P(x0,y0),
2 2 2 x0 y0 4 y 0 则有16+12=1,即 x2 0=16- 3 ,又 N(0,1),

1 2 →2 2 2 所以NP =x0+(y0-1) =-3y0-2y0+17 1 =-3(y0+3)2+20.

→ 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20, → → 故PE· PF的最大值为 19; → → → 当 y0=2 3时, NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0), 故PE· PF 的最小值为 12-4 3.

[思想方法] 1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和

函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些
函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等 式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运 算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题 的一般方法.

3.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作
用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题; ②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离 问题.

[易错防范]

1.对三角形“四心”的意义不明,向量关系式的变换出错,向
量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等. 2.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 3.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量a,b夹角为锐角 和a·b>0不等价.


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