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浙江省省台州中学2011届高三第四次统练试题数学文


台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练试题高三

数学(文科)

台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练试题 高三
题目要求的.1、若将复数 A、-2

数学(文科)


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

2?i b 表示为 a ? bi(a.b ? R.i是虚数单位) 的形式,则 的值为( i a 1 1 B、 ? C、2 D、 2 2
an

2、若数列 {an} 是公差为 2 的等差数列,则数列 {2 A、公比为 2 的等比数列 C、公比为

} 是(



B、公比为 4 的等比数列 D、公比为

1 的等比数列 2

1 的等比数列 4


3、甲盒子中装有 2 个编号分别为 1,2 的小球,乙盒子中装有 3 个编号分别为 1,2,3 的小球,从甲、 乙两个盒子中各随机取一个小球,则取出两小球编号之和为奇数的概率为(

2 3 1 C、 3
A、

1 2 1 D、 6
B、

4、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列函数,其中与

1

f ( x) ? sin x ? cos x 构成“互为生成”函数的为
A. f1 ( x) ? 2 sin x ? 2 C. f3 ( x) ? 2(sin x ? cos x) 5、下列说法正确的是() A、 x 2 ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 “ B、 x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “ B. f 2 ( x) ? sin x D. f 4 ( x) ?





x x x 2 cos (sin ? cos ) 2 2 2

C、命题“ ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:?x ? R , “ 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” . D、命题“若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ”的逆否命题为真命题. 6、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上 的射影可能是 ( )
D1 A1 C1

P

B1
C

D









A

B

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数学(文科)

A.①④

B.②③

C.②④

D.①②

7、若函数 f(x)= ka x ? a ? x (a>0 且 a≠1)在 ?? ?,??? 上既是奇函数又是增函数,则 g(x)= loga ( x ? k ) 的图象是 ( )

8、右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是()

1 2 3 C、 4
A、

2 3 4 D、 5
B、

2

9、过双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的 2 a b
) C. 2 D. 2
' '

切线 FM (切点为 M ) ,交 y 轴于点 P .若 M 为线段 FP 的中点, 则双曲线的离心率是 ( A. 5 B. 3

10、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?2, ??) ,部分对应值如下表. f ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数 y ? f ( x ) 的 图象如下图所示.若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

2b ? 6 的取值范围是( a?3
y



x -2 f(x) 1

0 -1

4 1

-2 o y

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6 14 A.( , ) 5 3

B.(

12 8 , ) 7 3

4 12 C .( , ) 3 5

2 D.( ? , 6) 3
2 3 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分.11、某单位 名老年人,54 名中年人,81 名青年人. 为了调查他们的身体情况,

有 27

正视图 用分层抽样的方法从他们中抽取了 n 个人进行体检,其中有 6 名老年人,


2

2 侧视图



n=_________
12、若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是. 俯视图

(第 12 题)

? ? ? ? a?b ? 的取值范围 13、已知向量 a ? (x,1), b ? (2,3x), 则 ? 2 | a | ? | b |2
2 2 2

是.

3
? , 2

14、若圆 C : x ? y ? 2ax ? 2 y ? a ? 0 (a 为常数)被 y 轴截得弦所对圆心角为 则实数 a ?

2 ??? ??? ? ? a2 ? ?b ? c ? 15、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 ? ?1,且 AC ? AB ? ?4 ,则 ?ABC bc

的面积等于

?T 16、在等比数列 ?an ?中,若前 n 项之积为 Tn ,则有 T3n ? ? 2 n ?T ? n
为 S n ,用类比的方法得到的结论是_______.

? ? ,则在等差数列 ?bn ?中,若前 n 项之和 ? ?

3

17、过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线准线的交点
2

为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 AF ? FB, BA? BC ? 48,则抛物线的方程为_________. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

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18(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最大值是 1, 其图像经过点 M ? (1) 求 f(x)的解析式; (2) 已知α,β ? ? 0, ? , f (? ) ?

?? 1? ,?. ? 3 2?

? ?

??
2?

3 12 , f ( ? ) ? 求 f (? ? ? ) 的值。 5 13

a 19(本题满分 14 分).在等比数列 {an } 中, n ? 0(n ? N*) , 公比 q ? (0,1) , a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 , 且
又 2 是 a3 与 a5 的等比中项。设 bn ? 5 ? log2 an . (1) 求数列 {bn } 的通项公式; (2) 已知数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ??? S1 S 2 Sn

4

20(本题满分 14 分). 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,二面角 S— CD—A 的平面角为 45 ? ,M 为 AB 中点,N 为 SC 中点. (1)证明:MN//平面 SAD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD; (3)若

CD ? ? ,求实数 ? 的值,使得直线 SM 与平面 SCD 所成角为 30?. AD

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21(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a x ? 1(a,b ?R) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值,且
3 2 2

x1 ? x2 ? 2 .
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 b 的取值范围.

5
22 (本题满分 15 分)已知:点 F 是抛物线: x ? 2 py( p ? 0) 的焦点,过 F 点作圆: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2 2

的两条切线互相垂直。 (Ι)求抛物线的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? b(k ? 0) 交抛物线于 A,B 两点。 ①若抛物线在 A,B 两点的切线交于 P,求证: k ? k PF ? 1 ; ②若 B 点纵坐标是 A 点纵坐标的 4 倍,A,B 在 y 轴两侧,且 S ?OAB ?

3 ,求 l 的方程。 4

答案

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一、ABBAD;ACCDA; 二、11、36 12、2 13. [?
2

2 2 2 , ] 14、 ? 4 4 2

15、 2 3

16、 S 3n ? 3(S 2n ? S n ) 17、 y ? 4 x 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 18.本小题满分 14 分 解:(1)依题意知 A=1

?? ? ?? ? 1 f ? ? ? sin ? ? ? ? ? , ?3? ?3 ? 2



?
3

?

?
3

?? ?

4? 3



?

?
3

?? ?

5? 6



??

?
2

因此 f ? x ? ? sin ? x ? (2)? f ?? ? ? cos ? ? 且 ? , ? ? ? 0,

? ?

??

? ? cos x ; 2?

3 12 , f ? ? ? ? cos ? ? 5 13

6

? ?? ? ? 2?

? sin ? ?

4 5 , sin ? ? 5 13

3 12 4 5 56 f ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
2 2 (19)。 .解: (1)? a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 ,? a3 ? 2a3 a5 ? a5 ? 25,

又 an ? 0,? a3 ? a5 ? 5 又 2 为 a3 与 a5 的等比中项,? a3 a5 ? 4 而 q ? (0,1) ,? a3 ? a5 ,? a3 ? 4, a5 ? 1

?q ?

1 1 , a1 ? 16 ,? a n ? 16 ? ( ) n ?1 ? 2 5? n 2 2

bn ? 5 ? log2 an ? 5 ? (5 ? n) ? n

? Sn ?

n(n ? 1) , 2

………………9 分

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2 (2) 1 ? ? 2( 1 ? 1 ) S n n(n ? 1) n n ?1

? Tn ?
? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1
…………………14 分

1 2n )? n ?1 n ?1

(20) (I)证明:取 SD 中点 E,连接 AE,NE, 则 NE ?

1 CD ? AM , NE / /CD / / AM , 2

?四边形 AMNE 为平行四边形,
? MN / / AE
又? MN ? 平面 SAD (2)? SA ? 平面 ABCD, …………1 分 …………3 分

? SA ? CD ,

? 底面 ABCD 为矩形,? AD ? CD,
又? SA ? AD ? A,

7

? CD ? 平面 SAD, ? CD ? SD ??SDA 即为二面角 S—CD—A 的平面角,
即 ?SDA ? 45? …………5 分

??SAD 为等腰直角三角形,? AE ? SD ? CD ? 平面 SAD,? CD ? AE ,
又 SD ? CD ? D,? AE ? 平面 SCD

? MN / / AE,? MN ? 平面 SCD,

? MN ? 平面 SMC,

?平面 SMC ? 平面 SCD

…………8 分

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(3)?

CD ? ? ,设 AD=SA=a,则 CD ? ? a AD

由(2)可得 MN ? 平面 SCD,

? SN 即为 SM 在平面 SCD 内的射影 ??MSN 即为直线 SM 与平面 SCD 所成角,
即 ?MSN ? 30? 而 MN=AE= …………9 分

2 a, 2 2 a, 2

? Rt ?SAM 中, SM ? a 2 ? (? a ) 2 , 而 MN ? AE ? ? Rt ?SAM 中,由 sin ?MSN ?
MN 得 SN

2 a 1 2 ? , 解得 ? ? 2 2 a 2 ? (? a ) 2
当 ? ? 2 时,直线 SM 与平面 SCD 所成角为 30? (21) 解: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3a .
2 2

8
14 分

(Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 3 ;
2 由题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3 ? 0 的两根,所以

x1 ? x2 ?

4b2 ? 36 . 3

由 x1 ? x2 ? 2 ,得 b ? 0 . 从而 f ( x) ? x ? 3x ? 1 , f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ?1) .
2 2

, ? ,∞ 当 x ? (?11) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (?∞, 1) ? (1 ? ) 时, f ?( x) ? 0 . , ? ,∞ 故 f ( x ) 在 (?11) 单调递减,在 (?∞, 1) , (1 ? ) 单调递增.
2 2 (Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3x ? 2bx ? 3a ? 0 的两根,

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4b2 ? 36a3 所以 x1 ? x2 ? . 3a
从而 x1 ? x2 ? 2 ? b ? 9a (1? a) ,
2 2

由上式及题设知 0 ? a ≤1 . 考虑 g (a) ? 9a ? 9a ,
2 3

2? ? g ?(a) ? 18a ? 27a 2 ? ?27a ? a ? ? . 3? ?
故 g (a ) 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? , 单调递减,从而 g (a ) 在 ? 0, 的极大值为 g ? 1? 1? 又 g (a ) 在 ? 0, 上只有一个极值,所以 g ? 1?

? ?

2? 3?

?2 ? ?3 ?

?2? 4 ?? . ?3? 3

?2? 4 1? ? ? 为 g (a) 在 ? 0, 上的最大值,且最小值为 g (1) ? 0 . ?3? 3

所以 b2 ? ?0, ? ,即 b 的取值范围为 ? ? (22) 解: (1) x ? 4 y
2

? 4? ? 3?

? 2 3 2 3? , ? 3 3 ? ?

9

(2) l : y ?

1 1 x? 4 2


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