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高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法


立体几何知识点例题讲解 一、知识点 <一>常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交 点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 3. 证明

平面与平面平行的思考途径: ( 1) 转化为判定二平面无公共点; (2 ) 转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化 为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形 成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直 线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直 线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面 角; (2)转化为线面垂直. 7.夹角公式 :设 a= (a1, a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉 =
a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.
| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 |
2 1

r r r r | a ?b | 8.异面直线所成角: cos ? ?| cos a, b | = r r ? | a |?| b |

x ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r (其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a,b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a,b

的方向向量)

??? ? ?? ?? AB ? m ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). 9.直线 AB 与平面所成角: ? ? arc sin ??? | AB || m |

10、空间四点 A、B、C、P 共面 ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且 x + y + z = 1 11.二面角 ? ? l ? ? 的平面角
?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? | m || n | | m || n |

的法向量).

12.三余弦定理:设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

13.空间两点间的距离公式 若 A ( x1, y1, z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 14.异面直线间的距离:
??? ? ?? ? | CD ? n | ? d? |n|

( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,

?

C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). ??? ? ?? ? ? | AB ? n | 15.点 B 到平面 ? 的距离:d ? ? ( n 为平面 ? 的法向量,AB 是经过面 ? 的 |n|

一条斜线, A ?? ). ? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 16.三个向量和的平方公式: (a ? b ? c)2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a
? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

17. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有 2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 . (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 18. 面积射影定理
S' S? cos?

.(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,

它们所在平面所成锐二面角的 ? ). 19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长 方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直 径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体 的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 径为 20. 21.
6 a. 4 6 a ,外接球的半 12

求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、体积法) 求多面体体积的常规方法是什么?(割补法、等积变换法)

〈二〉温馨提示: 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你 是否注意到它们各自的取值范围及义? ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .

② 直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 . ③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是 〈三〉解题思路: 1、 平行垂直的证明主要利用线面关 系的转化:
O a
线 ∥ 线 ? ? ? 线 ∥ 面 ? ? ? 面 ∥ 面 判 定 性 质 ? ? ? ? 线 ⊥ 线 ? ? ? 线 ⊥ 面 ? ? ? 面 ⊥ 面 ? ? ? ? 线 ∥ 线 ? ? ? 线 ⊥ 面 ? ? ? 面 ∥ 面



P

??

线面垂直:

a ⊥ b , a ⊥ c , b , c ? ? , b ? c ? O ? a ⊥ ?

线 面 平 行 的 判 定 :
a ∥ b , b ? 面 ? , a ? ? ? a ∥ 面 ?

a

a b

α

b

O c

??

面面垂直:
a ⊥ 面 ? , a ? 面 ? ? ? ⊥ ?

线面平行的性质:

面 ? ⊥ 面 ? , ? ? ? ? l , aaa ? ? , ⊥ l ? ⊥ ? ? ∥ 面 ? , ? ? 面 ? , ? ? ? ? b ? a ∥ b
α a

三垂线定理(及逆定理) :

l
β P A ⊥ 面 ? , A O 为 P O 在 ? 内 射 影 , a ? 面 ? , 则

a ⊥ 面 ? , b ⊥ 面∥ ? ? ab

a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO

面 ? ⊥ a , 面 ? ⊥ a ? ? ∥ ?

a

b

??

2、三类角的定义及求法 (1) 异面直线所成的角θ , 0° <θ ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ , 0°≤θ ≤90°
o ? = 0 时 , b ∥ ? 或 b ? ?

(三垂线定理法: A ∈ α 作或 证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O, 连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为 所求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所

o o ( 3 ) 二 面 角 : 二 面 角 ? ? l ? ? 的 平 面 角 ?? , 01 ? ? 8 0

求作的角。 ③计算大小(解直角三角形, 或用余弦定理) 。

二、题型与方法 【考点透视】 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步 骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利 用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度, 其关键在于确定 点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A B C 的所有棱长都为 2 , D 为 CC 中点.
1 1 1
1

(Ⅰ)求证: AB ⊥平面 A BD ;
1
1

A

A1

(Ⅱ)求二面角 A ? A D ? B 的大小;
1

C B

(Ⅲ)求点 C 到平面 A BD 的距离.
1

D

C1 B1

考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力. 解答过程:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .
?△ ABC

A F

为正三角形,? AO ⊥ BC .
C O B
1 1

A1

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AO ⊥

D

C1 B1

平面 BCC B .
1 1

连结 B O ,在正方形 BB C C 中, O,D 分别为
1

BC,CC1

的中点,
1 1

? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .
1 1

在正方形 ABB A 中, AB ⊥ A B ,
1

? AB1 ⊥平面 A1BD .
1

(Ⅱ)设 AB 与 A B 交于点 G ,在平面 A BD 中,作 GF ⊥ A D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ)
1
1

得 AB ⊥平面 A BD .
1

1

? AF ⊥ A1D
1



?∠AFG

为二面角 A ? A D ? B 的平面角.
1

在 △AA D 中,由等面积法可求得 AF ? 4 5 ,
5

又? AG ? 1 AB
2

1

? 2



? sin ∠AFG ?

AG 2 10 . ? ? AF 4 5 4 5
10 4

所以二面角 A ? A D ? B 的大小为 arcsin
1



(Ⅲ) △A BD 中, BD ? A D ?
1

1

5,A1B ? 2 2, ? S△ A1BD ? 6 , S△BCD ? 1 .
1 1

在正三棱柱中, A 到平面 BCC B 的距离为 3 .
1

设点 C 到平面 A BD 的距离为 d .
1

由V
?d ?

A 1 ? BCD

? VC ? A1BD

,得 1 S
3

△ BCD

? 3?

1 S△ A1BD ?d 3



3S△ BCD 2 ? S△ A1BD 2



? 点 C 到平面 A1BD 的距离为 2 .
2

解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .
?△ ABC

为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,
? AD ⊥

平面 BCC B .
1 1

??? ? ??? ? ???? ? 取 B C 中点 O ,以 O 为原点, OB , OO , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空
1 1
1

1

间直角坐标系,则 B(1, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A (0, 0,3) , B (1, 2, 0) , 2,3) , A(0,
1
1

???? ???? ??? ? 1, 0) , BA1 ? (?1 ? AB1 ? (1 , 2, ? 3) , BD ? (?2, , 2,3) .

z A F C O B x D

???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 ,
???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
? AB1 ⊥

A1

C1
y

平面 A BD .
1
1

B1

(Ⅱ)设平面 A AD 的法向量为 n ? ( x,y,z) .
???? ???? ???? ???? AD ? (?11 , , ? 3) , AA1 ? (0, 2, 0) . ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 ,
???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ? ?2 y ? 0, ? ? x ? ? 3 z. ?n?AA1 ? 0, ?

令 z ?1得 n ? (?

3, 0, 1) 为平面 A1 AD 的一个法向量.
1

由(Ⅰ)知 AB ⊥平面 A BD ,
1

???? ? AB1 为平面 A1BD 的法向量.
???? ???? ? 3? 3 6 1 cos ? n , AB ?? n?AB ? ?? ???? 1 4 2?2 2 n ? AB1



? 二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos 6 .
4

(Ⅲ)由(Ⅱ) , ???? AB 为平面 A BD 法向量,
1

1

??? ? ???? ? BC ? (?2, 0,, 0) AB1 ? (1 , 2, ? 3) .
?AB1 ?2 2. ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? BC ? ???? ? AB1 2 2 2 ??? ? ????

小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平 面向量的计算方法,把不易直接求的 B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易 求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法; 解法一采用了等体积法, 这种方法可以避免复杂的几何作图, 显得更简单 些,因此可优先考虑使用这一种方法. 考点 2 异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法, 考纲只要求掌握 已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4
2 的正三角形,棱 SC

的长为 2,

且垂直于底面. E、D 分别为 BC 、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离. 思路启迪: 由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻 找,所以设法将所求异面直线的距离,转化成求直 线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距 离. 解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,
? EF 为 ?BCD 的中位线,? EF ∥ CD,? CD ∥面 SEF
? CD 到平面 SEF

,

的距离即为两异面直线间的距离.

又? 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 AB、BC、BD 的中点,
2 ,D、E、F

分别是

? CD ? 2 6 , EF ?

1 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2 2

1 1 1 1 2 3 ?VS ?CEF ? ? ? EF ? DF ? SC ? ? ? 6 ? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3

在 Rt ?SCE 中, SE ? 在 Rt ?SCF 中, SF ? 又? EF ? 由于 VC ?SEF
6, ? S?SEF ? 3
? VS ?CEF ?

SC2 ? CE 2 ? 2 3 SC2 ? CF 2 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30

1 1 2 3 ? S ?SEF ? h ,即 ? 3 ? h ? ,解得 h ? 2 3 3 3 3 3

故 CD 与 SE 间的距离为 2

3 3

.

小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的 过程. 考点 3 直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离 间的转化. 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平 面 GB1 D1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程: 解析一
?BD ∥平面 GB1 D1 ,

? BD上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求

点 O 平面 GB1 D1 的距离,
? B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? A1 A ,? B1 D1 ? 平面 A1 ACC1 ,
A1
H G

D1

O1
B1

C1

又? B1 D1 ? 平面 GB1 D1
? 平面 A1 ACC1 ? GB1 D1 ,两个平面的交线是 O1G ,

D A O B

C

作 OH ? O1G 于 H,则有 OH ? 平面 GB1 D1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距

离. 在 ?O1OG 中, S ?O OG
1

?

1 1 ? O1O ? AO ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

又 S ?O OG
1

?

1 1 2 6 ? OH ? O1G ? ? 3 ? OH ? 2 ,? OH ? 2 2 3
6 3

.

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 2 解析二
?BD ∥平面 GB1 D1 ,

.

? BD上任意一点到平面 GB1 D1 的距离皆为所求,以下求点

B 平面 GB1 D1 的

距离. 设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB1 D1 的高,则
VB ?GB1D1 ? VD1 ?GBB1 ,由于 S ?GB1D1 ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 6, 2 V D1 ?GBB1 ? 1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? 3 2 3

,

?h ?

4 6

?

2 6 , 3
6 3

即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于 2

.

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都 是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例 解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角, 然后通过解三角形来 求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例 4、如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以
6

直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B ? AO ? C 的直二面角.D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

A

D

O C

E

B

思路启迪: (II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程:解法 1: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,
??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O , ? CO ? 平面 AOB ,
z

A

D

又 CO ? 平面 COD .
? 平面 COD ? 平面 AOB .

O

x

C

B y

(II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则, DE ∥ AO
??CDE

是异面直线 AO 与 CD 所成的角.
2

在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,
?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .

又 DE ? 1 AO ?
2

3


DE 3 3

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 .
3

解法 2: (I)同解法 1. (II)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图,则 O(0, 0, 0) ,A(0, 0, 0) ,D(0, 0, 2 3) ,C (2, 1 ,3) ,
??? ? ?OA ? (0, 0, 2 3)

??? ? , CD ? (?2, 1 ,3) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 6. OA? CD ? ? cos ? OA, CD ?? ??? ? ??? ? ? 4 2 3 ? 2 2 OA ?CD

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos 6 .
4

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:① 平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ,作另一条直线的平 行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成 熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三 . 一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法 .

?? 同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? ? 0, ? .
? 2?

考点 5

直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算 .线面角 在空间角中占有重要地位,是高考的常考内容. 例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已 知∠ABC ? 45 , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ?
?

3.
C D A

S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.

B

考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系, 二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能 力和运算能力. 解答过程:解法一: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面
S
ABCD


C D A

得 SO ⊥ 底面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ,

O

B

又∠ABC ? 45? ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO , 由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2
SO ? 1 , SD ? 11 .
1 ? △SAB 的面积 S1 ? 1 AB? SA2 ? ? . ? AB ? ? 2 2 ?2 ?
2

2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S2 ? 1 AB?AD sin135? ? 2
2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得
1 1 h?S1 ? SO?S 2 3 3

,解得 h ?

2.

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 ? ? SD 11 11
22 11



所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 解法二:



(Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平 面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO . 又∠ABC ? 45? , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB . 如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,
??? 0, 1) , SA ? ( 2, A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) , S (0, 0, ?1) ,
z
S

??? ??? ? ??? ? CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC . CB ? (0, 2 2, 0) , SA?

G

(Ⅱ)取 AB 中点 E ,

? 2 2 ? E? , , 0? ? ? ? 2 2 ?


D
2 2 1? ? ? 4 ,4 , 2? ? ?

C

O
A

E

B

y

连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ? ?
? 2 2 1? OG ? ? ? ? 4 ,4 , 2? ? ?



x

, SE ? ? ?

2 2 ? 1? ? 2 ,2 , ? ? ?

, AB ? (?

2,2, 0) .

SE? OG ? 0 , AB? OG ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直.

所以 OG ? 平面 SAB , OG 与 DS 的夹角记为 ? , SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? , 则 ? 与 ? 互余.
D( 2, 2 2, 0) , DS ? (? 2, 2 2, 1) .
cos ? ? OG ?DS OG ?DS ? 22 11

, sin ? ?

22 11


22 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin



小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平 面的位置关系; (2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造—— 作出斜线与射影所成的角, ②证明——论证作出的角为所求的角, ③计算

——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的 值. 考点 6 二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角, 并将二面角的平面角转化为 线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点,应重视.
B ?? , CA ? CB , ?BAP ? 45? , 例 6. 如图, 已知直二面角 ? ? PQ ? ? ,A ? PQ , C?? ,

直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30? .
? C
P A B Q

(I)证明 BC ⊥ PQ ; (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小.

?

命题目的:本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空 间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引: (I)在平面 ? 内过点 C 作 CO ⊥ PQ 于点 O ,连结 OB . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,所以 CO ⊥ ? , 又因为 CA ? CB ,所以 OA ? OB . 而 ?BAO ? 45? ,所以 ?ABO ? 45? , ?AOB ? 90? , 从而 BO ⊥ PQ ,又 CO ⊥ PQ , 所以 PQ ⊥平面 OBC .因为 BC ? 平面 OBC ,故 PQ ⊥ BC . (II)解法一:由(I)知, BO ⊥ PQ ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? PQ ,
BO ? ? ,所以 BO ⊥ ? .
P

? C
B O

H A Q

?

过点 O 作 OH ⊥ AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知, BH ⊥ AC . 故 ?BHO 是二面角 B ? AC ? P 的平面角. 由(I)知, CO ⊥ ? ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30? ,

不妨设 AC ? 2 ,则 AO ?

3 , OH ? AO sin 30? ?

3 . 2

在 Rt△OAB 中, ?ABO ? ?BAO ? 45? ,所以 BO ? AO ? 于是在 Rt△BOH 中, tan ?BHO ?
BO ? OH 3 ? 2. 3 2

3,

故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arctan 2 . 解法二:由(I)知, OC ⊥ OA , OC ⊥ OB , OA ⊥ OB ,故可以 O 为原点,分别 以直线 OB,OA,OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(如图) . 因为 CO ⊥ a ,所以 ?CAO 是 CA 和平面 ? 所成的角,则 ?CAO ? 30? . 不妨设 AC ? 2 ,则 AO ?
3 , CO ? 1 .

在 Rt△OAB 中, ?ABO ? ?BAO ? 45? ,
P

? C z
A B O y Q

所以 BO ? AO ?

3.

? x

则相关各点的坐标分别是
O(0, 0, 0) , B( 3, 0, 1) . 0, 0) , A(0,3, 0) , C (0,

所以 AB ? (

??? ?

??? ? 3, ? 3, 0) , AC ? (0, ? 31) ,.

?? ??? ? ?? ? 3 x ? 3 y ? 0, ?n1 ?AB ? 0, ? 设 n1 ? {x,y,z} 是平面 ABC 的一个法向量,由 ? ?? ???? 得 ? ? ? ? ?? 3 y ? z ? 0 ?n1 ?AC ? 0 ?? 取 x ? 1 ,得 n1 ? (11 , ,3) .

易知 n2 ? (1, 0, 0) 是平面 ? 的一个法向量. 设二面角 B ? AC ? P 的平面角为 ? ,由图可知, ? ?? n1, n2 ? .
???? ? n1 n2 1 5 ? ? 所以 cos? ? ?? ?? . ? | n1 |? | n2 | 5 ?1 5

?? ?

?? ?? ?

故二面角 B ? AC ? P 的大小为 arccos

5 . 5

小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进 而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:①由二面

角两个面内的两条相交直线确定棱, ②由二面角两个平面内的两条平行直 线找出棱, ③补形构造几何体发现棱; 解法二则是利用平面向量计算的方 法, 这也是解决无棱二面角的一种常用方法, 即当二面角的平面角不易作 出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角

众所周知,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定 .当掌握 了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时, 不仅会降低题目 的难度,而且使得作题具有很强的操作性. 例 7.如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在
CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 .

(1)求证: E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ? 2 ,点 M 在 BB1 上, GM ⊥ BF ,垂足为 H ,求证:
3

EM ⊥平面 BCC1B1 ;

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? . 命题意图:本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二 面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算 能力. 过程指引:解法一: (1)如图,在 DD1 上取点 N ,使 DN ? 1 ,连结 EN ,CN , C 则 AE ? DN ? 1 , CF ? ND1 ? 2 . 因为 AE ∥ DN ,ND1 ∥CF ,所以四边形 ADNE ,CFD1N 都为 平行四边形. 从而 EN ∥ AD , FD1 ∥CN . 又因为 AD∥ BC ,所以 EN ∥BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此推知
C
1

D1 B1
N

A1

F

E

M D H G
B

A

CN ∥ BE ,从而 FD1 ∥ BE .

因此, E,B,F,D1 四点共面. (2)如图, GM ⊥ BF ,又 BM ⊥ BC ,所以∠BGM ? ∠CFB ,
BC 2 3 BM ? BG ?tan ∠BGM ? BG ?tan ∠CFB ? BG ? ? ? ? 1. CF 3 2

因为 AE ∥ BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB ∥ EM . 又 AB⊥平面 BCC1B1 ,所以 EM ⊥平面 BCC1B1 . (3)如图,连结 EH . 因为 MH ⊥ BF , EM ⊥ BF ,所以 BF ⊥平面 EMH ,得 EH ⊥ BF . 于是 ∠EHM 是所求的二面角的平面角,即∠EHM ? ? . 因为 ∠MBH ? ∠CFB ,所以 MH ? BM ?sin ∠MBH ? BM ?sin ∠CFB
? BM ? BC BC ? CF
2 2

? 1?

3 3 ?2
2 2

?

3 13



tan ? ?

EM ? 13 MH



解法二: (1)建立如图所示的坐标系,则 BE ? (3, 3, 3) , 0, 1) , BF ? (0, 3, 2) , BD1 ? (3, 所以 BD1 ? BE ? BF ,故 BD1 , BE , BF 共面. 又它们有公共点 B ,所以 E,B,F,D1 四点共面.
???? ? ? 2 ? 0,z ) ,则 GM ? ? 0, (2)如图,设 M (0, ? ,z ? , 3 ? ?
???? ? ??? ? ??? ? 2 3 ? z ?2 ? 0 , 而 BF ? (0, 3, 2) ,由题设得 GM ?BF ? ? ? 3

??? ?

??? ?

???? ?

???? ? ??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

D1 C1

z

A1 B1

F
M D
y
C

E A B

x

H
G

得 z ? 1.
0, 1) , E (3, 0, 1) ,有 ME ? (3, 因为 M (0, 0, 0) ,

????

又 BB1 ? (0, 所以 ME?BB1 ? 0 ,ME?BC ? 0 , 从而 ME ⊥ BB1 ,ME ⊥ BC . 0, 3) ,BC ? (0, 3, 0) , 故 ME ⊥平面 BCC1B1 . (3)设向量 BP ? ( x,y, 3) ⊥截面 EBFD1 ,于是 BP ⊥ BE , BP ⊥ BF .
P B E? x 而 BE ? (3, 得B 0, 1) , BF ? (0, 3, 2) ,
??? ? ??? ?
??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

????

??? ?

???? ????

???? ??? ?

?? ? ? ?? ? ?

? 3? 3 ?0

y ? ?2 , , 解得 x ? ?1 , BP?BF ? 3 y ? 6 ? 0 ,

??? ? ??? ?

所以 BP ? (?1, ? 2, 3) .

??? ?

又 BA ? (3, . 0, 0) ⊥ 平面 BCC1B1 ,所以 BP 和 BA 的夹角等于 ? 或 π ? ? ( ? 为锐角)
??? ? ??? ? BP?BA 1 于是 cos? ? ??? . ? ??? ? ? 14 BP ?BA

??? ?

??? ?

??? ?

故 tan ? ?

13 .

小结:向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标,再 用公式求夹角; 点面距离一般转化为 AB 在面 BDF 的法向量
C

n 上的投影的绝对值.
A

考点 8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的 概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体 的定义、性质进行判断.

M B

N

例 8 . 如图 (1 ) , 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的 四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱 容器的底面边长为 时容积最大.

[思路启迪]设四边形一边 AD,然后写出六棱柱体积,利用均值不等式, 求出体积取最值时 AD 长度即可. 解答过程: 如图 ( 2) 设 AD=a, 易知∠ABC=60°, 且∠ABD=30° ? AB =
3a

.

BD=2a ? 正六棱柱体积为 V .
9 2 1-2a) ?a 3a = ( 2 2 2 3 ? ) = 9 (1 ? 2a)(1 ? 2a)4a ≤ 9 ( . 8 8 3 当且仅当 1-2a=4a ? a= 1 时,体积最大, 6 此时底面边长为 1-2a=1-2× 1 = 2 . 6 3 1 ∴ 答案为 . 6
2 ? 1-2a) ? sin 60? ? V= 6 ? 1 (

考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积, 棱柱侧面积转化成求三角形

的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积 V 等于 1 Sh 其中 S 是底面积,h 是棱锥的高.
3

典型例题 例 9 .(2006 年全国卷Ⅱ)已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一个小圆,且 圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 2 ,则线段 OO1 与 R 的比值
9



. 式.

命题目的:①球截面的性质;②球表面积公 过程指引:依面积之比可求得 r ,再在 Rt△
R

OO1A 中即得 解答过程:设小圆半径为 r,球半径为 R
?r 2 则 2 =2 9 4?R
?
r2 2 = ? 2 9 4R
2 3 r 2 2 = R 3
O1

O R r A

∴ cos∠OAO1= r = 2
R



OO1 8 1 =sinα= 1- = R 9 3
3

故填 1


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