当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

明德中学数学竞赛培训第14讲 三角恒等式与三角不等式


第 14 讲 一、知识要点

三角恒等式与三角不等式

(1)常用的三角恒等式 (2)与 ?ABC 三个内角相关的恒等式 (3)一些重要的三角不等式 (4)三角恒等式与三角不等式的证明方法

二、例题分析
(1)已知 sin 2 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1 , 0 ? ? ?<

br />
?
2

,求 sin ? , tan ? .

(2)已知函数 f ( x) ?

m ? 2 sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围. cos x ? 2?

(3)已知 ?ABC 的外接圆的半径为 R ,若

a cos? ? b cos ? c cos a ? b ? c ? ? ,其中 a, b, c 为 ? a sin? ? b sin ? c sin ? ? R 9

?ABC 的三边长; ? , ? , ? 分别为 ?A, ?B, ?C 的度数,求 ? , ? , ? 的度数.

(4)求出所有的角 ? ,使得 ?sin ? , sin 2? , sin 3? ? ? ?cos ? , cos 2? , cos 3? ? .

(5)已知 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 ? R ? 且 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ? , 求 (2 sin 2 ?1 ?
1 1 1 )(2 sin 2 ? 2 ? 2 )(2 sin 2 ?3 ? 2 ) 的最小值. 2 sin ?1 sin ?2 sin ?3

(7)已知 a, b, c 为正实数,证明: 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 2 ab ? bc ? ac .

(8) 已知 a, b, c 为正实数,证明:若 a2 ? b2 ? c2 ? abc ? 4 ,则 a ? b ? c ? 3 .

(9) 已知 a, b, c 为正实数,证明:

a ? b ? c 3 (a ? b)(a ? c)(b ? c) ab ? bc ? ac . ? ? 3 8 3

(10)已知 ?ABC 与 ?A1 B1C1 都是非直角三角形, 且 sin 2 A:sin 2 A? ? sin 2B:sin 2B? ? sin 2C : sin 2C ? ,求证: ?ABC 与 ?A1 B1C1 相似.

三、习题演练
1.求 ? sini? , ? cosi? ( ? ? k? , k ? Z ).
i ?1 i ?1 n n

2.求

? sin i? ,
i ?1

90

? cos(4i)? , ? cos(2i ?1)? .
i ?1 i ?1

22

45

3.设 ? , ? , ? 都是锐角,且 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,求证: tan ? tan ? tan ? ? 2 2

4. 设 ? , ? , ? 都是锐角,且 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ? 4 sin

?
2

sin

?
2

sin

?
2

,求证: ? ? ? ? ? ? ?

5. 设 ? , ? 都是锐角,且 sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证: ? ? ? ?

?
2

.

6.证明恒等式 ? ( )k sin 3 (3k ? ) ? sin ? ?
i ?1

1 3

3 4

1 sin n ?1 ? . 4 ? 3n

n n ?? ?? 3i ? 3i ? 7.证明对于所有 n ? 2 的自然数,有等式 ? tan ? (1 ? n ) ? ? ? cot ? (1 ? n ) ? . 3 3 i ?1

?

3 ?1 ?

i ?1

?

3 ?1 ?

8.已知 ?ABC 满足 cot 2

A B C 9(a ? b ? c)2 , 其中 r 为内切圆半径, 证明: ABC ? 4 cot 2 ? 9 cot 2 ? ? 2 2 2 49r 2

与一类边长均为正整数的三角形相似,同时求出这类三角形中边长最小值..

9.(2013 年北约)对于任意角 ? ,求 32 cos6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ?15cos 2? 的值.

10.已知 ?ABC 与 ?A1 B1C1 都是非直角三角形, 且 cot
A A? B B? C C? :cot ? cot :cot ? cot :cot 2 2 2 2 2 2

,求证: ?ABC 与 ?A1 B1C1 相似


相关文章:
明德中学数学竞赛培训第14讲 三角恒等式与三角不等式
明德中学数学竞赛培训第14讲 三角恒等式与三角不等式 隐藏>> 第14 讲一、知识要点 三角恒等式与三角不等式 (1)常用的三角恒等式 (2)与 ?ABC 三个内角相关的...
2013高中数学奥数培训资料之三角恒等式与三角不等式
2013高中数学奥数培训资料之三角恒等式与三角不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012年最新高中奥数辅导资料专题,数学联赛获奖不是梦,保送大学不再是幻想兰州...
高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式
高中数学竞赛讲座 11三角运算及三角不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。竞赛讲座...(、差、倍、半角公式 等的统称) ,对三角式作各种有目的的变形(主要指恒等...
高中数学竞赛 第24讲 三角不等式教案
高中数学竞赛 第22讲 三角... 12页 20财富值 高中数学竞赛辅导第不......三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角 不等式的常用工具. A 类例题 ? ...
数学竞赛三角形的基本问题三角不等式
高中数学竞赛辅导第七讲... 7页 免费 三角恒等式与三角不等式... 2页 1下载...第九章 三角形的基本问题 二、三角不等式 定理:三角形两边之和大于第三边。 ...
三角恒等式和三角不等式 (竞赛卷)
高中数学竞赛辅导第七讲三... 7页 免费 9(高中竞赛讲座)三角恒等式... 9页...三角恒等式和三角不等式 (竞赛卷)三角恒等式和三角不等式 (竞赛卷)隐藏>> 第...
2012江苏省数学竞赛《提优教程》第24讲_三角不等式
2012江苏省数学竞赛《提优教程》第24讲_三角不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区...含有三角式,因而三 角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等...
江苏省数学竞赛提优教案:第24讲_三角不等式
江苏省数学竞赛提优教案:第24讲_三角不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。第四...三角式,因而三 角函数的单调性、 有界性以及图像特征、 三角公式及三角恒等...
竞赛数学不等式完整版
如果,一名中学生, 他有可能选择是否接受竞赛数学培训, 那作为一名中学数学...竞赛数学中的不等式问题按范围可分为 代数不等式、三角不等式与几何不等式,按...
第23讲 三角不等式
第23 讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。 在高中数学竞赛内容中,涉及三角不等式的问题有三类:一是三角不等式的证明, 二是解三角...
更多相关标签:
三角恒等式 | 三角函数恒等式 | 三角恒等式的证明 | 三角恒等式变换 | 三角恒等式公式 | 李氏三角恒等式 | 证明下列三角恒等式 | 三角形中的三角恒等式 |