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江西省高安中学2015届高三命题中心模拟押题(三)数学(理)试题


高三数学理科模拟试题
一.选择题(5×12=60 分) 1.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B =( A. x x ? 0? 2.已知复数 z ?

?

?

?

?

) D. ?

/>?

B.

? x x ? 1?

C.

?x 0 ? x ? 1或x ? 1?
)

1 ,则 z-|z|对应的点所在的象限为( 1? i
B.第二象限 )

A.第一象限 3.下列命题错误的是(

C.第三象限

D.第四象限

A. 命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 则

x2 ? y2 ? 0 ”
2 B. 若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D. 若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 4.已知数列{an} 满足 a1=1, 且 an ? 式为 ( )

? ?

? ?

?

?

1 1 an ?1 ? ( ) n ( n ? 2 , 且 n∈N*), 则数列{ an} 的通项公 3 3

A. an ?

3n n?2

B. an ?

n?2 3n

C.an=n+2

D.an=( n+2)·3

n

5. 已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (? ? 0) 为偶函数,0 ? ? ? ? ,其图象与直线 y ? 2 的某两个交 点的横坐标为 x1 , x 2 ,若| x2 ? x1 |的最小值为 ? ,则( A. ? ? 2,? ? ) D. ? ? 2,? ?

? 2

B.

1 ? ? ? ,? ? 2 4

C.

1 ? ? ? ,? ? 2 2

? 4

?y ? 5 ? 6.若实数 x、 y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0. 则 z=| x |+2 y 的最大值是 ( ?x ? y ?1 ? 0 ?



A.1 0 B.1 1 C.1 3 D.1 4 7.下面框图所给的程序运行结果为 S=35,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是(



A.k=7 B.k ? 6 C . k<6 D.k>6 8. 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 ( ) A.1 B. 2

C.3

D. 4

9.某宾馆安排 A、 B、 C、 D、 E 五人入住 3 个房间, 每个房间至少住 1 人, 且 A、 B 不能住同一房间, 则不同的安排方法有( )种 A.24 B .48 C.96 D.114 2 10.已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x+2)与抛物线交于 A,B 两点,则直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为 A.0 B.2 C.-4 D.4 11 . 已 知 函 数

f ( x) ? ln

ex e 2e 2012e , 若f( )+f( )+ ? +f( )=503(a ? b), 则a 2 ? b 2 e? x 2013 2013 2013
) B.8 C.9 D.12

的最小值为( A.6

? ?5 sin( x) 0 ? x ? 1 ? ?4 2 12. 已知函数 y ? f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数, 当 x ? 0 时,f ? x ? ? ? , ?( 1 ) x ? 1 x ? 1 ? ? 4 2 若关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0(a, b ? R) ,有且仅有 6 个不同的实数根,则实数 a 的
取值范围是( ) A. ( ? D. ( ?

5 9 ,? ) 2 4

B. ( ?

9 , ?1) 4

C



5 9 9 (? , ? ) ? (? , ?1) 2 4 4

5 , ?1) 2

二、填空题:(5×4=20 分) 13.如果 (3 x ?

1
3

x

2

) n 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中

1 的系数是 x3



? ? ? ? ? ? 14.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60°,则 | 2a ? b |?
15.已知底面边长为



2 , 各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P-A B C 的四个顶点都在同一球面

上, 则此球的表面积为 。 2 16.若关于实数 x 的方程 3ax +2bx+1-a-b=0(a,b∈R)的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离 心率,则 a+b 的取值范围是 。 * 17. (本小题满分 12 分)对于给定数列{an},如果存在实常数 p,q,使得 an+1=pan+q 对于任意 n∈N 都成立,我们称数列{an}是“M 类数列”. (1)已知数列{bn}是“M 类数列”且 bn= 3n 求它对应的实常数 p,q 的值; n * (2)若数列{cn}满足 c1=-l,cn - cn+l =2 (n∈N ) ,求数列{cn}的通项公式.判断{cn}是否为 “M 类数列”并说明理由。 18. (本小题满分 1 2 分) 2014 年我国公布了新的高考改革方案,在招生录取制度改革方面,普通高校逐步推行基于统 一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价、多元录取机制,普通高校招生录取将参考考生 的高中学业水平考试成绩和职业倾向性测试成绩。

为了解公众对“改革方案”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行整理后制成下表:

(1)完成被调查人员的频率分布直方图; (2)若年龄在

20. (本小题满分 1 2 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的 2 2 a b 直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点.
已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)如图所示,设直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (1 ? r ? 相切,切点分别为 A,B,求|AB|的最大值.

2 ) 、椭圆 C 同时

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; 2 1 2 a (2)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ax ? bx ? ?0 < x ≤ 3 ? ,其图像上任意一点 P ?x0 , y0 ? 处切线的斜 2 x 1 率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ?x ? ? mx在区间 1, e 2 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范 围。

? ?

选做题(在 22、23、24 三题中任选一题做答) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .
(Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长. 第 22 题 图

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已 知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? t sin ?

? sin 2 ? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? log2 (a ? 3a) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 D 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13、21 14、 13 15、 3? 16、 (- ∞,-1)∪(1,+∞)

17. (本题满分 12 分) 解: (1)?bm ? 3n,?bn?1 ? bn ? 3,? p ? 1, q ? 3??????6 分 (2)?cn ? cn?1 ? 2m (n ? N m )

?cm?1 ? cm ? ?2m n ( ? Nm ) c2 ? c 1? ?2 c , ? ? ? 4 , cm ? , cn? ? ?1 cm?1 2 n? ( 3c ? 2 cm ? ?( 1 ? ? 2 ?? 4 ?
n ?cm ? 1 ? 2 n( ? Nn n?1

2)

2 ? ? )

n

n 1 ? 2 c1 ( ? ? 也满足上式 2), 1

)
可 推 得

cn?1 ? 1? 2m?1 ? 2(1? 2m ) ?1 ? 2cm ?1,?cm?是为“M类数列”, ??12分
18.解: (1)各组的频率分别是 0,1,0,2,0,3,0,2,0,1,0,1,所以图中各组的 别是 0,01,0,02,0,03,0,02,0,01,0,01 标分

(2)x 的所有可能数值为 0,1,2,3

p( x ? 0) ?

2 c2 6 3 18 4 c3 ? ? ? ? 2 2 c5 c5 10 10 100

2 2 1 1 c4 cc c1 48 4 c3 p( x ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 3 2 2 ? c5 c5 c5 c5 100 1 1 2 c 41c c 3 ? 2c 4 30 ? 2 2 c5 c5 100

p( x ? 2) ?

p( x ? 3) ?

c1 4 4 ? 2 2 c5 c5 100

所以 x 的分布为

x p

0

1

2

3

18 100 48 ? 60 ? 12 6 ? 100 5

48 100

30 100

4 100

? EX ?

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连接

BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,????????2 分
又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,????4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ????6 分 (Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG , ∴ EG ? BC , ∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角. ????9 分

Rt ?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?
∴ cos?EGF ?

1 13 , EF ? 3 , EG ? . 2 2

FG 13 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 .???12 分 ? EG 13 13 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一个法向量为

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) 则, ?

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

可求得 n2 ? (?3, 3,1) .??????9 分

所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 13 , ? | n1 | ? | n2 | 13
13 .? 13

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

20.解(1)设 F(C,0) ,则

c 2 ? ,知 a= 2c ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x=c, a 2

c2 y 2 2 b,于是 2b ? 2 ,解得 b=1, 代入椭圆方程有 2 ? 2 ? 1, 解得y ? ? a b 2

又 a2 ? b2 ? c2 , 从而a= 2, c ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为 (2)依题意直线 l 的斜线存在,设直线 l:y=kx+m 将?

x2 ? y 2 ? 1??4 分 2

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

联立得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,令△=0,

16k 2m2 ? 4(2m2 ? 2)(1 ? 2k 2 ) ? 0, 2k 2m2 ? (m2 ?1)(1 ? 2k 2 ) ? 0
2k 2 m2 ? m2 ? 2k 2 m2 ? 1 ? 2k 2 ? 0 ? m 2 ? 1 ? 2k 2

??? ? 2 (1 ? 4k 2 )m2 1 ? 4k 2 ?2km m ?切点B( , ), ?OB ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2

? 直线l与圆x2 ? y 2 ? r 2相切, ?

m 1? k
2

2

? r即m2 ? r 2 (1 ? k 2 )
1 ? 2k 2 2(k 2 ? 1) ? 1 1 ? ? 2? 2 2 2 1? k 1? k k ?1

由 m ? 1 ? 2k ?1 ? 2k ? r (1 ? k ) ? r ?
2 2 2 2 2

又 r ? (1, 2),? k ? 0
2 2

??? ? 2 ??? ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 4k 2 )(1 ? k 2 ) ? (1 ? 2k 2 ) 2 k2 k2 ? AB ? OB ? r ? ? ? ? ? 1 ? 2k 2 1 ? k 2 (1 ? 2k 2 )(1 ? k 2 ) (1 ? 2k 2 )(1 ? k 2 ) 2k 4 ? 3k 2 ? 1


1 1 ≤ ? 3? 2 2 1 2 2 2 ? 3 2k ? 2 ? 3 k
4 2

当且仅当 2k ? 1, 即k ?

2 时取等号 2

??? ? ? AB 的最大值为 2 ? 1

22. (本小题满分 10 分)
2 解: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF

∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ????????2 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? , ∴ EA ? ED ? EF ? EP ????4 分 EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .????????5 分 9 2 (Ⅱ) ∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴ EC ? , ∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 2 27 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? .????????7 分 4 15 2 ∴ BP ? EP ? EB ? . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA ? PB ? PC 4
∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ ∴ PA ?
2

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? .????????10 分 4 4 2 4

23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4? cos? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x .????????5 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos? ? 4 ? 0 .
2 2

设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ∴ AB ? t1 ? t 2 ? 当? ?

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

?
2

16cos2 ? 16 4 , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

时, AB 的最小值为 4. ????????10 分

24. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 或? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 3 1 3 1 解得: ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . ????????5 分 2 2 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? log2 (a ? 3a) ? 2 等价于 log2 (a ? 3a) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | , 因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ,所以 f ( x) 的最小值为 4,
2 ? ?a ? 3a ? 0 于是 log2 (a ? 3a) ? 2 ? 4 即 ? 2 所以 ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 .?10 分 ? a ? 3 a ? 4 ? 0 ?

2


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