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江苏省2015届高三数学第四次联考试卷 理


江 苏 大 联 考 2015 届高三第四次联考·数学试卷
考生注意: 1.本试卷共 160 分.考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 4.交卷时,可根据需要在加注“ ”标志的夹缝处进行裁剪. 5.本试卷主要考试内容:前 3 次联考内容+立体几何+平面解析几何.

一、填空题

:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在答题卷中的横线上. 1.已知集合 A={x|x ≤2x},B={y|y>1},则 A∩B 等于 2.若双曲线 x -ay =1 的离心率为,则正数 a 的值为
2 2 2

▲ ▲

. . ▲ . . ▲

3.一圆锥的侧面展开图是一半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积为 4.在下列四个图所表示的正方体中,能够得到 AB⊥CD 的是

5.若过点 P(2,-1)的圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的长为 10,则直线 AB 的方程是 ▲ . ▲
2

2

2

6.已知 α 是第二象限角,且 sin α =,则 tan(α +)= 的短轴长为 ▲ .

.

7.已知椭圆+=1(m>n>0)的离心率为,且有一个焦点与抛物线 y =16x 的焦点重合,则椭圆 8.设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为,则△AOB 的面积 S 的最小值为 Asin B,则 c= ▲ .
2


2

.
2

9.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a -b =c,且 sin Acos B=2cos 10.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k 等于 ▲ .

11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=cos(x)+lox,则函数 f(x) 的零点个数为 ▲ . ▲ . 12.半径为 1 的球内最大圆柱的体积为

1

13.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为 A、B,渐近线分别为 l1、l2,点 P 在第一象 限内且在 l1 上,若 PA⊥l2,PB∥l2,则该双曲线的离心率为 ▲ . 14.正四面体 ABCD 的棱长为 1,其中线段 AB∥平面 α ,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点, 当正四面体绕以 AB 为轴旋转时,线段 EF 在平面 α 上的射影 E1F1 长的范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,这是一个半圆柱与多面体 ABB1A1C 构成的几何体,平面 ABC 与半圆柱的下底面共面, 且 AC⊥BC,P 为上的动点. (1)证明:PA1⊥平面 PBB1; (2)设半圆柱和多面体 ABB1A1C 的体积分别为 V1,V2,且 AC=BC,求 V1∶V2.

16.(本小题满分 14 分) 已知点 C 的坐标为(0,1),A,B 是抛物线 y=x 上不同于原点 O 的相异的两个动点,且·=0. (1)求证:∥; (2)若=λ (λ ∈R),且·=0,试求点 M 的轨迹方程.
2

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是平行四边形,DD1⊥平面 ABCD,AB=AD,AD=A1B1,∠BAD=45°. (1)证明:BD⊥AA1; (2)证明:AA1∥平面 BC1D.

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18.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}中,a1=5,a2=2,且 2(an+an+2)=5an+1. (1)求证数列{an+1-2an}和{an+1-an}都是等比数列; (2)求数列{2 an}的前 n 项和 Sn. 19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴的比是 2∶. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,当||最小时,点 P 恰好落在 椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.
n-3

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=(a∈R). (1)求 f(x)的极值; (2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x)=-1 的图像在区间(0,e]上有公共点,求实数 a 的取值 范围.

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2015 届高三第四次联考·数学试卷 参 考 答 案 1.{x|1<x≤2} 因为 A={x|x ≤2x}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以 A∩B={x|0≤x≤2}∩{y|y>1}={x|1<x≤2}. 2 2 2 2 2 2 2.2 双曲线 x -ay =1 的方程可化为 x -=1,得 c =1+,所以 e =1+=() ,解得 a=2. 3. 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,母线长为 l,则 l=2,2π r=π l,得 r=1,所以 h===,所 2 以圆锥的体积为 V=π r h=. 4.①② 对于①,通过平移 AB 到右边的平面,可知 AB⊥CD,所以①中 AB⊥CD;对于②,通 过作右边平面的另一条对角线,可得 CD 垂直 AB 所在的平面,所以②中 AB⊥CD;对于③, 可知 AB 与 CD 所成的角 60°;对于④,通过平移 CD 到下底面,可知 AB 与 CD 不垂直.所以 能够得到 AB⊥CD 的是①和②. 5.x+y-1=0 因为圆的直径为 10,所以弦 AB 为圆的直径,因为圆心为 C(1,0),且直线 AB 过点 P(2,-1),由直线方程的两点式得=,即 x+y-1=0. 6. ∵α 是第二象限角,sin α =,∴tan α =-,∴tan(α +)==. 2 7.8 由已知得==,所以 4n=3m,因为抛物线 y =16x 的焦点为(4,0),而椭圆的右焦点为 2 (c,0),所以 c=4,得 m-n=4 =16,解得 m=64,n=48,所以椭圆的短轴长为 2=2=8. 8.3 由坐标原点 O 到直线 l 的距离为,可得=, 2 2 化简可得 m +n =, 令 x=0,可得 y=,令 y=0,可得 x=, 故△AOB 的面积 S=·||||=≥=3, 且当仅当|m|=|n|=时,取等号. 2 2 2 2 2 2 2 2 9.3 由 sin Acos B=2cos Asin B 得·=2··,所以 a +c -b =2(b +c -a ),即 a -b =,又 2 2 a -b =c,解得 c=3.
2

4

10. 设抛物线 C:y =8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k>0)恒过定点 P(-2,0), 如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则|OB|=|AF|,∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为(1,2),∴k==. 11.7 当 x>0 时,函数 f(x)=cos(x)+lox=cos(x)-log2x 的零点个数,即函数 y=cos(x)与 函数 y=log2x 的交点个数,如图所示有 3 个交点,

2

又因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0,所以函数 f(x)的零点个数为 3×2+1=7. 2 2 2 2 12.π 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则有() +r =1 ,所以圆柱的体积为 V=π r h=π (12 3 )h=π (-+h),而 V'=π (-h +1),易知当 h=时,V 取最大值 π (-+h)=π [-() +]=π . 13.2 依题意有 A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为 l1:y=x,l2:y=-x,设 P(x,y).由 PB∥l2 得=-,因为点 P 在直线 y=x 上,于是解得 P 点坐标为 P(,),因为 PA⊥l2,所以·(2 2 2 2 2 2 2 )=-1,即·(-)=-1,所以 b =3a ,因为 a +b =c ,所以有 c =4a ,即 c=2a,得 e=2. 14.[,] 如图,取 AC 中点为 G,连接 EG、FG,

∵E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,∴GF∥AB,GE∥CD,在正四面体中,AB⊥CD,∴GE⊥GF, ∴EF==,当四面体绕 AB 旋转时, ∵GF∥平面 α ,GE 与 GF 的垂直性保持不变, 当 CD 与平面 α 垂直时,GE 在平面上的射影长最短为 0,此时 EF 在平面 α 上的射影 E1F1 的长取得最小值; 当 CD 与平面 α 平行时,GE 在平面上的射影长最长为,E1F1 取得最大值; ∴射影 E1F1 长的取值范围是[,]. 15.证明:(1)在半圆柱中,BB1⊥平面 PA1B1,所以 BB1⊥PA1. 因为 A1B1 是底面圆的直径,所以 PA1⊥PB1,因为 PB1∩BB1=B1,PB1? 平面 PBB1, BB1? 平面 PBB1,所以 PA1⊥平面 PBB1.6 分 2 2 2 2 (2)因为 AC⊥BC,AC=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形,且 AB =BC +AC =2AC . 2 2 所以半圆柱的体积 V1=(AB) π ·AA1=AC ·AA1. 多面体 ABB1A1C 是以矩形 ABB1A1 为底面,以 C 为顶点的四棱锥,其高为点 C 到底面 ABB1A1 的距离,设这个高为 h,在 Rt△ABC 中,易得 AB·h=AC·BC,所以 h=, 5

所以 V2=·AA1·AB·=·AA1·AC·BC=AA1·AC . 所以=.14 分 16.解:(1)设 A(x1,),B(x2,),x1≠0,x2≠0,x1≠x2, 因为·=0,所以 x1x2+=0,又 x1≠0,x2≠0,所以 x1x2=-1. 因为 =(-x1,1-),=(-x2,1-), 且(-x1)(1-)-(-x2)(1-)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以∥.7 分 (2)由题意知,点 M 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足,又定点 C 在直线 AB 上,∠OMB=90°, 2 2 所以点 M 在以 OC 为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为 x +(y-) =(y≠0).14 分

2

17.证明:(1)因为 AB=AD,∠BAD=45°,在△ABD 中,由余弦定理得 BD =AD +AB 2 2 2 2 2AD·ABcos 45°=AD ,所以 AD +BD =AB ,因此 AD⊥BD,因为 DD1⊥平面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD, 所以 DD1⊥BD,又 AD∩DD1=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1? 平面 ADD1A1,所以 BD⊥AA1.7 分 (2)连结 AC、A1C1,设 AC∩BD=E,连结 EC1, 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AE=AC, 由棱台的定义及 AB=AD=2A1B1 知,A1C1∥AE,且 A1C1=AE, 所以四边形 A1C1EA 是平行四边形,因此 AA1∥EC1, 又因为 EC1? 平面 BC1D,AA1?平面 BC1D, 所以 AA1∥平面 BC1D.14 分 18.解:(1)由 2(an+an+2)=5an+1 得 an+2=an+1-an, 所以 an+2-2an+1=an+1-an-2an+1=an+1-an=(an+1-2an). 又因为 a2-2a1=2-2×5=-8,所以数列{an+1-2an}是首项为-8,公比为的等比数列. 同理 an+2-an+1=an+1-an-an+1=2an+1-an=2(an+1-an), 又 a2-a1=2-=-, 所以数列{an+1-an}是首项为-,公比为 2 的等比数列.8 分 n-1 -n+4 n-1 n-2 (2)由(1)知 an+1-2an=-8×() =-2 ,an+1-an=-×2 =-2 ,将以上两式相减得到 an=(n∈N+), n-3 n-3 所以 2 an=2 ×=(n∈N+), -1 0 1 2 n-2 所以 Sn=-(4 +4 +4 +4 +?+4 )=.16 分 19.解:(1)设椭圆 C 的方程为+=1(a>b>0). 由题意. 2 2 解得 a =16,b =12. 所以椭圆 C 的方程为+=1.6 分 (2)设 P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4. 因为=(x-m,y), 6

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所以|| =(x-m) +y =(x-m) +12×(1-)=x -2mx+m +12=(x-4m) +12-3m . 因为当||最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点, 2 即当 x=4m 时,|| 取得最小值,而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1. 又点 M 在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4. 故实数 m 的取值范围是 m∈[1,4].16 分 1+a 20.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,令 f'(x)=0,得 x=e , 1+a 当 x∈(0,e )时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 1+a 当 x∈(e ,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 1+a -1-a 所以当 x=e 时,f(x)取得极小值,即极小值为 f(x)==-e ,无极大值.6 分 1+a 1+a 1+a (2)①当 e <e,即 a<0 时,由(1)知,f(x)在(0,e )上是减函数,在(e ,e)上是增函数,当 1+a -1-a a a x=e 时,f(x)取得最小值,即 f(x)最小值=-e ,又当 x=e 时,f(x)=0,当 x∈(0,e ) a -1-a 时,f(x)>0,当 x∈(e ,e)时,f(x)∈(-e ,0),所以 f(x)的图像与函数 g(x)=-1 的图像 -1-a 在区间(0,e]上有公共点,等价于-e ≤-1,解得 a≤-1,又 a<0,所以 a≤-1. 1+a ②当 e ≥e,即 a≥0 时,f(x)在(0,e]上是减函数,f(x)在(0,e]上的最小值为 f(e)=,所 以,原问题等价于≤-1,得 a≤1-e<0,又 a≥0,所以不存在这样的实数 a.综上知实数 a 的 取值范围是 a≤-1.16 分

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