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2011年全国高中数学联赛试题参考答案


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设集合 A 合A
?
? {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 }

,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

B

? {? 1, 3 , 5 , 8} ,则集


2

2.函数

f (x) ?

x

?1

x ?1

的值域为



3.设 a , b 为正实数, 4.如果 cos
5

1 a

?

1 b

? 2

2

, (a ? b) 2
3

? 4 ( ab )

3

,则 log

a

b ?

. .

? ? sin

5

? ? 7 (sin

3

? ? cos

?)

,?

? [ 0 , 2? )

,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人 参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ? ADB 外接球的半径为 .
? ? BDC ? ? CDA ? 60 ? , AD ? BD ? 3 ,CD ? 2

,则四面体 ABCD 的

7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 坐标为 .

? 4x

交于 A , B 两点, C 为抛物线上的一点, ? ACB

? 90 ?

,则点 C 的

8.已知 a

n

?

C n ??3 200

6

?

200 ? n

? 1 ? ? ( n ? 1, 2 , ? , 95 ) ?? ? ? ? 2 ?

n

,则数列 { a n } 中整数项的个数为



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9 . 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 (
f (10 a ? 6 b ? 21 ) ? 4 lg 2 f ( x ) ? | lg( x ? 1) |

,实数

a, b(a ? b)

满足

f (a ) ? f (?

b ?1 b?2

)



,求 a , b 的值.

1

10 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列
a n ?1 ? (2t
n ?1

{a n }

满 足 :

a 1 ? 2 t ? 3 (t ?

R 且

t ? ? 1)



? 3 ) a n ? 2 ( t ? 1) t a n ? 2t
n

n

?1

?1

(n ?

N*) .

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ? 1 与 a n 的大小.

11.本小题满分 20 分) ( 作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :
3

1

x

2

?

y

2

?1

交于 A , B

36

4

y P O x B A

两点(如图所示) ,且 P ( 3

2,

2)

在直线 l 的左上方.

(1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ? APB ? 60 ? ,求△ PAB 的面积.

2

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n

? 4
n

,存在一个 n 次多项式
? a n ?1 x
n ?1

f (x) ? x

? ? ? a1 x ? a 0

具有如下性质: (1) a 0 , a 1 , ? , a n ? 1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k

(k ? 2)

f ( m ) ? f ( r1 ) f ( r 2 ) ? f ( r k )

个互不相同的正整数 r1 , r 2 , ? , r k ,均有 .

3

三、 (本题满分 50 分)设 a 1 , a 2 , ? , a n
a
j

(n ? 4)

是给定的正实数, a 1 的个数记为
f n (r )

? a2 ? ? ? an

.对任意正实数 r ,满足

? ai
j

ak ? a

? r (1 ? i ? j ? k ? n )

的三元数组 ( i ,

j, k )



证明:

f n (r ) ?

n

2



4

四、 (本题满分 50 分)设 A 是一个 3 ? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的一 个 m ? n (1 ? m ? 3 , 1 ? n ? 9 ) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1 ? 1 的小方 格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大值.

4


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