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倾斜角与斜率


第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

问题1: 我们学过:x-y+1=0,它表示什么? 问题2: 如何在平面直角坐标系内确定它的位置?
y
1 -1

o

问题3: 过(-1,0)点能不能确定一条直线?

x


3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角
y

l

α o

直线l与x轴 相交时,取x轴为 基准,x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 x 角α叫做直线L 的倾斜角。

规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角 为0°

直线的倾斜角 ? 的取值范围
y

l

y p
o

l

y

y p

o

?

p x

?x

o

?x

p o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

?

o ,180 o ) ? [0

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

结论:坡度越大,楼梯越陡.

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义:我们把一条直线的的倾斜角的正切值
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

2、直线的斜率

k ? tan ? ,0 ? ? ? 180
0

0

k ? ? ??, ???
倾斜角是90 °的直线没有斜率。 例如:直线 的倾斜角为 ? , 则斜率为:k ? tan45? ? 1 l 45
直线l的倾斜角为 ? , 则斜率为: ? tan120? ? ? 3 120 k

我们可以用斜率表示直线的倾斜程度

直线的倾斜角与直线的斜率都可以表示直线 的倾斜程度
y o

l

y p o

l

y p

y

?

p
x

?x

o

?x

p

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90°
k不存在

90°< 180°

? <

?

= 0°

k >0

k<0

k=0

想一想 我们知道,两点也可以唯一确定 一条直线。 如果知道直线上的两点,怎么 样来求直线的斜率(倾斜角)呢?

3、探究:由两点确定的直线的斜率
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,α为锐角

?
P ( x1, y1 ) 1

? ? ?P2 PQ, 1
且x1 ? x2 , y1 ? y2

Q( x2 , y1 )

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 PQ ? ? 1 PQ x2 ? x1 1

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 PQ中 1

?0

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图α为钝角, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( ? ? ? ) 180
?
Q( x2 , y1 )

P ( x1, y1 ) 1

o

?

x1

x2

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 PQ 1

?0

1、当直线平行于X轴,或与X轴重合 时,上述公式还适用吗?为什么?
P ( x1 , y1 ) y 1
P2 ( x2 , y2 )

o

l x

y2 ? y1 k? ?0 x2 ? x1

2、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, 上述公式还适用吗?为什么? y2 ? y1 y
y2
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1

k?

x2 ? x1

y1

o

x

答:斜率不存在, 因为分母为0。

DEF 例1:关于直线的倾斜角和斜率,其中____ 说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π; D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(-∞,+∞).. F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线

例题分析
例1 如下图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是纯角。
??, ??
y

A(3,2)
B(-4,1), 0

O
C(0,-1)

思考: 过C点的 直线L与线段AB 0 有交点,求L的斜 x 率k的变化范围

例题分析 例2、在平面直角坐标系中,画出经 过原点且斜率分别为1,-1,2和-3的 直线 l1 , l2 , l3及l4 。
练习1、已知三点A(-2,3),B(3,2),C(0.5,m)在同一直线上,求 实数m的值。

例题分析
3? 2

K

? tan ?

k
?
?

?
2

-

-

1 -1 0

?
2

?

3? 2

?

? ,且 450 ? ? ? 600 例3、(1)直线的倾斜角为
[1, 3] 则直线的斜率k的取值范围是______ 。
(2)直线的倾斜角为 ? ,且 450 ? ? ? 1350 则直线的斜率k的取值范围是_______ 。 [1, ??) ? (??, ?1]
(3)设直线的斜率为k,且 ?1 ? k ? 1 ,则直线
[00 , 450 ) ? [1350 ,1800 的倾斜角?的取值范围是_______。 )

小结:1.由()(2)得出:若?的范围不含900,则k范围取中间 1 若?的范围含900,则k范围取两边

2.由(3)得:负 ? k ? 正,应将k值分为正负两部分, 再求角范围

例题分析

例3 从 M ? 2 , 2 ?射出一条光线, 经过 x 轴反射 后过点 N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
解:设 (x,0) P 因为入射角等于反射角
y

? K MP ? ?K PN
2 3 ? 2?x 8? x

N(-8,3)
2 -2

M(2,2)
2

解得 x ? ?2

O P

x

? 反射点 P ( ? 2 ,0 )

三、小结:
0? ? ? ? 180? 1、直线的倾斜角定义及其范围:
2、直线的斜率定义: k ? tan a 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

(a ? 90 )
?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? a ? 90? ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?


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