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一类无理不等式的深入探究


2 0 1 1年 第5 0卷 第1 2 期           数学通报

5 5

一类无理不等式的深入探究
安振平
( ) 陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心  7 1 2 0 0 0



给出    本 文 先 从 3 个 有 趣 的 代 数 不 等 式 出 发 , 进而联系到2道数学竞赛试题 它们 的 统 一 深 化 , 和一道征解数学问题 , 并给出了类似的深化 , 获得 了一些有趣的代数不等式 . 1  探究问题展示 在一些书刊上都有如下经典不等式 : 问题 1  设 a, 求证 : b, c 是正实数 ,
2 2 2 2 2 2 a + b +槡 b + c +槡 c + a ≥ 槡

2+ λ( 2 , = a+ b) 4 1 2 2 即  槡 a + a b+ b a+ b) . 2+ λ ≥ 槡 λ( 2 1 2 2 , 同理   槡 2+ b + b c+ c b+ c) λ ≥ 槡 λ( 2

c+ c a+ a≥     槡 λ





1 c+ a) . 2+ λ( 槡 2

将上面三式叠加 , 立即获证 . ( ) 1 显然 , 在不等式( 中, 取 λ=0, 立得 4) 1, -1, ) , ( ) , ( ) 不等式 ( 1 2 3 . 3  相关类似问题 问题 4  ( 第3 1 届I MO 预选题 )设 a, b, c是 求证 : 正实数 ,
2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a + a b+b b +b c+ c c + c a+a ≥ 3 ( a b+ b c+ c a) .

2 a+ b+ c) .   槡 ( 问题 2  设 a, 求证 : b, c 是正实数 ,

2 2 2 2 2 2 a - a b+ b +槡 b - b c+ c +槡 c - c a+ a 槡

a+ b+ c. ≥ 问题 3  设 a, 求证 : b, c 是正实数 ,

( ) 2

2 2 2 2 2 2 a + a b+ b +槡 b + b c+ c +槡 c + c a+ a 槡

3 a+ b+ c) . ≥槡   ( 2  探究问题深化 ( ] ) : 见文 [ 第1 1 1 页题 7

( ) 3

( ) 5

问题 5  ( 2 0 1 0年 全 国 高 中 联 赛 加 试 B 卷 第 设 x, 3 题) z 为非负实数 ,求证 : y, ( x -x z+ y+y ) y -y )≤ ( x+ + z ( ( ) z) z- z x+x ) 6 ≤ 2 ( y ).
2 2 2 2 2 2 3 2 2 2

考虑这 3 个不 等 式 的 统 一 情 景 , 可以深化为 深化 1  设 a, b, c 是 正 实 数, -2<λ<2, 求证 :
2 2 2 2 2 2 a + a b + b +槡 b + b c + c +槡 c + c a+ a λ λ λ 槡



x z+ z x y+ y 3



比较不等式 ( 和不等式( 的 左 不 等 式, 类 5) 6) 似于深化 1 的情景 , 经探究便得 . 4  类似问题深化 深化 2  设 a, b, c 是 正 实 数, -2<λ<2, 求证 :
2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( a + a b+ b b + b c+ c c + c a+a λ λ λ

) ( ) 2+ a+ b+ c . 4 ≥槡 λ( 2 2 2 2 2 证明   因 为 ( a+ b) =a + b +2 a b≤a + b + a+ b,
2 2

1 2 2 2 , 所以   a + b a+ b) ≥ ( 2

λ (2 2 2 2 ) 所以   a +λ a b+b = 1- a +b + 2







λ( 2 a+ b) 2
≥ 1-

( )

3 2+ λ ( 3 a b+ b c+ c a) . 3

( ) 7

证明   由深化 1 的证明过程 , 得



λ · 1( λ 2 2 a+ b) + ( a+ b) 2 2 2



2+ λ( 2 2 2 , a + a b+ b a+ b) λ ≥ 4

) ; ) 十一五 ” 规划 ( 咸阳师范学院科研项目 ( S GH 0 9 0 2 2 8 0 8 X S YK 1 1 0 . * 陕西省教育科学 “

5 6 2+ λ( 2 2 2 ) , 同理   b + b c+ c b+ c λ ≥ 4 2+ λ( 2 2 2 c + c a+ a c+ a) .     λ ≥ 4 将这三个不等式叠乘 , 便得

数学通报          2 0 1 1年 第5 0卷 第1 2期 以得出新颖的不等式 . 6  相近问题深化 深化 3  设 a, b, c 是 正 实 数, -2<λ<2, 求证 :
2 2 2 2 ( ) ( ) a + a b+ b b + b c+ c + λ λ 槡 2 2 2 2 ( ) ( ) b + b c+ c c + c a+ a + λ λ 槡 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) c + c a+ a a + a b+ b a +b + λ λ ≥( 槡 2 ) ( c +( 1- a b+ b c+ c a) . λ) 证明   实施配方变形 , 得

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a + a b+ b b + b c+ c c + c a+a λ λ λ



( )

3 2+ λ ( 2 2 2 ( ) ( ( a+ b) b+ c c+ a) . *) 4 ] ) : 容易证明如下代数恒等式 ( 见文 [ 2

( ( ( ( a+ b) b+ c) c+a) =( a+ b+ c) a b+ b c+

( ) 9

c a) - a b c.
2 ( ) 因为 a+ b+ c= 槡 a+ b+ c 2 2 2 ( ) ( =槡 a + b + c +2 a b+ b c+ c a)

2- 2+ λ( λ( 2 2 2 2 , a + a b+ b = a+ b) + a- b) λ 4 4 于是 , 可构造复数 2- 2+ λ( λ( 槡 , z a+ b) +槡 a- b) i 1= 2 2 2- 2+ λ( λ( 槡 ) ) , z b+ c +槡 b- c i 2= 2 2 2- 2+ λ( λ( 槡 槡 z c+ a) + c- a) i . 3= 2 2 2 2 2 ) 易算得 z z z z z z a +b + c + 1 2+ 2 3+ 3 1=( ( ( 1- a b+ b c+ c a) . λ) 从 而 ,不 等 式 ⑨ 的 左 边 = z 1

( , 3 a b+ b c+ c a) ≥槡 ( 所以   a+ b+ c≥ 槡 3 a b+ b c+ c a) . ( ( ) ( 由三元均值不等式 , 得a b c= 槡 a b) b c c a) ≤

( 槡

a b+ b c+ c a3 . 3 2 2 2 ( ) ( 所以   ( a+ b) b+ c c+ a)



2 ( ) ( ] =[ a+ b+ c a b+ b c+ c a) - a b c

( 3 a b+ b c+ c a)( a b +b c +c a )- ≥ [槡

z + 2

( 槡

a b+ b c+ c a 3] 2 3



z z z 2 3 + z 3 1
= z z z z 1 2 + z 2 3 + z 3 1

6 4 3 , = ( a b+ b c+ c a) 2 7 2 2 2 ( ) ( 即  ( a+ b) b+ c c+ a) ≥ 6 4( 3 ( a b+ b c+ c a) . ** ) 2 7 , 于是 , 综合不等式 ( 和( 便知 *) ** )
2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a + a b+ b b + b c+ c c + c a+a λ λ λ

z z z z z ≥ z 1 2+ 2 3+ 3 1 2 2 2 ( = ( a+ b+ c) +( 1- a b+ b c+ c a) λ)
( , a+ b+ c) +( 1- a b+ b c+ c a) ≥( λ) 故不等式 ⑨ 获证 .
2 2 2

特别 在 不 等 式 ( 中, 取 λ=1, 立得不等式 9) ( ) ; 取λ=-1, 以及λ=0, 并注意到 8 2 2 2 便有 : a+ b+ c≥ a b+ b c+ c a, 推论 1  设 a, 求证 : b, c 是实数 ,
2 2 2 2 ( ) ( ) a - a b+ b b - b c+ c + 槡 2 2 2 2 ( ) ( ) b - b c+ c c - c a+ a + 槡 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ) c - c a+ a a - a b+ b a+ b+ c . ≥( 槡



a b+ b c+ c a). ( )(


2+ λ 3



特别 地 , 在不等式( 中, 取 λ=1, 便得 7) -1, 不等式 ⑤ 和不等式 ⑥ 的左不等式 . 5  联想相近问题 ] 文献 [ 里, 有如下代数不等式新题 : 3 问题 6  设 a, 求证 : b, c 是实数 , ( ( a+ a b+ b) b+ b c+ c) + 槡
2 2 2 2

( ) 1 0 推论 2  设 a, 求证 : b, c 是实数 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a + b b + c +槡 b + c c + a + 槡 2 2 2 2 ( ) ( ) ( c + a a + b a b+ b c+ c a) . ≥2 槡

( ( b+ b c+ c) c+ c a+ a) + 槡
2 2 2 2

( ( c+ c a+ a) a+ a b+ b) a+ b+ c. ≥ 槡
2 2 2 2 2 2 2

( ) 1 1 , , 最后 很值得指出的是 对本文初的 2 个不等

( ) 8 思考上文的深化 1 和 深 化 2 的 结 果 , 同样可

式, 还有如下精彩的 “ 无字证明 ” 下转第 6 .( 0 页)

6 0

数学通报          2 0 1 1年 第5 0卷 第1 2期 ( ) 天津水运高级技工学院   黄兆麟  3 0 0 4 5 6 证明   设 x, 且 k>0, 则 z∈R+ , y,
k k k 3 ) 1+x + z  ( y+

2 0 1 1年1 2 月号问题 ( — — 编者 ) 来稿请注明出处 — 点P 2 0 3 6 △A B C 内 接 于 半 径 为 R 的 ⊙O, 是 △A B C 内 一 点, A B = ∠P B C = ∠P C A= ∠P 求证 : O P= 槡 2 c o s 2 R. α. α-1 ( ) 江西都昌县第一中学   刘南山  3 3 2 6 0 0 2 0 3 7  ⊙O D, N ⊙O 1, 2 相 交 于 二 不 同 点 C, 是 ⊙O 直 线 NC, D 的 点. ND 分 别 交 1 上异于 C,

( 当 且 仅 当 x=y=z 时 取 1+3 x z) ] ( ≥[ y 等号 )

3) 1+3 t ? ? ? ? ?(

k 3

令x z= t y





k 3 3 ( ) =1+9 t +3 t +3 t k 3 3 (3 ) )( 当且仅当t t t 3( t =1 时 ≥1+9·7 槡 取等号 ) k 2 1 =1+6 3 t
2 1 ( 1+6 3 x z) ? ? ? ? y 1 6



2 k





2 k

F. A, B 分 别 是 直 线 NC, ND 上 的 任 ⊙O 2 于 E, : 意点 . 证明 ∠A F C= ∠B E D 的充要条件是过 N , A, B 的圆与 ⊙O1 切于 N 点 .
( ) 四川宣汉教师进修学校   符必轲  6 3 6 1 5 0 弦A 2 0 3 8  如图 , F =1 0 c m. B, ⊙O 的直径 E 且A 求图中 C D 分别 为 6 c m, 8 c m, B∥E F∥C D. 阴影部分面积之和 . ( ) 安徽肥西中学   刘运宜  2 3 1 2 0 0

t =x z y

1 6



1 ?3 ≥ k k k 1 6 k 1+ x + z y+ 2 1 ( 1+6 3 x z) y 槡 当且仅当 x= z=1 时取等号 y= 6 1, ( ) 令1 即 k=2 化为 k=1, 1 2 1 1 6 1 1 ≥ 2 1 2 1 2 1 1 6 1 6 1 6 1+6 3 x z 1+x + + z y y 槡




( ) 1

( ) 2

c d 即得 ) 在( 中令 x= b , 2 z= , y= , a a a
1 6 a a ≥ 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 6 1 6 1 6 1 6 + b + c +d a +6 3 b c d a 槡 2 1

( ) 3

同理  

b b ( ) 4 ≥ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 6 1 6 1 6 1 6 b + c +d b +6 3 a c d a + 槡
3 3
2 1

2 1 1 6

2 0 3 9  对 于 n 元 集 合 M 的 任 何 两 个 不 同 的 子集 A , 求出 A∩B 中 元 素 数 目 . 求 证: 所有求 B.
n-2 n-2 ) 得的元素数目的总和为 n( 2·4 -2 .

1 6 c c ≥ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 6 1 6 1 6 1 6 + b + c +d c +6 3 a b d a 槡

3 3

( ) 5

( ) 甘肃武威市第十八中学   严复卓  7 3 3 0 0 0 ( …, 证明 : 2 0 4 0  设 a 0 i =1, 2, n) . i>
6 a i ≥ 2 2 3 4 ∑ a a a i 1 +a i i 1 +a i i 1 +a i 1 + + + + i=1 a +a · 4 i 3 i

d d ( ) 6 ≥ 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 6 1 6 1 6 1 6 a + b + c +d d +6 3 a b c 槡 ( ) ) ( 得 证. 当 且 仅 当 a= 3 +( 4 +( 5) +( 6) b
= c=d 时取等号 )

2 1 1 6



1 2 a i. ∑ 5i =1 ( ) 江苏丹阳市教研室   戎健君  2 1 2 3 0 0
参考文献 陕 1  安振平 .高二数学课后疑难题解析与范例精 选 [ M] .西 安 : 西师范大学出版社 , 1 9 9 7, 1 2: 1 1-1 2 ] 2  安振平 .一个 代 数 恒 等 式 与 一 类 不 等 式 的 证 明 [ J .数 学 通 讯, 2 0 1 0, 4: 4 8



( 上接第 5 6 页)

图1

] 9 5题[ J .数 学 教 学 , 2 0 1 0, 4: 3  宿晓阳 .   数学问题与 解 答 第 7 5 8-6 0 崔岐恩 .由 三 角 形 不 等 式 生 成 代 数 不 等 式 的 一 种 方 4  安振平 , ] 法[ J .数学通报 , 2 0 1 0, 8: 4 8-5 0

图2


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