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第三讲:力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心(奥赛辅导讲义 自用)


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第三讲:力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心

【知识要点】 (一)力臂:从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 (二)力矩:力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为 M=FL,单位“牛·米” 。一般规定逆时针方向转动为正 方向,顺时针方向转动为负方向。 (三)有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数

和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即Σ M=0,或 Σ M 逆=Σ M 顺。 (四)平行力的合成与分解 同向平行力的合成:两个平行力 FA 和 FB 相距 AB,则合力Σ F 的大小为 FA+FB,作用点 C 满足 FA×AC=FB ×BC 的关系。
A C B C A FB B

FB FA ΣF 图 1-1-3 ΣF

FA

图 1-1-4

反向平行力的合成:两个大小不同的反向平行力 FA 和 FB(FA>FB)相距 AB,则合力Σ F 的大小为 FA-FB 同向,作用点 C 满足 FA×AC=FB×BC 的关系。 (五)重心:物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法: 1、同向平行力的合成法:各分力对合力作用点合力矩为零,则合力作用点为重心。 2、割补法:把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体,再由同向(或反向) 平行力合成法求重心位置。 (见上一讲) 3、公式法:如图所示,在平面直角坐标系中,质量为 m1 和 m2 的 A、B 两质点坐标 分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则由两物体共同组成的整体的重心坐标为:
y2 yC y1 O y B A C x

m x ? m2 x2 xC ? 1 1 m1 ? m2

m y ? m2 y 2 yC ? 1 1 m1 ? m2

x1 xC x2

一般情况下,较复杂集合体,可看成由多个质点组成的质点系,其重心 C 位置由如下公式求得:

xC ?

?m i xi ?mi

yC ?

?mi yi ?mi

zC ?

?mi z i ?mi

本节内容常用方法有:①巧选转轴简化方程:选择未知量多,又不需求解结果的力线交点为轴,这些力的力 矩为零,式子简化得多;②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象:选整体分析,常常转化为力矩平衡问题求解;③ 无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想,结合平行力合成与分解的原则处理,或者助物体重心公 式计算。

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第三讲:力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心

【例题 1】如图所示,c 为杆秤秤杆系统的重心,a 为杆称的定盘星,证明:无论称杆的粗细如何变化,杆 秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。
a o c d

【例题 2】 (第十届全国预赛)半径为 R,质量为 m1 的均匀圆球与一质量为 m2 的重物分 别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡。如图所示,已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L, 若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦, 试求悬挂圆球的绳 AD 和竖直方向的夹 角θ 。
D

A

θ

O O?

C

E

【例题 3】(第十届全国决赛)用 20 块质量均匀分布的相同的光滑积木块,在光滑水平面一块叠一块地搭成 单孔桥,已知每一积木块的长度为 L,横截面为 h ? 出该桥的示意图,并计算跨度与桥孔高度的比值。

L 的正方形,求此桥具有的最大跨度(即桥孔底宽),试画 4

H S

2

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第三讲:力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心

练习题:1、如图所示,木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上,另一端搁在滑动摩擦因数为μ 的 水平木板上,木板放在光滑的水平面上,若向右匀速拉出木板时的水平拉力为 F1,向左匀速拉出时的水平拉力为 F2,两种情况下,木棒与木板间的夹角均保持为θ 不变,试比较 F1 和 F2 的大小?
B O A θ F1

2、(99 上海)如图所示,是一种手控制动器,a 是一个转动着的轮子,b 是摩擦制动片,C 是杠杆,O 是其 固定转动轴,手在 A 点施加一作用力 F 时,b 将压紧轮子使轮子制动,若使轮子制动需要的力矩是一定的,则下 列说法正确的是: A、轮 a 逆时针转动时,所需力 F 小 B、轮 a 顺时针转动时,所需力 F 小 C、无论轮 a 逆时针还是顺时针转动所需的力 F 相同 D、无法比较力 F 的大小
a b C A O F

3、(99 上海)如图所示,质量不计的杆 O1B 和 O2A 长度均为 L,O1 和 O2 为光滑固定转轴,A 处有一凸起物搁 在 O1B 中点,B 处用绳子系在 O2A 的中点,此时两短杆结合成一根长杆,今在 O1B 杆上 C 点(C 为 AB 中点)悬挂重为 G 的物体,则在 A 处受到的支承力大小为 处受绳拉力大小为 。 ;B
O1 A C B O2

4、(第 7 届全国决赛)一薄壁圆柱形烧杯,半径为 r,质量为 m,重心位于中心线上,离杯底的距离为 H, 今将水慢慢注入杯中,问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少?(设水的密度为ρ )

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第三讲:力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心

5、为保证市场的公平交易,我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供 可乘之机。请看下例。 秤砣质量为 1 千克,秤杆和秤盘总质量为 0.5 千克,定盘星到提纽的距离为 2 厘米,秤盘到提纽的距离为 10 厘米(图 9)。若有人换了一个质量为 0.8 千克的秤驼,售出 2.5 千克的物品,物品的实际质量是多少?

6、 (俄罗斯奥林匹克试题)如图所示,三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的 A、B 两点,AB 间的距离是杆长的 2 倍,铰链 C 上悬挂一质量为 m 的重物,问:为使杆 CD 保持水平,在铰链 D 上应施的最小 力 F 为多大?
A C m D B

7、如图所示,一铰链由 2n 个相同的链环组成,每两个链环间的接触是光滑的,铰链两端分别在一不光滑的 水平铁丝上滑动,它们的摩擦系数为μ ,证明:当锁链在铁丝上刚好相对静止时,末个链环与铅垂线交角的正切 值为 ?

? 2 n? ? ?。 ? 2n ? 1 ?
O?
O

8、(第六届预赛)有 6 个完全相同的刚性长条薄片 AiBi(i=1,2?),其两端下方各有一个小突起,薄片及 突起的质量均不计,现将此 6 个薄片架在一只水平的碗口上,使每个薄片一端的小突起 Bi 恰在碗口上,另一端小 突起 Ai 位于其下方薄片的正中,由正上方俯视如图所示,若将质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点,这一点与 此薄片中点的距离等于它与小突起 A6 的距离,则薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突起 A1 所施的)压力。
B4 B5 A1 B6 A2 B1
4

A6

A5 A4 A3

B3

B2


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