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高中数学选修2-1校本全套练习册教师版(精品!)


高中数学能力生根校本课程

选修 2-1◆一课一练(适用于新课标人教 A 版)

第一章

常用逻辑用语

1.1.1 命题
1 1. 已知下列语句: ①平行四边形不是梯形; ② 3是无理数; ③方程 9x2-1=0 的解是 x=± ; ④3a>a; 3 ⑤巴西举办了 2014 年世界

杯. 其中命题的个数是( A.2 C.4 解析 ①,②,③,⑤是命题,④不是. 答案 C 2.语句“若 a>b,则 a+c>b+c”是 A.不是命题 C.假命题 B.真命题 D.不能判断真假 ( ). ) B.3 D.5

解析 考查不等式的性质,两边同加上同一个数不等式仍然成立. 答案 B 3.下列命题中是假命题的是 A.若 a· b=0(a≠0,b≠0),则 a⊥b B.若|a|=|b|,则 a=b C.若 ac2>bc2,则 a>b D.5>3 解析 |a|=|b|只能说明 a 与 b 长度一样.a=b 不一定成立. 答案 B 4.在下列 4 个命题中,是真命题的序号为 ( ). ( ).

①3≥3; ②100 或 50 是 10 的倍数; ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形; ④等腰三角形至少有两个内角相等. A.① B.①② C.①②③ D.①②④

解析 对于③,举一反例,若 A=15°,B=15°,则 C 为 150°,三角形为钝角三角形. 答案 D 5.设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ②若 m?α ,n?α ,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α ,则 l∥β; ④若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是
1

(

).

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A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ①由面面垂直知,不正确;②由线面平行判定定理知,缺少 m、n 相交于一点这 一条件,故不正确;③由面面平行性质定理知,正确;④由线面相交、及线面、线线平 行分析知,正确. 答案 B 6.给定下列命题: ①“若 k>0,则方程 x2+2x-k=0”有实数根; ②若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd; ③对角线相等的四边形是矩形; ④若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0. 其中真命题的序号是 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ ( ).

解析 ①中 Δ=4-4(-k)=4+4k>0,故为真命题;②由不等式的性质知,显然是真命题; ③如等腰梯形对角线相等,不是矩形,故为假命题;④为真命题. 答案 B

7.给出以下语句: ①空集是任何集合的真子集; ②三角函数是周期函数吗? ③一个数不是正数就是负数; ④老师写的粉笔字真漂亮! ⑤若 x∈R,则 x2+4x+5>0; ⑥作△ABC≌△A1B1C1. 其中为命题的是________,真命题的序号为________. 解析 ①是命题,且是假命题,因为空集是任何非空集合的真子集. ②这是个疑问句,故不是命题. ③是命题,且是假命题,因为数 0 既不是正数,也不是负数. ④该语句是感叹句,不符合命题定义,所以不是命题. ⑤是命题,因为 Δ=16-20=-4<0,所以是真命题. ⑥该语句是祈使句,不是命题. 答案 ①③⑤ ⑤ 8.给出下列命题 ①若 ac=bc,则 a=b; ②方程 x2-x+1=0 有两个实根;
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③对于实数 x,若 x-2=0,则 x-2≤0; ④若 p>0,则 p2>p; ⑤正方形不是菱形. 其中真命题是________,假命题是________. 解析 ①c=0 时,a 不一定等于 b,假命题. ②此方程无实根,假命题. ③结论成立,真命题. ④0<p≤1 时结论不成立,假命题. ⑤不成立,假命题. 答案 ③ ①②④⑤ 9.把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并指出条件与结论. (1)相似三角形的对应角相等; (2)当 a>1 时,函数 y=ax 是增函数. 解 (1)若两个三角形相似,则它们的对应角相等.条件 p:三角形相似, 结论 q:对应角相等. (2)若 a>1,则函数 y=ax 是增函数. 条件 p:a>1, 结论 q:函数 y=ax 是增函数. 10.下列语句是命题的是______. ①求证 3是无理数; ②x2+4x+4≥0; ③你是高一的学生吗? ④一个正数不是素数就是合数; ⑤若 x∈R,则 x2+4x+7>0. 解析 ①③不是命题,①是祈使句,③是疑问句.而②④⑤是命题,其中④是假命题, 1 如正数 既不是素数也不是合数,②⑤是真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0 恒成立,x2+4x 2 +7=(x+2)2+3>0 恒成立. 答案 ②④⑤ 11.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是π ; ②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α= kπ ,k∈Z}; 2

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;

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π π ④把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 ,得到 y=3sin 2x 的图象; 3 6 π ⑤函数 y=sin(x- )在[0,π ]上是减函数. 2 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). 解析 ①y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos 2x,∴T=π; π ②终边在 y 轴上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}; 2 ③两图象应有一个公共点; π π ④平移后 y=3sin[2(x- )+ ]=3sin 2x. 6 3 π ⑤函数 y=sin(x- )=-cos x,在[0,π]上应是增函数. 2 答案 ①④ 12.判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由. (1)一个等比数列的公比大于 1 时,该数列为递增数列; (2)求证:若 x∈R,方程 x2-x+2=0 无实根; (3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗? (4)当 x=4 时,2x+1<0. 解:(1)是命题,因为当等比数列的首项 a1<0,公比 q>1 时,该数列为递减数列,因此是一个假 命题. (2)不是命题,它是祈使句. (3)不是命题,它是一个疑问句,没有作出判断. (4)是命题,能判断真假,它是一个假命题. 13.(能力提升)把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假. (1)ac>bc?a>b; (2)已知 x、y∈N*,当 y=x+1 时,y=3,x=2; 1 (3)当 m> 时,mx2-x+1=0 无实根; 4 (4)当 x2-2x-3=0 时,x=3 或 x=-1. 解 (1)若 ac>bc,则 a>b,是假命题. (2)已知 x、y∈N*,若 y=x+1,则 y=3,x=2,是假命题. 1 (3)若 m> ,则 mx2-x+1=0 无实根,是真命题. 4 (4)若 x2-2x-3=0,则 x=3 或 x=-1,是真命题

1.1.2

四种命题
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1.1.3

四种命题间的相互关系
)

1.若一个命题 p 的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是( A.命题 p 是真命题 B.命题 p 的否命题是假命题 C.命题 p 的逆否命题是假命题 D.命题 p 的否命题是真命题 答案 B 2.命题“若 a?A,则 b∈B”的否命题是 A.若 a?A,则 b?B C.若 b∈B,则 a?A B.若 a∈A,则 b?B D.若 b?B,则 a?A

(

).

解析 注意“∈”与“?”互为否定形式. 答案 B 3.命题“若 A∩B=A,则 A∪B=B”的逆否命题是 A.若 A∪B=B,则 A∩B=A B.若 A∩B≠A,则 A∪B≠B C.若 A∪B≠B,则 A∩B≠A D.若 A∪B≠B,则 A∩B=A 解析 注意“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”. 答案 C 4.命题“对于正数 a,若 a>1,则 lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个 数为 A.0 B.1 C .2 D.4 ( ). ( ).

解析 原命题“对于正数 a,若 a>1,则 lg a>0”是真命题;逆命题“对于正数 a,若 lg a>0,则 a>1”是真命题;否命题“对于正数 a,若 a≤1,则 lg a≤0”是真命题;逆 否命题“对于正数 a,若 lg a≤0,则 a≤1.”是真命题. 答案 D 5.命题“若 a>b,则 ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( A.0 ). B.2 C.3 D.4

解析 原命题“若 a>b,则 ac2>bc2(a,b,c∈R)”为假命题,逆命题“若 ac2>bc2,则 a>b(a,b,c∈R)”为真命题,否命题“若 a≤b,则 ac2≤bc2,(a,b,c∈R)”为真命题, 逆否命题“若 ac2≤bc2,则 a≤b(a,b,c∈R)”为假命题.

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答案 B 6.若命题 p 的否命题是 q,命题 q 的逆命题是 r,则 r 是 p 的逆命题的 A.原命题 C.否命题 答案 C B.逆命题 D.逆否命题 ( ).

7. “若 x、y 全为零,则 xy=0”的否命题为__________. 解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若 x、y 全为零,则 xy=0”的否 命题为“若 x、y 不全为零,则 xy≠0”. 答案 若 x、y 不全为零,则 xy≠0 8.命题“当 AB=AC 时,△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题有______个. 解析 原命题为真命题,逆命题“当△ABC 是等腰三角形时,AB=AC”为假命题,否 命题“当 AB≠AC 时,△ABC 不是等腰三角形”为假命题,逆否命题“当△ABC 不是等 腰三角形时,AB≠AC”为真命题. 答案 2 9.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________. 解析 将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数,则其绝对值等于 它本身”,所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身,则这个数是正数”,即“绝 对值等于它本身的数是正数”. 答案 绝对值等于它本身的数是正数 10.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数” ,则: (1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”; (2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”; (3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”; 其中所有正确叙述的序号是________. 解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不 都是无理数”. 答案 (1)(2) 11.将命题“正数 a 的平方大于零”改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆 否命题. 解 原命题可以写成:若 a 是正数,则 a 的平方大于零; 逆命题:若 a 的平方大于零,则 a 是正数; 否命题:若 a 不是正数,则 a 的平方不大于零;
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逆否命题:若 a 的平方不大于零,则 a 不是正数.

12.给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?; 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙有且只有一个是真命题; 分别求出符合(1)(2)的实数 a 的取值范围. 解 甲为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0, 1 ? ? ? 即 A=?a? ?a>3或a<-1 ;
? ?

1? ? ? 乙为真时,2a2-a>1 即 B=?a? ?a>1或a<-2 ;
? ?

1 1? ? ? (1)甲、 乙至少有一个真命题时, 应取 A, B 两集合的并集, 这时的 a 的取值范围是?a? ?a>3或a<-2 .
? ?

1 (2)甲、乙有且只有一个真命题时,有两种情况:当甲真乙假时, <a≤1;当甲假乙真时, 3 1 -1≤a<- ,所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a 的取值范围为 2 1? ? ?1 ?a <a≤1或-1≤a<- ?. 2? ? ?3 13.(能力提升)求证:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(- b),则 a+b≥0. 证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 a+ b<0,则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.若 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题为真命题, ∴原命题为真命题. 法二 假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 这与已知 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾, 因此假设不成立,故 a+b≥0.
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1.2.1 充分条件与必要条件
1.设 x∈R,则 x>2 的一个必要不充分条件是( A.x<1 C.x>3 解析 x>2?x>1,而 x>1D? / x>2,故选 B. 答案 B 2.已知平面 α 和两条不同直线 m,n,则 m∥n 的一个必要条件是( A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α C.m∥α,n?α D.m,n 与 α 成等角 答案 D 3.a>b 的一个充分不必要条件是( A.a2>b2 1 1 C. < a b ) B.|a|>|b| D.a-b>1 ) ) B.x>1 D.x<4

解析 ∵a-b>1?a>b+1?a>b,而 a>bD? / a>b+1. ∴a-b>1 是 a>b 的充分不必要条件.故选 D. 答案 D 4.设 a,b,c∈R,在下列命题中,真命题是( A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 C.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 解析 排除选项 A、B、D 知,C 正确. 答案 C 5.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a?α,b⊥β,α∥β D.a?α,b∥β,α⊥β 答案 C 6.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( ) ) )

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A.p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且 a≠1)的图像不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案 A 7 .不等式 (a + x)(1 + x)<0 成立的一个充分而不必要条件是- 2<x< - 1 ,则 a 的取值范围是 ________.答案: a>2

8.设 p:x<-1 或 x>1;q:x<-2 或 x>1,则 q 是 p 的__________条件. 答案:充分不必要

9.设 α、β、γ 为平面,m、n、l 为直线,则对于下列条件: ①α⊥β,α∩β=l,m⊥l;②α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β; ③α⊥γ,β⊥γ,m⊥α;④n⊥α,n⊥β,m⊥α. 其中为 m⊥β 的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 答案:②④

10.下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些 p 是 q 的充分条件? (1)若 x2+ax+b=0 有解,则 Δ≥0; 3 ? (2)若 f(x)=2x2+3x+1,则函数 f(x)在? ?-4,+∞?上是增函数; (3)若 a 是有理数,则 a是无理数. 解 ∵命题(1)与(2)为真命题,而(3)为假命题, ∴命题(1)与(2)中的 p 是 q 的充分条件. 11.指出下列条件中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件. (1)p:∠C=90° ;q:△ABC 是直角三角形; (2)p:A∩B=A;q:A B. 解 (1)∵∠C=90° ?△ABC 为直角三角形. ∴p?q. ∵△ABC 是直角三角形,也可能∠B=90° , ∴qD?/p. ∵p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件. (2)∵A∩B=A?A?B, ∴pD? / q.

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又 A B?A∩B=A,∴q?p. ∴p 是 q 的必要不充分条件,q 是 p 的充分不必要条件. 12.已知 a,b 是实数,求证:a4-b4-2b2=1 成立的充分条件是 a2-b2=1.该条件是否是必要 条件?证明你的结论. 证明 若 a2-b2=1, 则 a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1. ∴a2-b2=1 是 a4-b4-2b2=1 的充分条件. a2-b2=1 是 a4-b4-2b2=1 的必要条件, 证明如下: 若 a4-b4-2b2=1, 则 a4-b4-2b2-1=0,即 a4-(b2+1)2=0, ∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0. ∵a2+b2+1≠0, ∴a2-b2=1. ∴a2-b2=1 是 a4-b4-2b2=1 的必要条件. 3 1 13. (能力提升)已知集合 A={y|y=x2- x+1,x∈[- ,2]},B={x||x-m|≥1},命题 p:x∈ 2 2 A,命题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3 解:先化简集合 A,由 y=x2- x+1,配方,得 2 3 7 y=(x- )2+ . 4 16 1 ∵x∈[- ,2], 2 7 ∴y∈[ ,2]. 16 7 ∴A={y| ≤y≤2}. 16 由|x-m|≥1, 解得 x≥m+1 或 x≤m-1. ∴B={x|x≥m+1 或 x≤m-1}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A?B. 7 9 ∴m+1≤ 或 m-1≥2,解得 m≤- 或 m≥3. 16 16

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9 实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[3,+∞). 16

1.2.2 充要条件
1.已知集合 A,B,则“A?B”是“A∩B=A”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C 1 2.在△ABC 中,“A>30° ”是“sinA> ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 解析 当 A=150° 时,sinA= , 2 1 ∴A>30° D?/sinA> , 2 1 而 sinA> ?A>30° , 2 1 ∴A>30° 是 sinA> 的必要不充分条件. 2 答案 B 3.“直线与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线与平面 α 垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 4.“ω=2”是“函数 y=sin(ωx+φ)的最小正周期为 π”的( ) ) ) )

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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2π 2π 解析 ω=2 时, 周期 T= = =π, 当 T=π 时, ω 可以等于-2.所以“ω=2 是函数 y=sin(ωx |ω| 2 +φ)的最小正周期为 π”的充分不必要条件. 答案 A 5.若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则( A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 解析 由 A∪B=C 知,x∈A?x∈C,x∈C D?/x∈A. ∴x∈C 是 x∈A 的必要不充分条件. 答案 B 6.“a>0”是“|a|>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 a>0 时,|a|=a>0 成立,当|a|>0 时,a>0,或 a<0.∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件. 答案 A 1 7.已知 p: ≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是? q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 2 围是________. 1? 答案:? ?0,2? ) )

8.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 将所有正确命题的序号填在横线上________. 答案:②④ 9.设 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充要条件,则 D 是 A 的
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______________条件. 答案:必要不充分 10. 如果命题“若 A 则 B”的否命题是真命题, 而它的逆否命题是假命题, 则 A 是 B 的________ 条件. 解析 依题意知,AD?/B,而? A?? B, ∴AD? / B,且 B?A. ∴A 是 B 的必要不充分条件. 答案 必要不充分 11.求不等式 ax2+2x+1>0 恒成立的充要条件. 解 当 a=0 时,2x+1>0 不恒成立. 当 a≠0 时,ax2+2x+1>0 恒成立.
? ?a>0 ?? ?a>1. ?Δ=4-4a<0 ?

所以不等式 ax2+2x+1>0 恒成立的充要条件是 a>1. 12. (能力提升) 已知关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 ①,x2-4mx+4m2-4m-5= 0 ②,求使方程①②都有实数根的充要条件. 解 方程①有实数根的充要条件是
?m≠0, ? ? 即 m≤1 且 m≠0. 2 ? ?Δ1=?-4? -16 m≥0,

方程②有实数根的充要条件是 5 Δ2=(-4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即 m≥- . 4 5 5 ∴方程①②都有实数根的充要条件是- ≤m≤1,且 m≠0,即- ≤m<0,或 0<m≤1. 4 4

1.3 简单的逻辑联结词(1)
1.“p 是真命题”是“p∧q 为真命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 2.命题:“不等式(x-2)(x-3)<0 的解为 2<x<3”,使用的逻辑联结词的情况是( A.没有使用逻辑联结词 ) ( )

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B.使用了逻辑联结词“且” C.使用了逻辑联结词“或” D.使用了逻辑联结词“非” 答案 B 3.命题 p 与非 p( A.可能都是真命题 B.可能都是假命题 C.一个是真命题,另一个是假命题 D.只有 p 是真命题 答案 C 4.若 p、q 是两个简单命题,且“p∨q”的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 C.p 真 q 假 B.p 假 q 假 D.p 假 q 真 ) )

解析 p∨q 的否定是? p 且? q,依题意知,? p 和? q 都是真命题,所以 p 和 q 均为假命题. 答案 B 5.若命题 p:x∈A∪B,则? p 是( A.x?A,且 x?B C.x?A∩B 答案 A 6.已知命题 p:??{0},q:{1}∈{1,2},由它们构成的“p∨q”,“p∧q”和“? p”形式的复 合命题中,真命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 解析 ∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,? p 为假命题. 答案 B 7.分别用“p 且 q”“p 或 q”“非 p”填空,并判断真假. (1)“ 2既是有理数又是实数”是________形式.________. (2)“三角形的一边大于两边之差,而小于另两边之和”是________形式.________. (3)“10 或 25 是 5 的倍数”是________形式.________. (4)“异面直线不相交”是________形式.________. 答案 (1)“p 且 q” 假命题 (2)“p 且 q” 真命题 (3)“p 或 q” 真命题 (4)“非 p” 真命题
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) B.x?A,或 x?B D.x∈A∩B

D.3 个

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b 8.若命题 p:一元一次不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x a -b)<0 的解集为{x|a<x<b},则“p 且 q”,“p 或 q”及“非 p”形式的复合命题中的真命题是 ________. 解析 ∵p 是假命题,q 也是假命题,∴“p 且 q”“p 或 q”均是假命题. 答案 非 p 9.设 α,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,命题 p:若 α∥β,l?α,m?β,则 l ∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m?β,则 β⊥α,则下列命题是真命题的是________. ①p 或 q ②p 且 q ③? p 或 q ④p 且? q 解析 p 是假命题,l,m 可能异面.q 是假命题.因为 m 不一定与 α 垂直,故 α 与 β 不一定垂 直,所以③是真命题. 答案 ③ 10.分别写出由下列各命题构成的“p∧q”,“p∨q”,“? p”形式的命题. (1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等; (2)p:-1 是方程 x2+4x+3=0 的解,q:-3 是方程 x2+4x+3=0 的解. 解 (1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等; p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等; ? p:梯形没有一组对边平行. (2)p∧q:-3 与-1 都是 x2+4x+3=0 的解; p∨q:-3 或-1 是 x2+4x+3=0 的解; ? p:-1 不是 x2+4x+3=0 的解. 11.已知 p:函数 y=x2+mx+1 在(-1,+∞)上单调递增,q:函数 y=4x2+4(m-2)x+1 大于 零恒成立.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. m 解 若函数 y=x2+mx+1 在(-1,+∞)上单调递增,则- ≤-1,∴m≥2,即 p:m≥2; 2 若函数 y=4x2+4(m-2)x+1 恒大于零,则 Δ=16(m-2)2-16<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p、q 一真一假,
?m≥2 ? 当 p 真 q 假时,由? , ? ?m≥3或m≤1

得 m≥3,
?m<2 当 p 假 q 真时,由? , ?1<m<3

得 1<m<2. 综上,m 的取值范围是{m|m≥3 或 1<m<2}.

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12. (能力提升)已知命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;命题 q:函 数 f(x)=-(5-2a)x 是减函数,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. [解析] 设 g(x)=x2+2ax+4,由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函 数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 Δ=4a2-16<0. 所以-2<a<2,所以命题 p:-2<a<2; 又 f(x)=-(5-2a)x 是减函数,则有 5-2a>1,即 a<2.所以命题 q:a<2. ∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,∴p 和 q 一真一假.
?-2<a<2 ? (1)若 p 为真命题,q 为假命题,则? ,此不等式组无解. ? ?a≥2

?a≤-2或a≥2 ? (2)若 p 为假命题,q 为真命题,则? ,解得 a≤-2. ?a<2 ?

综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2].

1.3 简单的逻辑联结词(2)
1.如果命题“p 或 q”与命题“? p”都是真命题,那么( A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真假相同 答案 B 2.下列命题中既是“p 且 q”形式的命题,又是真命题的是( A.10 或 15 是 5 的倍数 B.方程 x2-3x-4=0 的两根是-4 和 1 C.方程 x2+1=0 没有实数根 D.有两个角为 45° 的三角形是等腰直角三角形 答案 D 3.若命题 p:x=2,且 y=3,则? p:( A.x≠2,或 y≠3 C.x=2,或 y≠3 答案 A 4.给出命题 p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p 且 q”“p 或 q”“非 p”中, 真命题的个数为( ) ) B.x≠2,且 y≠3 D.x≠2,或 y=3 ) )

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A.3 C.1 解析 ∵p 为真命题,q 为假命题, ∴p 且 q 为假,p 或 q 为真,非 p 为假. 答案 C

B.2 D.0

5.设语句 p:x=1,? q:x2+8x-9=0,则下列各选项为真命题的是( A.p∧q B.p∨q C.若 p,则? q 解析 ? q:x2+8x-9=0?x=1,或 x=-9. ∴p?? q. 答案 C D.若? p,则 q

)

6.已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数.则
- -

在命题 q1:p1∨p2,q2: p1∧p2;q3:(? p1)∨p2 和 q4:p1∧(? p2)中,真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

解析 p1 是真命题,p2 是假命题.则? p1 是假命题,? p2 是真命题.所以 q1:p1∨p2 为真命题, q4:p1∧(? p2)为真命题. 答案:C 7.下列判断正确的是( A.x ≠y ?x≠y 或 x≠-y B.命题“a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a,b 都不是 偶数” C.若“p 或 q”为假命题,则“? p 且? q”是真命题 D.已知 a,b,c 是实数,关于 x 的不等式 ax2+bx+c≤0 的解集是空集,必有 a>0,且 Δ≤0 解析 假命题 p 或 q 的否定为真命题,即? p 且? q 为真命题. 答案 C 8.已知命题 p:0 是自然数,命题 q: 9是无理数,则命题? p,? q,p∧q,p∨q 中,假命题是 ________. 解析 命题 p 为真命题,命题 q 是假命题,由此可判断? p 是假命题,? q 为真命题,p∧q 为假 命题,p∨q 为真命题. 答案 ? p,p∧q 9.选用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空: (1)p∨q 为真命题是 p∧q 为真命题的________条件; (2)? p 为假命题是 p∨q 为真命题的________条件; (3)p:|x-2|<3,q:x2-4x-5<0,则 p 是 q 的________条件. 解析 (1)由 p∨q 为真命题推不出 p∧q 一定是真命题,但由 p∧q 为真命题一定可以推出 p∨q
2 2

)

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为真命题. (2)? p 为假命题,则 p 是真命题,∴p∨q 为真命题;但 p∨q 是真命题,p 的真假不确定,∴? p 不一定是假命题. (3)解不等式|x-2|<3 得-1<x<5.解不等式 x2-4x-5<0 得-1<x<5,∴A?B. 答案 (1)必要不充分 (2)充分不必要 (3)充要 10.已知命题 p:lg(x2-2x-2)≥0;命题 q:0<x<4.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求实数 x 的取 值范围. 解 由 lg(x2-2x-2)≥0,得 x2-2x-2≥1, ∴x≥3,或 x≤-1.即 p:x≥3,或 x≤-1. ∴? p:-1<x<3.又∵q:0<x<4, ∴? q:x≥4,或 x≤0. 由 p 且 q 为假,p 或 q 为真知 p、q 一真一假,
?x≥3,或x≤-1, ? 当 p 真 q 假时,由? 得 x≥4,或 x≤-1. ? ?x≥4,或x≤0, ? ?-1<x<3, 当 p 假 q 真时,由? 得 0<x<3. ?0<x<4, ?

∴实数 x 的取值范围是{x|x≤-1,或 0<x<3,或 x≥4}. 11.已知 p:|x2-x|≥6,q:x∈Z,p∧q 和? q 都是假命题,求 x 的值. 解 ∵? q 为假,∴q 为真. 又 p∧q 为假,∴p 为假.
2 ? ?|x -x|<6, ? 由题意得 ?x∈Z, ? 2 ? ?-6<x -x<6, 即? ?x∈Z, ?

? ?-2<x<3, ∴? ?x∈Z, ?

∴x=-1,0,1,2. 12.已知 p:? x-4?2 2 2 ? 3 ? ≤4,q:x -2x+1-m ≤0(m>0),若?p??q 为假命题,?q??p 为真命题,

求 m 的取值范围. [解析] 设 p,q 分别对应集合 P,Q,则 P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}, 由? q?? p 为真,? p?? q 为假,得 P Q, 1-m≤-2, ? ? ∴?1+m>10, ? ?m>0, 解得 m≥9.
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1-m<-2, ? ? 或?1+m≥10, ? ?m>0.

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13. (能力提升)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函 数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解 设 g(x)=x2+2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立, 所以函数 g(x) 的图像开口向上且与 x 轴没有交点,故 Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2. 函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,则有 3-2a>1,即 a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.
?-2<a<2, ? (1)若 p 真 q 假,则? ∴1≤a<2. ?a≥1, ? ? ?a≤-2,或a≥2, (2)若 p 假 q 真,则? ∴a≤-2. ? ?a<1,

综上可知,所求实数 a 的取值范围为{a|1≤a<2,或 a≤-2}.

1.4.1 全称量词 1.4.1 存在量词
1.“a∥α,则 a 平行于平面 α 内的任一直线”是( A.全称命题 C.不是命题 )

B.特称命题 D.真命题

解析 由全称命题的定义知,是全称命题,应选 A. 答案 A 2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是( A.每个二次函数的图像都开口向上 B.对任意非正数 c,若 a≤b+c,则 a≤b C.存在一条直线与两个相交平面都垂直 D.存在一个 x0,使不等式 x2 0-3x0+6<0 成立 解析 易知选项 B 适合,故选 B. 答案 B 3.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( A.对任意 x,y∈R,都有 x2+y2≥2xy B.存在 x,y∈R,使 x2+y2≥2xy C.对任意 x>0,y>0,都有 x2+y2≥2xy D.存在 x<0,y<0,使 x2+y2≥2xy 解析 显然选项 A 正确. 答案 A ) )

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4.在下列特称命题中假命题的个数是(

)

①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱形是正方形. A.0 C.2 解析 易知①②③都是真命题,故选 A. 答案 A 5.在下列全称命题中假命题的个数是( ) B.1 D.3

①2x+1 是整数(x∈R);②对所有的 x∈R,x>3;③对任意一个 x∈Z,2x2+1 为奇数. A.0 C.2 解析 易知,命题①与②是假命题,故选 C. 答案 C 6.下列命题中假命题是( A.?x∈R,2x 1>0


B.1 D.3

)

B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2 答案 B 7.下列四个命题: 1 1 p1:?x∈(0,+∞),( )x<( )x; 2 3 p2:?x∈(0,1),log1 x>log1 x; 2 3 1 p3:?x∈(0,+∞),( )x>log1 x; 2 2 1 1 p4:?x∈(0, ),( )x<log1 x. 3 2 3 其中的真命题是( A. p1,p3 C.p2,p3 ) B.p1,p4 D.p2,p4

解析 结合函数的图像,容易判断 p1,p3 为假,p2,p4 为真. 答案 D

8.下列四个命题: ①?n∈R,n2≥n;②?n∈R,n2<n;③?n∈R,?m∈R,m2<n;④?n∈R,?m∈R,m· n=
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m. 其中真命题的序号是________. 答案 ④ 9.设 A,B 为两个集合,下列命题: ①A?B?对任意 x∈A,有 x?B;②A?B?A∩B=?;③A?B?A?B;④A?B?存在 x∈A,使得 x? B. 其中真命题的序号是________. 答案 ④ 10.用量词符号“?”“?”表示下列各题: (1)有的实数不能写成小数的形式; (2)对任意实数 α,都有 sin2α+cos2α=1. 解 (1)?x∈R,x 不能写成小数的形式. (2)?α∈R,sin2α+cos2α=1. 11.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,用量词符号“?”“?”表示下列命 题,并判断真假. α b c (1)在△ABC 中,有 = = ; sinA sinB sinC (2)至少有一个实数 x,使 x2+1=0; (3)有的四面体是正四面体; (4)长方体的体对角线交于一点. 解 (1)(4)是全称命题,(2)(3)是特称命题. a b c (1)?△ABC, = = .真命题. sinA sinB sinC (2)?x∈R,x2+1=0.假命题. (3)?四面体,是正四面体.真命题. (4)?长方体,其体对角线交于一点.真命题. 12. (能力提升,2],不等式 x2+ax+3≥a 恒成立,求 a 的取值范围. [解析] 设 f(x)=x2+ax+3-a,则问题转化为当 x∈[-2,2]时,[f(x)]min≥0 即可. a 7 ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)在[-2,2]上单调递增,f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,解得 a≤ ,又 2 3 a>4,所以 a 不存在. a ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时, 2
2 a 12-4a-a f(x)min=f(- )= ≥0,解得-6≤a≤2. 2 4

又-4≤a≤4,所以-4≤a≤2.
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a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=7+a≥0,解得 a≥-7, 2 又 a<-4,所以-7≤a<4. 综上所述,a 的取值范围是{a|-7≤a≤2}.

1.4.3 含有一个量词的命题的否定
1.“a⊥α,则 a 垂直于平面 α 内的任一直线”是( A.全称命题 C.不是命题 答案 A 2.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 解析 全称命题的否定是特称命题,因此 A,B 不正确.全称命题“?x,P(x)”的否定是特称 命题“?x,? p(x)”,因此 D 正确. 答案 D 3.已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则( A.? p:?x∈R,sinx≥1 B.? p:?x∈R,sinx≥1 C.? p:?x∈R,sinx>1 D.? p:?x∈R,sinx>1 答案 C 4.下列语句中,判断正确的个数是( ) ) ) ) B.特称命题 D.真命题

①全称命题“?n∈Z,2n+1 是奇数”是真命题 ②特称命题“?x∈R,x2 是无理数”是真命题 ③命题“?n∈Z,2n+1 是奇数”的否定是“?n∈Z,2n+1 不是奇数” ④命题“?x∈R,x2 是无理数”的否定是“?x∈R,x2 是有理数” A.1 C.3 答案 D 5.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则( A.? p:?x∈R,cosx≥1
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B.2 D.4

)

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B.? p:?x∈R,cosx≥1 C.? p:?x∈R,cosx>1 D.? p:?x∈R,cosx>1 答案 C 6.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 答案 C 7.有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny p3:?x∈[0,π], 1-cos2x =sinx 2 )

π p4:sinx=cosy?x+y= 2 其中的假命题是( A.p1,p4 C.p1,p3 x x 解析 p1:因为 sin2 +cos2 =1, 2 2 x x 1 所以对 x∈R,不存在 x 满足 sin2 +cos2 = . 2 2 2 π π p2:对 x,y∈R,sin( -0)=sin -sin0=1. 2 2 p3:当 x∈[0,π],则 sinx≥0, 所以 1-cos2x = 2 1-?1-2sin2x? = sin2x=sinx. 2 ) B.p2,p4 D.p2,p3

π p4:sinx=cosy?x+y=kπ+ .故选 A. 2 答案 A 8.命题“函数都有最大值”的否定是________. 答案 有的函数没有最大值 9.命题“至少有一个正数满足方程 x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是________. 答案 ?x∈R ,方程 x2+2(a-1)x+2a+6=0 不成立


10.“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________.
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答案 对任意 x∈R,都有 x2+2x+5≠0

11.设集合 A={1,2,4,6,8,10,12},试写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?n∈A,n<12; (2)q:?n∈{奇数},使 n∈A. 解 (1)? p:?n∈A,使 n≥12. ∵当 n=12 时,? p 成立. ∴? p 是真命题. (2)? q:?n∈{奇数},n?A.? q 是假命题. 12.若 p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0,如果?x∈R,p(x)为假命题,q(x)为真命题, 求实数 m 的取值范围. π 解 由于 sinx+cosx= 2sin(x+ )∈[- 2, 2],又?x∈R,p(x)为假命题,即对任意 x∈R, 4 sinx+cosx>m 不成立,所以 m> 2. 又对任意 x∈R,q(x)为真命题,即对任意 x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,所以 Δ=m2-4<0, 即-2<m<2. 故?x∈R,p(x)为假命题,q(x)为真命题, 应有 2<m<2. 13. (能力提升)已知命题 p: ?x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q: ?x0∈R,使 x2 0+2ax0+2-a= 0.若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 解:对于命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0 恒成立,只需 12-a≥0 恒成立,即 a≤1; 对于命题 q:?x0∈R,使 x2 0+2ax0+2-a=0 成立, 则 Δ=4a2-4(2-a)≥0,得 a≤-2 或 a≥1. 若 p 且 q 为真,则 a≤-2 或 a=1. 故 a 的取值范围为{a|a≤-2 或 a=1}.

章末质量评估
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一、选择题 1.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要 ( ).

解析 由 x>0?|x|>0 充分,而|x|>0?x>0 或 x<0,不必要. 答案 A 2.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1,或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 解析 -1<x<1 的否定是“x≥1,或 x≤-1”;“x2<1”的否定是“x2≥1” ,故选 D. 答案 D 3.下列命题中是全称命题的是 A.圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3< 2 D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 解析 由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“所有圆都有内接四边形”, 是全称命题. 答案 A 4.若 α,β∈R,则“α=β”是“tan α =tan β ” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( ). ( ). ( ).

π π 5π 解析 当 α=β= 时,tan α,tan β不存在;又 α= ,β= 时,tan α=tan β, 2 4 4 所以“α=β”是“tan α=tan β”的既不充分又不必要条件,故选 D. 答案 D 5.命题“?x>0,都有 x2-x≤0”的否定是 A.?x0>0,使得 x02-x0≤0 C.?x>0,都有 x2-x>0 B.?x0>0,使得 x02-x0>0 D.?x≤0,都有 x2-x>0

(

).

解析 由含有一个量词的命题的否定易知选 B. 答案 B
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6.命题 p:a2+b2<0(a,b∈R);命题 q:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),下列结论正确的是 ( A. “p∨q”为真 C. “? p”为假 B. “p∧q”为真 D. “? q”为真

).

解析 显然 p 假 q 真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“? p”为真,“? q”为假, 故选 A. 答案 A 7.在下列各结论中,正确的是 ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件; ③“p∨q”为真是“? p”为假的必要条件但不是充分条件; ④“? p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件; A.①② B.①③ C.②④ D.③④ ( ).

解析 “p∧q”为真则“p∨q”为真,反之不一定,①真;如 p 真,q 假时,p∧q 假, 但 p∨q 真,故②假;? p 为假时,p 真,所以 p∨q 真,反之不一定对,故③真;若? p 为真,则 p 假,所以 p∧q 假,因此④错误. 答案 B 8.设函数 f(x)=x2+mx(m∈R),则下列命题中的真命题是 A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 C.任意 m∈R,使 y=f(x)都是偶函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数 解析 存在 m=0∈R,使 y=f(x)是偶函数,故选 D. 答案 D 9. “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ). ( ).

解析 函数 f(x)=|x-a|的图象如右图所示, 其单调增区间为[a, +∞).当 a=1 时,函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函 数,则 a≤1.于是可得“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件,故应选 A. 答案 A 10.给出下列四个命题: ①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0
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③若 x=y=0,则 x2+y2=0 ④若 x,y∈N+,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数,那么 A.①的逆命题为真 C.③的逆否命题为假 解析 ②的逆命题: 若(x+2)(x-3)≤0,则-2≤x≤3(假), 故②的否命题为假. ③的原命题为真,故③的逆否命题为真. ④的逆命题显然为真. 答案 A 二、填空题 11.命题“若 a?A,则 b∈B”的逆否命题是__________. 解析 原命题的逆否命题即将原命题的条件与结论交换的同时进行否定,故逆否命题应 为“若 b?B,则 a∈A”. 答案 若 b?B,则 a∈A 2 12.设 p:x>2 或 x< ;q:x>2 或 x<-1,则? p 是? q 的________条件. 3 2 解析 ? p: ≤x≤2. 3 ? q:-1≤x≤2.? p?? q,但? q?/ ? p. ∴? p 是? q 的充分不必要条件. 答案 充分不必要 13.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则 a≤x2,x∈[1,2]恒成立,∴a≤1; 命题 q:“?x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)≥0,即 a2+a-2≥0”, 解得 a≤-2 或 a≥1. 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是{a|a≤-2 或 a=1}. 答案 {a|a≤-2 或 a=1} 14.给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题在“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题.
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(

).

B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假

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其中真命题的序号为________. 解析 ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题; ②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题真;
?m>0, ? ∵? ,得 m∈? 2 ?[2(m+1)] -4m(m-3)<0 ?

④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题,
? ?m>0, ∵? 得 m∈?. 2 ?[2(m+1)] -4m(m-3)<0, ?

所以应填①②③. 答案 ①②③ 三、解答题 15.写出下列命题的否定并判断真假: (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (3)?x∈R,x2-3x+3>0; (4)有些质数不是奇数; 解 (1)否定:有些自然数的平方不是正数,真命题. (2)否定:?x0∈R,5x-12≠0,真命题. (3)否定:?x0∈R,x02-3x0+3≤0,假命题. (4)否定:所有的质数都是奇数,假命题. 16.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 p 的否命题; (2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论. 解 (1)命题 p 的否命题为:“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”. (2)命题 p 的否命题是真命题.证明如下:∵ac<0, ∴-ac>0?Δ =b2-4ac>0?二次方程 ax2+bx+c=0 有实根. ∴该命题是真命题. 17.已知命题 p:-2<m<0,0<n<1;命题 q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根.试 分析 p 是 q 的什么条件. 解 p 是 q 的必要不充分条件. 1 1 1 1 若令 m=- ∈(-2,0),n= ∈(0,1),则 x2- x+ =0, 3 2 3 2

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1 此时方程的 Δ= -4? 9

<0 无解,

所以由 p 推不出 q,即 p 不是 q 的充分条件; 若方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根 x1,x2,则 0<x1<1,0<x2<1, ∴0<x1+x2<2,0<x1x2<1. ∴由根与系数的关系得
?0<-m<2, ? ?-2<m<0, ? ? 即? ∴q?p. ?0<n<1, ?0<n<1, ? ?

综上所述:p 是 q 的必要不充分条件. 18.设函数 f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是 a2+b2=0. 证明 充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0,∴f(x)=x|x|. ∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 必要性:若 f(x)为奇函数,则对一切 x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立. 即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b 恒成立. 令 x=0,则 b=-b,∴b=0,令 x=a,则 2a|a|=0,∴a=0. 即 a2+b2=0.
2 ? ?x -x-6≤0, ? 19.设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 2 ?x +2x-8>0. ? 2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若? p 是? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 x2-4ax+3a2<0 得(x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时, 实数 x 的取值范围是 1<x<3.
2 ? ? ?x -x-6≤0, ?-2≤x≤3, 由? 2 解得? 即 2<x≤3. ?x +2x-8>0. ?x<-4或x>2. ? ?

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.
?1<x<3, ? 若 p∧q 为真,则? ?2<x<3, ? ?2<x≤3

所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)? p 是? q 的充分不必要条件,即? p?? q 且? q ? p. B.

设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3},则 A

所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2.所以实数 a 的取值范围是(1,2].
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第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程

1.已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么( A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0 B.凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上 C.不在 C 上的点的坐标必不适合 F(x,y)=0

).

D.不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不适合 F(x,y)=0 解析 条件中“坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”,只满足了曲线和方 程概念的一个条件,并不满足“曲线 C 上的所有点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解”, 所以 A 是错误的,也就是说有可能存在曲线 C 上某个点,它的坐标不是方程 F(x,y)= 0 的解,因此 B 是错误的.由条件知 C 是正确的.答案 C

2.直线 x-y=0 与曲线 xy=1 的交点是( ) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,1)、(-1,-1) D.(0,0)

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? ? ? ?y=x, ?x=1 ?x=-1, 解析:选 C.由? 得? 或? ?xy=1, ?y=1 ? ? ? ?y=-1. 3.方程 x2+xy=x 表示的曲线是 A.一个点 C.两条直线 B.一条直线 D.一个点和一条直线

(

).

解析 由 x2+xy=x,得 x(x+y-1)=0,即 x=0 或 x+y-1=0.由此知方程 x2+xy= x 表示两条直线.故选 C.答案 C ( B.四个点 D.四条直线 ).

4.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0 表示的图形是 A.两个点 C.两条直线

2 2, ?x=2, ?x -4=0, ?x=± 解析 由已知? 2 ∴? 即? 或 2 ?y -4=0, ?y=± ?y=2,

?x=2, ?x=-2, ?x=-2, ? 或? 或? 选 B.答案 ?y=-2 ?y=2, ?y=-2. 5.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 A.y2=x 与 y= x

B ( ).

B.y=lg x2 与 y=2lg x D.x2+y2=1 与|y|= 1-x2

y+1 C. =1 与 lg (y+1)=lg (x-2) x-2 解析 主要考虑 x 与 y 的范围. 答案 D

6.点 A(1,-2)在曲线 x2-2xy+ay+5=0 上,则 a=________. 解析 由题意可知点(1,-2)是方程 x2-2xy+ay+5=0 的一组解,即 1+4-2a+5 =0, 解得 a=5. 答案 5 7.方程 y= x2-2x+1所表示的曲线是________. 解析 y= (x-1)2=|x-1|.

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答案 以(1,0)为端点的两条射线 x 8.已知方程①x-y=0;② x- y=0;③x2-y2=0;④y=1,其中能表示直角坐标系 的第一、三象限的角平分线 C 的方程的序号是________. 解析 ①是正确的;②不正确,如点(-1,-1)在第三象限的角平分线上,但其坐标 不 满足方程 x- y=0;③不正确.如点(-1,1)满足方程 x2-y2=0,但它不在曲线 C 上; x ④不正确.如点(0,0)在曲线 C 上,但其坐标不满足方程y=1. 答案 ① 9.方程|x-1|+|y-1|=1 所表示的图形是________. 解析 当 x≥1,y≥1 时,原方程为 x+y=3; 当 x≥1,y<1 时,原方程为 x-y=1; 当 x<1,y≥1 时,原方程为-x+y=1; 当 x<1,y<1 时,原方程为 x+y=1. 画出方程对应的图形,如图所示为正方形.

答案 正方形 10.方程(x+y-1) x2+y2-4=0 表示什么曲线? 解 由(x+y-1) x2+y2-4=0 可得 ?x+y-1=0, ?x+y-1=0, ? 2 2 或 x2+y2-4=0,即? 2 2 或 x2 ?x +y -4≥0, ?x +y ≥4, +y2=4, 由圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x+y-1=0 的距离 d= 1 = 2

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2 2 <2 得 ?x+y-1=0, 直线与圆相交,所以? 2 2 表示直线 x+y-1=0 在圆 x2 x + y ≥ 4 , ? +y2=4 上和外面的部分,x2+y2=4 表示圆心在坐标原点,半径为 2 的圆. 所以原方程表示圆心在坐标原点,半径为 2 的圆和斜率为-1,纵截距为 1 的直线在 圆 x2+y2=4 的外面的部分,如图所示.

11.已知 P(x0,y0)是曲线 f(x,y)=0 和曲线 g(x,y)=0 的交点,求证:点 P 在曲线 f(x, y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上. 证明 ∵P 是曲线 f(x,y)=0 和曲线 g(x,y)=0 的交点, ∴P 在曲线 f(x,y)=0 上,即 f(x0,y0)=0, 且 P 在曲线 g(x,y)=0 上,即 g(x0,y0)=0, ∴f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ· 0=0, ∴点 P 在曲线 f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上. 12.(能力提升)已知曲线 C 的方程为 x= 4-y2,说明曲线 C 是什么样的曲线,并求该 曲线与 y 轴围成的图形的面积. 解 由 x= 4-y2,得 x2+y2=4. 又 x≥0,∴方程 x= 4-y2表示的曲线是以原点为圆心,2 为半径的右半圆,从而该 1 曲线 C 与 y 轴围成的图形是半圆,其面积 S=2π ?4=2π . 所以所求图形的面积为 2π . 2.1.2 求曲线的方程

1 . 已 知 动 点 P 到 点 (1 , - 2) 的 距 离 为 3 , 则 动 点 P 的 轨 迹 方 程 是 ( ). B.(x-1)2+(y+2)2=9 D.(x-1)2+(y+2)2=3

A.(x+1)2+(y-2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3

解析 设 P(x,y),由题设得 (x-1)2+(y+2)2=3,
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∴(x-1)2+(y+2)2=9. 答案 B 2 .已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(- 3 , 0) , B( 3 , 0) ,顶点 C 的轨迹是 ( ). B.一条直线去掉一点 D.两个点

A.一条直线 C.一个点

解析 注意当点 C 与 A、B 共线时,不符合题意,应去掉. 答案 B 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围成 的图形的面积等于 A.π C.8π B.4π D.9π ( ).

解析 设 P(x,y),由|PA|=2|PB|,得 (x+2)2+y2=2 (x-1)2+y2,整理得 x2 -4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.所以点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆, 故 S=4π. 答案 B

4 .已知 A(1 , 0) , B( - 1 , 0) ,动点 M 满足 |MA| - |MB| = 2 ,则点 M 的轨迹方程是 ( ). B.y=0(x≥1) D.y=0(|x|≥1)

A.y=0(-1≤x≤1) C.y=0(x≤-1)

解析 由题意可知,|AB|=2,则点 M 的轨迹方程为射线 y=0(x≤-1). 答案 C 5.在△ABC 中,若 B、C 的坐标分别是(-2,0)、(2,0),中线 AD 的长度是 3,则 A 点的轨迹方程是 A.x2+y2=3 C.x2+y2=9(y≠0) B.x2+y2=4 D.x2+y2=9(x≠0) ( ).

解析 易知 BC 中点 D 即为原点 O, 所以|OA|=3, 所以点 A 的轨迹是以原点为圆心, 以 3 为半径的圆,又因△ABC 中,A、B、C 三点不共线,所以 y≠0.所以选 C.

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答案 C 6.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是________. x y 解析 由截距式可得直线为5+5=1?线段方程为 x+y-5=0(0≤x≤5). 答案 x+y-5=0(0≤x≤5) 7.已知 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹方程是________. y-0 x+1 解析 由两点式,得直线 AB 的方程是 = ,即 4x-3y+4=0,线段 AB 的长 4-0 2+1 度|AB| |4x-3y+4| 1 = (2+1)2+42=5.设 C 的坐标为(x,y),则2?5? =10,即 4x-3y- 5 16 =0 或 4x-3y+24=0. 答案 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0 8.到直线 4x+3y-5=0 的距离为 1 的点的轨迹方程为________. 解析 可设动点坐标为(x,y),则 即|4x+3y-5|=5. ∴所求轨迹为 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0. 答案 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0 9.已知点 A(0,-1),当点 B 在曲线 y=2x2+1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程是________. 解析 设点 B(x0,y0),则 y0=2x02+1. 设线段 AB 中点为 M(x,y), y0-1 x0 则 x= ,y= . 2 2 即 x0=2x,y0=2y+1,代入①式,得 2y+1=2· (2x)2+1. 即 y=4x2 为线段 AB 中点的轨迹方程. 答案 y=4x2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直 1 线 AP 与 BP 的斜率之积等于-3.求动点 P 的轨迹方程. ① |4x+3y-5| =1, 5

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解 由点 B 与点 A(-1,1)关于原点对称,得点 B 的坐标为(1,-1).设点 P 的坐标 为(x,y),由题意得 y-1 y+1 1 ? =-3,化简得 x2+3y2=4,且 x≠± 1.故动点 P 的轨迹 x+1 x-1

方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). 11.已知 B(-3,0)、C(3,0),△ABC 中 BC 边上的高的长为 3,求△ABC 的垂心 H 的 轨迹方程. 解 设 H 的坐标为(x,y),则 A 点的坐标为(x,3)或(x,-3),当 A 的坐标为(x,3) 时, ∵AB⊥CH, ∴kAB?kCH=-1, 3-0 y-0 即 ? =-1(x≠± 3). x-(-3) x-3 1 化简,整理,得 y=-3x2+3(x≠± 3). 1 x=± 3,y=0 时也适合此方程,所以方程 y=-3x2+3 为所求轨迹方程.当 A 的坐标 1 为(x,-3)时,同理可得 H 的轨迹方程为 y=3x2-3. 1 1 总之,△ABC 的垂心 H 的轨迹方程是 y=-3x2+3 或 y=3x2-3. → ?MN → ,PM → ?PN → ,NM → ?NP → 12.(能力提升)已知两点 M(-1,0),N(1,0),动点 P 使MP 成公差大于零的等差数列,求动点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P(x,y), 由已知 M(-1,0),N(1,0). → =(x+1,y),MN → =(2,0), ∴MP → =(-2,0), ∴NM → =(-x-1,-y), PM → =(1-x,-y). PN → =(x-1,y). ∴NP

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→ ?MN → =2(x+1), ∴MP → ?PN → =(-x-1)(1-x)+(-y)2=x2+y2-1. PM → ?NP → =-2(x-1). NM 依题意有:
2 2 ?2(x +y -1)=2(x+1)-2(x-1) ? ?-2(x-1)-2(x+1)>0

化简得:x2+y2=3 且 x<0. 所以动点 P 的轨迹方程是 x2+y2=3(x<0).

2.2.1 椭圆及其标准方程(1)
1.下列方程表示椭圆的是() A.

x2 y 2 ? ?1 9 9

B. ? x2 ? 2 y 2 ? ?8

C.

x2 y 2 ? ?1 25 9

D. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1

答案:B 2.动点 P 到两个定点 F1 (- 4,0). F2 (4,0)的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为() A.椭圆 答案:B 3.已知椭圆的标准方程 x ?
2

B.线段 F1F2

C.直线 F1F2

D.不能确定

y2 ? 1,则椭圆的焦点坐标为() 10
C. (0, ?3) D. (?3, 0)

A. (? 10,0) 答案:C

B. (0, ? 10)

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1(a 2 ? b2 ? k 2 ) 的关系是 4.椭圆 2 ? 2 ? 1和 2 2 2 a b a ?k b ?k
A.有相同的长.短轴 B.有相同的离心率 C.有相同的准线 答案:D 5.已知椭圆 D.有相同的焦点

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离是() 5 9
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A. 2 5 ? 3 答案:C

B.2

C.3

D.6

6. 已知 a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 ( A. 答案:C



x ? y ?1 36 35
2

2

B.

x ? y ?1 36 25
2

2

C.

2 x ? y ?1 x2 ? y ? 1 D. 25 36 35 36

2

2

2 y2 ? 1 的左、 7. 椭圆 x ? 右焦点为 F1 、F2 , 一直线过 F1 交椭圆于 A 、B , 则 ?ABF2 的周长为 ( 16 9 A. 8 B. 14 C. 16 D. 20



答案:C 8.两焦点为 (0, ?2) , (0, 2) , b ? 3 ,则椭圆的标准方程是 答案:
2 x2 ? y ? 1 9 13

.

x2 y2 9.过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________. 9 4
x2 y2 9 4 解析:因为 c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 =1,所以 a2 a a -5 a a -5 x2 y2 x2 y2 =15.所以所求椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =1 15 10 15 10

10.已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,则椭圆的标准方程是________. x2 y2 x2 y2 解析:由椭圆定义知 c=1,∴b= 52-1= 24.∴椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =1 25 24 25 24 11.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 y 轴上,且经过两个点 (0, 2) 和 (1, 0) ; (2) 中心在原点,且经过点 P(3, 0) , a ? 3b . (3)两个焦点的坐标分别为(0,-3) , (0,3) ,椭圆的短轴长为 8; (4)两个焦点的坐标分别为(- 5 ,0) , ( 5 ,0) ,并且椭圆经过点 (2 2, ) (5)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)
2 x2 ? y ? 1 a ? b ? 0 ( ) , b2 a 2 2 2 将两个已知点坐标分别代入,得 a ? 4 , b ? 1 , y2 2 ? 1. 所以,所求的椭圆方程为 x ? 4 2 x2 y (2)若焦点在 x 轴上,根据已知,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 9b b x2 ? y 2 ? 1. 因为 P(3, 0) 在椭圆上,所以,可得 b ? 1 ,所以椭圆方程为 9

2 3

【解析】 (1)设椭圆的方程为

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2 x2 ? y ? 1, b 2 9b 2

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若焦点在 y 轴上,设椭圆方程为

因为 P(3, 0) 在椭圆上,所以,可得 b ? 3 ,所以椭圆方程为

2 x2 ? y ? 1 . 9 81

y 2 x2 (3)解:由题意,椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由焦点坐标可得 c ? 3 ,短轴长为 8,即 2b ? 8, b ? 4 ,所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? 25

y x ? 椭圆的标准方程为 25 ? ?1 16
2 2

(4)由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

由焦点坐标可得 c ?

2 2 5 , 2a ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? (2 2 ? 5)2 ? ( )2 ? 6 3 3
x2 y 2 ? ?1 9 4

所以 b2 = a 2 ? c 2 =9-5=4,所以椭圆的标准方程为

(5)设椭圆的方程为 mx2 ? ny 2 ? 1 ( m ? 0, n ? 0 ) ,因为椭圆过 P 1 ( 6,1)、P 2 (- 3,- 2)

? 6 m ? n ?1 ? ? 3m ? 2 n ?1 ?

? m? 1 9 解得 ? n ? 1 ? 3

所以椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 9 3

2.2.1

椭圆的标准方程(2)

x2 y2 1.设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 ( ). A.4 C.8 B.5 D.10

解析 由椭圆的标准方程得 a2=25,a=5.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案 D 2.已知 F1,F2 是定点,|F1F2|=8,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是 ( ).
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A.椭圆 C.圆 解析 ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2,故选 D. 答案 D

B.直线 D.线段

x2 y2 3.如果方程a2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范是( a+6 A.a>3 B.a<-2 C.a>3 或 a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 解析 由于椭圆焦点在 x 轴上,
2 ?a >a+6, ?(a+2)(a-3)>0, ∴? 即? ?a+6>0, ?a>-6.

).

?a>3 或-6<a<-2.故选 D. 答案 D 4. 已知椭圆的焦点是 F1, F2, P 是椭圆上的一动点, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是 A.圆 C.双曲线的一支 B.椭圆 D.抛物线 ( ).

解析 如图,依题意: |PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数). 又∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a. ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆,故 答案 A x2 y2 5.设 F1,F2 是椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则 △F1PF2 的面积等于 ( ). 选 A.

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A.5 C.3 解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6, 又|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2,

B .4 D .1

1 1 由 22+42=(2 5)2 可知△F1PF2 是直角三角形, 故△F1PF2 的面积为2|PF1|· |PF2|=2? 2 ?4=4,故选 B. 答案 B

6.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15, 则此椭圆的标准方程为________. 解析 由已知 2a=8,2c=2 15, ∴a=4,c= 15, ∴b2=a2-c2=16-15=1, y2 ∴椭圆标准方程为16+x2=1. y2 答案 16+x2=1 x2 y2 7.已知椭圆20+ k =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 解析 由已知 2c=6, ∴c=3,而 c2=9, ∴20-k=9 或 k-20=9, ∴k=11 或 k=29. 答案 11 或 29 π 8.若 α∈(0, 2 ),方程 x2sin α +y2cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值 范围是________.
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解析 方程 x2sin α+y2cos α=1 可化为 ∵椭圆的焦点在 y 轴上, 1 1 ∴ > >0. cos α sin α π 又∵α∈(0, 2 ), ∴sin α>cos α>0,

x2 y2 + 1 1 =1. sin α cos α

π π ∴ 4 <α< 2 . π π 答案 ( 4 , 2 ) x2 y2 9.椭圆12+ 3 =1 的两个焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1|是|PF2|的________倍. 解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F1(-3,0),F2(3,0),设 P 点的 坐 x1-3 标为(x1,y1),由线段 PF1 的中点的横坐标为 0,知 2 =0,∴x1=3.把 x1=3 代入 椭圆 x2 y2 3 3 方程12+ 3 =1,得 y1=± 2 ,即 P 点的坐标为(3,± 2 ), 3 ∴|PF2|=|y1|= 2 . 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=4 3, 3 7 3 ∴|PF1|=4 3-|PF2|=4 3- 2 = 2 , 即|PF1|=7|PF2|. 答案 7 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)焦距是 10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 解 (1)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2). 由椭圆的定义知 2a= 32+(2+2)2+ 32+(2-2)2=8,

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所以 a=4,所以 b2=a2-c2=16-4=12. y2 x2 又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为16+12=1. (2)由题意知 2c=10,2a=26,所以 c=5,a=13,所以 b2=a2-c2=132-52=144, x2 y2 y2 x2 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为169+144=1 或169+144=1. 11.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A⊥F2A, 求椭圆的标准方程. x2 y2 解 设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 设焦点 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A,

→ → ∴F 1A?F2A=0, → 而F 1A=(-4+c,3), → F 2A=(-4-c,3),
∴(-4+c)· (-4-c)+32=0, ∴c2=25,即 c=5. ∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = (-4+5)2+32+ (-4-5)2+32 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为40+15=1. 12.(能力提升)如图,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点, AQ 的垂直平分线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.

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解 由题意知点 M 在线段 CQ 上, 从而有|CQ|=|MQ|+|MC|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|, ∴|MA|+|MC|=|CQ|=5. ∵A(1,0),C(-1,0), 5 ∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且 2a=5,故 a=2,c=1,b2= 25 21 a2-c2= 4 -1= 4 .

x2 y2 故点 M 的轨迹方程为25+21=1. 4 4 2.2.2 椭圆的几何性质(1)

1.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则 焦点坐标为 A.(± 13,0) C.(0,± 13) B.(0,± 10) D.(0,± 69) ( ).

解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10,则 c= a2-b2= 69,故焦 点坐 标为(0,± 69). 答案 D ( 2 C. 2 2 D.3 ).

2.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为 3 A. 2 3 B.4

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y 1 解析 将椭圆方程 x2+4y2=1 化为标准方程 x2+1=1,则 a2=1,b2=4,即 a=1,c 4 = 3 c 3 a2-b2= 2 ,故离心率 e=a= 2 . 答案 A 6 3.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 3 ,则椭圆 C 的方程为 x2 A. 3 +y2=1 x2 y2 C. 3 + 2 =1 y2 B.x2+ 3 =1 x2 y2 D. 2 + 3 =1 ( ).

c 6 x2 解析 因为a= 3 , 且 c= 2, 所以 a= 3, b= a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 3 + y2 =1. 答案 A 4 .已知椭圆 x2 + my2 = 1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 m = ( ). 1 A.4 1 B.2
2

C.2

D.4

y2 解析 将椭圆方程化为标准方程为 x + 1 =1, m ∵焦点在 y 轴上, 1 ∴m>1,∴0<m<1. 1 由方程得 a= m,b=1. 1 ∵a=2b,∴m=4. 答案 A x2 y2 5.过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 ∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为 ( ).

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5 A. 2 1 C.2

3 B. 3 1 D.3 2c 4c 2c 解析 记|F1F2|=2c, 则由题设条件, 知|PF1|= , |PF2|= , 则椭圆的离心率 e=2a 3 3 = |F1F2| 2c 3 = = ,故选 B. |PF1|+|PF2| 2c 4c 3 + 3 3 答案 B 6.已知椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5,则此椭圆的标准 方程是________. 解析 设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,焦距为 2c,则 b=1,a2+b2=( 5)2, 即 a2=4. x2 y2 所以椭圆的标准方程是 4 +y2=1 或 4 +x2=1. x2 2 y2 2 + y = 1 或 4 4 +x =1 x2 y2 1 7.已知椭圆 + =1 的离心率为2,则 k 的值为________. k+8 9 答案 c2 k+8-9 1 解析 当 k+8>9 时,e =a2= =4,k=4; k+8
2

c2 9-k-8 1 5 当 k+8<9 时,e2=a2= 9 =4,k=-4. 5 答案 4 或-4 3 8.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且 G 上一点到 G 的 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. x2 y2 解析 依题意设椭圆 G 的方程为a2+b2=1(a>b>0), ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12. ∴2a=12,即 a=6.

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3 ∵椭圆的离心率为 2 , a2-b2 c 3 ∴e=a= a = 2 , ∴ 36-b2 3 = 6 2,
2

x2 y2 ∴b =9.∴椭圆 G 的方程为36+ 9 =1. x2 y2 答案 36+ 9 =1 3 9.已知中心在原点,对称轴为坐标轴,长半轴长与短半轴长的和为 9 2,离心率为5的 椭圆的标准方程为________. a+b=9 2, ? ?c 3 由题意知? = , a 5 ? ?a2=b2+c2,

解析

?a=5 2, 解得? ?b=4 2. 但焦点位置不确定. x2 y2 x2 y2 答案 50+32=1 或32+50=1 x2 2 10.求椭圆 4 +y =1 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. x2 y2 解 已知方程为 4 + 1 =1,所以,a=2,b=1,c= 4-1= 3, 因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a=4,2b=2, c 3 离心率 e=a= 2 ,两个焦点分别为 F1(- 3,0),F2( 3,0), 椭圆的四个顶点是 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).

11.已知椭圆长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 A(2,-6).求椭圆的标准方程. 解 法一 依题意 a=2b. x2 y2 (1)当椭圆焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为4b2+b2=1.

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4 36 代入点 A(2,-6)坐标,得4b2+ b2 =1,解得 b2=37, ∴a2=4b2=4?37=148, x2 y2 ∴椭圆的标准方程为148+37=1. y2 x2 (2)当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为4b2+b2=1. 36 4 代入点 A(2,-6)坐标得4b2+b2=1, ∴b2=13,∴a2=52. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为52+13=1. x2 y2 y2 x2 综上所述,所求椭圆的标准方程为148+37=1 或52+13=1. x2 y2 法二 设椭圆方程为 m+ n =1(m>0,n>0,m≠n), 4 36 由已知椭圆过点 A(2,-6),所以有m+ n =1. 由题设知 a=2b,∴ m=2 n, 或 n=2 m, 由①②可解得 n=37,∴m=148. 由①③可解得 m=13,∴n=52. x2 y2 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 148+37=1 或13+52=1. 12.(能力提升)已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O,两个焦点分别为 A(-1,0),B(1,0), 一个顶点为 H(2,0). (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)对于 x 轴上的点 P(t,0),椭圆 E 上存在点 M,使得 MP⊥MH,求实数 t 的取值范 围. 解 (1)由题意可得,c=1,a=2,∴b= 3. x2 y2 ∴所求椭圆 E 的标准方程为 4 + 3 =1. x02 y02 (2)设 M(x0,y0)(x0≠±2),则 4 + 3 =1. ② ③





→ =(t-x ,-y ),MH → =(2-x ,-y ), MP 0 0 0 0
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→ ?MH → =0, 由 MP⊥MH 可得MP
即(t-x0)(2-x0)+y02=0. 1 由①②消去 y0,整理得 t(2-x0)=-4x02+2x0-3. 1 3 ∵x0≠2,∴t=4x0-2. ∵-2<x0<2, ∴-2<t<-1. ∴实数 t 的取值范围为(-2,-1). ②

2.2.2

椭圆的几何性质(2)

x2 y2 1.椭圆12+ 3 =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 那么点 M 的纵坐标是 3 A.± 4 3 B.± 2 2 C.± 2 ( ). 3 D.±4

解析 由条件可得 F1(-3,0),PF1 的中点在 y 轴上, x2 y2 3 ∴P 坐标(3,y0),又 P 在12+ 3 =1 的椭圆上得 y0=± 2 , 3 ∴M 的坐标(0,± 4 ),故选 A. 答案 A 2.如图所示,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率 为( ).

1 A.5

2 B.5

5 C. 5

2 5 D. 5

解析 由条件知,F1(-2,0),B(0,1),∴b=1,c=2,

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∴a= 22+12= 5, c 2 2 5 ∴e=a= = 5 . 5 答案 D x2 y2 3.已知椭圆 3 + 4 =1 的上焦点为 F,直线 x+y-1=0 和 x+y+1=0 与椭圆分别相交 于点 A,B 和 C,D,则 AF+BF+CF+DF= A.2 3 B.4 3 C.4 ( ). D .8

解析 如图,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接 AF1、FD.由椭圆的对称性可知,四边形 AFDF1(其中 F1 为椭 圆的下焦点)为平行四边形, ∴AF1=FD,同理 BF1=CF, ∴AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8. 答案 D x2 y2 6 4.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 3 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA,MB 分别交 椭圆于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1?k2 的值 为 1 A.2 ( ). 1 B.-2 1 C.3 1 D.-3

解析 设点 M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1), b2x2 b2x12 则 y2=b2- a2 ,y12=b2- a2 , y-y1 y+y1 y2-y12 b2 c2 1 2 所以 k1·k2= · = 2 2=- 2= 2-1=e -1=- , a a 3 x-x1 x+x1 x -x1 1 即 k1·k2 的值为-3. 答案 D x2 2 5.已知椭圆 C: 2 +y =1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,

→ =3FB → ,则|AF → |= 若FA
A. 2 B.2
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( C. 3

). D.3

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解析 设点 A(2,n),B(x0,y0). x2 由椭圆 C: 2 +y2=1 知 a2=2,b2=1, ∴c2=1,即 c=1,∴右焦点 F(1,0).

→ =3FB → 得(1,n)=3(x -1,y ). ∴由FA 0 0
∴1=3(x0-1)且 n=3y0. 4 1 ∴x0=3,y0=3n. x2 将 x0,y0 代入 +y2=1,得 2 1 42 1 2 2?(3) +(3n) =1.

→ |= (2-1)2+n2= 1+1= 2.所以选 A. 解得 n2=1,∴|AF
答案 A x2 y2 6.直线 y=x+2 与椭圆m+ 3 =1 有两个公共点,则 m 的取值范围是________. y=x+2, ? ? 解析 由?x2 y2 消去 y, + =1 ? ?m 3 整理得(3+m)x2+4mx+m=0. 若直线与椭圆有两个公共点, ?3+m≠0, ?m≠-3, 则? 解得? 2 ?Δ=(4m) -4m(3+m)>0, ?m<0或m>1. x2 y2 由m+ 3 =1 表示椭圆知,m>0 且 m≠3. 综上可知,m 的取值范围是(1,3)∪(3,+∞). 答案 (1,3)∪(3,+∞) 1 7.椭圆 x2+4y2=16 被直线 y=2x+1 截得的弦长为________. x2+4y2=16, ? ? 解析 由? 1 消去 y 并化简得 x2+2x-6=0. y= x+1, ? ? 2 设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=-2,x1x2=-6.
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∴弦长|MN|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = = = 答案 1 1 (x1-x2)2+(2x1-2x2)2 5 2 4[(x1+x2) -4x1x2] 5 4(4+24)= 35. 35

x2 y2 8.已知 F1、F2 为椭圆25+ 9 =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点.若|F2A| +|F2B|=12,则|AB|=________. 解析 由题意知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由 a= 5, 可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案 8 x2 y2 9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的四个顶 点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰 为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为________.

解析 直线 A1B2 的方程为 2ac T( , a-c b(a+c) ), a-c 则 M(

x y x y +b=1,直线 B1F 的方程为c+ =1,二者联立,得 -a -b

ac b(a+c) x2 y2 , )在椭圆a2+b2=1(a>b>0)上, a-c 2(a-c)

(a+c)2 c2 ∴ =1, 2+ (a-c) 4(a-c)2
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c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,解得 e=2 7-5. 答案 2 7-5 x2 4 2 10.已知直线 l:y=kx+1 与椭圆 2 +y2=1 交于 M、N 两点,且|MN|= 3 .求直线 l 的 方程. 解 设直线 l 与椭圆的交点 M(x1,y1),N(x2,y2), y=kx+1, ? ? 由?x2 2 消 y 并化简,得(1+2k2)x2+4kx=0, +y =1, ? ?2 4k ∴x1+x2=- ,x x =0. 1+2k2 1 2 4 2 32 由|MN|= 3 ,得(x1-x2)2+(y1-y2)2= 9 , 32 ∴(1+k2)(x1-x2)2= 9 , 32 ∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]= 9 . 4k 2 32 即(1+k2)(- ) =9. 1+2k2 化简,得 k4+k2-2=0,∴k2=1,∴k=± 1. ∴所求直线 l 的方程是 y=x+1 或 y=-x+1. x2 y2 11.已知过点 A(-1,1)的直线与椭圆 8 + 4 =1 交于点 B、C,当直线 l 绕点 A(-1,1) 旋转时,求弦 BC 中点 M 的轨迹方程. 解 设直线 l 与椭圆的交点 B(x1,y1),C(x2,y2), 弦 BC 中点 M(x,y), x12 y12 则 8 + 4 =1, x22 y22 8 + 4 =1. x22 x12 y22 y12 ②-①,得( 8 - 8 )+( 4 - 4 )=0. ∴(x2+x1)(x2-x1)+2(y2+y1)(y2-y1)=0. x1+x2 y1+y2 y2-y1 y-1 当 x1≠x2 时, 2 =x, 2 =y, = , x2-x1 x+1 ① ②



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y2-y1 又∵③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)· =0. x2-x1 y-1 ∴2x+2· 2y· =0,化简得 x2+2y2+x-2y=0. x+1 当 x1=x2 时,由点 M(x,y)是线段 BC 中点, ∴x=-1,y=0,显然适合上式. 总之,所求弦中点 M 的轨迹方程是 x2+2y2+x-2y=0. 12.(能力提升)如图所示,点 A、B 分别是椭圆 x2 y2 + =1 长轴的左、右端点,点 F 是椭 36 20

圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF.

(1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. 解 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标是(x,y),

→ =(x+6,y),FP → =(x-4,y). 则AP
x2 y2 ? ? + =1, 20 由已知得?36 ? ?(x+6)(x-4)+y2=0. 则 2x2+9x-18=0, 3 即得 x=2或 x=-6. 3 5 由于 y>0,只能 x=2,于是 y=2 3. 3 5 ∴点 P 的坐标是(2,2 3). (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0.
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设点 M 的坐标是(m,0), 则 M 到直线 AP 的距离是 |m+6| 于是 2 =|m-6|, 又-6≤m≤6,解得 m=2, 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d,有 5 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-9x2 4 9 = (x- )2+15, 9 2 由于-6≤x≤6. 9 ∴当 x=2时,d 取最小值 15. |m+6| 2 ,

2.3.1

双曲线及其标准方程

1.平面内有两个定点 F1(-5,0)和 F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=6, 则动点 P 的轨迹方程是 x2 y2 A.16- 9 =1(x≤-4) x2 y2 C.16- 9 =1(x≥4) 解析 根据双曲线的定义可得. 答案 D x2 y2 2.双曲线10- 2 =1 的焦距为 A.3 2 B.4 2 C.3 3 ( ). ( ) x2 y2 B. 9 -16=1(x≤-3) x2 y2 D. 9 -16=1(x≥3)

D.4 3

解析 由双曲线的标准方程可知, a2=10, b2=2.于是有 c2=a2+b2=12, 则 2c=4 3. 故选 D. 答案 D 3 . 已 知 双 曲 线 的 a = 5 , c = 7 , 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ( ).

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x2 y2 y2 x2 A.25-24=1 B.25-24=1 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 C.25-24=1 或25-24=1 D.25-24=0 或25-24=0 解析 因为 b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方 程 x2 y2 y2 x2 为25-24=1 或25-24=1. 答案 C 4.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围为 ( ). B.k>1 D.k>1 或 k<-1

A.-1<k<1 C.k<-1

?1+k>0, ?k>-1, 解析 由题意得? 解得? 即-1<k<1. ?1-k>0, ?k<1, 答案 A x2 y2 5. 已知双曲线 C:9 -16=1 的左、 右焦点分别为 F1、 F2, P 为 C 右支上的一点, 且|PF2| =|F1F2|,则△PF1F2 的面积等于 A.24 C.48 B .36 D .96 ( ).

解析 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16. 1 ∴S△PF1F2=2?16? 答案 C 16 102-( 2 )2=48.故选 C.

6.若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标是(0,3),则实数 k 的值为________. y2 x2 解析 因为双曲线焦点在 y 轴上, 所以双曲线的标准方程为 8- 1=1,所以 k<0, -k -k 又 8 1 (0,3)是双曲线的一个焦点,则 c=3,于是有- k- k=32=9,解得 k=-1. 答案 -1
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x2 y2 7. 已知 P 是双曲线64-36=1 上一点, F1, F2 是双曲线的两个焦点, 若|PF1|=17, 则|PF2| 的值为________. x2 y2 解析 由双曲线方程64-36=1 知,a=8,b=6,则 c= a2+b2=10. ∵P 是双曲线上一点, ∴||PF1|-|PF2||=2a=16, 又|PF1|=17, ∴|PF2|=1 或|PF2|=33. 又|PF2|≥c-a=2, ∴|PF2|=33. 答案 33 x2 y2 8.双曲线 m- =1 的一个焦点到中心的距离为 3,那么 m=________. m-5 解析 (1)当焦点在 x 轴上,有 m>5, 则 c2=m+m-5=9, ∴m=7; (2)当焦点在 y 轴上,有 m<0, 则 c2=-m+5-m=9, ∴m=-2; 综上述,m=7 或 m=-2. 答案 7 或-2 x2 y2 x2 y2 9.已知椭圆 4 +a2=1 与双曲线 a - 2 =1 有相同的焦点,则实数 a=________. x2 y2 解析 由双曲线 a - 2 =1 可知 a>0,且焦点在 x 轴上.根据题意知 4-a2=a+2,即 a2 +a-2=0,解得 a=1 或 a=-2(舍去),故实数 a=1. 答案 1 10.(1)求经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7)的双曲线的标准方程; x2 y2 (2)已知双曲线与椭圆27+36=1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐 标为 4,求双曲线的方程.
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解 (1)设双曲线的标准方程为 nx2+my2=1(m· n<0), 又双曲线经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7), 1 ? ?m=25, ?28m+9n=1, 所以? 解得? 1 ?49m+72n=1, ? ?n=-75, y2 x2 所以所求的双曲线的标准方程为25-75=1. x2 y2 (2)因为椭圆27+36=1 的焦点为(0,-3),(0,3),A 点的坐标为(± 15,4),设双曲 a2+b2=9, ? 2 ? ?a =4, y x 线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),所以?16 15 解得? 2 所以所求的双 b =5, ? 2 - 2 =1, ? ?a b
2 2

y2 x2 曲线的标准方程为 4 - 5 =1. 11.已知方程 kx2+y2=4,其中 k∈R,试就 k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型. 解 (1)当 k=0 时,方程变为 y=± 2,表示两条与 x 轴平行的直线; (2)当 k=1 时,方程变为 x2+y2=4 表示圆心在原点,半径为 2 的圆; y2 x2 (3)当 k<0 时,方程变为 4 - 4=1,表示焦点在 y 轴上的双曲线. -k x2 y2 (4)当 0<k<1 时,方程变为 4 + 4 =1,表示焦点在 x 轴上的椭圆; k x2 y2 (5)当 k>1 时,方程变为 4 + 4 =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆. k y2 12.(能力提升)已知双曲线的方程为 x2- 4 =1,如图, 点 A 的坐标为(- 5,0),B 是圆 x2+(y- 5)2=1 上 的点,点 M 在双曲线的右支上,求|MA|+|MB|的最小 值. 解 设点 D 的坐标为( 5,0),则点 A,D 是双曲线 的焦点, 由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.

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∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|, 又 B 是圆 x2+(y- 5)2=1 上的点,圆的圆心为 C(0, 5), 半径为 1,故|BD|≥|CD|-1= 10-1,从而|MA|+|MB|≥2 +|BD|≥ 10+1, 当点 M,B 在线段 CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为 10+1.

2.3.2

双曲线的简单几何性质(1) )

1.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 [答案] [解析] D 方程 mx2-my2=n 可化为: y2 x2 - n n =1, - - m m

n ∵mn<0,∴-m>0, ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 3π x2 y2 2.设 θ∈( 4 ,π),则关于 x、y 的方程sinθ-cosθ=1 所表示的曲线是( A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 [答案] C [解析] x2 y2 3π 方程即是sinθ+ =1,因 θ∈( 4 ,π), -cosθ )

∴sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,故选 C. x2 y2 3.k>9 是方程 + =1 表示双曲线的( 9-k k-4
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)

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A.充要条件 C.必要不充分条件 [答案] [解析] B k>9 时, 方程为

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

y2 x2 - =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, 方程表示双曲线时, k-4 k-9

(k-9)(k-4)<0,∴k<4 或 k>9,故选 B. x2 y2 4.双曲线25- 9 =1 上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为( A.22 或 2 C.22 [答案] [解析] A ∵a2=25,∴a=5,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12, B.7 D.2 )

∴|PF1|-|PF2|=± 10,∴|PF2|=22 或 2.

5. 双曲线 A.4 答案:C

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 m2 ? 12 4 ? m2



) D.与 m 有关

B. 2

2

C.8

6. 过双曲线 的周长是( A.28 答案:A

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点) 16 9

) B.22 C.14 D.12

x2 y2 x2 y2 7.椭圆 4 +m2=1 与双曲线m2- 2 =1 有相同的焦点,则 m 的值是( A.± 1 C.-1 [答案] [解析] A 验证法:当 m=± 1 时,m2=1, B.1 D.不存在

)

对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. 对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3, 故当 m=± 1 时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,
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故 4-m2=m2+2. ∴m2=1,即 m=± 1.

8.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 或 5 时,P 点的轨迹 为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条直线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:选 D.当 a=3 时,2a=6,此时|AB|=10, ∴P 的轨迹为双曲线的一支. 当 a=5 时,2a=10,此时|AB|=10, ∴P 的轨迹为射线.
9.双曲线 2x2-y2=m 的一个焦点是(0, 3),则 m 的值是________. [答案] [解析] -2 x2 y2 双曲线的标准方程为 m-m =1, 2 m 3 由题意得 a2=-m,b2=- 2 ,∴c2=-2m=3, ∴m=-2. x2 y2 10 .过双曲线 3 - 4 = 1 的焦点且与 x 轴垂直的直线被双线截取的线段的长度为 ________. [答案] [解析] 8 3 3 ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c= 7,

该直线方程为 x= 7, ?x= 7 ? 由?x2 y2 - =1 ? ?3 4 16 得 y2= 3 ,

4 3 8 3 ∴|y|= 3 ,弦长为 3 . x2 y2 11.已知双曲线与椭圆27+36=1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4,
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求双曲线的方程. [解析] y2 x2 椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),

且 c=3,a2+b2=9. 由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标为 A( 15,4)、 B(- 15,4), 16 15 由点 A 在双曲线上知, a2 - b2 =1. a2+b2=9, ? 2 ? ?a =4, 解方程组?16 15 得? 2 ?b =5. 2 - 2 =1, ? b ?a y2 x2 ∴所求曲线的方程为 4 - 5 =1. 12. (能力提升)如图所示,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x +9=0,动圆 M 与定圆 F1、F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

[解析]

圆 F1:(x+5)2+y2=1,

∴圆心 F1(-5,0),半径 r1=1.圆 F2:(x-5)2+y2=42,∴圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R,则有 |MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3. 3 91 ∴M 点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线左支,且 a=2,c=5.∴b2=c2-a2= 4 . 4x2 4y2 3 ∴双曲线方程为 9 - 91 =1(x≤-2). 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2) ( )

1.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为

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1 A.-4

B.-4

C.4

1 D.4

x2 2 1 =1,则 a -m 1 1 =1,a=1,又虚轴长是实轴长的 2 倍,∴b=2,∴-m=b2=4,∴m=-4,故选 A. 解析 由双曲线方程 mx2+y2=1,知 m<0,则双曲线方程可化为 y2- 答案 A 2.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 A.y=± 3x C.y=± 3x y2 解析 令 x - 3 =0,则 y=± 3x.答案
2

( 1 B.y=± 3x 3 D.y=± 3 x C

).

3.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点 P(1,3),离心率为 2的双曲线的标准方 程为 x2 y2 A. 4 - 4 =1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 y2 x2 B. 4 - 4 =1 y2 x2 D. 8 - 8 =1 ( ).

2 2 c2 a +b b2 解析 由离心率为 2,∴e2=a2= a2 =1+a2=2,即 a=b,

∴双曲线为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),又点 P(1, 3)在双曲线上,则 λ=1-9=-8, y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 8 - 8 =1.故选 D. 答案 D 4.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近线 的方程为 x-2y=0,则它的离心率为 A. 5 5 B. 2 C. 3 ( ). D. 2

1 a 1 解析 由题意知,这条渐近线的斜率为2,即b=2, c b 而 e=a= 1+(a)2= 1+22= 5,故选 A. 答案 A

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5.若 0<k<a2,则双曲线 A.相同的虚轴 C.相同的渐近线

x2 y2 x2 y2 - 2 =1 与a2-b2=1 有 a -k b +k
2

(

).

B.相同的实轴 D.相同的焦点

解析 a2-k>0,b2+k>0,所以 a2-k+b2+k=a2+b2=c2. 所以两双曲线有相同的焦点. 答案 D y2 6.与双曲线 x2- 4 =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是___. y2 解析 依题意设双曲线的方程 x2- 4 =λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得 λ=3,所以所求 双 x2 y2 曲线的标准方程为 3 -12=1. x2 y2 答案 3 -12=1 x2 y2 7.双曲线 4 + k =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是________. 4-k x2 y2 c 解析 双曲线方程可变为 4 - =1,则 a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=a= 2 , -k 又∵e∈(1,2),则 1< 答案 (-12,0) x. 13 8.若双曲线中心在原点,焦点在 y 轴,离心率 e= 5 ,则其渐近线方程为________. y2 x2 解析 由已知设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 2 2 13 c2 a +b b2 169 2 由 e= 5 ,得 e =a2= a2 =1+a2= 25 . b2 144 b 12 ∴a2= 25 ,则a= 5 , a 5 ∴渐近线方程为 y=± x = ± b 12x. 5 答案 y=± 12x
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4-k 2 <2,解得-12<k<0.

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9. 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ, 点 F1 是另一个焦点, 若∠PF1Q=90°, 则双曲线的离心率等于________. 解析 设 F1、 F2 分别是双曲线的左、 右焦点, 由题意知在焦点三角形 F1PF2 中, |PF1| =2 2c,|PF2|=2c,又|PF1|-|PF2|=2a,故有 e= 2+1. 答案 2+1

y2 10.求双曲线 x2- 4 =1 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程. x2 y2 解 把方程化为标准方程为 2- 2=1,由此可知实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2,顶 1 2 点坐标是(-1,0),(1,0),c= a2+b2= 12+22= 5, x y 焦点的坐标是(- 5,0),( 5,0),渐近线方程为1±2=0,即 y=± 211. x2 y2 11.求与双曲线16- 9 =1 共渐近线且过 A(3 3,-3)的双曲线的方程. x2 y2 x2 y2 解 设与 42 - 32 = 1 共渐近线且过 A(3 3 ,- 3) 的双曲线的方程为 42 - 32 = λ ,则 (3 3)2 (-3)2 11 x2 16y2 - 42 32 =λ,从而有 λ=16,所求双曲线的方程为11- 99 =1. y2 → 12.(能力提升)已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x2- 2 =1 于 A、B 两点,且ON = 1 → → 2(OA+OB). (1)求直线 AB 的方程; → ?AB → =0,那么 A、B、C、D 四点 (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且CD 是否 共圆?为什么? 解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在. y2 设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x - 2 =1
2

得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k2≠0.
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(*)

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2k(2-k) 且 x1+x2= . 2-k2 → =1(OA → +OB → ), ∵ON 2 ∴N 是 AB 的中点, x1+x2 ∴ 2 =1, ∴k(2-k)=-k2+2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)共圆.将 k=1 代入方程(*)得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3, ∴A(-1,0),B(3,4). → ?AB → =0,∴CD 垂直 AB, ∵CD ∴CD 所在直线方程为 y=-(x-1)+2, 即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x2+6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3?x4=-11, ∴x0= x3+x4 2 =-3,y0=6,

即 M(-3,6). |CD|= 1+k2|x3-x4| = 1+k2 (x3+x4)2-4x3x4 =4 10, 1 |MC|=|MD|=2|CD|=2 10, |MA|=|MB|=2 10, 即 A、B、C、D 到 M 的距离相等, ∴A、B、C、D 四点共圆. 2.4.1 抛物线及其标准方程
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1.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是 A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0)

(

). D.(-4,0)

p 解析 依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,由 2p=8 得2=2,故焦 点坐 标为(-2,0),故选 B. 答案 B 2.若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10,则点 P 的坐标为 A.(8,8) C.(8,± 8) B.(8,-8) D.(-8,± 8) ( ).

解析 设 P(xP,yP),∵点 P 到焦点的距离等于它到准线 x=-2 的距离,∴xP=8, yP=± 8, 故选 C. 答案 C x2 y2 3.以双曲线16- 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 A.y2=16x C.y2=8x B.y2=-16x D.y2=-8x ( ).

x2 y2 解析 由双曲线方程16- 9 =1,可知其焦点在 x 轴上,由 a2=16,得 a=4,∴该双 曲 线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的标准方程为 y2= p 2px(p>0),则由2=4,得 p=8,故所求抛物线的标准方程为 y2=16x. 答案 A 4.动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是 ( A.椭圆 C.双曲线的一支 B.双曲线 D.抛物线 ).

解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离”, 由抛 物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 答案 D
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5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B. 3 11 C. 5 ( ). 37 D.16

解析 直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物线 的定义 知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离, 故本题 化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和 直线 l1 的距离之和最小,最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距 |4-0+6| 离,即 dmin= =2,故选择 A. 5 答案 A 6.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ________. p 4 解析 由抛物线的方程得2=2=2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为 4+2=6. 答案 6 7.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),代入 ax-y+1=0,解得 a=-1. 答案 -1 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为________. p 解析 由抛物线方程 y2=2px(p>0),得其准线方程为 x=-2,又圆的方程为(x-3)2 +y2 p =16,∴圆心为(3,0),半径为 4.依题意,得 3-(-2)=4,解得 p=2. 答案 2 1 9.抛物线 y=-4x2 上的动点 M 到两定点 F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值为 ________. 解析 将抛物线方程化成标准方程为 x2=-4y,可
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知焦

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点坐 1 标为(0,-1),-3<-4,所以点 E(1,-3)在抛物线的内部, 如图所示,设抛物线的准线为 l,过 M 点作 MP⊥l 于点 P, 过点 E 作 EQ⊥l 于点 Q,由抛物线的定义可知,|MF|+|ME| =|MP|+|ME|≥|EQ|,当且仅当点 M 在 EQ 上时取等号,又 |EQ|=1-(-3)=4,故距离之和的最小值为 4. 答案 4 10.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2. p 解 (1)由准线方程为 y=3 知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,且2=3,则 p=6,故所 求抛物线的标准方程为 x2=-12y. (2)∵点 P(-2 2,4)在第二象限,∴设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0)或 x2 =2py(p>0),将点 P(-2 2,4)代入 y2=-2px,得 p=2 2;代入 x2=2py,得 p=1. ∴所求抛物线的标准方程为 y2=-4 2x 或 x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为 2,得 p= 2,故所求抛物线的标准方程为 y2=2 2x,y2 = -2 2x,x2=2 2y 或 x2=-2 2y. 11.已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 法一 设动点 M(x,y),设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则|MA|=|MN|,

即动点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等,所以点 M 的轨迹是抛物线,且 以 A(3,0)为焦点,以直线 l:x=-3 为准线, p ∴2=3,∴p=6. ∴圆心 M 的轨迹方程是 y2=12x. 法二 设动点 M(x,y),则点 M 的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|},
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即 (x-3)2+y2=|x+3|,化简,得 y2=12x. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x. 12. (能力提升)设 F(1, 0), 点 M 在 x 轴上, 点 P 在 y 轴上, 且 (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , D(x3 , y3) 是曲线 C 上除去原点外的不同三点,且 成等差数列,当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时, 求点 B 的坐标. 解 (1)设 N(x,y),由 M(-x,0), ∴ 由 y =(-x,-2), y =(1,-2). y 得点 P 为线段 MN 的中点,∴P(0,2),

y2 =-x+ 4 =0,得 y2=4x.

即点 N 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由抛物线的定义,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵ 成等差数列,

x1+x3 2 . x1+x3 y1+y3 ∵线段 AD 的中点为( 2 , 2 ),且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3, ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即 x2= 0), y1+y3 2 -0 ∴线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k= . x1+x3 2 -3 y3-y1 y3-y1 y1+y3 又 kAD= ,∴ ? =-1, x3-x1 x3-x1 x1+x3-6 4x3-4x1 即 =-1. 2 (x3 -x12)-6(x3-x1) ∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又 x2= x1+x3 2 ,∴x2=1.

∵点 B 在抛物线上,∴B(1,2)或(1,-2).
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2.4.2

抛物线的简单几何性质(1) ).

1.经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程( A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0 B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0

1 1 解析 设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y2=2x 的焦点 F(2,0),所以 3?2- 2?0 3 +c=0,所以 c=-2,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A. 答案 A 2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 ( ). B.2 15 D.2 19

A.2 13 C.2 17

解析 不妨设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 x1>x2.由直线 AB 斜率为 -2, 且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),代入抛物线方程 y2=8x 得 4(x-1)2 =8x, 整理得 x2-4x+1=0,解得 x1=2+ 3,x2=2- 3,代入直线 AB 方程得 y1=-2- 2 3, y2=2 3-2.故 A(2+ 3,-2-2 3),B(2- 3,2 3-2). |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2=2 15. 答案 B 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线
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段 (

AB ).

的 中 点 的 纵 坐 标 为

2 , 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程 为

A.x=1 C.x=2

B.x=-1 D.x=-2

p p 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2,即 x=y p p +2,代入 y2=2px 得 y2=2p(y+2)=2py+p2,即 y2-2py-p2=0,由根与系数的关 系得 y1+y2 2 2 =p=2(y1,y2 分别为点 A,B 的纵坐标),所以抛物线方程为 y =4x,准线方程 为x =-1. 答案 B 4.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k= 1 A.3 2 B. 3 2 C.3 ( ). 2 2 D. 3

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0, ?y=k(x+2), 由? 2 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, ?y =8x, ∴x1x2=4, p ∵|FA|=x1+2=x1+2, p |FB|=x2+2=x2+2,且|FA|=2|FB|, ∴x1=2x2+2. 由①②得 x2=1, 2 2 ∴B(1,2 2),代入 y=k(x+2),得 k= 3 .故选 D. 答案 D 5.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向准 线 l 作垂线,垂足分别为 M1,N1,则∠M1FN1 等于
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(

).

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A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

解析 如图,由抛物线的定义, 得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|. ∴∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F. 设准线 l 与 x 轴的交点为 F1, ∵MM1∥FF1∥NN1, ∴∠MM1F=∠M1FF1, ∠NN1F=∠N1FF1. 而∠MFM1+∠M1FF1+∠NFN1+∠N1FF1=180°, ∴2∠M1FF1+2∠N1FF1=180°,即∠M1FN1=90°. 答案 C 6.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛 物线方程为________. 解析 ∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍. ∴所求抛物线方程为 x2=± 16y. 答案 x2=± 16y → ?AF → =- 7.已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA 4,则点 A 的坐标是________. y02 解析 ∵抛物线的焦点为 F(1,0),设 A( 4 ,y0), 2 2 → =(y0 ,y ),AF → =(1-y0 ,-y ), 则OA 0 0 4 4 → ·AF → =-4,得 y =± 由OA 2, 0 ∴点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2). 答案 (1,2)或(1,-2) 8.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛 物线方程是________. 3 ? 3 1? ? 3 1? 解析 该等边三角形的高为 2 .因而 A 点坐标为?± , ?或?± ,- ?.可设抛物 2? ? 2 2? ? 2
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线方 3 3 程为 y2=2px(p≠0).A 在抛物线上,因而 p=±12 .因而所求抛物线方程为 y2=± 6 x. 3 答案 y2=± 6 x 9.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 B 两点,若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析 抛物线的方程为 y2=4x, 设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 ?y1 =4x1, 则有 x1≠x2,? 2 ?y2 =4x2.

两式相减得,y12-y22=4(x1-x2), y1-y2 4 ∴ = =1, x1-x2 y1+y2 ∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 答案 y=x 10.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4; (2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心, 准线过双曲线的左顶点, 且垂直于坐标轴. 解 p p (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知:顶点到准线的距离为2,故2=4,p=

8.因此,所求抛物线的标准方程为 y2=± 16x 或 x2=± 16y. x2 y2 (2)双曲线方程 16x2-9y2=144 化为标准形式为 9 -16=1,中心为原点,左顶点为(- 3,0),故抛物线顶点在原点,准线为 x=-3.由题意可设抛物线的标准方程为 y2= p 2px(p>0),可得2=3,故 p=6.因此,所求抛物线的标准方程为 y2=12x. 11.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x +y =4
2 2

相交于 A、B 两点,|AB|=2 3,求抛物线方程. 解:由已知,抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上,也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为:y2=ax(a≠0). 设抛物线与圆 x2+y2=4 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2). ∵抛物线 y2=ax(a≠0)与圆 x2+y2=4 都关于 x 轴对称, 所以点 A 与 B 关于 x 轴对称,
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∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 3, ∴|y1|=|y2|= 3,代入圆 x2+y2=4 得 x2+3=4, ∴x=± 1, ∴A(± 1, 3)或 A(± 1,- 3),代入抛物线方程,得: 2 ( 3) =± a,∴a=± 3. ∴所求抛物线方程是:y2=3x 或 y2=-3x.
12.(能力提升)已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15,求抛物线的方程. 解 设抛物线的方程为 y2=2px,
2 ?y =2px, 则? 消去 y,得 ?y=2x+1,

4x2-(2p-4)x+1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), p-2 1 x1+x2 = 2 ,x1x2=4. |AB|= 1+k2|x1-x2|= 5 (x1+x2)2-4x1x2 = 5 则 p-2 1 ( 2 )2-4?4= 15. p2 2 4 -p= 3,p -4p-12=0,

p=-2 或 6.∴y2=-4x 或 y2=12x.

2.4.2

抛物线的简单几何性质(2) ( ).

1.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p>0)则 A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

解析:直线过定点(1,0),而抛物线 y2=2px(p>0)开口向右,故直线与抛物 线至少有一个交点. 答案:C 2 x2 y2 2.直线 y= 2 x 与椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点, 则椭圆的离心率 e 等于 ( ).

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3 A. 2 答案:B

2 B. 2

3 C. 3

1 D.2

3.过点(0,-2)的直线与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 2, 则|AB|等于 A.2 17 答案:C y2 4.已知双曲线 x2- 3 =1 过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点,并使 P 为 AB 的 中点,则直线 AB 的斜率为 A.3 B.4 C.5
2

( B. 17 C.2 15

). D. 15

( D.6

).

2 y1-y2 y12 2 y2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 x1 - 3 =1 与 x2 - 3 =1 得: = x1-x2

3(x1+x2) =6. y1+y2 答案:D 5.直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为 A.48 B.56 C.64 ( ). D.72

?y=x-3, 解析 由? 2 得 x2-10x+9=0, ?y =4x ?x=1, ?x=9, 解得? 或? ?y=-2 ?y=6. ∴|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8, 1 1 ∴梯形 APQB 的面积为 S=2(|AP|+|BQ|)?|PQ|=2(10+2)?8=48. 答案 A 6.抛物线 y2=8x,直线 AB 的斜率为 2,且过抛物线的焦点,则|AB|=________. 解析:抛物线 y2=8x 的焦点(2,0),则直线 AB 为 y=2(x-2).
2 ?y =8x 由? 得 x2-6x+4=0.即|AB|=x1+x2+4=10. y = 2 ( x - 2 ) ?

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答案:10 x2 y2 7.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与方向向量为 k=(6,6)的直线交于 A,B 两点, 线段 AB 的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是__________. y2-y1 x12 y12 x22 y22 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 a2 - b2 =1 且 a2 - b2 =1 得: = x2-x1 b2(x2+x1) 4b2 4b2 b 1 = ,又 k = 1 , ∴ 2 2 =1 即: =± .即双曲线的渐近线方程为: 2 a a 2 a (y2+y1) a 1 y=± 2x. 1 答案:y=± 2x

8. 抛物线 y2=4x 的弦 AB⊥x 轴, 若|AB|=4 3, 则焦点 F 到直线 AB 的距离为________. 解析 由抛物线的方程可知 F(1,0),由|AB|=4 3且 AB⊥x 轴,得 yA2=(2 3)2=12, yA2 ∴xA= 4 =3, ∴点 F 到直线 x=3 的距离为 2. 答案 2 9.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点,过原点与线段 MN 中点所在直线 2 m 的斜率为 2 ,则 n 等于________. 解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 mx12+ny12=1,mx22+ny22=1, y1-y2 m x1+x2 两式相减得 = · . x1-x2 -n y1+y2 y1-y2 x1+x2 ∵ =-1, = 2, x1-x2 y1+y2 m 2 ∴n= 2 .
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答案

2 2

10.已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m,当直线和椭圆有公共点时: (1)求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程.
2 2 ?4x +y =1 解:联立得方程组? , ?y=x+m

消去 y,整理得 5x2+2mx+m2-1=0, Δ =4m2-20(m2-1)=20-16m2. (1)由 Δ≥0,得 20-16m2≥0, 5 5 解得- 2 ≤m≤ 2 . 2m ? x 1+x2=- ? 5 (2)由根与系数的关系得? , 2 m -1 ? ?x1x2= 5 所以弦长 L= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =
2 4m2 4(m -1) 2 2[ 25 - ]=5 10-8m2. 5

2 10 当 m=0 时,L 取得最大值 5 . 此时直线的方程为 y=x. x2 y2 11.已知直线 l 交椭圆20+16=1 于 M,N 两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点,求直线 l 的方程. 解 椭圆的右焦点为 F(2,0),设 M(x1,y1),N(x2,y2),

? ?x y y -y 16 x +x ? =-20· , + = 1 , ?20 16 ?x -x y +y 则? ?? x +x =6, x +x +0 = 2 , ? ? 3 ?y +y =-4, y +y +4 ? ? 3 =0
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

x12 y12 20 + 16 =1,

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y1-y2 6 ∴kMN= = . x1-x2 5 又 l 过 MN 的中点(3,-2), 6 ∴l 的方程为 y=5(x-3)-2. 即 6x-5y-28=0. 12.(能力提升)已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A,B 两点都在抛物 线上,且∠AOB=90°. (1)求证:直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值. 1 解 (1)设 OA 所在直线的方程为 y=kx,则直线 OB 的方程为 y=- kx. ?y=kx, 2 2 由? 2 得 A(k2, k), ?y =2x 1 ? ?y=- x, k 得 B(2k2,-2k). 由? ? ?y2=2x 2 2 ∴直线 AB 所在直线方程为(y+2k)(k2-2k2)=(k+2k)(x-2k2),化简得 1 x-( k-k)y-2=0, ∴直线过定点 P(2,0). (2)由于直线 AB 所在直线方程过定点(2,0),所以可设直线 AB 的方程为 x= my+2. ?x=my+2, 由? 2 得 y2-2my-4=0. y = 2 x , ? ∴|y1-y2|= (2m)2+16= 4m2+16. 1 1 1 ∴S△AOB=2|y1|?|OP|+2|y2|?|OP|=2|OP|?|y1-y2|=|y1-y2|= 4m2+16≥4. ∴△AOB 面积的最小值为 4

第二章检测
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一、选择题 1.抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 A.(0,1) B.(1,0) 1 C.(0,16) ( ).

1 D.(16,0)

1 1 解析 将抛物线方程变为 x2=2?8y,知 p=8,又焦点在 y 轴上,且开口向 1 上,所以它的焦点坐标为(0,16). 答案 C 2. 已知椭圆 为 A.2 B.3 C.5 x2 y2 + =1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 则点 P 到另一焦点的距离 25 16 ( D.7 ).

解析 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-3=7.选 D. 答案 D 3.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 A.x2+y2+2x=0 C.x2+y2-x=0 B.x2+y2+x=0 D.x2+y2-2x=0 ( ).

解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),所以所求圆的圆心为(1,0),又 圆过原点,所以圆的半径 r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即 x2+y2 -2x=0,故选 D. 答案 D x2 y2 4.以椭圆16+ 9 =1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程是 x2 y2 A.16-48=1 x2 y2 y2 x2 C. - =1 或 - =1 16 48 9 27 x2 y2 c=8,b=4 3,16-48=1; 当顶点为(0,± 3)时,a=3,c=6, y2 x2 b=3 3, 9 -27=1. 答案 C
80

(

).

x2 y2 B. 9 -27=1 D.以上都不对

解析 当顶点为(± 4,0)时,a=4,

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x2 y2 1 5.已知椭圆与双曲线 3 - 2 =1 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为 5 ( x2 y2 A.20+25=1 x2 y2 C.25+ 5 =1 x2 y2 B.25+20=1 x2 y2 D. 5 +25=1 ).

x2 y2 解析 双曲线 3 - 2 =1 中 a12=3,b12=2,则 c1= a12+b12= 5,故焦点坐 x2 y2 标为(- 5,0),( 5,0),故所求椭圆a2+b2=1(a>b>0)的 c= 5,又椭圆 c 1 x2 2 2 2 2 离心率 e=a= ,则 a=5,a =25,b =a -c =20,故椭圆的标准方程为25 5 2 y +20=1. 答案 B 6.抛物线 y2=2x 上的点 P 到直线 y=x+4 的距离最短,则点 P 的坐标是( A.(0,0) 1 B.(1,2) 1 C.(2,1) 1 1 D.(2,2) ).

解析 设直线 y=x+m 与 y2=2x 相切,联立整理得 x2+2(m-1)x+m2=0, 1 1 由 Δ=4(m-1)2-4m2=0,得 m=2,这时得切点(2,1),选 C. 答案 C 1 1 7.已知点 F(4,0),直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与 线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 C.圆 ( ). D.抛物线

解析 由|MF|=|MB|知点 M 的轨迹是抛物线,选 D. 答案 D x2 y2 8.已知椭圆41+25=1 的两个焦点为 F1,F2,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为 ( A.10 解析 B.20 C.2 41 D.4 41 ).

|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|B F2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|

+|BF2|)=4a=4 41. 答案 D
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x2 y2 9.双曲线a2-b2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( A.2 B. 3 C. 2 3 D.2

).

x2 y2 b 解析 双曲线a2-b2=1 的两条渐近线方程为 y=± ax,依题意 b b b2 a·(-a) =-1,故a2=1, c2-a2 所以 a2 =1 即 e2=2,所以双曲线的离心率 e= 2.故选 C. 答案 C 10.已知椭圆 x2sin α -y2cos α =1(0≤α <2π )的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是 ( 3 A.(4π ,π ) π C.( 2 ,π ) 解析 椭圆方程化为 π 3 B.( 4 ,4π ) π 3 D.( 2 ,4π ) ).

x2 y2 + 1 1 =1. - sin α cos α 1 1 ∵椭圆焦点在 y 轴上,∴- > >0. cos α sin α 又∵0≤α<2π, π 3π ∴ 2 <α< 4 . 答案 D 二、填空题 11.已知点(-2,3)与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=________. p 解析 ∵抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),由两点间距离公式,得 p (2+2)2+(-3)2=5.解得 p=4. 答案 4 3 12.若椭圆 x2+my2=1 的离心率为 2 ,则它的长半轴长为________. 解析 当 0<m<1 时, a2-b2 y2 x2 3 2 + = 1 , e = 2 =1-m= , 1 1 a 4 m
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1 1 m=4,a2=m=4,a=2; x2 y2 当 m>1 时, 1 + 1 =1,a=1.应填 1 或 2. m 答案 1 或 2 x2 y2 x2 y2 13.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)和椭圆16+ 9 =1 有相同的焦点,且双曲线的离心 率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 7 解析 由题意知,椭圆的焦点坐标是(± 7,0),离心率是 4 .故在双曲线中 c 2 7 c x2 y2 = 7,e= 4 =a,故 a=2,b2=c2-a2=3,因此所求双曲线的方程是 4 - 3 =1. x2 y2 答案 4 - 3 =1 14.设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一 个交点为 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________. 解析 由题意知 PF2⊥F1F2,且△F1PF2 为等腰直角三角形, 所以|PF2|=|F1F2|=2c, |PF1|= 2·2c, 从而 2a=|PF1|+|PF2|=2c( 2+1), 2c 所以 e=2a= 答案 2-1 1 = 2-1. 2+1

三、解答题 x2 y2 15.双曲线 C 与椭圆 8 + 4 =1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线.求双曲 线 C 的方程. x2 y2 解 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).
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x2 y2 由椭圆 8 + 4 =1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), ∴对于双曲线 C:c=2. 又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线, b ∴a= 3,解得 a2=1,b2=3, 2 2 y ∴双曲线 C 的方程为 x - 3 =1. 16.已知抛物线 y2=2x,直线 l 过点(0,2)与抛物线交于 M,N 两点,以线段 MN 的长 为直径的圆过坐标原点 O,求直线 l 的方程. 解 由题意知直线 l 的斜率存在, 设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+2(k≠0), ?y=kx+2, 解方程组? 2 ?y =2x, 消去 x 得 ky2-2y+4=0, 1 Δ =4-16k>0?k<4(k≠0), 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2 4 则 y1+y2=k ,y1?y2= k, 1 2 x = ? 1 ? 2y1 1 4 ? 1 2?x1?x2=4(y1?y2)2=k2 ? ?x2=2y2 OM⊥ON?kOM?kON=-1,∴x1?x2+y1?y2=0, 4 4 ∴k2+k=0,解得 k=-1. 所以所求直线方程为 y=-x+2, 即 x+y-2=0. x2 y2 2 17.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 2 ,过点 B(0,-2)及 左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

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x2 解 (1)易得椭圆方程为 2 +y2=1. (2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ? 由?x2 2 得 9x2+16x+6=0. +y =1 ? ?2 ∵Δ =162-4?9?6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 16 ? ?x1+x2=- 9 , 设为 C(x1,y1),D(x2,y2),则? 2 ?x1?x2=3, ? ∴|CD|= 1+(-2)2|x1-x2| = 5? (x1+x2)2-4x1x2 = 5? 16 2 10 (- 9 )2-4?3= 9 2,

4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= 5 , 1 4 故 S△CDF2=2|CD|?d=9 10. 18.已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=3 5, (1)求 m 的值; (2)设 P 是 x 轴上的一点,且△ABP 的面积为 9,求 P 的坐标.
2 ?y =4x, 解 (1)由? 得 4x2+4(m-1)x+m2=0 y = 2 x + m , ?

由根与系数的关系得 m2 x1+x2=1-m,x1?x2= 4 , |AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 = 1+2
2

m2 (1-m) -4· 4 = 5(1-2m).
2

由|AB|=3 5,
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即 5(1-2m)=3 5?m=-4. (2)设 P(a,0),P 到直线 AB 的距离为 d,

则 d=

|2a-0-4| 2|a-2| 2 2= 5 2 +(-1)

2?S△ABP 1 又 S△ABP=2|AB|?d,则 d= |AB| , 2|a-2| 2?9 = ?|a-2|=3?a=5 5 3 5 或 a=-1, 故点 P 的坐标为(5,0)和(-1,0).

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第二章 空间向量

3.1.1 空间向量及其加减运算
1.下列说法中正确的是 A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC 解析 |a|=|b|,说明 a 与 b 模长相等,但方向不确定;对于 a 的相反向量 b=-a 故|a| =|b|,从而 B 正确;空间向量只定义加法具有结合律,减法不具有结合律;一般的四边 形不具有AB+AD=AC,只有平行四边形才能成立.故 A、C、D 均不正确. 答案 B → → → 2、在空间四边形 OABC 中,OA+AB-CB等于( → A.OA → B.AB → C.OC ) → D.AC ( ).













→ → → → → → → → 解析:选 C.OA+AB-CB=OB-CB=BC-BO=OC. 3.给出下列命题: ①若空间向量 a,b 满足|a|=|b|,则 a=b; → → ②在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有AC=A1C1; ③若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m=p. 其中不正确的命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:选 A.根据向量相等的定义——不仅模相等,而且方向相同,故①错; → → → → 根据正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AC与A1C1的方向相同,模也相等,应有AC=A1C1,故②正确;
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命题③显然正确. → → → → → → 4、已知向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则( → → → A.AB=AC+BC ; → → C.AC与BC同向 ; → → → B.AB=-AC-BC → → D.AC与CB同向 )

解析:选 D.由条件可知,C 在线段 AB 上,故 D 正确. → → → → 5、已知空间向量AB,BC,CD,AD,则下列结论正确的是( → → → A.AB=BC+CD ; → → → → B.AB-DC+BC=AD )

→ → → → → → → C.AD=AB+BC+DC ; D.BC=BD-DC 解析:选 B.根据向量加减法运算可得 B 正确. → → → 6、如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC与A′C′是________向量;AB → B′A′是________向量. 答案:相等 相反 → → → → 7、在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=__________. → → → → → → 解析:A1B=CB-CA1=CB-(CA+CC1)=b-(a+c)=b-c-a. 答案:b-c-a → → → 8、式子(AB-CB)+CC1运算的结果是__________. → → → → → → → → → 解析:(AB-CB)+CC1=(AB+BC)+CC1=AC+CC1=AC1. → 答案:AC1 9、给出下列命题:①若|a|=0,则 a=0;②若 a=0,则-a=0;③|-a|=|a|,其中正确命题的序号 是__________. 解析:①若|a|=0,则 a=0,即①错误;②正确;③正确. 答案:②③ 10、如图所示,在长、宽、高分别为 AB=3,AD=2,AA1=1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶 点的两点为始点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 5的所有向量; → (3)试写出与AB相等的所有向量; → (4)试写出AA1的相反向量. 与

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→ → → → → → → 解:(1)由于长方体的高为 1,所以长方体 4 条高所对应的AA1,A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,DD1, → D1D这 8 个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为 1,故单位向量共 8 个. → → → → → (2)由于这个长方体的左、 右两侧的对角线长均为 5, 故模为 5的向量有AD1, D1A, A1D, DA1, BC1, → → → C1B,B1C,CB1共 8 个. → → → → (3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1,DC及D1C13 个. → → → → → (4)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.

11、如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → 1→ 1 → (1)化简:A1O- AB- AD; 2 2 → 2→ → → → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点,且DE= DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,试求 x,y,z 的值. 3 → → → 解:(1)∵AB+AD=AC, → 1→ 1 → → 1 → → ∴A1O- AB- AD=A1O- (AB+AD) 2 2 2 → 1→ → → → =A1O- AC=A1O-AO=A1A. 2 → → → 2 → 1→ (2)∵EO=ED+DO= D1D+ DB 3 2 2→ 1 → → = D1D+ (DA+AB) 3 2 2 → 1 → 1→ = A1A+ DA+ AB 3 2 2 1→ 1 → 2 → = AB- AD- AA1, 2 2 3 1 1 2 ∴x= ,y=- ,z=- . 2 2 3 → → → 12、 (能力提升)如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N, P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示下列各向量. → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.

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1 → → → → → → 1→ 解:(1)AP=AD+DD1+D1P=AD+AA1+ AB=c+a+ b. 2 2 1 → → → → → → 1→ (2)A1N=A1A+AB+BN=-AA1+AB+ AD=-a+b+ c. 2 2 1 → → 1→ 1→ → 3 1 3 → → (3)MP+NC1=( AA1+AD+ AB)+( AD+AA1)= a+ b+ c. 2 2 2 2 2 2

3.1.2 空间向量的数乘运算(1)
1、设 a,b 是不共线的两个向量,λ ,μ ∈R,且 λa+μ b=0,则( A.λ =μ =0 B.a=b=0 C.λ =0,b=0 D.μ =0,a=0 解析:选 A.∵a,b 不共线, ∴a,b 为非零向量,又∵λa+μ b=0, ∴λ =μ =0. )

2、若 a、b 是平面 α 内的两个向量,则( ) A.α 内任一向量 p=λa+μb(λ,μ ∈R) B.若存在 λ,μ ∈R 使 λa+μb=0,则 λ=μ =0 C.若 a、b 不共线,则空间任一向量 p=λa+μb(λ,μ ∈R) D.若 a、b 不共线,则 α 内任一向量 p=λa+μb(λ,μ ∈R) 解析:选 D.当 a 与 b 是共线向量时,A 不正确;当 a 与 b 是相反向量,λ =μ ≠0 时,λ a+μb=0, 故 B 不正确;若 a、b 不共线,则平面 α 内的向量都可用 a、b 表示,对空间向量不行,故 C 不正确, D 正确,故选 D. → → → → 3、如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( )

A.a+b-c C.-a+b+c

B.a-b+c D.-a+b-c
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→ → → → → → 解析:选 D.如图所示,连 A1C,则在△A1CB 中,有A1B=CB-CA1=CB-(CC1+CA)=b-(a+c)= -a+b-c.

→ → → 1→ → 4、在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2DB,CD= CA+λ CB, 3 等于( 2 A. 3 1 C.- 3 ) 1 B. 3 2 D.- 3

则 λ

1→ 2→ 2 → → → → 2→ → 2 → → 解析:选 A.∵CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,∴λ = . 3 3 3 3 3 5、 如图所示空间四边形 ABCD, 连接 AC、 BD, 设 M、 G 分别是 BC、 → → → 则MG-AB+AD等于( 3→ A. DB 2 → C.3 GM ) → B.3 MG → D.2 MG CD 的中点,

→ → → → → → → → → → → → → 解析:选 B.MG-AB+AD=MG-(AB-AD)=MG-DB=MG+BD=MG+2 MG=3 MG.

1 2 ? 1 ?2 6、化简 (a+2b-3c)+5 ? a ? b ? c ? -3(a-2b+c)=__________. 2 3 2 3 ? ?
5 9 7 答案: a+ b- c 6 2 6 7、非零向量 e1,e2 不共线,使 ke1+e2 与 e1+ke2 共线的 k=________. 解析:若 ke1+e2 与 e1+ke2 共线, 则 ke1+e2=λ (e1+ke2),
? ?k=λ , ∴? ∴k=±1. ?λ k=1, ?

答案:±1 → → → 8、ABCD?A1B1C1D1 为平行六面体,设AB=a,AD=b,AA1=c,E、F 分别是 AD1、BD 的中点,则 → EF=________. 9、已知正四棱锥 PABCD,O 是正方形 ABCD 的中心,Q 是 CD 的中点,

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8题

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→ → → → 若OQ=PQ+x PC+y PA,则 x= 解: 如图

,y=



→ → → → 1→ → → 1 → 1→ ∵OQ=PQ-PO=PQ- (PA+PC)=PQ- PC- PA, 2 2 2 1 ∴x=y=- . 2 9 题 a 与 b 是否共线. 10、已知 e1,e2 是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,判断 解:设 a=λb, 即 3e1+4e2=λ (-3e1+8e2)=-3λe1+8λ e2,
?-3λ =3 ? ? ? ∴? ?? 1 ?8λ =4 ? ?λ =

λ =-1 ,∴不存在λ ,使 a=λb,即 a 与 b 不共线. 2 ?

→ → → 11、设 e1,e2 是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且 A, B,D 三点共线,则实数 k 的值是多少? → → 解析:∵BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2, → → → ∴BD=BC+CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2, ∵A,B,D 三点共线, → → ∴AB=λ BD,∴e1+ke2=λ (6e1+6e2),
? ?1=6λ , ∵e1,e2 是不共线向量,∴? ∴k=1. ?k=6λ , ?

12、如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 在 A1D1 上, → → → 2→ 且A1E=2ED1,F 在对角线 A1C 上,且A1F= FC. 3 求证:E,F,B 三点共线. → → → → → → 2→ 证明 设AB=a,AD=b,AA1=c.∵A1E=2ED1,A1F= FC, 3 → 2 → → 2→ ∴A1E= A1D1,A1F= A1C 3 5 → 2→ 2 ∴A1E= AD= b, 3 3 2 → → → 2 2 2 4 2 → 2 → → → → → 2 A1F= (AC-AA1)= (AB+AD-AA1)= a+ b- c. ∴EF=A1F-A1E= a- b- c 5 5 5 5 5 5 15 5 2 2 2 2 → → → → = (a- b-c).又EB=EA1+A1A+AB=- b-c+a=a- b-c, 5 3 3 3 → 2→ ∴EF= EB.所以 E,F,B 三点共线. 5

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3.1.2 空间向量的数乘运算(2)
→ → 1→ 1→ 1、已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任一点 O,OM=xOA+ OB+ OC,则 x 的值为( 2 3 1 A. 6 1 C. 2 1 B. 3 D.0 )

1 1 1 解析:选 A.由四点共面的充要条件知,x+ + =1,因此 x= . 2 3 6 2、下列条件使 M 与 A、B、C 一定共面的是( → → → → A.OM=2 OA-OB+OC; → 1→ 2→ 1→ C.OM= OA+ OB+ OC; 5 3 2 ) → → → → B.OM+OA+OB+OC=0; → → → D.MA+MB+MC=0。

解析:选 D.根据共面向量定理知 A、B、C 均错,只有 D 能使其一定共面. 3、有下列命题:①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面;②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; → → → → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P,M,A、B 共面;④若 P,M,A,B 共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

解析:选 B.其中①③为正确命题. → 4、如图所示,已知 A,B,C 三点不共线,P 为一定点,O 为平面 ABC 外任一点,则下列能表示向量OP 的为( )

→ → → A.OA+2AB+2AC

→ → → B.OA-3AB-2AC

→ → → → → → C.OA+3AB-2AC D.OA+2AB-3AC

→ → → → → → → 解析:答案 C 根据 A,B,C,P 四点共面的条件即可求得AP=xAB+yAC.即OP=OA+xAB+yAC, 由图知 x=3,y=-2
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5、当|a|=|b|≠0,且 a、b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是( A.共面 B.不共面 C.共线

) D.无法确定

解析:答案 A 本题考查空间两向量的关系.由空间任何两个向量一定为共面向量可知选 A. → → 6、已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA=2xBO → → +3yCO+4zDO,则 2x+3y+4z=__________. → → → → 解析:∵A,B,C,D 四点共面,∴OA=mOB+nOC+pOD,且 m+n+p=1. → → → → 由条件知OA=-2xOB-3yOC-4zOD,∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-1 1 7、已知 i,j,k 是三个不共面向量,已知向量 a= i-j+k,b=5i-2j-k, 2 则 4a-3b=__________. 解析:4a-3b=4 ?

?1 ? i ? j ? k ? -3(5i-2j-k) ?2 ?

=-13i+2j+7k. 答案:-13i+2j+7k 8、如图所示,已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 PC、PD → → → → 上的点, 且 PM∶MC=2∶1, N 为 PD 中点, 则满足MN=xAB+yAD+zAP的实数 x=________, y=________,

z=________.
2 1 1 [答案] - - [解析] 3 6 6 在 PD 上取一点 F,使 PF∶FD=

→ → → 2∶1,连结 MF,则MN=MF+FN → → → 1→ 1→ 1→ 1 → → ∵FN=DN-DF= DP- DP= DP= (AP-AD) 2 3 6 6 → 2 ∴ x=- 3 1 6 1 6

MF= CD= BA=- AB∴MN=- AB- AD+ AP

2→ 2→ 3 3

2→ 3



2→ 3

1→ 1→ 6 6

y=-

z= 。

→ → → 9、 已知 P 和不共线三点 A,B,C,四点共面且对于空间任意一点 O, 都有 OP =2OA=2OA+ OB +λOC, 则 λ=________. → → → → 解析:答案-2 P 与不共线三点 A,B,C 共面,且OP=xOA+yOB+zOC (x,y, z∈R),则 x+y+z=1 是四点共面的充要条件.故,2+1+λ=1 ∴ λ=-2 10、已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点, 求证:(1)E,F,G,H 四点共面; (2)BD∥平面 EFGH. 证明: (1)连接 BG(图略),
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→ → → → 1 → → 则EG=EB+BG=EB+ (BC+BD) 2 → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH, 由共面向量定理的推论知,E,F,G,H 四点共面. → → → (2)因为EH=AH-AE 1 → 1→ 1 → → 1 → = AD- AB= (AD-AB)= BD,所以 EH∥BD. 2 2 2 2 又 EH?平面 EFGH, BD?平面 EFGH,所以 BD∥平面 EFGH. → 1 → → → 11、已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足OM= (OA+OB+OC). 3 → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面;(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → → → → → → → 解析:(1)由已知OA+OB+OC=3OM,∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC,∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点 M,∴四点 M,A,B,C 共面, 从而点 M 在平面 ABC 内. 12、已知三个向量 a,b,c 不共面,并且 p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量

p,q,r 是否共面?
[解析] 假设存在实数 λ ,μ ,使 p=λ q+μ r,则 a+b-c=(2λ -7μ )a+(-3λ +18μ )b +(-5λ +22μ )c, 2λ -7μ =1 ? ? ∵a,b,c 不共面,∴?-3λ +18μ =1 ? ?-5λ +22μ =-1 5 1 即存在实数 λ = ,μ = , 3 3 使 p=λ q+μ r,故 p、q、r 共面 5 ? ?λ =3 ,∴? 1 ? ?μ =3



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3.1.3 空间向量的数量积运算
一选择题: 1.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题: ①(a· b)c-(c· a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b· a)c-(c· a)b 不与 a 垂直; ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:选 D.根据数量积的定义及性质可知:①③错误,②④正确.故选 D. 2.在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角为 135°的是( ) → → A.AB与A′C′ → → B.AB与C′A′ → → C.AB与A′D′ → → D.AB与B′A′ → → → → 解析:选 B.〈AB,A′C′〉=〈AB,AC〉=45°; → → → → 〈AB,C′A′〉=180°-〈AB,AC〉=135°; → → → → 〈AB,A′D′〉=〈AB,AD〉=90°; → → 〈AB,B′A′〉=180°. 3、若向量 m 垂直于向量 a 和 b,向量 n=λa+μb(λ,μ ∈R,且 λμ≠0),则( ) A.m∥n B.m⊥n C.m,n 既不平行也不垂直 D.以上三种情况都可能 解析:选 B.因为 m· n=m· (λa+μ b)=λm· a+μ m· b=0,所以 m⊥n. 4、 已知向量 a、 b 是平面 α 内的两个不相等的非零向量, 非零向量 c 是直线 l 的一个方向向量, 则 c· a =0 且 c· b=0 是 l⊥α 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.当 a 与 b 不共线时,由 c· a=0,c· b=0,可推出 l⊥α;当 a 与 b 为共线向量时,由 c· a= 0,c· b=0,不能够推出 l⊥α;l⊥α 一定有 c· a=0 且 c· b=0,故选 B. 5、已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则 PC 等于
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(

) B.6 D.144

A.6 2 C.12 → → → → 解析:选 C.∵PC=PA+AB+BC, → → → → → → ∴PC2=PA2+AB2+BC2+2 AB?BC

=36+36+36+2?36cos60°=144. ∴PC=12. 6、已知 i、j、k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则 a· b 等于________. 2 2 2 解析:a· b=(2i-j+k)· (i+j-3k)=2i -j -3k =-2. 答案:-2 → → 7、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中,AD′?BC′=__________. → → → → → → 解析:由正方体知 BC′∥AD′,∴〈AD′,BC′〉=0,又|AD′|=|BC′|= 2,所以AD′?BC′ = 2? 2?1=2. 答案:2 8、 已知|a|=3 2, |b|=4, m=a+b, n=a+λb, 〈a, b〉 =135°, 且 m⊥n, 则实数 λ 等于__________. 2 2 解析:∵m· n = (a + b)· (a +λb) = |a| + λ a· b + a· b + λ |b| = 18 + λ ? 3 2? 4 ? cos135 °+ 3 2 ? 4 ? cos135°+λ ?16=6-12λ +16λ =6+4λ , 3 ∴m· n=0=6+4λ,∴λ =- . 2 3 答案:- 2 → → 9、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则A1B?B1C=__________. → → → → → → → → → 解析:连接向量A1D.A1B?B1C=A1B?A1D=|A1B|?|A1D|?cos〈A1B,A1D〉= 2a? 2a?cos 60° =a2.

答案:a2 10、如图所示,已知四面体 ABCD 的每条棱的长都等于 1,点 E,F 分别是棱 AB,AD 的中点,计算: → → (1)EF?BA; → → (2)EF?BD; → → (3)EF?DC.
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→ → 1→ → → → 解:(1)EF?BA= |BD||BA|?cos〈BD,BA〉 2 1 π 1 = cos = . 2 3 4 → → 1→ → 1 (2)EF?BD= BD?BD= . 2 2 → → 1→ → 1 → → → → (3)EF?DC= BD?DC= |BD||DC|?cos〈BD,DC〉 2 2 1 2π 1 = cos =- . 2 3 4 11、直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. → → → 解:(1)证明:设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a· b=b· c=c· a=0, 1 1 1 → → ∴CE=b+ c,A′D=-c+ b- a. 2 2 2 1 1 → → ∴CE?A′D=- c2+ b2=0. 2 2 → → ∴CE⊥A′D,即 CE⊥A′D. → → (2)AC′=-a+c,∴|AC′|= 2|a|, 5 → 又|CE|= |a|, 2 → → ?b+1c?=1c2=1|a|2, AC′?CE=(-a+c)· ? 2? 2 2 1 2 |a| 2 10 → → ∴cos〈AC′,CE〉= = . 10 5 2 2? |a| 2 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 . 10 等于 a,

12、 (创新题)如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都 点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长. → → → 解:(1)证明:连接 AN(图略).设AB=p,AC=q,AD=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°. 1→ → → → 1 → → MN=AN-AM= (AC+AD)- AB 2 2

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1 = (q+r-p), 2 → → 1 ∴MN?AB= (q+r-p)· p 2 1 = (q· p+r· p-p2) 2 1 = (a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0. 2 ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. → 1 (2)由(1)可知MN= (q+r-p). 2 1 → ∴|MN|2= (q+r-p)2 4 1 = [q2+r2+p2+2(q· r-p· q-r· p)] 4 a2 a2 a2?? 1? 2 2 2 ? = ?a +a +a +2? 2 - 2 - 2 ?? 4 1 a2 = ?2a2= . 4 2 2 2 → ∴|MN|= a,∴MN 的长为 a. 2 2

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构成基底的向量是( A.a B.b C.a+2b D.a+2c 解析:选 D.∵a+2c,a+b,a-b 为不共面向量,∴a+2c 与 p、q 能构成一个基底. )

→ → → 2.空间四边形 OABC 中,OA =a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,
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→ 则MN为(

) 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 → → → → 解析:选 B.MN=MA+AB+BN

1→ → → 1 → → 2→ 1→ 1→ 2 1 1 = OA+OB-OA+ (OC-OB)=- OA+ OB+ OC=- a+ b+ c. 3 2 3 2 2 3 2 2 3、下列说法中正确的是( ) A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等 解析:选 C.A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B 项中,空间基底有无数个;D 项 中因为基底不惟一,所以 D 错.故选 C. → → → 4、O、A、B、C 为空间四点,且向量OA,OB、OC不能构成空间的一个基底,则( → → → A.OA、OB、OC共线 → → C.OB、OC共线 → → B.OA、OB共线 D.O、A、B、C 四点共面 )

→ → → → → → 解析:选 D.由OA、OB、OC不能构成基底知OA、OB、OC三向量共面,所以 O、A、B、C 四点共面. 5、设命题 p:a、b、c 是三个非零向量;命题 q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,则 a、b、c 不共面,所以 a、b、c 必须均为非零 向量,即 q?p,但三个非零向量未必可以构成基底. 6、在如图所示的正方体中,各棱长为 1,写出下列各向量的坐标:

→ (1)OB=_______________________________________________________, → OB′=________________________________________________________; → (2)OA′=_________________________________________________,
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→ OC′=_________________________________________________________. 答案:(1)(1,1,0) (1,1,1) (2)(1,0,1) (0,1,1) 7、已知 a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若 e1,e2,e3 不共面,且 d=α a+β b +γc,则 α+β+γ=__________. 解析:由已知 d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3. α +γ =1, ? ? 所以?α +β =2,故有 α+β+γ=3. ? ?γ +β =3, 答案:3 8、设 a、b、c 是三个不共面向量,现从①a+b,②a-b,③a+c,④b+c,⑤a+b-c 中选出一个 使其与 a、b 构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量为__________.(填写代号) 解析:根据基底的定义,∵a,b,c 不共面, ∴a+c,b+c,a+b-c 都能与 a,b 构成基底. 答案:③④⑤ 9、如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D,E 分别为 AA1,B1C 的中 → → → → 点,若记AB=a,AC=b,AA1=c,则DE=__________(用 a,b,c 表示). 解析:连接 A1E、A1C(图略). 1→ 1 → → → → → → 1→ 1 → → DE=DA1+A1E= AA1+ (A1B1+A1C)= AA1+ (AB+AC-AA1) 2 2 2 2 1 1 1 1 = c+ (a+b-c)= a+ b. 2 2 2 2 1 1 答案: a+ b 2 2

三、解答题:10、已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,E,
→ 为 BB1 和 DC 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出DB1, → DF的坐标. 解:设 x、y、z 轴的单位向量分别为 e1、e2、e3,其方向与各轴上的正方向相同, → → → → 则DB1=DA+AB+BB1 =2e1+2e2+2e3, → ∴DB1=(2,2,2). → → → → ∵DE=DA+AB+BE=2e1+2e2+e3, → ∴DE=(2,2,1). → → ∵DF=e2,∴DF=(0,1,0).
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F 分别 → DE ,

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11、如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心,求下列各式中的 x、y、z 的
值: → → → → (1)BD′=x AD+y AB+z AA′; → → → → (2)AE=x AD+y AB+z AA′.

→ → → → → → → → → 解:(1)∵BD′=BD+DD′=BA+AD+DD′=-AB+AD+AA′, → → → → 又BD′=x AD+y AB+z AA′,∴x=1,y=-1,z=1. 1 → 1 → → → → → → → (2)∵AE=AA′+A′E=AA′+ A′C′=AA′+ A′ B′+A′D′ 2 2

(

)

1 → 1→ → → → → → = AD+ AB+AA′,又AE=x AD+y AB+z AA′. 2 2 1 1 ∴x= ,y= ,z=1. 2 2 12、已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}为空间的另一个基底,若向量 p 在基底{a, b,c}下的坐标为(1,2,3),试求向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标. 解:设向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则 p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+ (x-y)b+zc. 又∵p 在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3), 即 p=a+2b+3c, ∴(x+y)a+(x-y)b+zc=a+2b+3c, x= , ? ? 2 ? 1 ∴?x-y=2,解得? y=- . 2 ? ?z=3, ? ?z=3. 3

?x+y=1,

3 1 ,- ,3?. ∴p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是? 2 ? ?2

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、选择题:
1.已知 a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则 p· q=( A.-1 B.1 C.0 D.-2 解析:选 A.p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1), ∴p· q=1?0+0?3+(-1)?1=-1,故选 A. )

→ → 2.已知 A 点的坐标是(-1,-2,6),B 点的坐标是(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA 与OB的 夹角是( )
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A.0 C.π

π B. 2 3π D. 2

→ → OA?OB -1-4-36 → → 解析:选 C.法一:cos〈OA,OB〉= = =-1. → → 1+4+36 1+4+36 |OA||OB| → → ∴〈OA,OB〉=π . → → 法二:注意到 A、B 关于原点对称,故OA,OB为相反向量,所以夹角为π . 3、已知 a+b=(2, 2,2 3),a-b=(0, 2,0),则 cos〈a,b〉=( 1 A. 3 C. 6 3 1 B. 6 D. 6 6 )

解析:选 C.由已知得 a=(1, 2, 3),b=(1,0, 3), a· b 1+0+3 6 ∴cos〈a,b〉= = = . |a||b| 6? 4 3 4、已知 a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于( ) A.3 10 B.2 10 C. 10 D.5 解析:选 A.∵a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0), ∴|a-b+2c|=3 10. 5、已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( 1 A.x= ,y=1 3 1 C.x=2,y=- 4 1 B.x= ,y=-4 2 D.x=1,y=-1 )

解析:选 B.a+2b=(2x+1,4,4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2), ∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在 λ,使 a+2b=λ(2a-b), 2x+1=λ (2-x), 1 ? ? ? ?x=2, ∴?4=3λ , ∴? ? ?y=-4. ?4-y=(-2y-2)λ, ? → 6、已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2)、B(4,-3,7)、C(0,5,1),M 为 BC 的中点,则|AM|= ________. → 解析:M(2,1,4),∴AM=(-1,-2,2). → ∴|AM|= 1+4+4=3. 答案:3
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7、已知空间三个向量 a=(1,-2,z),b=(x,2,-4),c=(-1,y,3),若它们分别两两垂直,则 x=________,y=________,z=________. 解析:∵a⊥b, ∴x-4-4z=0. ∵a⊥c, ∴-1+(-2)y+3z=0. ∵b⊥c, ∴-x+2y-12=0, ∴x=-64,y=-26,z=-17. 答案:-64 -26 -17 8、已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则 x=__________. 解析:∵a+b=(-2,1,x+3), ∴(a+b)· c=-2-x+2(x+3)=x+4. 又∵(a+b)⊥c, ∴x+4=0,即 x=-4. 答案:-4 9、已知向量 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,0,λ ),若 a、b、c 三个向量共面,则实 数 λ=__________. 解析:由 a、b、c 共面可得 c=xa+yb, 7=2x-y, ? ? ∴?0=-x+4y,解得 λ=10. ? ?λ =3x-2y, 答案:10

10、已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2).求:
(1)|b|;(2)(2a+3b)· (a-2b). 解:(1)|b|= b2= 62+(-3)2+22=7; (2)∵|a|= a2= 42+(-2)2+(-4)2=6, a· b=4?6+(-2)?(-3)+(-4)?2=22, ∴(2a+3b)· (a-2b)=2a2+3a?b-4a· b-6b2 =2?62-22-6?72=-244.

11、已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x),且 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围。
解析:.∵a、b 的夹角为钝角,∴a· b<0. 即 3x+2(2-x)+0· x=4+x<0, ∴x<-4. → → → → → 12、已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当QA?QB 取得最小值时,求点 Q 的坐标。 → → 解析:设OQ=λ OP, → → → → → 则QA=OA-OQ=OA-λ OP=(1-λ,2-λ ,3-2λ ), → → → → → QB=OB-OQ=OB-λ OP=(2-λ,1-λ ,2-2λ ),所以
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→ → QA?QB=(1-λ,2-λ ,3-2λ )· (2-λ,1-λ ,2-2λ ) 4 2 1 λ - ? - ?. =2(3λ2-8λ +5)=2?3? 3? 3? ? ? 4 → → 所以,当 λ= 时,QA?QB最小, 3 4 4 8? → 4→ 此时OQ= OP=? ?3,3,3?. 3 ∴点 Q 的坐标是(

4 4 8 , , ) 3 3 3

3.1 空间向量及其运算(练习)
15 1、已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=(3,λ , )平行,则 λ=( ) 2 2 9 A. B. 3 2 9 2 C.- D.- 2 3 2 -3 5 9 解析:选 C.由 a∥b 得, = = ,解得 λ=- . 3 λ 15 2 2 2、有以下命题: ①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关系是不共线; → → → ②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B, C 一定共面; ③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c 也是空间的一个基底. 其中正确的命题是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
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解析:选 C.对于①, “如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关 系一定是共线”,所以①错误,②③正确. → → → → 3、已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则 x,y 的值分别为( ) 1 A.x=1,y=1 B.x=1,y= 2 1 1 1 C.x= ,y= D.x= ,y=1 2 2 2 解析:选 C.

1 1 → → → → 1 → → 1 → → 如图,AE=AA1+A1E=AA1+ A1C1=AA1+ (AB+AD),所以 x= ,y= . 2 2 2 2 → → → → → → 5、设 A,B,C,D 是空间不共面的四个点,且满足AB?AC=0,AD?AC=0,AD?AB=0,则△BCD 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 → → → → → → 解析:选 C.BC·BD=(AC-AB)· (AD-AB) → → → → → → →2 →2 → → → → =AC·AD-AC·AB-AB·AD+AB =AB >0.同理DB·DC>0,CB·CD>0.故△BCD 为锐角 三角形. → → 1 → 5.(2013· 青岛调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在AC1上且AM= MC1,N 为 B1B 的 2 → 中点,则|MN|为( ) 21 6 A. B. 6 6 15 15 C. D. 6 3 → → → 解析:选 A.如图,设AB=a,AD=b,AA1=c, 则 a· b=b· c=c· a=0.

1 1 → → → → 由条件知MN=MA+AB+BN=- (a+b+c)+a+ c 3 2 2 1 1 = a- b+ c, 3 3 6 → 2=4a2+1b2+ 1 c2=21, ∴MN 9 9 36 36 21 → ∴|MN|= . 6 在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为斜 边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为__________. → → 解析:由题意知AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6).
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→ → → → 又AB·AC=0,|AB|=|AC|,可得 x=2. 答案:2 7.给出下列命题: → → → → ①AB+BC+CD+DA=0;②|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;③若 a 与 b 共面,则 a 与 → 1→ 1→ b 所在的直线在同一平面内;④若OP= OA+ OB,则 P,A,B 三点共线.其中正确命题的序号是 2 3 __________. 解析:由向量的运算法则知①正确;只有当向量 a,b 共线反向且|a|>|b|时成立,故②不正确; 1 1 当 a 与 b 共面时,向量 a 与 b 所在的直线平行、相交或异面,故③不正确;由 + ≠1 知,三点不 2 3 共线,故④不正确.综上可得①正确. 答案:① → → 8.已知 O 是空间中任意一点, A, B, C, D 四点满足任意三点不共线, 但四点共面, 且OA=2xBO → → +3yCO+4zDO,则 2x+3y+4z=__________. 解析:∵A,B,C,D 四点共面, → → → → ∴OA=mOB+nOC+pOD,且 m+n+p=1. → → → → 由条件知OA=-2xOB-3yOC-4zOD, ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1. ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-1 9、已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足 a· b=18,(ka+b)⊥(ka-b), 则向量 b= ;k= . 解:∵a,b 共线,∴存在实数 λ,使 b=λa, ∴a· b=λa2=λ|a|2 =λ[ 22+(-1)2+22]2=18, 解得 λ=2,∴b=(4,-2,4). ∵(ka+b)⊥(ka-b), ∴(ka+b)· (ka-b)=0, ∴(ka+2a)· (ka-2a)=0, ∴(k2-4)|a|2=0. ∴k=± 2. 10、如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → 1→ 1 → (1)化简:A1O- AB- AD; 2 2 → 2→ → → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点, 且DE= DD1, 若EO=xAB+yAD+ 3 x,y,z 的值. → → → 解:(1)∵AB+AD=AC, → 1→ 1 → → 1 → → ∴A1O- AB- AD=A1O- (AB+AD) 2 2 2 → 1→ → → → =A1O- AC=A1O-AO=A1A. 2 → → → 2 → 1→ (2)∵EO=ED+DO= D1D+ DB 3 2 2→ 1 → → = D1D+ (DA+AB) 3 2

→ zAA1 ,试求

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2 → 1 → 1→ = A1A+ DA+ AB 3 2 2 1→ 1 → 2 → = AB- AD- AA1, 2 2 3 1 1 2 ∴x= ,y=- ,z=- . 2 2 3 1 11、E,F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 中线段 A1D,AC 上的点,且 DE=AF= AC.求证: 3 (1)EF∥BD1; (2)EF⊥A1D. 证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=1,连接 DF,则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

1 1 ) 3 3 2 1 → → 1→ 又DF=DA+ AC,可得 F( , ,0 ). 3 3 3 1 1 1 → → → → → ∵EF=( , ,? ),BD1=(-1,-1,1)=-3EF,∴BD1∥EF. 3 3 3
A1(1,0,1),D1(0,0,1),E( ,0, 又 F 不在 BD1 上,∴EF∥BD1. → (2)∵A1D=(-1,0,-1),

1 1 1 → → → → EF· A1D=( , ,? )· (-1, 0, -1)=0, ∴EF⊥A1D, 即 EF⊥A1D. 3 3 3
12、如图,在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1 中,E,F 分别是 AB,BC 上的动点,且 AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空 角坐标系 Oxyz. (1)写出点 E,F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; → 1 → → (3)若 A1,E,F,C1 四点共面,求证:A1F= A1C1+A1E. 2 解:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明:∵A1(a,0,a),C1(0,a,a), → → ∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a), → → ∴A1F·C1E=-ax+a(x-a)+a2=0, → → ∴A1F⊥C1E, ∴A1F⊥C1E. (3)证明:∵A1,E,F,C1 四点共面, → → → ∴A1E,A1C1,A1F共面. → → 选A1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2), → → → 使A1F=λ1A1C1+λ2A1E, 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a) =(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2), ?-x=-aλ1 ∴?a=aλ1+xλ2, 1 解得 λ1= ,λ2=1. 2
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棱 间直

?

? ?-a=-aλ2

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→ 1 → → 于是A1F= A1C1+A1E. 2

3.2 立体几何中的向量方法(1)
1.直线 l 的方向向量,平面 α 的法向量分别是 a=(3,2,1),u=(-1,2,-1),则 l 与 α 的位置关 系是( ) A.l⊥α B.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l?α 解析:选 D.∵a· u=-3+4-1=0, ∴a⊥u,∴l∥α 或 l?α . 2.若平面 α,β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( ) A.α ∥β B.α ⊥β C.α ,β 相交但不垂直 D.以上均不正确 解析:选 C.∵ 2 -3 5 ≠ ≠ , -3 1 -4

∴α 与 β 不平行. 又∵u· v=2?(-3)+(-3)?1+5?(-4)=-29≠0. ∴α ,β 相交但不垂直. 3、设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k=( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:选 C.∵α ∥β ,∴(1,2,-2)=λ(-2,-4,k), ∴k=4. 4、已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),它的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平面
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α 内的是(

) 3? B.? ?1,3,2? 3? D.? ?-1,3,-2?

A.(1,-1,1) 3? C.? ?1,-3,2?

→ → 解析:选 B.要判断点 P 是否在平面内,只需判断向量PA与平面的法向量 n 是否垂直,即PA?n 是否 为 0 即可,因此,要对各个选项进行逐个检验. → → → 对于选项 A,PA=(1,0,1),则PA?n=(1,0,1)· (3,1,2)=5≠0,故排除 A;对于选项 B,PA=

?1,-4,1?, 2? ?
1? → 则PA?n=? ?1,-4,2??(3,1,2)=0.故选 B. 5、已知平面 α 内的三点 A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面 β 的一个法向量为 n=(-1, -1,-1),且 β 与 α 不重合,则( ) A.α ∥β B.α ⊥β C.α 与 β 相交但不垂直 D.以上都不对 → → 解析:选 A.AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1), → n· AB=(-1,-1,-1)· (0,1,-1) =-1?0+(-1)?1+(-1)?(-1)=0, → n· AC=(-1,-1,-1)· (1,0,-1) =-1?1+0+(-1)?(-1)=0, → → ∴n⊥AB,n⊥AC. ∴n 也为 α 的一个法向量.又 α 与 β 不重合,∴α ∥β . 6、平面 α,β 的法向量分别为 m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若 α⊥β,则 k 等于________. 解析:由 α⊥β 知,m?n=0. ∴-2-8-2k=0,解得 k=-5. 答案:-5 7、已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面 ABC 的一个法向量为__________. 解析:设平面 ABC 的一个法向量 n=(x,y,z), → → 由题意可得:AB=(-1,1,0),BC=(1,0,-1). → ? AB=0, ?n· 由? → ? BC=0, ?n·
?-x+y=0, ? 得? ?x-z=0. ?

令 x=1,得 y=z=1.∴n=(1,1,1).
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答案:(1,1,1)(答案不惟一) → → 8、4.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量的坐标为__________. 解析:设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? AB=0, ? ?n· ?2x+2y+z=0, 则? 即? ?4x+5y+3z=0. → ? ? n· AC=0. ? 1 ? ?x=2, 令 z=1,得? ? ?y=-1.

1 1 2 2 n ,?1,1 ) ,则平面 ABC 的单位法向量为± =±( ,? , ) | n | 2 3 3 3 1 2 2 1 2 2 答案: ( ,? , )或( ? , ,? ) 3 3 3 3 3 3
∴平面 ABC 的一个法向量 n=( → → → 9、已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP → → → =(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP∥BD.其 中正确的是__________. → → 解析:AB?AP=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,①正确; → → AP?AD=-4+4=0,∴AP⊥AD,②正确; → AP是平面 ABCD 的法向量,∴③正确;④错误. 答案:①②③ 10、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求面 ABCD 的一个法向量; (2)求面 A1BC1 的一个法向量; (3)若 M 为 CD 的中点,求面 AMD1 的一个法向量. → → → 解:以 A 为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为 x 轴,y 轴,z 立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 a. (1)∵面 ABCD 即为坐标平面 xOy, ∴n1=(0,0,1)为其一个法向量. (2)连接 B1D,∵B1D⊥面 A1BC1, → 又∵B1D=(0,a,0)-(a,0,a)=(-a,a,-a), 1→ ∴n2= B1D=(-1,1,-1)为面 A1BC1 的一个法向量. a (3)设 n3=(x0,y0,z0)为面 AMD1 的一个法向量, 轴 建

a → → ∵AM=( , a,0 )AD1=(0,a,a), 2

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→ ?n3?AM ?a,a,0?=ax0+ay0=0 =(x0,y0,z0)· ? ?2 ? 2 ∴? . → ? (0,a,a)=ay0+az0=0 ?n3?AD1=(x0,y0,z0)· 令 x0=2,则 y0=-1,z0=1, ∴n3=(2,-1,1) 为面 AMD1 的一个法向量. 11、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O1 为 B1D1 的中点,求证:BO1∥平面 ACD1. → → → 证明:法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1分别为 x,y,z 轴正方向 图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),O1(1,1,2), → ∴AD1=(-2,0,2), → CD1=(0,-2,2), → BO1=(-1,-1,2), → 1→ 1→ ∴BO1= AD1+ CD1, 2 2 → → → ∴BO1与AD1,CD1共面, 又 BO1?平面 ACD1, ∴BO1∥平面 ACD1. 法二:在证法一建立的空间直角坐标系下,取 AC 的中点 O,连接 D1O,则 O(1,1,0), → ∴D1O=(1,1,-2). → → → 又BO1=(-1,-1,2),∴D1O=-BO1, → → ∴D1O∥BO1. 又∵D1O 与 BO1 不共线,∴D1O∥BO1. 又 BO1?平面 ACD1,∴BO1∥平面 ACD1. 12、如图,在四棱锥 PABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为 形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. 正 方 建立如

解:以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图), 设 AD=a,

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a a a a a, ,0?、P(0,0,a)、F? , , ?. 则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E? ? 2 ? ?2 2 2? a a? → → (1)证明:EF?DC=? ?-2,0,2??(0,a,0)=0, ∴EF⊥DC. (2)∵G∈平面 PAD,设 G(x,0,z), a a a? → ∴FG=? ?x-2,-2,z-2?, 由题意要使 GF⊥平面 PCB, a a a → → x- ,- ,z- ??(a,0,0) 只需FG?CB=? 2 2? ? 2 a? a =a? ?x-2?=0,∴x=2. a a a? → → FG?CP=? ?x-2,-2,z-2??(0,-a,a) a? a2 = +a? ?z-2?=0,∴z=0. 2 a ? ∴点 G 的坐标为? ?2,0,0?,即点 G 为 AD 的中点. 13 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的 长;若不存在,说明理由; 解:(1)证明: → → → 以 A 为原点, AB, AD, AA1的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), a a a → → → → ? B1(a, ? AB ? E? 0, 1), 故AD1=(0, 1, 1), B1E=? 0, 1), AE=? 1=(a, ?2,1,0?, ?-2,1,-1?, ?2,1,0?. a → → ∵AD1·B1E=- ?0+1?1+(-1)?1=0,∴B1E⊥AD1. 2 (2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), → 使得 DP∥平面 B1AE.此时DP=(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z). ∵n⊥平面 B1AE, → → ∴n⊥AB1,n⊥AE, ax+z=0, ? ? 得?ax ? 2 +y=0. ? a ? 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=? ?1,-2,-a?. a → 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP,有 -az0=0, 2 1 解得 z0= . 2 又 DP?平面 B1AE, 1 ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2
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3.2 立体几何中的向量方法(2)
一、选择题:
1.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角等于( A.120° B.60° C.30° D.以上均错 答案:C 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( A.0 3 70 C.- 70 3 70 B. 70 D. 70 70 )

)

解析:选 A.建立如图所示的坐标系, 则 D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0), → ∴BD1=(-2,-2,3), → AC=(-2,2,0). → → BD1?AC → → ∴cos〈BD1,AC〉= =0. → → |BD1||AC| → → ∴〈BD1,AC〉=90°,其余弦值为 0. 3、 设 ABCD, ABEF 都是边长为 1 的正方形, FA⊥面 ABCD, 则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于( ) A.45° B.30° C.90° D.60° 解析:选 D.以 B 为原点,BA 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,BE 所在直线为 z 轴建立空间直 角坐标系(图略),
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则 A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1), -1 → → → → ∴AC=(-1,1,0),BF=(1,0,1).∴cos〈AC,BF〉= . 2 → → ∴〈AC,BF〉=120°.∴AC 与 BF 所成的角为 60°. 4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 C1C 的中点,则直线 BE 与平 B1BD 所成的角的正弦值为( ) A.- C.- 10 5 15 5 B. D. 10 5 15 5 0,0), 面

解析:选 B.建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则 D(0, B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1). → → → ∴BD=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1). 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z). → → ∵n⊥BD,n⊥BB1,
?-2x-2y=0, ? ?x=-y, ? ∴? ∴? ? ? ?2z=0. ?z=0.

令 y=1,则 n=(-1,1,0). → n· BE 10 10 → → ∴cos 〈n, BE〉 = = , 设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 θ, 则 sin θ =|cos 〈n, BE〉 |= . 5 5 → |n||BE| 5、在直角坐标系中,已知 A(2,3),B(-2,-3),沿 x 轴把直角坐标系折成平面角为 θ 的二面角 A -Ox-B,使∠AOB=90°,则 cosθ 为( ) 1 A.- 9 4 C. 9 4,OA=OB= 13,折后,∠AOB=90°, ∴AB= OA2+OB2= 26. → → → → 由AB=AA′+A′B′+B′B,得 → → → → → → |AB|2=|AA′|2+|A′B′|2+|B′B|2+2|AA′|?|B′B|?cos(π -θ ). ∴26=9+42+9+2?3?3?cos(π -θ ), 4 ∴cosθ = . 9 1 B. 9 4 D.- 9

解析:选 C.过 A、B 分别作 x 轴垂线,垂足分别为 A′、B′(图略).则 AA′=3,BB′=3,A′B′=

二、填空题:
6、已知直线 l1 的一个方向向量为 a=(1,-2,1),直线 l2 的一个方向向量为 b=(2,-2,0),则两 直线所成角的余弦值为__________.
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a· b 解析:cos〈a,b〉= |a||b| (1,-2,1)· (2,-2,0) 2+4 3 = = . 2 2 2 2 2= 2 6? 8 1 +2 +1 ? 2 +(-2) 答案: 3 2

7、平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所成二面角 的大小为________. 解析:设 u=(1,0,-1),v=(0,-1,1), -1 1 则 cosθ =±|cos〈u,v〉|=±| |=± . 2 2? 2 π 2π ∴θ = 或 . 3 3 π 2π 答案: 或 3 3 8、直线 l 的方向向量 a=(-2,3,2),平面 α 的一个法向量 n=(4,0,1),则直线 l 与平面 α 所成 角的正弦值为__________. 解 析 : 设 直 线 l 与 平 面 α 所 成 的 角 是 θ , a , n 所 成 的 角 为 β , 则 sin θ = |cos β | = (4,0,1)? 6 ?(-2,3,2)· ? ?=17. 17? 17 ? ? 6 答案: 17 9、已知在棱长为 a 的正方体 ABCDA′B′C′D′中,E 是 BC 的中点.则直线 A′C 与 DE 所成角的余弦值 为________. a ? → 解析:如图所示建立空间直角坐标系,则 A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E? ?a,2,0?,A′C a ? → =(a,a,-a),DE=? ?a,-2,0?, → → A′C?DE 15 → → ∴cos〈A′C,DE〉= = . 15 → → |A′C|?|DE| 答案: 15 15 的中点, F

三、解答题
10、如图,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4,E 为 BC 为 CC1 的中点. (1)求 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值; (2)求二面角 FDEC 的余弦值. 解:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0),A(2,0,0), 0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2). → (1)EF=(-1,0,2). 易得平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),
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C(0 , 2 ,

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→ EF?n 2 → 设EF与 n 的夹角为 θ,则 cosθ = = 5, 5 → |EF||n| ∴EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 → → (2)EF=(-1,0,2),DF=(0,2,2). 设平面 DEF 的一个法向量为 m, → → 则 m· DF=0,m· EF=0, m?n 6 可得 m=(2,-1,1),∴cos〈m,n〉= = , |m||n| 6 ∴二面角 FDEC 的余弦值为 6 . 6 5 . 5

11、(2011· 高考课标全国卷)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°, AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 APBC 的余弦值. 解: (1)证明: 因为∠DAB=60°, AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3AD. 2 2 2 从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)如图, 以 D 为坐标原点, AD 的长为单位长, 射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 Dxyz. 则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1). → → → AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0,0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z), → ? AB=0, ?-x+ 3y=0, ?n· 则? 即? → ? ?n?PB=0. ? 3y-z=0. 因此可取 n=( 3,1, 3). → ? PB=0, ?m· 设平面 PBC 的法向量为 m,则? → ? BC=0. ?m· -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3).cos〈m,n〉= =- . 7 2 7 2 7 故二面角 APBC 的余弦值为- . 7 12、如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,PG 1 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 AG= GD,BG⊥GC,GB=GC 3 8 BC 的中点,四面体 P-BCG 的体积为 . 3 (1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值;
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⊥ 平 面 =2,E 是

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(2)求点 D 到平面 PBG 的距离. 解:(1)由已知 1 VP-BGC= S△BGC?PG 3 1 1 8 = ? BG?GC· PG= , 3 2 3 ∴PG=4. 如图所示,以 G 点为原点建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4). → 故 E(1,1,0),GE=(1,1,0), → PC=(0,2,-4), → → GE· PC → → ∴cos〈GE,PC〉= → → |GE|· |PC| = 2 10 = , 2? 20 10 10 . 10

∴异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值为 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,±1,0). → 3→ 3 ∵|GD|= |BC|= 2,∠CGD=45°, 4 2 3 3 ? → ∴GD=? ?-2,2,0?. ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 → |GD?n| 3 d= = . |n| 2

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3.2 立体几何中的向量方法(3) (法向量求线面角、面面角、空间距离)
一、选择题 1、在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 解析:选 B.以 A 为原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(图略), 设正方体棱长为 1, 1 1 则 A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E( , ,1), 2 2 1 1 → → → ∴CE=(- ,- ,1),AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0), 2 2 → → A1D=(0,1,-1),A1A=(0,0,-1), → → 1 1 显然CE·BD= - +0=0, 2 2 → → ∴CE⊥BD,即 CE⊥BD. 2 、 (2012· 高考陕西卷 ) 如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值 为 ( ) 5 5 A. B. 5 3 2 5 3 C. D. 5 5 解析:选 A.不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), → → ∴BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1), → → 4-1 BC1· AB1 1 5 → → ∴cos〈BC1,AB1〉= = = = >0, 5 → → 5? 9 5 |BC1||AB1| → → ∴BC1与AB1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 3、已知正方体 ABCDA1B1C1D1,则直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值是( ) 6 1 A. B. 4 6 6 3 C. D. 3 2
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解析:选 C.建立空间直角坐标系如图所示. 设正方体的棱长为 1,直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角为 θ, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), → → → ∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),BC1=(-1,0,1). 设 n=(x,y,z)是平面 A1BD 的一个法向量, → ? DA1=x+z=0 ?n· 则? ,令 z=1,则 x=-1,y=1.∴n=(-1,1,1), → ? DB=x+y=0 ?n· → ? 1+1 ?= 6. ∴sin θ=|cos〈n,BC1〉|=? ? ? 3· 2? 3 4、(2013· 晋城调研)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 2 上的点,A1M=AN= a,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) 3 A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析:选 B. 分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角 坐标系. 2 ∵A1M=AN= a, 3 2 a 2 2 ∴M(a, a, ),N( a, a,a). 3 3 3 3 a 2 → ∴MN=(- ,0, a). 3 3 → 又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴C1D1=(0,a,0). → → → → ∴MN·C1D1=0,∴MN⊥C1D1. → ∵C1D1是平面 BB1C1C 的一个法向量, 且 MN?平面 BB1C1C,∴MN∥平面 BB1C1C. 5、已知平面 α 的一个法向量 n=(-2,-2,1),点 A(-1,3,0)在 α 内,则 P(-2,1,4)到 α 的距 离为( ) A.10 B.3 8 C. 3 → 解析:选 D.PA=(1,2,-4), ∴P 到平面 α 的距离 → |PA?n| |1?(-2)+2?(-2)+(-4)?1| |-2-4-4| 10 d= = = = . |n| 3 3 4+4+1 6、已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为 __________. m·n π 2 解析:cos〈m,n〉= = ,∴〈m,n〉= , |m||n| 2 4 π 3π ∴两平面所成二面角的大小为 或 . 4 4 10 D. 3

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π 3π 答案: 或 4 4 7、 如图, 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 点 O 到平面 ABC1D1 的距离为__________. 解析:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1, 1),设平面 ABC1D1 的法向量 n=(x,y,z), → ? AB=y=0 ?n· 由? , → ?n· AD1=-x+z=0 ?
? ?y=0 得? , ?x=z ? 令 x=1,得 n=(1,0,1). 1 1 → 又OD1=(- ,- ,0), 2 2

的中心, 则 轴建立空 1 1 1), O( , , 2 2

1 → |n· OD1| 2 2 ∴O 到平面 ABC1D1 的距离 d= = = . |n| 4 2 2 答案: 4 8、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 解析:不妨设正方体的棱长为 1,如图建立空间直角坐标系, → 则 D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),平面 ACD1 的法向量为DB1 1), → 又BB1=(0,0,1), → → DB1?BB1 → → ∴cos〈DB1,BB1〉= → → |DB1||BB1| = 1 3 = . 3?1 3 1-?



=(1,1,

6 3?2 = . ?3? 3 9、正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 ABDC 的正弦值为________. 解析:取 BC 中点 O,连接 AO,DO, 建立如图所示的坐标系: ∴BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 设 BC=1, 则 A?0,0,

?

1 ? 3? ,B? ?0,-2,0?, 2?

D?

3 ?. ? 2 ,0,0?

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3 → 所以OA=?0,0, ?, 2? ? 1 3 → BA=?0, , ?, ? 2 2? 3 1 → BD=? , ,0?. ?2 2 ? 3 → 由于OA=?0,0, ?为平面 BCD 的法向量, 2? ? 设平面 ABD 的法向量 n=(x,y,z), 则 → ?2y+ 2 z=0, ? BA=0, ?n· ? 所以? 取 x=1,则 y=- 3,z=1, → 3 1 ? BD=0, ?n· x+ y=0, 1 3

?2

2

5 → 所以 n=(1,- 3,1),所以 cos〈n,OA〉= , 5 2 2 5 → sin〈n,OA〉= 5. 答案: 5 5 10、如图所示,点 P 在正方体 ABCDA′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 解:如图所示,以 D 为原点,DA 为单位长度建立空间直角坐标系 → → 则DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1). 连接 BD,B′D′. 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H. → 设DH=(m,m,1)(m>0), → → 由已知〈DH,DA〉=60°, → → → → → → DA·DH=|DA||DH|cos〈DH,DA〉 , 2 可得 2m= 2m +1. 2 2 2 → 解得 m= ,所以DH=? , ,1?. 2 2 ?2 ? → → (1)因为 cos〈DH,CC′〉 2 2 ?0+ ?0+1?1 2 2 2 = = , 2 1? 2 → → 所以〈DH,CC′〉=45°,即 DP 与 CC′所成的角为 45°. → (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是DC=(0,1,0). 2 2 ?0+ ?1+1?0 2 2 1 → → 因为 cos〈DH,DC〉= = , 2 1? 2 → → 所以〈DH,DC〉=60°. 可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°. 11 、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA⊥ 平面 ABCD,PA=AB,M,N 分别是线段 PB,AC 上的动点,且不与端点重
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=60°.

Dxyz.

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合,PM=AN. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)当 MN 的长最小时,求二面角 AMNB 的余弦值. 解:(1)证明:过 M 作 BA 的平行线交 PA 于点 E,过 N 作 BA 的平行线交 AD 于 F 点,连接 EF, 设 PM=AN=a. 2 因为 ME∥NF,ME=NF= a, 2 所以四边形 MEFN 为平行四边形, 所以 MN∥EF.又因为 EF?平面 PAD,MN?平面 PAD, 所以 MN∥平面 PAD. (2)由(1)知 MN=EF, 在 Rt△EAF 中,设 AF=x,则可求得 EA=1-x. 1 所以 MN2=EF2=AF2+EA2=x2+(1-x)2≥ , 2 1 当且仅当 x= 时取等号,此时 MN 的长最小,且 M,N 分别为 2 PB,AC 的中点. 如图,以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴建立空间直角 1 1 1 1 坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),M( ,0, ),N( , ,0),B(1,0,0), 2 2 2 2 1 1 → 1 1 1 1 → 1 → → 所以AM=( ,0, ),AN=( , ,0),BM=(- ,0, ),BN=(- , 2 2 2 2 2 2 2 1 ,0). 2 设平面 AMN 的法向量为 m=(x,y,z), 1 1 → x+ z=0 ? 2 2 AM=0 ?m· 则? ,即 , 1 1 → ? AN=0 ?m· x+ y=0 2 2 令 x=1,可取 m=(1,-1,-1). 设平面 BMN 的法向量为 n=(x1,y1,z1), 1 1 → - x1+ z1=0 ? 2 2 BM=0 ?n· 则? ,即 , 1 1 → ?n· BN=0 ? - x1+ y1=0 2 2 令 x1=1,则可取 n=(1,1,1). m·n 1 所以 cos〈m,n〉= =- , |m|· |n| 3 1 故二面角 AMNB 的余弦值为- . 3 12、 如图所示, 在四棱锥 PABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4, BC=3, AD=5, ∠DAB=∠ABC =90°,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 PABCD 的体 积.

? ? ?

? ? ?

解:法一:(1)证明:如图①,连接 AC.由 AB=4,BC=3,∠ ABC=90°得 AC=5.又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE, 因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD,而 PA,
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AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于点 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知, BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角, 且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. PA BF 由题意∠PBA=∠BPF,因为 sin∠PBA= ,sin∠BPF= ,所以 PA=BF. PB PB 由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC.又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形,故 GD =BC=3. 于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF, AB2 16 8 5 所以 BG= AB2+AG2=2 5,BF= = = . BG 2 5 5 8 5 于是 PA=BF= . 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ?(5+3)?4=16, 2 所以四棱锥 PABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V= ?S?PA= ?16? = . 3 3 5 15 法二:如图②,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2, 4,0),P(0,0,h). → → → (1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP =(0,0,h). → → → → 因为CD·AE=-8+8+0=0,CD·AP=0, 所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)由题设和(1)知, → → CD,PA分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向 量. 而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, → → → → 所以|cos〈CD,PB〉|=|cos〈PA,PB〉|, → → ? ? → → ? ? CD ·PB ? ? PA·PB ? 即? = . → →? ?→ →? ?|CD|·|PB |? ?|PA|·|PB|? ? → → 由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h). → 又PB=(4,0,-h), 2 8 5 ? -16+0+0 ? ? 0+0+h ? 故? . 2?=? 2?,解得 h= 5 2 5· 16 + h h · 16 + h ? ? ? ? 1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ?(5+3)?4=16, 2 所以四棱锥 PABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V= ?S?PA= ?16? = . 3 3 5 15

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第三章 空间向量(检测)
一、选择题 1.已知 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则 A.x=1,y=1 1 3 C.x= ,y=- 6 2 1 1 B.x= ,y=- 2 2 1 3 D.x=- ,y= 6 2 ( ).

2x 1 3 1 3 解析 ∵a=(2x,1,3)与 b=(1,-2y,9)共线,故有 = = ,∴x= ,y=- . 1 -2y 9 6 2 答案 C 2.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则 5a 与 3b 的数量积等于 A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 ( ).

解析 a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),∴5a· 3b=15a· b=-15. 答案 A 3.已知 a· b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)· (λa-b)=0,则 λ 等于 3 A. 2 3 B.- 2 3 C.± 2 D.1 ( ).

3 解析 由 a· b=0 及(3a+2b)· (λa-b)

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