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高中数学北师大版选修2-2学案:2.3 计算导数 Word版含解析


§ 3

计算导数

1.理解导数的概念.(重点) 2.会用导数定义求简单函数的导数. 3.记住基本初等函数的求导公式,并能用它们求简单函数的导数.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 导函数的概念

阅读教材 P38~P40“练习”以上部分,完成下列问题. 一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值 记为 f′(x): f′(x)= lim f(x+Δ x)-f(x) ,则 f′(x)是关于 x 的函数,称 f′(x)为 f(x)的 Δx

Δx→0

导函数,通常也简称为导数.

若函数 f(x)=(x-1)2,那么 f′(x)=________. 【提示】 ∴ ∵f(x)=x2-2x+1,

Δy f(x+Δx)-f(x) = =2x+Δx-2. Δx Δx Δy = lim (2x+Δx-2)=2x-2. Δx
Δx→0

故 f′(x)= lim
Δx→0

【答案】 教材整理 2

2x-2 导数公式表

阅读教材 P41“习题 2-3”以上部分,完成下列问题. 函数 导函数

y=c(c 是常数) y=xα (α 是实数) y=ax(a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x

y′=0 y′=αxα -1 y′=axln_a,特别地(ex)′=ex 1 1 y′=xln a,特别地(ln x)′= x y′=cos_x y′=-sin_x 1 y′=cos2 x 1 y′=-sin2x

给出下列命题: 1 ①y=ln 2,则 y′=2; 1 2 ②y=x2,则 y′=-x3;③y=2x,则 y′=2xln 2; ④y=log2x,则 y′= 1 . xln 2 ) D.4

其中正确命题的个数为( A.1 B.2 【解析】 【答案】 C.3

对于①,y′=0,故①错误;显然②③④正确,故选 C. C [质疑· 手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 利用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数. 1 (1)y=x12;(2)y=x4;(3)y=3x;(4)y=log5x. 【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式, 若不符合可先将函 数解析式化为基本初等函数的求导形式. 【自主解答】 (1)y′=(x12)′=12x11.

4 ?1? - - (2)y′=?x4?′=(x 4)′=-4x 5=-x5. ? ? (3)y′=(3x)′=3xln 3. 1 (4)y′=(log5x)′=xln 5.

1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则, 避免不必要的运算失误. 1 3.要特别注意“ x与 ln x” , “ax 与 logax” , “sin x 与 cos x”的导数区别.

[再练一题] 1.若 f(x)=x3,g(x)=log3x, 则 f′(x)-g′(x)=__________. 【导学号:94210040】 【解析】 1 ∵f′(x)=3x2,g′(x)=xln 3,

1 ∴f′(x)-g′(x)=3x2-xln 3. 【答案】 1 3x2-xln 3

利用导数公式求函数在某点 处的导数 质点的运动方程是 s=sin t, π (1)求质点在 t=3时的速度; (2)求质点运动的加速度. 【精彩点拨】 ?π? (1)先求 s′(t),再求 s′?3?. ? ?

(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数,故先求 v(t),再求导. 【自主解答】 π 1 ?π? (1)v(t)=s′(t)=cos t,∴v?3?=cos 3=2. ? ?

π 1 即质点在 t=3时的速度为2. (2)∵v(t)=cos t, ∴加速度 a(t)=v′(t)=(cos t)′=-sin t.

1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数. 2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是:(1)先求函数的导 函数;(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.

[再练一题] 2.(1)求函数 f(x)= 1 3 x 在(1,1)处的导数;

?π 2? (2)求函数 f(x)=cos x 在? , ?处的导数. ?4 2 ? 【解】
1 4 ? 1 ?′ 1 -3 1 3 ? ? (1)∵f′(x)=? 3 ? =(x )′=-3x =- , 3 4 ? x? 3 x

∴f′(1)=-

1 3 3 1

1 =-3.

(2)∵f′(x)=-sin x,

π 2 ?π? ∴f′?4?=-sin 4=- 2 . ? ? [探究共研型] 导数公式的应用 探究 ?π ? 已知函数 f(x)=tan x,试求 f(x)的图像在点?3, 3?处的切线方程. ? ? 1 ?π? f′(x)=cos2x,∴f′?3?=4,即所求切线的斜率为 4,故切线方程 ? ?

【提示】

4π ? π? 为 y- 3=4?x-3?,即 4x-y+ 3- 3 =0. ? ? ?π 1? (2016· 长沙高二检测)求过曲线 f(x)=cos x 上一点 P?3,2?且与曲线在 ? ? 这点的切线垂直的直线方程. 【精彩点拨】 ?π? 求导数f′(x0) → 计算f′?3? → ? ? 利用点斜式写 1 → π ? ? 出直线方程 f′?3? ? ?

所求直线斜率 k=-

【自主解答】

因为 f(x)=cos x,所以 f′(x)=-sin x,则曲线 f(x)=cos x 在

?π 1? 点 P?3,2?的切线斜率为 ? ? π 3 ?π? f′?3?=-sin 3=- 2 , ? ? 2 所以所求直线的斜率为3 3,

1 2 ? π? 所求直线方程为 y-2=3 3?x-3?, ? ? 2 即 y=3 2 3 1 3x- 9 π+2.

求曲线方程或切线方程时,应注意: (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程; (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.

[再练一题] 3.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两 条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为________. 【解析】 设切点坐标为(t,t3-at+a).

由题意知,f′(x)=3x2-a, 切线的斜率为 k=f′(t)=3t2-a, ①

所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)· (x-t). ② 将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 解得 t=0 或 t=2. 3 分别将 t=0 或 t=2代入①式, 27 得 k=-a 或 k= 4 -a, 27 由题意得它们互为相反数得 a= 8 . 【答案】 27 8 [构建· 体系]

1 1.已知 f(x)=xα (α∈Q+),若 f′(1)=4,则 α 等于( 1 A.3 1 C.8 【解析】 1 B.2 1 D.4

)

1 ∵f(x)=xα,∴f′(x)=αxα-1,∴f′(1)=α=4.

【答案】

D

2.给出下列结论: 1 3 ①若 y=x3,则 y′=-x4; 13 3 ②若 y= x,则 y′=3 x; ③若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. 其中正确的个数是( A.1 C.3 【解析】 ) B.2 D.0 0-(x3)′ -3x2 -3 对于①,y′= = x6 = x4 ,正确; x6
1

1 3-1 1 -3 对于②,y′=3x =3x ,不正确; 对于③,f′(x)=3,故 f′(1)=3,正确. 【答案】 B

2

3.若 f(x)=10x,则 f′(1)=________. 【导学号:94210041】 【解析】 【答案】 f′(x)=10xln 10,∴f′(1)=10ln 10. 10ln 10 1 4 x 在 x=1 处的切线的倾斜角的正切值为________.
3
7

4.曲线 f(x)=

【解析】

3 -4 ? 3?′ f′(x)=? -4? =-4x , ?x ?

3 3 ∴f′(1)=-4=k,∴倾斜角的正切值为-4. 【答案】 3 -4

3 5.若质点 P 的运动方程是 s(t)= t2(s 的单位为 m,t 的单位为 s),求质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度. 【解】 ∵s′(t)=( t 3
2 1 2 2 -3 3 )′=(t )′= t ,

3

2 1 3 2 ∴s′(8)=3×8 =3×2-1=3,

1

1 ∴质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度为3 m/s.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(九)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列结论正确的是( )

A.若 y=cos x,则 y′=sin x B.若 y=sin x,则 y′=-cos x 1 1 C.若 y=x,则 y′=-x2 x D.若 y= x,则 y′= 2 【解析】 ∵(cos x)′=-sin x,∴A 不正确;

∵(sin x)′=cos x,∴B 不正确; ∵( x)′= 【答案】 1 2 x C ,∴D 不正确.

1 3 2.(2016· 济南高二检测 ) 在曲线 f(x)= x 上切线的倾斜角为 4 π 的点的坐标为 ( )

A.(1,1) C.(-1,1) 【解析】

B.(-1,-1) D.(1,1)或(-1,-1) 3 切线的斜率 k=tan 4π=-1,

设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=-1, 1 1 又 f′(x)=-x2,∴-x2=-1,∴x0=1 或-1,
0

∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选 D. 【答案】 D )

3.对任意的 x,有 f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式为( A.f(x)=x3 C.f(x)=x3+1 【解析】 得,选 B. 【答案】 B B.f(x)=x4-2 D.f(x)=x4-1

由 f′(x)=4x3 知 f(x)中含有 x4 项,然后将 x=1 代入选项中验证可

4.(2016· 北京高二检测)已知曲线 y=x3 在点(2,8)处的切线方程为 y=kx+b, 则 k-b=( A.4 C.28 【解析】 ) B.-4 D.-28 ∵y′=3x2,∴点(2,8)处的切线斜率

k=f′(2)=12. ∴切线方程为 y-8=12(x-2),即 y=12x-16, ∴k=12,b=-16,∴k-b=28. 【答案】 C )

1 5.若 f(x)=sin x,f′(α)=2,则下列 α 的值中满足条件的是(

【导学号:94210042】 π A.3 2 C.3π 【解析】 π B.6 5 D.6π ∵f(x)=sin x,∴f′(x)=cos x.

1 又∵f′(α)=cos α=2, π ∴α=2kπ±3(k∈Z). π 当 k=0 时,α=3. 【答案】 二、填空题 6.(2016· 菏泽高二检测)已知 f(x)=x2,g(x)= ln x,若 f′(x)-g′(x)=1,则 x=________. 【解析】 因为 f(x)=x2,g(x)=ln x, A

1 所以 f′(x)=2x,g′(x)= x且 x>0, 1 f′(x)-g′(x)=2x- x=1,即 2x2-x-1=0, 1 解得 x=1 或 x=-2(舍去).故 x=1. 【答案】 1

1 7.直线 y=2x+b 是曲线 f(x)=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 【解析】 设切点坐标为(x0,y0),则 y0=ln x0.

1 ∵y′=(ln x)′= x, 1 1 1 ∴f′(x0)=x ,由题意知x =2,
0 0

∴x0=2,y0=ln 2. 1 由 ln 2=2×2+b,得 b=ln 2-1. 【答案】 ln 2-1

8.(2016· 南京高二检测)已知函数 y=f(x)的图像在 M(1,f(1))处的切线方程是 1 y=2x+2,则 f(1)+f′(1)=__________. 【解析】 1 5 依题意知,f(1)=2×1+2=2,

1 5 1 f′(1)=2,∴f(1)+f′(1)=2+2=3. 【答案】 三、解答题 9.求下列函数的导数. 5 (1)y=x x;(2)y= x3; (3)y=log2x2-log2x; x? (4)y=-2sin 2?1-2cos2 ? x? . 4? ? 3

【解】

(4)∵y=-2sin

x? x? ?1-2cos24? 2? ?

x x? ? =2sin 2?2cos2 4-1? ? ? x x =2sin 2cos 2=sin x, ∴y′=(sin x)′=cos x. 1 1 10.若曲线 y=x 2在点(a, a 2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

-

18,求 a 的值. 3 1 1 1 1 -2 【解】 y′=-2x , 所以曲线 y=x 2在点(a, a 2)处的切线方程为 y-a 2= 3 1 -2 -2a (x-a). 1 3 -2 由 x=0 得 y=2a ,由 y=0 得 x=3a,

1 3 -2 所以2· 2a ·3a=18,解得 a=64. [能力提升] 1.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, 则 f2 016(x)=( A.sin x C.cos x 【解析】 ) B.-sin x D.-cos x f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x)=(sin x)′=cos x,

1

f2(x)=f1′(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=f2′(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)= f3′(x)=(-cos x)′=sin x,所以 4 为最小正周期, 故 f2 016(x)=f0(x)=sin x. 【答案】 A )

2.已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为(

【导学号:94210043】 1 A.e C.-e 【解析】 , ?y0=kx x ?y0=e , ?k=ex ,
0 0 0

1 B.- e D.e y′=ex,设切点为(x0,y0),则

∴ex0=e x0·x0,∴x0=1,∴k=e. 【答案】 D

3.(2016· 潍坊高二检测)点 P 是 f(x)=x2 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-1 的最短距离是__________. 【解析】 与直线 y=x-1 平行的 f(x)=x2 的切线的切点到直线 y=x-1 的

距离最小.设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=2x0=1, 1 1 ?1 1? ∴x0=2,y0=4,即 P?2,4?到直线 y=x-1 的距离最短. ? ?

?1 1 ? ?2-4-1? ? ? 3 2 ∴d= 2 2 = 8 . 1 +1 【答案】 3 2 8

4.求证: 曲线 xy=1 上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数. 【证明】 1 由 xy=1,得 y=x ,

1 所以 y′=-x2. 1? 1 ? 在曲线 xy=1 上任取一点 P?x0,x ?,则过点 P 的切线的斜率 k=-x2, ? ? 0 0 1 1 1 2 切线方程为 y-x =-x2(x-x0),即 y=-x2x+x .
0 0 0 0

2? ? 设该切线与 x 轴,y 轴分别相交于 A,B 两点,则 A(2x0,0),B?0,x ?, ? 0? 1 1 ?2? 故 S△OAB=2|OA|· |OB|=2|2x0|·?x ?=2, ? 0? 所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.


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