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广东省佛山一中2011届高三10月月考(理数)


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佛山一中 2011 届高三第一学期 10 月考试 理科数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的) 1.若集合 M ? { y | y ? 3x }, PP {x |xy ? 13则? 3} P =( ) , ?? x ? x M ? A. {x | x ? 1} 2. 若a ? ? B. { y | y ? 1} C. { y | y ? 0} D. {x | x ? 0}
?0.3

?

?

?1? ? ?2?
1 x

, b ? log 4 3 ,c ? log 1 5, 则a, b, c的大小关系为() ) ,则 a b, c 的大小关系为(
2

A. b ? a ? c

B. a ? b? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

3.曲线 y ? e 2 在点 (4, e 2 ) 处的切线方程为( ) A

y ? e 2 x ? 3e 2

B y ? e 2 x ? 2e 2

C y ? 2e 2 x ? 7e 2

D y?

1 2 e x ? e2 2

4. 下列说法中错误的命题有( )个 .. 2 1 ○. 命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”

1 ? 1 ”的充分不必要条件 a 3 ○. 若 p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题
2 ○. “ a ? 1 ”是“ 4 ○. 若命题 p :“存在 x0 ? R, 2 B.2
-x+1
x0

? 0”,则 ? p :“对任意的 x ? R, 2 x >0”.
C.3 D.4

A.1

5. 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

6. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f (x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 减 函 数 , 则 (

) A.

f (11) ? f (80) ? f (?25)
C. f (?25) ? f (11) ? f (80) 7.若 f ( x) ? ?

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则实数 b 的取值范围是( 2



A. [?1, ??)

B. (?1, ??)

C. (??, ?1]

D. (??, ?1)

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索引教育官方网站:www.indexedu.com.cn 留学论坛:bbs.indexedu.com 8. 右 图 是 函 数 所在的区间是(

f ( x) ?
) .

x

2

? ax ? b

的部分图像,则函数

g ( x) ? ln x ? f '( x) 的零点

1 1 ( , ) A. 4 2

B. (1, 2)

1 ( ,1) C. 2

D. (2,3)

二﹑填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 y ? log 1 (4 ? 3x ? x ) 的单调递减区间
2 2

. .

10. 设

?2 ? t x , x?2 ? f ( x) ? ? ?logt ( x 2 ? 1), x ? 2 ?

且 f (2) ? 1 ,则 f ( f ( 5)) 的值为

11.若函数 f ( x) ? x3 ?12x ? 8在 ,上的最大值与最小值分别为M、m,则M-m= [-3 3] 12.曲线 y ? x 2 与直线 y ? kx (k ? 0) 所围成的曲边图形的面积为

____

____.

13 .已知集合 A= x x ? 3x ? 10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 若A ? B ? B , 则实数 m 的取值范围是
2

?

?

?

?

4 ,则 k ? 3

.
.

⒕四位同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 时,分别给出下面四个结论: 1? x
② 函数 f (x) 的值域为 (-1,1);

①函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称; ③若 x1 ? x2 , 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

④若规定 f1 ( x) ? f ( x) , f n?1 ( x) ? f [ f n ( x)] ,则 f n ( x) ? 正确的有

x * 对任意 n ? N 恒成立. 你认为上述四个结论中 1? n x

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)若函数 f ?x? ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? m 在区间 ?0, (1)求常数 m 的值及 f ( x ) 的对称中心; (2)作函数 f (x) 关于 y 轴的对称图象得函数 f 1 ( x ) 的图象,再把 f 1 ( x ) 的图象向右平移 函数 f 2 ( x) 的单调递减区间.

? ?? ? 上的最大值为 6, ? 2?

? 个单位得 f 2 ( x) 的图象,求 4

16.(本小题满分 12 分)已知下列两个命题:

P : 函数 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 4(m ? R) 在 [2,??) 单调递增;
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Q : 关于 x 的不等式 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 (m ? R) 的解集为 R ;
若 P ? Q 为真命题, P ? Q 为假命题,求 m 的取值范围.

P _ E _

17. (本小题满分 14 分) 右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ; _ A

N _ D _ C _

B _

PD ? 2 ,求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的锐二面角的大小. (3)若 AD

18. (本小题满分 14 分)如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分别为 9 m,

3 m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF , MN : NE ? 16 : 9 .线段 MN 必须过点 P,端点
M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) , 液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2). (1) S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; 求 (2)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积

F E D M A P N
(第 18 题图)

C
S 最小?

B

2 19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, 且f (1) ? ?

a ,3a ? 2c ? 2b , 2

(1)求证 a ? 0且 ? 3 ?

b 3 ?? ; a 4

(2)函数 f (x) 在区间(0,2)内至少有一个零点;
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索引教育官方网站:www.indexedu.com.cn 留学论坛:bbs.indexedu.com (3)设 x1 , x2 是函数f ( x)的两个零点, x1 ? x2 的取值范围. 求

⒛(本小题满分 14 分)20. (14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数. (1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立. 2 n n

佛山一中 2011 届高三第一学期 10 月考试(理数)答案
一选择题 (满分 40 分) BBDBC ACC ; 10 . 8 ; 11 32 ; 二﹑填空题(共 30 分) 9. ? ? 1, ? 13. m m ? 3

? ?

3? 2?

12.

2

;

?

?

;

14. ②③④ 1 2 3 4 5

15 解: f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 1 ? m

) ?1? m 6 ? ? 7? 1 ? ? ? 2x ? ? ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 6 6 2 6
? m ? f ( x) ? 3 ? m

? 2 sin( 2 x ?

?

?3 ? m ? 6 ? m ? 3 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?4

6

? k? ? ? f ( x) 的对称中心 ? ? ,4 ? ? 2 12 ?
(2) f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

k ?Z

8

?
6

)?4
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f 1 ( x) ? 2 sin( ?2 x ?

?
6

)?4 )?

9

f 2 ( x) ? 2 sin( ?2( x ? ?

?
4

?

?

2 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 2 3 2

2 ) ? 4 ? ?2 sin( 2 x ? ? ) ? 4 6 3

10 11

7 ?? ? f 2 ( x) 的单调递减区间是 ? ? k? , ? ? k? ? k ? Z 12 ?12 ?
16 解:函数 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 4(m ? R) 的对称轴为 x ? m 故 P 为真命题 ? m ? 2

12

???2 分 ???4 分 ???6 分 ???8 分 ???10 分 ???12 分

Q为真命题 ? ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ?1 ? 0 ? 1 ? m ? 3.

? P ? Q为真, P ? Q为假,? P与Q一真一假.
若 P真Q假 ,则 m ? 2 ,且 m ? 1或m ? 3 ,? m ? 1 若 P假Q真 ,则 m ? 2 ,且 1 ? m ? 3 ,? 2 ? m ? 3 综上所述,m 的取值范围 m m ? 1或2 ? m ? 3

?

?

17.解: (1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA --------------------------------------------------------------------------------2 分 ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC ? BC ? C ∴平面 BEC //平面 PDA -------------------------------------------------------------------------------3 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA--------------------------------------------------------------4 分 (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ∵F 为 BD 的中点,

1 PD ,--------------------------6 分 2 1 又 EC // PD 且 EC ? PD 2 ∴ NF // EC 且 NF ? EC
∴ NF // PD 且 NF ? ∴四边形 NFCE 为平行四边形-------------------------7 分 ∴ NE // FC ∵

P

E N D F C

DB ? AC , PD ? 平面 ABCD , A B AC ? 面 ABCD ∴ AC ? PD , 又 PD ? BD ? D ∴ AC ? 面 PBD ∴ NE ? 面 PDB --------------------------------------------------------9 分
[证法 2:如图以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示:设该简单组合体的底面边长 为 1, PD ? a
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索引教育官方网站:www.indexedu.com.cn 留学论坛:bbs.indexedu.com 则 B(1,1,0), C (0,1,0), P(0,0, a), E (0,1, ) , N ( , , ) --------------------------------6 分

???? 1 1 ??? ? ??? ? ∴ EN ? ( , ? , 0) , PB ? (1,1, ?a) , DB ? (1,1,0) 2 2 ???? ??? 1 ? 1 ∵ EN ? PB ? ? 1 ? ? 1 ? a ? 0 ? 0 , 2 2 ???? ??? 1 ? 1 EN ? DB ? ?1 ? ?1 ? 0 ? 0 ? 0 2 2

a 2

1 1 a 2 2 2

z P

E N D C y

∴ EN ? PB, EN ? DB ---------------------------------8 分 ∵ PB 、 DB ? 面 PDB ,且 PB ? DB ? B
x

A

B

∴ NE ? 面 PDB ------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)解法 1:连结 DN,由(2)知 NE ? 面 PDB ∴ DN ? NE , ∵

PD ? 2 , DB ? 2 AD ∴ PD ? DB AD

∴ DN ? PB

∴ DN 为平面 PBE 的法向量,设 AD ? 1 ,则 N ( , ,

????
??? ?

1 1 2 ) 2 2 2

∴ DN = ( , ,

????

1 1 2 ) ---11 分 2 2 2

∵ DP 为平面 ABCD 的法向量, DP ? (0,0, 2) ,---------------------------------------------12 分 设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

??? ?

???? ??? ? DN ? DP 1 2 ? 则 cos ? ? ???? ??? ? ------------------------------------------------13 分 ? 2 | DN | ? | DP | 2
? ∴ ? ? 45

即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45°--------------------14 分
P

[解法 2:延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G,连结 GB, 则 GB 为平面 PBE 与 ABCD 的交线--------------------10 分 ∵ PD ? 2 EC ∴ CD ? CG ? CB ∴D、B、G 在以 C 为圆心、以 BC 为半径的圆上, ∴ DB ? BG -------------------11 分 ∵ PD ? 平面 ABCD , BG ? 面 ABCD A ∴ PD ? BG 且 PD ? DB ? D

E

D

C

G

B

∴ BG ? 面 PDB ∵ PB ? 面 PDB ∴ BG ? PB ∴ ? PBD 为平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角------------------------------------13 分 在 Rt ?PDB 中 ∵ PD ? DB ∴ ? PBD =45°即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45°------------------------14 分 18 解: (1) AM ?
3x (10 ≤ x ≤ 30) . ???1 分 x?9 9 x2 MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ? . ??3 分 ( x ? 9) 2

F E D M P
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C

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A

N B 地址:北京市朝阳区建外SOHO11 号楼2505 室
(第 18 题图)

索引教育官方网站:www.indexedu.com.cn 留学论坛:bbs.indexedu.com ∵ MN : NE ? 16 : 9 , ∴ NE ? ∴ S ? MN ? NE ?

9 MN . 16
??5 分

9 9 9 x2 MN 2 ? [ x 2 ? ]. 16 16 ( x ? 9) 2

定义域为 [10,30] . (3) S ? ?

????6 分

9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] [2 x ? ]= ? ,???9 分 16 ( x ? 9) 4 8 ( x ? 9)3

令 S ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍) x ? 9 ? 3 3 3 . ,

???????10 分

当 10 ≤ x ? 9 ? 3 3 3 时, S ? ? 0, S 关于 x 为减函数; 当 9 ? 3 3 3 ? x ≤ 30 时, S ? ? 0, S 关于 x 为增函数;???????12 分 ∴当 x ? 9 ? 3 3 3 时, S 取得最小值. ???????13 分

答:当 AN 长为 9 ? 3 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.?14 分
19 解: (1) f (1) ? a ? b ? c ?

a ,? 3a ? 2c ? 2b ? 0 ???????1 分 2

? 3a ? 2c ? 2b

? 3a ? 0,2b ? 0 ???????2 分

?3a ? 2c ? ?3a ? 2b b ? ? ?3 ???????3 分 ? a ?a ? 0 ?3a ? 2b b 3 ? ? ? a 2 ?a ? 0
? a ? 0且 ? 3 ?

?2b ? 2c ? ?3a ? 2b b 3 ? ? ? ?????4 分 ? a 4 ?a ? 0

b 3 ? ? ???????5 分 a 4

(2) f (0) ? c, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? a ? c ???????6 分

? 1 ○当 c ? 0时, a ? 0 ? f (0) ? c ? 0

f (1) ? ?

a ? 0 ???????7 分 2

?函数f (x)在区间( , 01 )内至少有一个零点 ??????8 分
? 2 ○当 c ? 0时, a ? 0, f (1) ? ? 2 ? 0, f (2) ? a ? c ? 0 a

?函数f (x)在区间( )内至少有一个零点 1,2 ???????10 分
? (3) x1 , x2 是函数f ( x)的两个零点, x1 ? x 2 ? ? b a x1 ? x 2 ? c 3 b ? ? ? ?????11 分 a 2 a

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
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b2 3 b b ? (- ? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 ?????12 分 4 2 2 a a a
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??3?

b 3 ?? a 4

? 2 ? x1 ? x2 ?

57 4

x1 ? x2 的取值范围: ? 2 ,
?

?

57 ? ? ???????14 分 4 ? ?

20. 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
2

?? 1 分 ?? 2 分

(2)设 G( x) ? 2x 2 ? 2x ? b ,若函数 f ( x ) 的有极值点,则 G(x) =0 有解

? ? 4 - 8b ? 0;
当b ?

?b ?

1 ???????3 分 2
???4 分

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? , x2 ? ? 2 2 2 2 2

? i) b ? 0 时, x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去, 而x2 ? ? ? 1 ? (0,??) , ?5 分 2 2 2 2

此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ?) ?

?


由此表可知:? b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b , ? 2 2

?? 6 分

1 时,0< x1 ? x 2 <1 此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: 2

x
f ?( x ) f ( x)

?0,x1 ?
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )

x2
0
极小值

( x2, ?) ?

?


?


f ( x) 有极大值 x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 和极小值点 x 2 ? ? ; ? 2 2 2 2

??8 分

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索引教育官方网站:www.indexedu.com.cn 留学论坛:bbs.indexedu.com 综上所述: 当且仅当 b ?

1 时 f ( x ) 有极值点; 2

当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

当0 ? b ?

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? ?? 9 分 2 2 2 2 2

(3)由(2)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x , 此时 f ( x ) 有惟一极小值点 x ?

1 1 ? 2b 1 ? 3 ? ? 2 2 2

x ? (0,

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2

1 4 1? 3 ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n ? 当 n ? 3 时, ? 1 ? 1 ? 0

令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0)

则 h' ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续? x ? [1,??)时h( x)为增函数 1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n ?n ? 3 时 1 ? 1? 1 n

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