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2017届高考数学二轮复习第1部分专题二函数与导数2指数函数对数函数幂函数图象与性质课件文


类型一

类型二
类型三 限时速解训练

必考点二

指数函数、对数函数、幂函数

图象与性质

[高考预测]——运筹帷幄 1.考查指数幂及对数式的化简与运算. 2.以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的 图象与性质. 3.指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题.

[速解必备]——决胜千里 1.二次函数 y=ax2+bx+c 为偶函数?b=0.

2. 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的 关系如图所示,则 0<c<d<1<a<b. 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

3. 对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系 如图所示.

0<d<c<1<a<b,在第一象限顺时针方向底数变大.

4.y=logax,当 x∈(1,+∞)且 a>1 时,y>0,当 x∈(0,1)且 0<a<1 时,y>0,记忆:“真底同,对数正”. 1 5.logab=log a,logab· logbc· logcd=logad. b 6.y=ax 定义域 R 值域(0,+∞) y=logax 值域 R 定义域(0,+∞)

b b 7.对于函数,y=ax+x,(a>0,b>0)的单调分界点是 ax=x,即 x =± b a.

[速解方略]——不拘一格 类型一 [例 1] 比较函数值的大小

(1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( D ) B.b>c>a D.c>a>b

A.a>c>b C.c>b>a

解析:基本法:∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,∴log3 3<log32< log33,log51<log52<log5 5,log23>log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1, 2 2 ∴c>a>b.故选 D. 速解法:分别作出 y=log3x,y=log2x,y=log5x 的图象,在图象 中作出 a、b、c 的值,观察其大小,可得 c>a>b.

答案:D

方略点评: 基本法是利用了每个对数值的范围的估算., 速解法是利 用不同底的对数函数图象的相对位置关系,只要能作出其图象, 便可容易得出大小关系.

(2)已知 x=ln π,y=log52,z= A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x

,则( D )

解析:基本法:由已知得 x=ln π>1,y=log52∈(0,1), z= ∈(0,1),又 2<e<3,∴ 2< e< 3, 1 1 >2,而 y=log52<log5 5=2,∴y<z

1 1 1 ∴ > >2,得 z= e 3 <x,故选 D.

答案:D

方略点评:?1?利用指数函数、对数函数的单调性,利用插值法来 比较大小. ?2?对于多个数的大小比较,可插入 0,分出正数与负数,正数中 再插入 1,分出?0,1?间与?1,+∞?的数;也可直接利用单调性或 数形结合法比较大小.

1.(2016· 高考全国丙卷)已知 a= A.b<a<c C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

,则( A )

解析:利用幂函数的性质比较大小.

∵y=

在第一象限内为增函数,又 5>4>3,∴c>a>b.

答案:A

2.设 a= A.a>b>c C.b>c>a

,b=

2,c=

3,则( A )

B.a>c>b D.c>a>b

解析:基本法:∵b=-log32∈(-1,0),c=-log23<-1, a= >0,∴a>b>c,选 A.

答案:A

类型二 [例 2]

指数函数、对数函数图象的变换与应用


(1)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x a 的图象关于直线 y=-x

对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( C ) A.-1 C.2 B.1 D.4

解析:基本法:设(x,y)是函数 y=f(x)图象上任意一点,它关于直 线 y=-x 的对称点为(-y,-x),由 y=f(x)的图象与 y=2x a 的图


象关于直线 y=-x 对称,可知(-y,-x)在 y=2x a 的图象上,即


-x=2-y+a, 解得 y=-log2(-x)+a, 所以 f(-2)+f(-4)=-log22 +a-log24+a=1,解得 a=2,选 C.

速解法: 设 y1=f(-2), 则(-2, y1)关于 y=-x 的对称点为(-y1,2) 在 y=2x a 上,


∴2=2-y1+a,∴-y1+a=1,即 y1=a-1 同理设 y2=f(-4),∴4=2-y2+a,即 y2=a-2. ∴y1+y2=1,∴a-1+a-2=1,∴a=2

答案:C

方略点评: 两种方法都采用了关于 y=-x 对称点的特征.基本法是 具体求出对称函数,速解法是间接求出 f?-2?及 f?-4?.

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( B ) 2
? A.? ?0, ?

2? ? 2? ?

? B.? ? ?

? 2 ? ,1? 2 ?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

解析:基本法:易知 0<a<1,则函数 y=4x 与 y=logax 的大致图 1 2 象如图,则只需满足 loga2>2,解得 a> 2 , 2 ∴ 2 <a<1,故选 B.

速解法:若 ∴0<a<1.

? 1? a>1,∵x∈?0,2?,显然 ? ?

logax<0,原不等式不成立,

1 1 1 x 若 a= ,当 x= 时,logax=1,4 =4 =2,显然不成立,∴故只能 2 2 2 选 B.

答案:B

方略点评:1.基本法是利用图象的变换关系,速解法是特值检验. 2.作函数图象,要注意各个函数图象的相对位置及变化,要做到 即“形似”又“神似”.

1.(2016· 高考全国乙卷 )函数 y=2x2 - e|x|在[-2,2] 的图象大致为 ( D )

解析:利用导数研究函数 y=2x2-e|x|在[0,2]上的图象,再利用奇 偶性判断. ∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又 f(2)=8-e2∈(0,1),故 排除 A , B. 设 g(x) = 2x2 - ex ,则 g′(x) = 4x - ex. 又 g′(0)<0 , g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x| 在(0,2)内至少存在一个极值点,排除 C.

答案:D

2.(2016· 山西太原质检)若关于 x 的不等式 4ax 1<3x-4(a>0,且


a≠1)对于任意的 x>2 恒成立,则 a 的取值范围为( B )
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? B.?0,2? ? ?

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)

解析:基本法:不等式 4a 令 f(x)=a
x-1

x -1

<3x-4 等价于 a

x-1

3 < x-1. 4

3 ,g(x)= x-1,当 a>1 时,在同一坐标系中作出两 4

个函数的图象,如图 1 所示,由图知不满足条件;当 0<a<1 时,

在同一坐标系中作出两个函数的图象, 如图 2 所示, 则 f(2)≤g(2), 即a
2 -1

3 1 ≤ ×2-1,即 a≤ ,所以 a 的 4 2 B.

? 1? 取值范围是?0,2?,故选 ? ?

答案:B

类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法 [例 3] (1)已知函数
x-1 ? ?2 -2, f(x)=? ? ?-log2?x+1?,

x≤1, 且 f(a)=- x>1,

3,则 f(6-a)=( A ) 7 A.-4 3 C.-4 5 B.-4 1 D.-4

解析:基本法:当 a≤1 时,f(a)=2a 1-2=-3,


即 2a 1=-1,不成立,舍去;


当 a>1 时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即 log2(a+1)=3,得 a+1 7 =2 =8,∴a=7,此时 f(6-a)=f(-1)=2 -2=-4.
3
-2

速解法:当 x≤1 时,f(x)=2x 1-2∈(-2,-1],不可能 f(x)=-


3. 故-log2(a+1)=-3,∴a+1=23,a=7. 7 ∴f(6-a)=f(-1)=2 -2=- ,选 A. 4 答案:A
-2

方略点评:基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是 分析第一段的值域来确定 f?a?=-3 的可能性.

ex-1,x<1, ? ? (2)设函数 f(x)=? 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范 x , x≥1, ? ? 3 围是________.

? ?x<1, 解析:基本法:f(x)≤2?? x-1 ? ?e ≤2 ? ?x<1, ? ? ?x≤ln 2+1 ? ?x≥1, 或? ? ?x≤8

x≥1, ? ? 或? 1 ? x ≤2 ? ? 3

?x<1 或 1≤x≤8?x≤8, 故填(-∞, 8].

速解法:当 x<1 时,f(x)=e 增函数.

x-1

1 为增函数,当 x≥1 时,f(x)=x3为

∴f(x)在 R 上为增函数,且 ex 1<1.


1 ∴令 x ≤2,∴x≤8. 3 答案:(-∞,8]

方略点评:?1?基本法是分段讨论 f?x?≤2 的解,速解法是利用了整 个函数 f?x?的单调性. ?2?对数函数、指数函数性质的应用,首先明确底数的取值来确认 单调性及图象特征. ?3?分段函数要分段讨论处理,同时注意整体性和分段点.

1.已知

? ?log2x+3?x>0?, f(x)=? 2 ? ?x +1?x≤0?,

若 f(a)=5,则 a=________.

解析:基本法:利用分段函数求解.由题意可得
? ?a>0, ? ? ?log2a+3=5 ? ?a≤0, 或? 2 ? ?a +1=5,

解得 a=4 或-2.

答案:4或-2

2.已知函数 围是( D )

2 ? ?-x +2x,x≤0, f(x)=? ? ?ln?x+1?,x>0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范

A.(-∞,0] C.[-2,1]

B.(-∞,1] D.[-2,0]

2 ? ?x -2x, 解析:基本法:|f(x)|=? ? ?ln?x+1?,

x≤0, x>0,

其图象如图. 由对数函数图象的变化趋势可知,要使 ax≤|f(x)|, 则 a≤0,且 ax≤x2-2x(x≤0), 即 a≥x-2 对 x≤0 恒成立,所以 a≥-2. 综上,-2≤a≤0,故选 D.

答案:D

[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——估算法

由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程, 因此,有些题目不必进行准确的计算,只需对其数值 方法 特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判

诠释 断,这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的
大致范围,否则“估算”就没有意义.估算法往往可 以减少运算量,但是加强了思维的层次.

估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况 应用 方向

进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦,
特值法又无法确定正确的选项时,如难度稍大的 函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题, 常用此种方法确定选项.


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