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数学(2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示)


2.3

平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

问题提出

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t

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则? 2.怎样理解向量的数乘运算

λa?
(1)|λ a|=|λ ||a|; (2)λ >0时,λa与a方向相同;

λ<0时,λa与a方向相反;
λ=0时,λa=0.

3.平面向量共线定理是什么?
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ,使b=λa. 4.如图,光滑斜面上一个木块受到的重 力为G,下滑力为F1,木块对斜面的压 力为F2,这三个力的方向分别如何? 三者有何相互关系?
F1

G

F2

5.在物理中,力是一个向量,力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解, 任何一个大小不为零的力,都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来,就会形成一个 新的数学理论.

探究(一):平面向量基本定理

思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2, 如何求作向量3e1+2e2和e1-2e2?
e2 e1

e1-2e2
2 e2

B

C

O

e1 D

3 e1 A

3 e1 + 2 e2

思考2:如图,设OA,OB,OC为三条共 点射线,P为OC上一点,能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平 行四边形?
B
N O P C

M

A

思考3:在下列两图中,向量 OA, OB, OC 不共线,能否在直线 OA 、 OB 上分别找一 uuur uuu r uuu r 点M、N,使 OM + ON = OC ?
B N O C N B

C

A

M

A

O

M

B
N O

B C N
C

A

M

A

O

M

思考4:在上图中,设 OA=e1,OB=e2, OC =a,则向量 OM,ON 分别与e1,e2的 关系如何?从而向量a与e1,e2的关系如 何? OM ? ?1e1 , ON ? ?2e2 . a ? ?1e1 ? ?2e2 .

B
N O

B C N
C

uuur OM = uuu r ON =

A

M

A

O

M

OM ? ?1e1 ,ON ? ?2e2 ,a ? ?1e1 ? ?2e2

思考5:若上述向量e1,e2,a都为定向量, 且e1,e2不共线,则实数λ1,λ2是否存在? 是否唯一?

思考6:若向量a与e1或e2共线,a还能用 λ1e1+λ2e2表示吗? e1

a
e2 a

a=λ1e1+0e2

a =0 e1 + λ 2 e2

思考7:根据上述分析,平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1,e2表示出来,从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗?
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量, 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.

思考8:上述定理称为平面向量基本定理, 不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组?不同基底对 应向量a的表示式是否相同?

探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示

思考1:不共线的向量有不同的方向,对 于两个非零向量a和b,作 OA ?a,OB ?b, 如图.为了反映这两个向量的位置关系, 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜?
B a b b

[0°,180°]
a

O

A

思考2:如果向量a与b的夹角是90°,则 称向量a与b垂直,记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底?
b a

思考3:把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.如图,向 量i、j是两个互相垂直的单位向量,向量 a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i、 j为基底,向量a如何表示?

a ? 2 3i ? 2j

B

j
O i

a

P A

思考4:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底, 对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定 理知,有且只有一对实数x、y,使得 a= xi+yj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y).其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴 y 上的坐标,上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何? j x O i x

思考5:相等向量的坐标必然相等,作向 量 OA ? a,则 OA ?(x,y),此时点A是坐 标是什么?
y A j
O

a

A(x,y)
i x

理论迁移

例1 如图,已知向量e1、e2,求作向 量-2.5e1+3e2.
C e1 e2 3e2 A -2.5e 1 O B

例2 如图,写出向量a,b,c,d的坐标.
5 y

b=(-2,3)

b 2
O

a
2

a=(2,3)
4

-4 - 2

c=(-2,-3)

c -2
-5

x

d

d=(2,-3)

例3 如图,在平行四边形ABCD中, AB =a, AD =b,E、M分别是AD、DC的中 点,点F在BC上,且BC=3BF,以a,b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
AB ? 2 AC 3

1 AM ? a ? b 2

B

F

C M

1 EF ? a ? b 6

A

E

D

小结作业

1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理, 同时又是向量坐标表示的理论依据,是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量,平行向量的夹角是 0°或180°,垂直向量的夹角是90°.

3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系,它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点,则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.

作业: P102习题2.3B组:3,4.


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