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平面向量高考题精选


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平面向量练习
一、平面向量的概念及基本运算 1.(2008 安徽卷理 3 文 2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) , 则 BD ? ( A. (- 2, - 4)

??? ?

????

??? ?

/>
) B. (- 3, - 5) C. (3,5) D. (2, 4)

3.(2008 广东卷文 3) 已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10) B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4)

?

?

?

?

?

?



3.(2008 海南宁夏卷理 8 文 9)平面向量 a , b 共线的充要条件是(

?

?

? ? A. a , b 方向相同 ? ? C. ?? ? R , b ? ? a

? ? B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 ? ? ? D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0 ?
? ?



4. (2008 海南宁夏卷文 5)已知平面向量 a = (1, -3) b = , (4, -2) ? a ? b 与 a 垂直, ? 是 , 则 ( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

?

?



AD , 5. (2008 辽宁卷文 5)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0, ,B(?1 ? 2) ,C (31) , BC ? 2 2) , , 且
则顶点 D 的坐标为( A. ? 2, ? ) B. ? 2, ?

?? ? ?

?? ??

? ?

7? 2?

? ?

1? ? 2?

C. (3, 2)

D. (1, 3)

6.(2008 全国Ⅰ卷理 3 文 5)在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ? A.

??? ?

?

????

?

??? ?

????

????

2? 1? b? c 3 3

B.

5? 2? c? b 3 3
?

C.

2? 1? b? c 3 3

D. b ?

1? 3

2? c 3
)

7.(2008 上海春卷 13) 已知向量 a ? ( 2, ? 3), (A)

? ? ? b ? ( 3, ? ) ,若 a // b ,则 ? 等于(
(C) ?

2 . 3

(B) ?2 .

9 . 2

(D) ?

2 3

8.(2008 全国Ⅱ卷理 13 文 13)设向量 a ? (1 2) b ? (2, ,若向量 ?a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共 ,, 3) ? 线,则 ? ? .

1

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9.(2009 年广东卷文) 已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( ) (-x, x 2) 则向量 a ? b A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

10.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2 BP ,则( A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ?

??? ?



??? ??? ? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

11.(2009 湖北卷文) 若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b

12.(2009 陕西卷文) 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2 PM ,则


??? ?

???? ?

科 网

??? ??? ??? ? ? ? PA ? ( PB ? PC ) 等于
(A)

4 9

(B)

4 3

(C) ?

4 3

(D) ?

4 9


13.(2009 重庆卷文)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 B.0 C.1 D.2

14. ( 2009 广 东 卷 理 ) 若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则

a?

.

15.(2009 江西卷理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k = 二、平面向量的数量积 1.(2008 湖南卷文 7) 在 ?ABC 中, AB = 3, AC = 2 , BC = A. ?

?

?

?

? ?

?



??? ??? ? ? 10 ,则 AB ? AC ? (

)

2 3 D. 3 2 ? ? ? ? ? ? ? 2. (2008 四川延考文 10) 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直的充 3 3 2
B. ?

2 3

C.

要条件是( A. ? ? ?

) B. ? ? ?

3 3 或? ? 2 2

1 1 或? ? 2 2
2

C. ? ? ?1 或 ? ? 1

D. ? 为任意实数

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3. (2008 北 京卷理 10) 已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那么 b? a ? b) 的值 (2 为 .

4.(2008 江苏卷 5) a , b 的夹角为 1200 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?

? ?

?

?

?

?



5.(2008 江西卷理 13) 直角坐标平面上三点 A(1, 2)、B(3, ?2)、C (9, 7) ,若 E、F 为线段 BC 的三 等分点,则 AE ? AF =

??? ??? ? ?



6.(2009 陕西卷文) 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2 PM ,则


??? ?

???? ?

科 网

??? ??? ??? ? ? ? PA ? ( PB ? PC ) 等于
(A)

4 9

(B)

4 3

(C) ?

4 3

(D) ?

4 9

7.(2009 宁夏海南卷文) 已知 a ? ? ?3, 2 ? , b ? ? ?1, 0 ? ,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6


( 8.(2009 重庆卷理) 已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是(
A.

? 6

B.

? 4
?

C.

? 3
?

D.

? 2
? ? ? ?


9.(2009 江西卷文) 已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 ( a ? c ) ? b 则 k =

10.(2008 陕西卷理 15 文 15)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:

b c ①若 a? = a? ,则 b ? c .
②若 a ? (1 k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 . , 6) ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

其中真命题的序号为

. (写出所有真命题的序号)

? ? ? ? ? ? ? ? ? 11.(08 上海卷理 5 文 5)若向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则| a + b |= 3

3

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12.(2009 全国卷Ⅱ理) 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10

C. 5

D. 25

13.(2009 辽宁卷理) 平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2,0) , b ? 1 则 a ? 2b ? (A) 3 (B) 2 3 (C) 4 (D)12

14. ( 08 天 津 卷 理 14 ) 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

D

C

? ? ?? ? ? ?? ???? ???? A C? ?1 , ?2 , D? ? ? ,则 AD ? AC ? B ? 3, 2

.
源头学子

A

B

15. 08 天津卷文 14) ( 已知平面向量 a ? (2, , ? (?1 2) , c ? a ? (a ? )b , 4) b , 若 b 则c ? .

16. 2008 浙江卷理 9) ( 已知 a , 是平面内两个互相垂直的单位向量, b 若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最大值是

(A)1

(B)2

(C) 2

(D)

2 2
? ?

17. (2008 四川延考理 10) 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 135? ,则 | a ? ? b |? 1 的充要条件是 (A) ? ? (0, 2) (C) ? ? (??, 0) ? ( 2, ??) (B) ? ? (? 2, 0) (D) ? ? (??, ? 2) ? ( 2, ??)

?

?

18.(08 浙江卷文 16) 已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b? a ? b) ? 0 ,则 | b | 的取值范围 ( 是 。

?

?

? ? ?

?

b 19.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、b 、 c 是单位向量, a ·b =0, ? a ?c ?? ? ?c 且 则
(A) ?2 (B)

? 的最小值为

(

)

2 ?2

(C) ?1

(D)1 ? 2

20.(2009 全国卷Ⅰ文) 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |, a ? b ? c ,则 ? a, b ?? (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

4

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练习:
1.(2010 年高考山东卷理科 12) 定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对任意的 a=(m,n) ,

?

? ? ? b ? p,q) ,令 a ? b=mq-np ,下面说法错误的是( (
A.若 a 与 b 共线,则 a ? b=0 C.对任意的 ? ? R ,有 ? a) ? b=? ( a ? b) (



?

?

?

?

B. a ? b=b ? a

?

? ?
?

?
?? ? ?

?

?

?

?

D. (a ? b) 2 +(ab) 2 =|a|2 |b|2

?

2.(2010 年高考湖北卷理科 5) 已知 VABC 和点 M 满足

uuu uuu uuu r r r r MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实数 m 使得

uur uuu u r uuur AB ? AC ? mAM 成立,则 m =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3.(2010 年高考安徽卷理科 3) 设向量 a ? ?1, 0 ? , b ? ?

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是 ?2 2?
D、 a ∥ b

A、 a ? b

B、 a ? b ?

2 2

C、 a ? b 与 b 垂直

4 . 2010 年 高 考 四 川 卷 理 科 5 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 , (

? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ????? ? ?? 2 B C ? 1 6? A B? A C ? ? A B? A则?AM?? , ? C? ?
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1
w w s 5uc o* _w . k#_. m

( 5. (2010 年高考北京卷理科 6) a, b 为非零向量。 a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) 为一 “
次函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? ?

?

?

?

?

? ?

5

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6. (2010 年高考辽宁卷理科 8) 平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等 于 (A) |a |2 | b |2 ?( a ? ) 2 b (C) (B) (D)

|a |2 | b |2 ? (a ? ) 2 b

1 |a |2 | b |2 ?(a? ) 2 b 2

1 |a |2 | b |2 ?(a? ) 2 b 2
uur uur

7. (2010 年高考全国 2 卷理数 8)VABC 中, D 在 AB 上, 点 若 CA CD 平方 ?ACB . CB ? a , ? b ,

uuu r a ? 1 , b ? 2 ,则 CD ?
(A)

1 2 a? b 3 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C) a ?

3 5

4 b 5

(D)

4 3 a? b 5 5

8. (2010 年高考重庆市理科 2) 已知向量 a, b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= (A) 0 (B) 2 2 (C) 4 (D) 8

9.(2010 年 高 考 天 津 卷 理 科 15) 如图 , 在 ? ABC 中 , AD ? AB, BC ? 3 BD,| AD |? 1 , 则

??? ?

??? ???? ?

???? ???? A C? A D =



10. (2010 年高考陕西卷理科 11) 已知向量 a ? ?2,?1?, b ? ?? 1, m ?, c ? ?? 1,2? ,若 a ? b ∥ c ,则

? ?

m ? _________ .
r r r r r r c =(1,1,1),满足条件 (c ? a) ? (2b) =-2,

11. 2010 年高考广东卷理科 10) ( 若向量 a = 1,1,x) b =(1,2,1), ( , 则 x= .

12. (2010 年高考江西卷理科 13) 已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则

?

?

?

?

?

?

? ? | a ? b |?

.

6


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