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山东省滕州市第二中学2015届高三数学上学期期末考试试题 理


山东省滕州市第二中学 2015 届高三上学期期末考试 数学理试题
(试卷满分 150 分 ) 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设复数 z ? 1 ? bi (b ? R ) 且 | z |? 2 ,则复数 z 的虚部为 A. 3 B . ? 3 C .

? 1 D. ? 3i

2. .已知正方体
?

ABCD ? A1B1C1D1 ,过顶点 A1 作平面 ? ,使得直线 AC 和 BC1 与平面 ? 所
) C.2 个 D.1 个

成的角都为 30 ,这样的平面 ? 可以有( A.4 个 B.3 个

? sin(? ? x) ? a1 a2 ? f ( x) ? ? ? ? ? a1a4 ? a2 a3 a a4 ? ? cos(? ? x) 3.定义 2×2 矩阵 ? 3 ,若

3? ? 1 ?

,则 f ( x ) 的图象向

? 右平移 3 个单位得到的函数解析式为
y ? 2sin( x ?
A. C. y ? 2cos x

2? ) 3

y ? 2 sin( x ?
B. D. y ? 2sin x

?
3

)

4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

40 A. 3
8

80 B. 3

C.40

D.80

? a? ?x ? ? x? 5.已知 ? 展开式中常数项为 5670,其中 a 是常数,则展开式中各项系数的和是
-1-

A.28

B.48

C.28 或 48

D.1 或 28

6.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为

10 A. 3

B.4

16 C. 3

D.6

7.某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如图 所示,已知 130~140 分数段的人数为 90,90~100 分数段的人数为 a,则下图所示程序框图 的运算结果为(注:n!=1×2×3×…×n,如 5!=1×2×3×4×5)

A.800! B.810! 8.下列命题正确的个数是

C.811!

D.812!

i 1 ? i) ①已知复数 z ? ( , z 在复平面内对应的点位于第四象限;
②若 x, y 是实数,则“ ③命题 P:“ A.3 9.已知集合

x 2 ? y 2 ”的充要条件是“ x ? y 或x ? ?y ”;

?x0 ? R,x02 -x0 -1>0 ”的否定 ? P:“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;
B.2 C.1 ,若对于任意 D.0

M ? ?( x, y ) | y ? f ( x)?

( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“理想集合”,则下列集合是“理想集合”的是
1 M ? {( x , y ) | y ? } x A.
2 C. M ? {( x , y ) | y ? x ? 2 x ? 2}

B. M ? {( x , y ) | y ? cos x} D. M ? {( x , y ) | y ? log 2 ( x ? 1)}

10.如图所示,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一 周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,原点 O 到弦 AP 的长为 d,则函数 d=f( l )的图像大致 是

-2-

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

11.若点

A ?1,1?

1 1 ? 2 mx ? ny ? 2 ? 0 m n ? 0 , m n 的最小值为 在直线 上,其中 则



→→ 12. 如图, 设 E, F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点, 已知 AB=3, AC=6, 则AE· AF = .

13.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为 .

(x , y ) 14.设函数 y ? f (x ) 在其图像上任意一点 0 0 处的切线方程为
x ?1 ?0 y ? y0 ? 3x ? 6x0 ?x ? x0 ? ,且 f (3) ? 0 ,则不等式 f (x ) 的解集为

?

2 0

?



15.选作题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按第一题评阅计分。本题共 5 分。 A:(坐标系与参数方程)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ,则圆心 C 的一个 极坐标为 .

B:(不等式选讲)不等式

x ?1 ? x

的解集是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
2 2 已知函数 f (x ) ? cos x ? 2 3 sin x cos x ? sin x

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,A、B、C 分别为三边 a、b、c 所对的角,若 a ? 3, f (A) ? 1 ,求 b ? c 的

-3-

最大值. 17. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜) .若每一局比赛甲获胜的

2 1 概率为 3 ,乙获胜的概率为 3 ,现已赛完两局,乙暂时以 2∶0 领先.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量 X,求随机变量 X 的概率分布和数学期望 EX. 18. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)

?a ? 满足: a 已知数列
n

1

? 1, a2 ? 2

,且

an ?2 ? (2 ? cos n ? ) an ? 1 ? 3, n ? N ?

?

?



(1)求通项公式

an



(2)求数列的前 n 项的和 20. (本小题满分 13 分)

Sn

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F ,F b 已知椭圆 C: a 的离心率为 2 ,左、右焦点分别为 1 2 ,点 G 在椭圆

?GF1F2 1 ? GF2 ? 0 , C 上,且 GF 的面积为 3.
(1)求椭圆 C 的方程: (2)设椭圆的左、右顶点为 A,B,过

F2

的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M,N(不同于点 A,

B) ,探索直线 AM,BN 的交点能否在一条垂直于 x 轴的定直线上,若能,求出这条定直线的 方程;若不能,请说明理由。 21. (本小题满分 14 分)

f ( x) ? ln x ?
已知函数

k x ,k ?R.

(1)若 k ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间;

-4-

f ( x) ? 2 ?
(2)若

1? e x 恒成立,求实数 k 的取值范围;

x ? 0 ,使得 (3)设 g ( x) ? xf ( x) ? k ,若对任意的两个实数 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ,总存在 0
g ? ( x0 ) ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ? x1 . x1 ? x2 成立,证明: 0

-5-

一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 B 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D

3 ? 2 11. 2

12.10

13.4

14. ?? ?,0? ? ?0,1? ? ?3,???

? ?? ? 2, ? 15.A: ? 3 ?
三、解答题

?1 ? ,?? ? ? ? B: ? 2
2 2

16.解: (1) f (x ) ? cos x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ?

3 sin 2x ? cos 2x

? 2 sin(2x ?

?

) 6 ,………………………………………………………………………3 分 T ? 2? ?? 2 .…………………………………………4 分 ? 2k ? (k ? Z )


所以函数的最小正周期为

?


?
2

? 2k ? ? 2x ?

?
6

?

?
2

?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k ? (k ? Z )

(?
所以函数的单调递增区间为

?
3

? k? ,

?
6

? k ? )(k ? Z )
.……………………6 分

(2)由 f (A) ? 1 可得

2 sin(2A ?

?
6

) ?1

,又 0 ? A ? ? ,所以
2

A ?

?
3 。…8 分

2 2 2 由 余 弦 定 理 可 得 a ? b ? c ? 2bc cos A , 即 3 ? b

? c2 ? b c ? ( b ?)2c ? 3又 bc

bc ? (

b ?c 2 b ?c 2 3 ? (b ? c )2 ? 3bc ? (b ? c )2 ? 3( ) ) 2 2 ,所以 ,故 b ? c ? 2 3 ,当且仅当

? ?b ? c, ? 2 b ? c 2 ? bc ? 3 ? ? ,即 b ? c ? 3 时等号成立
因此 b ? c 的最大值为 2 3 。………………………………………………………12 分 17. (1)设甲获胜为事件 A,则甲获胜包括甲以 4∶2 获胜和甲以 4∶3 获胜两种情况.

-6-

?2? 16 P (A1 ) ? ? ? ? 81 ?3? 设甲以 4∶2 获胜为事件 A1,则 ………………………………2 分
P (A 2 ) ? C1 ? 4 1 2 3 2 64 ?( ) ? ? 3 3 3 243 ………………5 分

4

设甲以 4∶3 获胜为事件 A2,则

P(A)=

P (A1 ) ? P (A 2 ) ?

16 64 112 ? ? 81 243 243 .…………………………… 6 分

(2)随机变量 X 可能的取值为 4,5,6,7,

1 1 ( )2 ? P? X ? 4? = 3 9. P (X ? 5) ? C 1 ? 2 1 2 1 4 ? ? ? 3 3 3 27 . 1 2 2 1 2 28 ? ( ) ? ? ( )4 ? 3 3 3 3 81 . 1 2 3 32 ?( ) ? 3 3 81 .

P (X ? 6) ? C 1 ? 3

P (X ? 7) ? C1 ? 4

X 的概率分布为: X P 4 5 6 7

1 9

4 27

28 81

32 81

EX ? 4 ?

1 4 28 32 488 ? 5? ? 6? ?7? ? 9 27 81 81 81 …………………………………12 分

18.解: (1)连接 AB1 交 A1B 与点 E,连接 DE,则 B1C∥DE,则 B1C∥平面 A1BD……4 分 (2)取 A1C1 中点 F,D 为 AC 中点,则 DF⊥平面 ABC, 又 AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB 两两垂直, 建立如图所示空间直线坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0), B(0, 2 2 ,0),A1(-1,0,3)

-7-

?? ? m 设平面 A1BD 的一个法向量为 ? (x, y, z ) ,

???? ? ???? ? A1B ? (1, 2 2, ?3), A1D ? (1, 0, ?3)

? ? x ? 2 2 y ? 3z ? 0 ?m ? A1 B ? 0 ?? ? ? ?m ? A1 D ? 0 ? x ? 3z ? 0
?? ? z ? 1, y ? 0 ? m ?( 3,0,1) x ? 3 取 ,则 , ………………………8 分
设 平 面 A1DB 与 平 面 DBB1 夹 角 的 夹 角 为 θ , 平 面 DBB1 的 一 个 法 向 量 为

? ? n ? (1, 0, 0) ,………………………………………………10 分

cos? ?


m?n m?n

?

3 10 10

3 10 ∴平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值为 10 。…………………12 分

a ? an ? 2 19.解: (1)当 n 是奇数时, cos n ? ? ?1 ,所以 n ?2 ,
所以 因此

a1, a3, a5, ?, a2n ?1, ? a2n ?1 ? 2n ? 1

是首项为

a1 ? 1

,公差为 2 的等差数列,

。……………2 分

a ? 3an 当 n 为偶数时, cos n ? ? 1 ,所以 n ?2 ,
所以 因此

a2, a4, a6, ?, a2n , ?

是首项为

a2 ? 2

,公比为 3 的等比数列,

a2n ? 2 ? 3n ?1

。………………………………4 分

?n , n 是奇 ? n an ? ? ?1 2 ? 3 2 , n 是偶 ? ? 综上 ……………………………………………6 分
(2)由(1)得

S 2n ? (a1 ? a3 ? ? ? a2n ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2n ) ? 3n ? n 2 ? 1
……………………………………10 分

…8 分

S 2n ?1 ? S 2n ? a2n ? 3n ?1 ? n 2 ? 1

? n n2 2 ? ?3 ? 4 ? 1, n 是偶 S n ? ? n ?1 2 ?3 2 ? (n ? 1) ? 1, n 是奇 ? ? 4 所以 ……………………………………12 分
-8-

20.解: (1)设

F1(?c, 0), F2(c, 0)
2

e?
,由于
2 2

c 1 ? a 2 ,所以 a ? 2c, b ? 3c ,

2 2 GF1 ? GF2 ? 4c 1 ? GF 2 ) ? 2GF 1 ? GF 2 ? 4c , 1 ? GF2 ? 0 ,得 根据 GF ,即 (GF

因为

?GF1F2

的面积为 3,

GF1 ? GF2

1 ? GF2 ? 6 , ,所以 GF

2 2 所以有 16c ? 12 ? 4c ,解得 c ? 1 ,所以 a ? 2, b ?

3,

x2 y2 ? ?1 3 所以椭圆才C的方程为 4 。…………………………………………………5 分
(2)由(1)知 A( ?2, 0), B (2, 0) 。

3 3 M (1, ) N (1, ? ) 2 , 2 , ①当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l :x ? 1 , 直线 l 与椭圆C的交点坐标

AM : y ?
此时直线

1 3 (x ? 2), BN : y ? (x ? 2) 2 2 ,联立两直线方程,解得两直线的交点坐

标(4,3) 。它在垂直于 x 轴的直线 x ? 4 上。……………………………7 分 ②当直线 l 的斜率存在时,

x2 y2 ? ?1 3 设 直 线 l : y ? k (x ? 1) , 代 入 椭 圆 C 的 方 程 4 , 整 理 得

(3 ? 4k )x 2 ? 8k 2x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 直 线 l 与 椭 圆 C 的 交 点 M (x1, y1), N (x 2, y2 ) , 则
x1 ? x 2 ? 8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 。

y ?
直线 AM 的方程为

y1 x1 ? 2 y2 x2 ? 2

(x ? 2)
,即

y ?

k (x 1 ? 1) x1 ? 2 k (x 2 ? 1) x1 ? 2

(x ? 2)


y ?
直线 BN 的方程为

(x ? 2)
,即

y ?

(x ? 2)

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 ,得

y

-9-

? 8(k 2 ? 3) ? ? 4k 2 ? 6 ? 24k 2 2? ? ? 4 x 4 ? x2 ? ?? 2? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? ? 3 ? 4k ? ?4 ? ? 2 2 8k 4k ? 6 ? 4 ? 2x 2 ? ? x2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
所以直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上。………………………………………12 分 综上所述,直线 AM , BN 的交点必在一条垂直于 x 轴的定直线上,这条直线的方程是

x ? 4 。……………………………………………………………………………………13 分

21?解(1)当 k ? 1 时,函数

f ( x) ? ln x ?

1 ( x ? 0) x ,

1 1 x ?1 ? ( x) ? ? 2 ? 2 f x x x . 则
当 f ( x) ? 0 时, 0 ? x ? 1 ,当 f ( x) ? 0 时, x ? 1, 则函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1, ? ?) .………………4 分

?

?

f ( x) ? 2 ?
(2) 成立.

1? e k 1? e ln x ? ? 2 ? x 恒成立,即 x x 恒成立, 整理得 k ? 2 x ? x ln x ? 1 ? e 恒

设 h( x) ? 2 x ? x ln x ? 1 ? e ,则 h ( x) ? 1 ? ln x ,令 h ( x) ? 0 ,得 x ? e .当 x ? (0, e) 时,

?

?

h? ( x) ? 0 ,函数 h( x) 单调递增,当 x ? (e,??) 时, h? ( x) ? 0 ,函数 h( x) 单调递减,因此当

x ? e 时, h( x) 取得最大值 1,因而 k ? 1 .…………………………………………8 分
? (3) g ( x) ? xf ( x) ? k ? x ln x , g ( x) ? ln x ? 1 .
因为对任意的 x1, x2 (0 ? x1 ? x2 ) 总存在

x0 ? 0 ,使得

g ? ( x0 ) ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2 成立,

ln x0 ? 1 ?
所以

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2 ,

ln x0 ? 1 ?


x1 ln x1 ? x2 ln x2 x1 ? x2 ,

ln x0 ? ln x1 ?


x1 ln x1 ? x2 ln x2 x ln x1 ? x2 ln x2 ? x2 ? x1 ? 1 ? ln x1 ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

- 10 -

ln ?

x1 x ?1? 1 x2 x2 x1 ?1 x2

.…………………………………………………………12 分

设 ? (t ) ? ln t ? 1 ? t ,其中 0 ? t ? 1 ,则

? ? (t ) ? ? 1 ? 0

1 t

,因而 ? (t ) 在区间(0,1)上单调递

x1 ?1 ? 0 x 增, ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又 2 .
所以

ln x0 ? ln x1 ? 0 ,即 x0 ? x1 .………………………………………… 14 分

- 11 -


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