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数学-徐州市2013届高三期中考试 数学(选修物理)


江苏徐州市五县一区 2012~2013 学年度第一学期期中考试

高三数学试卷
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷 满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请

您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必 须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的 圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1.已知集合 A = {-1,0,1},B = {0,1,2,3},则 A∩B = 2.命题“ ?x ? (1,2) , x ? 1 ”的否定是
2







. ▲ . ▲ .

3.设 a, b ? R, a ? bi ?

2?i ( i 为虚数单位) ,则 a ? b = 3 ? 4i

4.在等差数列 {a n } 中,已知该数列前 10 项的和为 S10 =120,那么 a5 ? a6 = 5.已知 a =(1,2m) b = (2,-m) ,则“ m ? 1 ”是“ a ⊥ b ”的 , ▲

条件. (填

“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”之一) 、 、 、 6.设直线是 y ? 3x ? b 是曲线 y ? e x 的一条切线,则实数 b 的值是 7.在△ABC 中, a ? 14, b ? 7 6 ,B = 60°,则边 c = ▲ . ▲ .

8.理) ( 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 5 x , 数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? n ? 取得最小值时, n 的所有可能取值集合为 ▲ .

6 (n ? N * ) .当 f (a n ) ? 14 n

?x ? y ? 4 ? 0 ? (文)动点 P( a, b) 在不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动,则 ?x ? 3 ?

w?

a ?b?3 的取值范围是 a?4



.

9.下列四个命题:①函数 f ( x) ? x sin x 是偶函数;②函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos 4 x 的最小正 周 期 是 ? ; ③ 把 函 数 f ( x) ? 3 s i n 2 x ? (

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度可以得到 6

f ( x) ? 3 s i n2 x 的图象;④函数 f ( x) ? sin( x ? ) 在区间 [0, ? ] 上是减函数.其中是真命题的 2
是 ▲ (写出所有真命题的序号). 10. (理)若函数 f ( x) ? log ( a 2 ?3) (ax ? 4) 在[-1,1]上是单调增函数,则实数 a 的取值范围 是 ▲ . (文) 函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0 , a ? 1 ) 且 的图象恒过点 A, 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

?

1 2 ? 的最小值是 m n





11 . 已 知 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 1, a2 ? 2 , 对 于 任 意 的 正 整 数 n 都 有

an ? an?1 ? 1, an an?1an?2 ? an ? an?1 ? an?2 ,则 S 2012 =
12 . 已 知 △ ABC 中 ,





AB 边 上 的 中 线 CM = 2 , 若 动 点 P 满 足 ▲ .

1 AP ? s i 2n ? AB ? c o 2 s ? AC (? ? R) ,则 ( PA ? PB ) ? PC 的最小值是 ? ? 2
3

13.若函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) 的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程 f ( x) ? 1000 有正整数解的实数 a 的取值的个数为 ▲ .

14.设 a、b 均为大于 1 的自然数,函数 f ( x) ? ab ? a sin x , g ( x) ? cos x ? b ,若存在实数 k,使得 f (k ) ? g (k ) ,则 a ? b ? ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a1 =1,a2 =a(a >0) ,数列 {bn } 满足: bn =an an +1 (n ? N ) . (1)若数列 {a n } 是等差数列,且 b3 =12 ,求 a 的值及 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {a n } 是等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
?

16. (本题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (sin A,1), n ? (3, cos 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围.

17. (本题满分 14 分) 在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起 (如图) ,做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大 容积是多少?

18. (理) (本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? R , a 为常数) . (1)当 a = 2 时,讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若 a >-2,且函数 f (x) 的最小值为 2,求 a 的值; (3)若 a ? 2 ,不等式 f ( x) ? ab 恒成立,求实数 b 的取值范围.
2

(文) (本题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 .
2

1 1 (1)若 f ( x) ? 0 的解集是 ( , ) ,求实数 a, b 的值; 4 3
(2)若 a 为正整数, b ? a ? 2 ,且函数 f (x) 在[0,1]上的最小值为-1,求 a 的值.

19. (本题满分 16 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n 2 (n ? N * ) . (1)求 a n ;

? a n , n为奇数, ? c ? f (2 n ? 4)(n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (2)设函数 f (n) ? ? n f ( ), n为偶数, n ? 2 ?
(3) ? 为实数, 设 对满足 m ? n ? 3k 且 m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? ? ? S k 恒成立,试求实数 ? 的最大值.

20. (理) (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln( x ? 1) . (1)若函数 f (x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (2)证明: a ? 1时,对于任意的 x1 , x2 ? [1,??) ,且 x1 ? x2 ,都有 (3)是否存在最小的正整数 N,使得当 n ? N 时,不等式 ln (文) (本题满分 16 分) 设函数 y ? f ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ,且 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称.又 y ? f (x) 的图象与一次函数 g ( x) ? kx ? 2(k ? 0) 的图象交于两点 A、B,且 AB ? 10 . (1)求 b 及 k 的值;

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 5 ? ; x1 ? x 2 2

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

(2)记函数 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,求 F (x) 在区间[0,1]上的最小值; (3)若 sin ? , sin ? , sin ? ?[0,1],且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ,试根据上述(1)(2)的结 、 论证明:

sin ? 9 sin ? sin ? + + ≤ . 2 2 2 10 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2012~2013 学年度第一学期期中考试 高三数学参考答案与评分标准
一、填空题 1.{0,1} 2. ?x ? (1,2) , x 2 ? 1 7. 7(1 ? 3 ) 3.

3 5

4.24 5.充分不必要 6. 3 ? 3 ln 3 9.①②③

8. (文)[-7,3] (理){1,6}

10. (文)8 (理) (?2,? 3 ) ? (2,4) 二、解答题

11.4023 12.-2 13.3 14.4

15. 解: (1)?{an } 是等差数列, a1 ? 1, a 2 ? a(a ? 0) ,∴ an ? 1 ? (n ? 1)(a ? 1) ,??2 分 又 b3 ? 12 ,∴ a3 a 4 ? 12 ,即 (2a ? 1)(3a ? 2) ? 12 , 解得: a ? ? 分 ∴ an ? n ; ??6 分

5 (舍去)或 a ? 2 , 6

??4

(2)?{an } 是等比数列, a1 ? 1, a 2 ? a(a ? 0) ,∴ a n ? a n ?1 ,有 bn ? a n a n ?1 ? a 2 n ?1 ,?8 分 ∴ 分 ∴当 a ? 1 时, S n ? n ; 当 a ? 1 时, Sn ?

bn ?1 2 ? a 2 ,即数列 {bn } 是首项为 a ,公比为 a 的等比数列, bn

??10

a(1 ? a 2 n ) a 2n ?1 ? a ? 2 . 1 ? a2 a ?1

??14

分 16. 解: (1)因为 (2a ? c) cos B ? b cos C ,所以 (2 sin A ? sin C) cos B ? sin B cos C ,?2 分 即 2 sin A sin B ? sin C cos B ? sin B cos C ? sin(C ? B) ? sin A , ??4 分 而 sin A ? 0 ,所以 cos B ?

1 ,故 B ? 600 ; 2

??6 分

(2)因为 m ? (sin A,1), n ? (3, cos 2 A) ,

3 17 所以 m ? n ? 3 sin A ? cos 2 A ? 3 sin A ? 1 ? 2 sin 2 A ? ?2(sin A ? ) 2 ? , 4 8 分
?0 0 ? A ? 90 0 ? 0 0 ? A ? 90 0 ? 由 ? B ? 60 0 得 ? 0 , 0 0 ?0 0 ? C ? 90 0 ?0 ? 120 ? A ? 90 ?

??10

1 所以 300 ? A ? 900 ,从而 sin A ? ( ,1) , 2 17 故 m ? n 的取值范围是 (2, ] . 8
17. 解:设箱底边长为 x ,则箱高为 h ?

??12 分 ??14 分

3 a?x ??2 分 ? (0 ? x ? a ) , 3 2 1 1 1 箱子的容积为 V ( x) ? x 2 ? sin 60 0 ? h ? ax 2 ? x 3 (0 ? x ? a) . ??6 分 2 8 8 1 3 2 由 V ' ( x) ? ax ? x 2 ? 0 解得 x1 ? 0 (舍) x 2 ? a , , ??8 分 3 4 8 2 2 且当 x ? (0, a) 时, V ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( a, a) 时, V ' ( x) ? 0 , 3 3 2 所以函数 V (x) 在 x ? a 处取得极大值, ??10 分 3 2 1 2 1 2 1 3 这个极大值就是函数 V (x) 的最大值: V ( a) ? a ? ( a) 2 ? ? ( a) 3 ? a .??12 分 3 8 3 8 3 54 1 3 2 答:当箱子底边长为 a 时,箱子容积最大,最大值为 ??14 分 a . 3 54 1 1 1 1 18. (文) (1) 解: 不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ( , ) , 故方程 f ( x) ? 0 的两根是 x1 ? , x 2 ? , 4 3 4 3
1 ? 1 2 ?a ( 4 ) ? b ( 4 ) ? 1 ? 0 所以 ? ,解得 a ? 12, b ? 7 ; 1 1 ? a ( ) 2 ? b( ) ? 1 ? 0 3 ? 3
(2)因为 b ? a ? 2 ,所以 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? a( x ? 对称轴为 x ? ??6 分

a ? 2 2 (a ? 2) 2 ) ? ? 1 , ?8 分 2a 4a

a?2 1 1 ? ? , 2a 2 a a?2 1 1 1 当 a ? 2 时, x ? ? ? ? ( ,1] , 2a 2 a 2 a?2 (a ? 2) 2 所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1? ? ?1,解得 a ? 2 , 2a 4a a?2 1 1 3 当 a ? 1时, x ? ? ? ? ,所以 f ( x) min ? f (1) ? ?1 成立. 2a 2 a 2 综上可得: a ? 2 或 a ? 1. ?x 2 ? 2x ? 2 , x ? 1 (理)解: (1) a ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ? 2 , ?x ? 2x ? 2 , x ? 1

??10 分 ??12 分 ??14 分 ??16 分 ??2 分

结合图象知,函数 y ? f (x) 的单调增区间为 [1,??) ,减区间为 (??,1] . a ?x 2 ? 2x ? a , x ? 2 (2) f ( x) ? ? 2 , a ?x ? 2x ? a , x ? 2 a ? a ? ?2,? ? ?1, 2 当 a ? 2 时,函数 y ? f (x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 = 2, 解得 a = 3 符合题意;

??6 分 ??8 分

??10 分

a a 当 ? 2 ? a ? 2 时,函数 y ? f (x) 的最小值为 f ( ) ? ? 2 ,无解; 2 4 综上,a = 3.
(3)由(2)知,当 a ? 2 时函数 y ? f (x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 , 所以 a ? 1 ? ab 2 (a ? 2) 恒成立,令 g (a) ? a(b 2 ? 1) ? 1(a ? 2) ,

2

??12 分

??14 分

? b2 ?1? 0 2 2 有: ? 2 ,故 ? . ?b? 2 2 ?2(b ? 1) ? 1 ? 0
19. 解: (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 , 当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1 ,满足上式,所以 an ? 2n ? 1 ;

??16 分

??2 分 ??4 分

? a n , n为奇数 ? (2)由分段函数 f (n) ? ? n 可以得到: f ( ), n为偶数 ? 2 ?
c1 ? f (6) ? f (3) ? a3 ? 5, c2 ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? f (1) ? a1 ? 1,
当 n ? 3, n ? N * 时, ??6 分

cn ? f (2 n ? 4) ? f (2 n?1 ? 2) ? f (2 n?2 ? 1) ? 2(2 n?2 ? 1) ? 1 ? 2 n?1 ? 1 ,
故当 n ? 3, n ? N * 时,

??8 分

Tn ? 5 ? 1 ? (2 2 ? 1) ? (23 ? 1) ? ? ? (2 n?1 ? 1)

? 6?

4(1 ? 2 n?2 ) ? (n ? 2) ? 2 n ? n , 1? 2

??10 分

? 5, n ? 1 所以 Tn ? ? n ; ?2 ? n, n ? 2
(3)由 S n ? n 2 ,及 S m ? S n ? ? ? S k 得 m 2 ? n 2 ? ? ? k 2 ,

??12 分

? m ? n ? 3k ,?

m 2 ? n 2 9(m 2 ? n 2 ) 9(m 2 ? n 2 ) , ? ? 2 k2 ( m ? n) 2 m ? n 2 ? 2mn

??14 分

? 2mn ? m 2 ? n 2 (m ? n),?

9(m 2 ? n 2 ) 9(m 2 ? n 2 ) m2 ? n2 9 ? 2 ? 2 ? , 2 2 2 2 2 2 k m ? n ? 2mn m ? n ? m ? n
??16 分

要? ?

m2 ? n2 9 9 恒成立,只要 ? ? ,∴ ? 的最大值为 . 2 2 2 k

20. (文) (1)由已知, y ? f ( x) ? x 2 ? bx ? 1 为偶函数,所以 b = 0; 设方程 x 2 ? 1 ? kx ? 2 的两根为 x1 , x 2 ,由 AB ? 10 得:

??2 分

1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = (1 ? k 2 )(k 2 ? 4) ? 10
解得 k ? ?1 ; ??4 分

(2)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? ? x ? 2 ,故 F ( x) ? f ( x) g ( x) = ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 , 由 F ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? 列表如下:

1 , 3

??6 分

x
F ?(x)

0

(0, -

1 ) 3

1 3



1 ,1) 3
+

1

50 27 1 50 所以,函数 F (x) 在区间[0,1]上的最小值为 f ( ) ? ; 3 27
F (x)
2 (3)由(2)知,当 x ? [0,1] 时,有不等式 (1 ? x 2 )(2 ? x) ≥

2 ??10 分

50 恒成立, 27
??12 分

1 x 27 27 ≤ ≤ (2 ? x) ,有 (2 x ? x 2 ) , 2 2 50 50 1? x 1? x 当 sin ? , sin ? , sin ? ?[0,1],且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 时,
所以

sin ? 27 sin ? sin ? + + ≤ [2(sin ? ? sin ? ? sin ? ) ? (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )] 2 2 2 50 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?
=

27 [2 ? (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )] 50

??14 分

又 1 = (sin ? ? sin ? ? sin ? ) 2 ≤3 (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) , ∴ sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ≥

1 , 3



sin ? 27 1 9 sin ? sin ? + + ≤ (2 ? ) ? , 2 2 2 50 3 10 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

当且仅当 sin ? ? sin ? ? sin ? ?

1 时,等号成立. 3

??16 分

(理)解: (1)由题意 f ' ( x) ? 2 x ?

a 2x 2 ? 2x ? a ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1
??2 分

即 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根,

? ? ? 4 ? 8a ? 0 1 设 F ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? a ,则 ? ,解之得 0 ? a ? ; 2 ? F (?1) ? 0
(2) a ? 1时, f ( x) ? x 2 ? ln( x ? 1) , 令 g ( x) ? f ( x) ? 则 g ' ( x) ? 2 x ?

??4 分

5 5 x ? x 2 ? ln( x ? 1) ? x( x ? 1) , 2 2

??6 分

1 5 4 x 2 ? x ? 3 (4 x ? 3)( x ? 1) ? ? ? , x ?1 2 2( x ? 1) 2( x ? 1)
??8 分

当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,所以函数 g (x) 在 [1,??) 上是增函数. 由已知,不妨设 1 ? x1 ? x2 ? ?? ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 f ( x1 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 5 5 5 ? ; x1 ? f ( x2 ) ? x2 ,即 x1 ? x 2 2 2 2

??10 分

(3)令函数 h( x) ? x 3 ? x 2 ? ln( x ? 1) , 则 h ' ( x) ? 3 x 2 ? 2 x ?

??12 分

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 , ? x ?1 x ?1
??14 分

当 x ? [0,??) 时, h ' ( x) ? 0 ,函数 h(x ) 在 [0,??) 上单调递增.

又 h(0) ? 0 ,所以当 x ? (0,??) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x 2 ? x 3 恒成立. 取x?

1 1 1 1 ? (0,??) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立, n n n n n ?1 n ?1 ? 3 恒成立.??16 分 n n

故存在最小的正整数 N ? 1 ,使得当 n ? N 时,不等式 ln


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