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广东省广州实验中学2016届高三上学期第二次阶段性考试理科数学试卷


2015-2016 广东实验中学高三上学期第二次阶段考试题 理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1 }, B ? {x | log2 x ? 0}, 则 A ? B ? ( A. {x | x

? ?1} 2.设复数 e A.
i?



B. {x | x ? 0}

C. {x | x ? 1}
? i 3

D. {x | x ? ?1或x ? 1}

? cos? ? i sin ? ,则复数 e 的虚部为()
B. C. i ) D. 7 ) D. i

3.已知等边三角形 ABC,边长为 1,则 | 3AB ? 4BC | 等于( A. 37 B. 5 C. 13

4.执行如图的程序框图,当 k 的值为 2015 时,则输出的 S 值为(

A.

2013 2014

B.

2014 2015

C.

2015 2016

D.

2016 2017


5.设等比数列 {an } 的公比为 q ,则“ 0 ? q ? 1 ”是 {an } 是递减数列的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ① y ? f (| x |) A.①③ ②y=f(-x) B. ②③ ③y=xf(x) C.①④ ④y=f(x)-x D.②④



7.已知 f(x)=sin(ωx+

? )(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻两交点间的距离为 π,要得到 y 3
)

=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象(

? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移 8.设 a

? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移 ) D. ?240

1 6 2 2 ? ?1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax ? ) 展开式中的第 4 项为( x
B. ?1280 C. 240

A. ?1280x3

9. 已知某棱锥的三视图如图所示,俯视图为正方形,根据图中所给的数据,那么该棱锥外接 球的体积是() A. C. B. D.

10.若 sin( 3 ? ? ) ? 4 , 则 cos( 3 ? 2? ) 等于(

?

1

?



A. ? 8 B. ? 4 C. 4 D. 8 11.甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,若甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为(

7

1

1

7



1
A. 3
2

1
B. 4

3
C. 4

3
D. 5

12.过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点且斜率为 2 的直线交 C 于 A,B 两点, 以 AB 为直径的 圆与 C 的准线有公共点 M,若点 M 的纵坐标为 2,则 P 的值为( A.1 B.2 C .4 D.8 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 2 x ? y ? 1的离心率为
2 2



?x ? y ? 6 ? 0 ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 ,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 6,则常数 k ? ?x ? y ? k ? 0 ?



15.已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f ( x) ? xf ' ( x) ,则不等式

1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为 x
16.在 ?ABC 中,已知角 C ?

. , a2 ? b2 ? 4(a ? b) ? 8 ,则边 c= 。

?
3

第 II 卷 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 ,

a2 ? a6 ? 14
1)求数列 {an } 的通项公式; 2)若数列 {bn } 满足:

b b1 b2 ? 2 ??? n ? a n ? n 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 。 n 2 2 2

18. (本小题满分 12 分)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科 目的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某班 学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人.

(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分.从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 12 分)如左图,四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5,
AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图.

(1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.

x2 y2 20. (本题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,两个焦点为 F1 、 a b

F2 , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? R 2 ,若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 M ,且直线 l 与圆 O 相 切于点 N ;求 | MN | 的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? aex ? a ? R ? , x ? R .已知函数 y ? f ? x ? 有两个零 点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围; (2)证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

(3)证明 x1 ? x2 随着 a 的减小而增大.

四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答. (本大题 10 分) 22. 【选修 4-1:几何证明选讲】如图,AD 是△ ABC 的高,AE 是△ ABC 的外接圆的直径, 过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:△ ABE∽△ADC; (2)若 BD=4CD=4CF=8,求△ ABC 的外接圆的半径.

23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线 C 的参数方程为

? x ? 4 cos? (?为参数) . ? y ? 2 sin ? ?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 L 交曲线 C 于 A,B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点, 求直线 L 的斜率.

24. 【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 f ( x) ? k ? | x ? 3 | ,k∈R,且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为

[?1,1] .
(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1. ka 2kb 3kc 9 9 9

2015 高三 11 月第 2 次月考 理科数学参考答案
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1~12 C B C C D D B A C A B C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 14. k ? ?3 15. {x | 0 ? x ? 1} 16. c ? 2 第 II 卷 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 ,

a2 ? a6 ? 14
1)求数列 {an } 的通项公式; 2)若数列 {bn } 满足:

b b1 b2 ? 2 ??? n ? a n ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 。 2 2 2n

解:1)? a3 ? a5 ? a2 ? a4 ? 14, a3a5 ? 45 ,? a3 ? 5, a5 ? 9或a3 ? 9, a5 ? 5 ?????1 分

? d ? 0,? a3 ? 5, a5 ? 9 ?????2 分

?a3 ? a1 ? 2d ? 5 ?? , ? a1 ? 1, d ? 2 ,? an ? 2n ? 1 ?????4 分 ?a5 ? a1 ? 4d ? 9

b b b b b1 b2 ? 2 ??? n ? a n ? 1 ,得: 1 ? 2 ?? ? n ? 2n ? 1 ? n 2 n 2 n 2 2 2 2 2 2 bn ?1 b1 b2 ? ? ? ? n ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) 2 , 又 ( n ? 2) ,?????5 分 2 22 2 b ? 2n ? 1, ?bn ? 2n (2n ?1),(n ? 2) ?????6 分 两式相减得: n 2n b 又 1 ? a1 ? 1 ,则 b1 ? 4, ?????7 分 2
2)由

?2n (2n ? 1), n ? 2 ?????8 分 ? bn ? ? 4, n ? 1 ?
记 Tn ? b2 ? b3 ? ?bn ? 22 (5) ? 23 (7) ? ?? 2n (2n ? 1)

2Tn ? 23 (5) ? 24 (7) ? ?? 2n?1 (2n ?1) ?????9 分
相减得: ?Tn ? 4 ? 2n?1 (1 ? 2n) 则 Tn ? 2n?1 (2n ?1) ? 4 ,?????11 分

? sn ? 2n?1 (2n ?1) ?????12 分
18. (本小题满分 12 分)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科 目的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某班 学生两科目测试成绩的数据统计如图所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人.

(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分.从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 ξ 的分布列和数学期望. 解: (I)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 8 人,所以该班有 8÷0.2=40 人 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3.?????4 分 (II)设两人成绩之和为 ξ,则 ξ 的值可以为 16,17,18,19,20 ?????5 分









?????10 分 所以 ξ 的分布列为 X P 所以 所以 ξ 的数学期望为 .?????12 分 . 16 17 18 19 20

19. (本题满分 12 分)如左图,四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ? 1, BC ? 5,
AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图.

(3)求证: AE ? 平面 BDC; (4)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.

x2 y2 20. (本题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,两个焦点为 F1 、 a b

F2 , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? R 2 ,若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 M ,且直线 l 与圆 O 相 切于点 N ;求 | MN | 的最大值.

? a ? 2c ? 解: (Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?

x2 y2 ? ? 1 . ?????4 分 4 3 (Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t , |t | , t 2 ? (1 ? k 2 )r 2 ① ?????6 分 由直线 l 与圆 O 相切,得 r ? 2 1? k ? x2 y2 ?1 ? ? 由? 4 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? kx ? t ?
解得: a ? 2, b ? 3 ,故 C 的方程为 因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? (8kt) ? 4(3 ? 4k )(4t ? 12) ? 0 ,
2 2 2
2 2 得 t ? 3 ? 4k ②,

?????7 分

所以 x M ? ?

4kt 4k ?? . ?????8 分 2 t 3 ? 4k

由 ON ? MN ,可得
2 2 | MN |?| OM | 2 ? | ON | 2 ? x M ? yM ? r2 ?

1 2 4k 2 xM ? 3 ? r 2 ? ? 3 ? r 2 ------------③ 2 4 3 ? 4k

?????10 分 由①② ? k ?
2

r ?3 12 2 2 ④,将④代入③得 | MN | ? 7 ? r ? 2 ? 7 ? 4 3 , 2 r 4?r
2

?????11 分 当且仅当 r ? 2 3 ? (3,4)
2

所以 | MN |? 2 ? 3 ?????12 分 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? aex ? a ? R ? , x ? R .已知函数 y ? f ? x ? 有两个零 点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围; (2)证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

(3)证明 x1 ? x2 随着 a 的减小而增大. (Ⅰ)解:由 f ? x ? ? x ? aex ,可得 f ? ? x ? ? 1 ? aex .?????1 分 下面分两种情况讨论: (1) a ? 0 时
f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,可得 f ? x ? 在 R 上单调递增,不合题意. ?????2 分

(2) a ? 0 时, 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ? ln a . 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x? f ? x?

? ??, ? ln a ?
+ ↗

? ln a

? ? ln a, ?? ?
- ↘

0
? ln a ? 1

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, ? ln a ? ;单调递减区间是 ? ? ln a, ?? ? .?????3 分 于是, “函数 y ? f ? x ? 有两个零点”等价于如下条件同时成立: 1° f ? ? ln a ? ? 0 ;2°存在 s1 ? ? ??, ? ln a ? ,满足 f ? s1 ? ? 0 ;

3°存在 s2 ? ? ? ln a, ?? ? ,满足 f ? s2 ? ? 0 . 由 f ? ? ln a ? ? 0 ,即 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? e ?1 ,而此时,取 s1 ? 0 ,满足 s1 ? ? ??, ? ln a ? , 且 f ? s1 ? ? ?a ? 0 ; 取 s2 ?
2 2 ?2 ? ? 2 ? 2 2 满足 s2 ? ? ? ln a, ?? ? , 且 f ? s2 ? ? ? ? e a ? ? ? ln ? e a ? ? 0 . ? ln , a a ?a ? ? a ?

所以, a 的取值范围是 0, e?1 .

?

?

?????5 分

(Ⅱ)证明:由 f ? x ? ? x ? aex ? 0 ,有 a ? 设 g ? x? ?

x . ex

x 1? x ,由 g ? ? x ? ? x ,知 g ? x ? 在 ? ??,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 并且, x e e

当 x ? ? ??,0? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? 0, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 . 由已知, x1 , x2 满足 a ? g ? x1 ? , a ? g ? x2 ? . 由 a ? 0, e?1 ,及 g ? x ? 的单调性,可得 x1 ? ? 0,1? ,
x2 ? ?1, ?? ? .对于任意的 a1 , a2 ? 0, e?1 ,设 a1 ? a2 , g ??1 ? ? g ??2 ? ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 ;
g ??1 ? ? g ??2 ? ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 .

?

?

?

?

因为 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 g ??1 ? ? g ??1 ? ,可得 ?1 ? ?1 ;类似可得 ?2 ? ?2 . 又由 ?1 ,?1 ? 0 ,得 所以,

?2 ?2 ?2 ? ? . ?1 ?1 ?1

x2 随着 a 的减小而增大. ?????8 分 x1

(Ⅲ)证明:由 x1 ? ae x1 , x2 ? ae x2 ,可得 ln x1 ? ln a ? x1 , ln x2 ? ln a ? x2 . 故 x2 ? x1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln
x2 . x1



? x ? tx1 , x2 ln t t ln t ? t ,则 t ? 1 ,且 ? 2 解得 x1 ? , x2 ? .所以, x1 t ?1 t ?1 ? x2 ? x1 ? ln t ,

x1 ? x2 ?

? t ? 1? ln t
t ?1

.



令 h ? x? ?

? x ? 1? ln x
x ?1

, x ? ?1, ?? ? ,则 h? ? x ? ?

?2ln x ? x ?

? x ? 1?

2

1 x .

令 u ? x ? ? ?2ln x ? x ?

1 ? x ?1? ,得 u ? ? x ? ? ? ? . x ? x ?

2

当 x ? ?1, ?? ? 时, u? ? x ? ? 0 .因此, u ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故对于任意的 x ? ?1, ?? ? ,

u ? x ? ? u ?1? ? 0 ,由此可得 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.

因此,由①可得 x1 ? x2 随着 t 的增大而增大. 而由(Ⅱ) , t 随着 a 的减小而增大,所以 x1 ? x2 随着 a 的减小而增大. ?????12 分

四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答. (本大题 10 分) 22. 【选修 4-1:几何证明选讲】如图,AD 是△ ABC 的高,AE 是△ ABC 的外接圆的直径, 过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F. (1)求证:△ ABE∽△ADC; (2)若 BD=4CD=4CF=8,求△ ABC 的外接圆的半径.

解:

(1)证明:∵AE 是直径,∴

…(1 分)

又∵∠AEB=∠ACD…(2 分) ∴△ABE∽△ADC…(4 分) (2)解:∵过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 F, ∴AF2=FC?FB ∴FA=2 ∴AD=2 ∴AC=2 ∴AB=6 由(1)得 ∴AE=6 ∴△ABC 的外接圆的半径为 3 .…(10 分) ,…(5 分) …(7 分) …(8 分) ,…(9 分)

23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 为参数) . (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(θ

(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点, 求直线 l 的斜率.

解答: 解: (1)变形曲线 C 的参数方程可得



∵cos2θ+sin2θ=1, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 (2)设直线 l 的倾斜角为 θ, 可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数) + =1;?????5 分

代入曲线 C 的直角坐标方程并整理得(cos2θ+4sin2θ)t2+(4cosθ+8sinθ)t﹣8=0 由韦达定理可得 t1+t2= ,t1t2=

由题意可知 t1=﹣2t2,代入上式得 12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0, 即 12k2+16k+3=0,解方程可得直线的斜率为 k= ?????10 分

24. 【选修 4-5:不等式选讲】已知函数 f(x)=k﹣|x﹣3|,k∈R, 且 f(x+3)≥0 的解集为 [?1,1] . (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a、b、c 是正实数,且 ,求证: .

解答: (Ⅰ)解:f(x+3)≥0 的解集为[﹣1,1],即为|x|≤k 的解集为[﹣1,1], (k>0) ,即 有[﹣k,k]=[﹣1,1],解得 k=1;?????5 分 (Ⅱ)证明:将 k=1 代入可得, + 则 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + ≥3+2 +2 +2 + + =1(a,b,c>0) , + )+( + )+( + )

)=3+(

=3+2+2+2=9,

当且仅当 a=2b=3c,上式取得等号.

则有

.?????10 分


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