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明德中学数学竞赛培训第14讲 三角恒等式与三角不等式


第 14 讲 一、知识要点

三角恒等式与三角不等式

(1)常用的三角恒等式 (2)与 ?ABC 三个内角相关的恒等式 (3)一些重要的三角不等式 (4)三角恒等式与三角不等式的证明方法

二、例题分析
(1)已知 sin 2 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1 , 0 ? ? ?

?
2

,求 sin ? , tan ? .

(2)已知函数 f ( x) ?

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围. cos x ? 2?

(3)已知 ?ABC 的外接圆的半径为 R ,若

a cos? ? b cos ? c cos a ? b ? c ? ? ,其中 a, b, c 为 ? a sin? ? b sin ? c sin ? ? R 9

?ABC 的三边长; ? , ? , ? 分别为 ?A, ?B, ?C 的度数,求 ? , ? , ? 的度数.

(4)求出所有的角 ? ,使得 ?sin ? , sin 2? , sin 3? ? ? ?cos ? , cos 2? , cos 3? ? .

(5)已知 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 ? R ? 且 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? , 求 (2 sin 2 ?1 ?
1 1 1 )(2 sin 2 ? 2 ? 2 )(2 sin 2 ?3 ? 2 ) 的最小值. 2 sin ?1 sin ?2 sin ?3

(7)已知 a, b, c 为正实数,证明: 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 2 ab ? bc ? ac .

(8) 已知 a, b, c 为正实数,证明:若 a2 ? b2 ? c2 ? abc ? 4 ,则 a ? b ? c ? 3 .

(9) 已知 a, b, c 为正实数,证明:

a ? b ? c 3 (a ? b)(a ? c)(b ? c) ab ? bc ? ac . ? ? 3 8 3

(10)已知 ?ABC 与 ?A1 B1C1 都是非直角三角形, 且 sin 2 A:sin 2 A? ? sin 2B:sin 2B? ? sin 2C : sin 2C ? ,求证: ?ABC 与 ?A1 B1C1 相似.

三、习题演练
1.求 ? sini? , ? cosi? ( ? ? k? , k ? Z ).
i ?1 i ?1 n n

2.求

? sin i? ,
i ?1

90

? cos(4i)? , ? cos(2i ?1)? .
i ?1 i ?1

22

45

3.设 ? , ? , ? 都是锐角,且 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,求证: tan ? tan ? tan ? ? 2 2

4. 设 ? , ? , ? 都是锐角,且 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ? 4 sin

?
2

sin

?
2

sin

?
2

,求证: ? ? ? ? ? ? ?

5. 设 ? , ? 都是锐角,且 sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证: ? ? ? ?

?
2

.

6.证明恒等式 ? ( )k sin 3 (3k ? ) ? sin ? ?
i ?1

1 3

3 4

1 sin n ?1 ? . 4 ? 3n

n n ?? ?? 3i ? 3i ? 7.证明对于所有 n ? 2 的自然数,有等式 ? tan ? (1 ? n ) ? ? ? cot ? (1 ? n ) ? . 3 3 i ?1

?

3 ?1 ?

i ?1

?

3 ?1 ?

8.已知 ?ABC 满足 cot 2

A B C 9(a ? b ? c)2 , 其中 r 为内切圆半径, 证明: ABC ? 4 cot 2 ? 9 cot 2 ? ? 2 2 2 49r 2

与一类边长均为正整数的三角形相似,同时求出这类三角形中边长最小值..

9.(2013 年北约)对于任意角 ? ,求 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ?15cos 2? 的值.

10.已知 ?ABC 与 ?A1 B1C1 都是非直角三角形, 且 cot
A A? B B? C C? :cot ? cot :cot ? cot :cot 2 2 2 2 2 2

,求证: ?ABC 与 ?A1 B1C1 相似


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