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11.2三角形全等的条件(四)


人教版八年级《数学》上册

13.2三角形全等的条件(四)

判断:1、两直角边对应相等的两个直角三角 形全等
2、一锐角和一条边对应相等的两个直角三角 形全等

3、已知:如图, ? AB于点F , CF C AF ? DF , BF ? CF 求证:BE ? AC
A E D

F

B

如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)你能帮他想个办法吗? 方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角. (ASA)或(AAS)

⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就 肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的 结论吗?

做一做

观察课本15页的Rt△ABC, 画一个△A B′ C ′ , ′ ′ ′ 使∠C= 900 ,A B =AB , B′ C′=BC ′ ′ 2.在射线C M上截取线段B C′ =BC N

1.作∠MC′ N=∠C=90°; N

′ ′ C M C ′ 3.以B ′为圆心,AB为半径画弧, 4.连接A B′ . 交射线CN于点A ; ′ ′ N N A ′ A ′ C ′ B
M

B′

M

′ C

B′

M

我思,我进步
A

′ 观察:你画的Rt△A B′ C′ 与 Rt△ABC 全等吗?为什么?
B

C ′ A

思考:这两个直角三角形全等 是满足什么条件?

直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两 B′ 个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或 “HL”.

C′

我思,我进步
A

在Rt?ABC和Rt?A B C 中
' ' '

C ′ A

B

?BC ? B C ? ? ' ' ? AB ? A B ? ' ' ' ? Rt?ABC ? Rt?A B C ( HL)
'

'

C′

B′

我思,我
进步 A

到现在为止,你能够用几种方法 说明两个直角三角形全等?
B

C
A′

Rt△全等的判定方法

SSS

SAS

ASA

AAS

HL

一般三角形全等的判定方法 C′
B′

我思,我进步1

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等?

(1)一个锐角及这个锐角的对边对应相等 (AAS)

(2)一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等

(ASA) (3)一个锐角及斜边对应相等 (AAS)

(4)一直角及斜边对应相等(HL) (5)两直角边对应相等(SAS)

例题欣赏

例,如图AC⊥BC, BD⊥AD,AC=BD,求证:BC=AD
D

C 证明:∵ AC⊥BC, BD⊥AD(已知)

∴∠C=∠D =90°

A

在Rt△ABC与Rt△BAD中 AB=BA(公共边) B AC=BD(已知) ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴BC=AD(全等三角形对应边相等)

我思,我进步2

如图,AC=AD,∠C,∠D是直 角,你能说明BC与BD相等吗?
证明:连接AB
A

在Rt△ACB和Rt△ADB中,



AB=AB (公共边)
AC=AD (已知)
C B D

∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).

∴BC=BD(全等三角形对应边相等).

例题欣赏

例:已知:A B⊥AC,CD ⊥AC,AD=CB, 问△ABC 与△CDA全等吗?为什么? 答:△ABC ≌ △CDA A D 证明:∵ A B⊥AC,CD ⊥AC 1 ∴∠1=∠2=90° 2
B C

在Rt△ABC和Rt△DEF中, AD=CB(已知) AC=CA(公共边) ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)

例题欣赏

如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆 上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木 桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。 解:相等 证明∵ ∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)

∴BD=CD (全等三角形对应边相等)

我思,我进步3

如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长 度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE有什么关系?说明理由。
E C

B

A

D

F

我思,我进步3

解:互余,在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
E C

AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)

∴∠ABC=∠DEF
B A D F

(全等三角形对应角相等)

又 ∵∠DEF+∠DFE=90° ∴∠ABC+∠DFE=90°(等量代换) ∴∠ABC与∠DFE互余

反思

小结

1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等?

斜边、直角边(HL)

2、通过这节课,判定直角三角形全等的条件 有哪些? 注意哦! SSS、SAS、ASA、AAS、HL
“边边角”不能判定两个 三角形全等

驶向胜利 的彼岸

当堂训练 书 判断:1、两边对应相等的两个直角三角形全 等

2、已知:如图, ? AB于点F , CF C AF ? DF , AC ? BD 求证:BE ? AC
A E D

F

B

3、在四边形ABCD中,AB ? CD, BE ? AC于E,DF ? AC于F AF ? CE 求证:AD ? BC, AD // BC
A E F B C D


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