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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明习题 理 选修4-5


第二节
[基础达标] 解答题(每小题 10 分,共 40 分)

不等式的证明

1. (2015·湖南高考) 设 a>0,b>0,且 a+b=

.证明:

(1)a+b≥2; (2)a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立.
2 2

r />【解析】由 a+b=

,a>0,b>0,得 ab=1.

(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2

=2,

即 a+b≥2. (2)假设 a +a<2 与 b +b<2 同时成立, 则由 a +a<2 及 a>0 得 0<a<1; 同理得 0<b<1,从而 ab<1, 这与 ab=1 矛盾. 故 a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 2.设函数 f(x)=x-c. (1)若 c=-1,求不等式 f(x)≤|x+1|+x 的解集 A;
2 2 2 2 2

(2)若 a>b>c,求证:

.

【解析】(1)原不等式可化为|x+1|≥1, 由此可得 x≥0 或 x≤-2. 故不等式 f(x)≤|x+1|+x 的解集 A 为{x|x≥0 或 x≤-2}.

(2)由

1

=2+

≥4,

所以

,即

成立.



,即 a+c=2b 时取等号.

3. (2015·河南六市联考) 设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M.

(1)证明:

a+ b < ;

(2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小.

【解析】(1)记 f(x)=|x-1|-|x+2|=

由-2<-2x-1<0 解得- <x< ,

即 M=

,

所以

a+ b ≤ |a|+ |b|<

.

(2)由(1)得 a2< ,b2< ,

因为|1-4ab| -4|a-b| =(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b )=(4a -1)(4b -1)>0, 故|1-4ab| >4|a-b| ,即|1-4ab|>2|a-b|. 4.已知 a 是常数,对任意实数 x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立. (1)求 a 的值;
2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

(2)设 m>n>0,求证:2m+

≥2n+a.

【解析】(1)设 f(x)=|x+1|-|2-x|,

2

则 f(x)=

∴f(x)的最大值为 3. ∵对任意实数 x,|x+1|-|2-x|≤a 都成立,即 f(x)≤a, ∴a≥3.

设 h(x)=|x+1|+|2-x|=

∴h(x)的最小值为 3. ∵对任意实数 x,|x+1|+|2-x|≥a 都成立,即 h(x)≥a, ∴a≤3. ∴a=3.
(2)由(1)得 a=3.

∵2m+

-2n=(m-n)+(m-n)+

,

又∵m>n>0,

∴(m-n)+(m-n)+

≥3

=3.

∴2m+

≥2n+a.

[高考冲关]

1.(5 分)设 a,b∈R,给出下列不等式:①lg(1+a )>0;②a +b ≥2(a-b-1);③a +3ab>2b ;④ 立的不等式序号是

2

2

2

2

2

,其中所有恒成

.

3

② 【解析】①a=0 时不成立;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0 时不成立;④a=2,b=1 时不
成立,故恒成立的只有②. 2.(10 分) (2015·银川质检) 已知 a,b,c∈R,且 a +b +c =1.
2 2 2

(1)求证:|a+b+c|≤

;

(2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a+b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求 x 的取值范围. 【解析】(1)因为 a,b,c∈R,a +b +c =1,
2 2 2

2

所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2

=a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3,
2

所以(a+b+c) ≤3,即|a+b+c|≤

,当且仅当 a=b=c 时取得等号.

(2)由(1)可知不等式|x-1|+|x+1|≥3,从而解得 x 的取值范围为

.

3.(10 分) (2014·新课标全国卷Ⅰ) 若 a>0,b>0,且

.

(1)求 a +b 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

3

3

【解析】(1)由

,得 ab≥2,且当 a=b=

时等号成立,

故 a3+b3≥2

≥4

,且当 a=b=

时等号成立.

所以 a +b 的最小值为 4

3

3

.

(2)由(1)知 ab≥2,则 2a+3b≥2

≥4

,

由于 4

>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.

4


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