当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

物理奥赛力学总复习


力学总复习

第一部分
一、基本概念 位矢:

质点运动学
z

r ? xi ? y j ? zk

运动学方程:

? k ?O ? i j
x

? r

P y

x ? x(t )

, y ? y(t ), z ? z(t )
速度: 速率

?r dr dx dy dz v ? lim ? ? i? j? k ?t ?0 ?t dt dt dt dt
dx 2 dy 2 dz 2 v ? ( ) ?( ) ?( ) , dt dt dt ds v? dt

加速度:

?v dv d r a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dt

2

其大小

?d x? ?d y? ?d z? a? ? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2

2

2

2

注意

dv dv a? a ? ? dt dt

二、直线运动

dx dv d x x ? x(t ), v ? , a ? ? 2 dt dt dt
?匀速直线运动: a ? 0, v ? 常量,x ? x0 ? vt

2

a ? 常量,v ? v0 ? at,
?匀变速直线运动:

1 2 x ? x0 ? v0t ? at 2 2 2 v ? v0 ? 2a( x ? x0 )

注意:以上各式仅适用于匀加速情形。

直线运动的第一类问题:已知 x( t ) ,求 v ,a 求解此类问题的基本思路是:先写出运动学方程 x=x( t ),再用求导得出速度和加速度。 注意:有时运动学方程是隐含在题目中的,要自己 去找出来。 例4. 如右图所示,一人 在高为 h 的岸上以恒定的 速率 v0 收绳拉小船靠岸, 求小船运动至图示位置时 的速度与加速度。
v0 l h O

?

x

x

直线运动的第二类问题:已知 a( t ) ,求 v( t ) ,x( t )
解此类问题的基本思路是求积分:

v( t ) ?

? a(t )dt ,

x(t ) ?

? v(t )dt
dx ? v(t )dt

或解微分方程

dv ? a(t )dt,

?当 a = 常数时,积分结果就是前述匀变速直线运动 的基本公式。

?当a ? 常数时,一定要自己积分得出结果。

例7. 跳水运动员沿铅直方向入水,接触水面时速率 为v0 ,入水后所受重力与浮力相抵消,仅受水阻力 而减速。其加速度 a = - kv2,k 为常数,求运动员入 水后的速度 v 和入水深度 y 随时间的变化,及速度 随深度的变化 v( y )。 解:取 y 轴铅直向下为正原点位于水面,并取运动 员接触水面时为计时零点。有:

两边一起定积分得

dv dv ? adt ? ? kv dt ? ? ? kdt 2 v
2

?

v

v0

t dv ? ? k ? dt 2 0 v

v0 v(t ) ? kv0t ? 1

再次积分得

v0 dt 1 y(t ) ? ? vdt ? ? ? ln(kv0t ? 1) 0 0 kv t ? 1 k 0
t t

要求 v( y ),可由

dv dv dy dv a? ? ?v dt dy dt dy



积分得
v

dv ? kv ? v ? dy
2

dv ? ? kdy v

y dv v ? ky ?v0 v ? ?k ?0 dy ? ln v0 ? ?ky, v ? v0e

三、抛射体运动 ?其速度的两个分量为:
y

vx ? v0 cos?, vy ? v0 sin? ? gt
O

? v0
?
x

1 ?运动学方程: x ? (v0 cos?)t , y ? (v0 si n?)t ? gt 2 2
消去时间 t 得到 ?轨道方程:

1 gx y ? x tan? ? 2 2 2 v0 cos ?

2

射高与射程
抛射体运动到最高点时, vy = 0,可由速度公式得 出上升时间 t1

y

? v0
O ? H x R

v0 si n? t1 ? g

代入运动学方程中得出射高 H 和水平射程 R 为:
2 2 v0 sin2 ? v0 sin2? H? , R ? (v0 cos?)2t1 ? 2g 2g

当? = 45? 时,水平射程最大

Rmax

2 v0 ? g

例2. 一人扔石头的最大出手速率为 v0=25 m/s,他 能否击中与他的手水平距离 L=50 m,高 H=13 m 的目标?在此距离上他能击中目标的最大高度? 解:设他以 ? 角抛出石头,并将 v0=25, x=50 代入轨 道方程有:

1 gx y ? xtg? ? 2 2 2 v0 cos ? 19.6 2 ? 50tg? ? ? 50tg? ? 19.6(1 ? tg ?) 2 cos ?
高度 y 随? 而变,为求极值(y 的最大值)

2

令:

dy ? 50 ? 19.6 ? 2tg? ? 0 dtg?

得:tg ? = 1.2755 时,最大高度 ymax=12.29 m 因而无法击中H=13 m 的目标。

抛射体运动的另一种分解
可写出抛射体的位矢
y

? v0t

? 1 2 ? ? r ? v0 x ti ? ( v0 y t ? gt ) j 2 1 ? 2 ? ? v0t ? gt 2

? v0
O ?

1 ?2 gt 2

? r
x

因而抛射体运动又可分解为:沿初速度方向的匀速 直线运动+自由落体运动。

四、圆周运动、曲线运动

v dv 2 2 an ? , a ? ? , a ? an ? a ? R dt
第一项是由于速度方向变化而引起的 向心加速度,第二顶是由于速度大小 变化引起的切向加速度。
O

2

v? a?
R

?A an

例3、质点圆周运动半径为 R ,其加速度与速度之间 的夹角 ? 恒定,初速为 v0 ,求质点速度 v( t )。 ? v ? 解:由题有 2 a ? v ? ? a

an dv dt R tg? ? ? ? 2 ? a? dv v Rtg? dt

R

O

? an

定积分

?

v

v0

t dv 1 ? dt 2 ? v Rtg? 0



v0 Rtg? v? Rtg? ? v0t

圆周运动的角量描述 质点作圆周运动时,给出 角位置? ,质点的位置就确定 了。设在 △t 时间内,质点有 角位移 △? ,则质点运动的
?角速度

y
??

? v
P R x
?

?? d? ? ? lim ? ?t ? 0 ? t dt

质点作变速圆周运动时?又会随时间变化,定义:
?角加速度

?? d? d ? ? ? lim ? ? 2 ?t ? 0 ? t dt dt
2

?角量与线量间的关系:

v2 dv 2 v ? R?, an ? ? R? , a? ? ? R? R dt
?匀速率圆周运动:

? ? 常数, ?=?0 ? ?t
? ? 常数, ? ? ?0 ? ? t

1 2 ? ? ? ? ? t ? ? t ?匀变速圆周运动: 0 0 2 2 ? 2 ? ?0 ? 2?( ? ? ? 0 )

对一般的曲线运动,引入曲 率圆后,质点的加速度可套 用圆周运动的结论,即有:

O'

? an

? ? a
P

a ? a n ? a?
2 2

? a?

? v

v dv d s 2 2 an ? , a? ? ? 2 , a ? an ? a? ? dt dt
其中 ? 为曲率圆半径,在轨道不同地方其值不同。

五、相对运动

?研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物体的运动
静止参照系S(相对观察者固定不动) 运动参照系S?(相对S系沿x 轴作匀速直线运动)

一、伽利略变换

y

y?

? u

? ? ? ? ? r ? r ? ? r0 ? r ? ? ut
或逆变换:

? r
O z

P

? r?
O? x? x

? ? ? ? ? r ? ? r ? r0 ? r ? ut

? r0
z?

y?

伽利略速度变换

y

? u

v ? v? ? u
绝对速度=相对速度 +牵连速度。
z O

? r

P

? r?
O?
x? x

? r0
z?

伽利略加速度变换为不变量

a ? a?

在惯性系中绝对加速度=相对加速度

例5、河水自西向东流动,速度为10 km/h,一轮船在 水中航行,船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为 20km/h。此时风向为正西,风速为10km/h(相对地 面)。试求在船上测出的风速。 解:先求船速,取:S-地,S?-水,物-船,则

? ? ? ? ? ? v ? v船 对 地, v ? ? v船 对 水, u ? v水 ? ? ? v ? v? ? u
由题知 u=10 正东,v?=20 北偏西30o
求出

? v

? v?
30 ?

? u

v船对地 ? 10 3km / h 方向正北

再求风相对船的速度,取S-地,S?-船,物-风,则

? ? ? ? ? ? v ? v风 对 地, v ? ? v风 对 船, u ? v船 对 地 ? ? ? v? ? v ? u ?
由前知 u ? 10 3
正北,v =10 正西

?

? u

v?

? v

求出? = 30°,v? ? 20 km / h 即在船上测出风速为 20 km/h,方向南偏西30o。

第二部份 质点动力学
一、牛顿第二定律的应用 1、恒力作用的情况:类情况中常有多个有关联的物 体一起运动。解题步骤如下: ?分析各物体受力状况,选择隔离体,画受力图。 ?分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度,并建立 坐标系。 ?写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间 的关系式。 ?解方程组,并对计算结果作简短讨论。

例3、如图,质量为M 的斜面 放在水平面上,斜面上另一质 量为m 的滑块沿斜面滑下,若 所有的表面都是光滑的,求二 者的加速度和相互作用力。

m M ?

解:选地面为惯性系,对二者受力分析和运动分析 ? 如图,注意 m 相对地面的加速度为 a2

? a1
N2
?

N1 ?

N2

? a1

mg
Mg

? a2

?

? a?

建立坐标系x 轴水平向左,y 轴竖直向上。列出有关 运动方程

N 2 sin ? ? Ma1 , N1 ? N 2 cos? ? Mg ? 0 ? N 2 sin ? ? m(a1 ? a? cos? ), N 2 cos? ? mg ? ?ma? sin ?
求出:

m g sin? cos? ( M ? m) g sin? a1 ? , a? ? 2 M ? m sin ? M ? m sin2 ? Mg sin? cos? ( M ? m) g sin2 ? a2 x ? , a2 y ? ? 2 M ? m sin ? M ? m sin2 ? m Mgcos? ( m ? M )Mg N2 ? , N1 ? 2 2 M ? m sin ? M ? m sin ?

例5、如图,一曲杆OA绕 y 轴以匀 角速度?转动,曲杆上套着一质量 为m 的小环,若要小环在任何位 置上均可相对曲杆静止,问曲杆的 几何形状?

y

?
N

A ?

O

x
mg

解:小环在曲杆上也绕y 轴作圆周运动,受重力和支 持力N,设小环所在位置切线倾角为?,则有:

N sin? ? m x? N cos? ? m g ? 0
2

相除得

dy tg? ? x? g dx

?2



dy ?

?2
g

xdx

积分得 y ?

?2
2g

x 2 —抛物线

2、变力作用的情形
当一质点受到变力作用时,其加速度也是随时变化 的,这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法 求解。 例6、质量为m 的物体,从高空由静止开始下落, 设它受到的空气阻力 f = kv ,k 为常数,求物体下 落的速度和路程随时间的变化。 O 解:取y 轴竖直向下为正,设物体由原 点开始下落到 y 处时,速度为 v,受重 力和阻力作用,其运动微分方程为: y
v

f

dv mg ? kv ? m dt

y

mg

分离变量并作定积分,有

?

v

0

mg 其中 vT ? k

dv k t ? ? ? dt v ? vT m 0

为下落的收尾速度。求出:
? k t m

v ? vT (1 ? e
再次积分得

)
k ? t m

y ? ? vT (1 ? e
0

t

k ? t m

m )dt ? vT t ? vT (e k

? 1)

例7、设子弹射出枪口后作水平直线飞行,受到空气 阻力 f = -kv2 ,若子弹出枪口时速率为 v0 ,求:(1) 子弹此后速率,(2)当 v= 0.5 v0 时,它飞行的距离。
解:(1)子弹在飞行过程中,水平方向上仅受空气 阻力,因而运动微分方程为:

dv dv k ? kv ? m 或 2 ? ? dt dt v m
2

积分

?

v

v0

dv k t ? ? ? dt 2 v m 0

m v0 得 v? m ? kv0t

(2)运动方程改写成

dv dv k ? kv ? mv 或 ? ? dx dx v m
2

积分

dv k x 1 k ? v ? ? m ?0 dx 得 l n 2 ? ? m x m 或 x ? l n2 k

v0 2 v0

3、非惯性系中的牛顿定律 (1)、加速直线运动的非惯性系中的惯性力 当物体相对一以加速度 a0 直线运动的非惯性系还有加 速度 a’ 时,在此非惯性系中的牛顿运动定律为

?? ? ?? ? ? ? Fi ? f ? ma? 其中 f ? ?ma0
(2)、匀速转动的非惯性系 惯性离心力
?

—惯性力

m
B T

? ?? ? 2? F ? fc ? F ? m? r ? 0

?? 2? f ? m? r

例2、一小猴站在沿倾角为?的斜面 无摩擦下滑的小车上,以速率v0 垂 直于斜面上抛一红球,经t0 秒后又以 v0 上抛另一绿球,问此二球何时相 遇。

?

mg sin ? 解:小车以加速度g sin ? 沿斜面下滑, 取此小车为非惯性系,被抛出的小球 受到重力和沿斜面向上的惯性力作用, 二者的合力大小为 mg cos ? ,方向垂 mg cos ? mg 直斜面向下。因而两小球相对小车的 运动为垂直于斜面的上抛运动

取 y 轴垂直斜面向上,并以抛出红球时为计时起点, 可写出运动学方程为:

1 y1 ? v0t ? g cos?t 2 2 1 y2 ? v0 (t ? t0 ) ? g cos? (t ? t0 ) 2 2
相遇时y1=y2 ,得出相遇时间:

v0 1 t1 ? ( ? )t0 2 gt0 cos?

例3、质量为M 的斜面放在光 滑的水平面上,斜面上另一质 量为m 的滑块沿斜面滑下,m 与M间也是光滑的,求二者的 相对加速度和相互作用力。

m M ?

解:设m沿斜面下滑的加速度为a? ,M向左的加速度 为a1 。对M取地面为惯性系,对m 取M为非惯性系, 二者的受力分析图如下:
N2

ma1

? a1
N2 ?

N1 ?

mg

? a?

Mg

列出运动方程组
M:水平 竖直 m: 沿斜面

N 2 sin? ? Ma1 N1 ? Mg ? N 2 cos? ? 0

? m gsin? ? m a 1 cos? ? ma N 2 ? m gcos? ? m a ? ?0 1 sin

垂直斜面 求出:

m g sin? cos? ( M ? m) g sin? a1 ? , a? ? 2 M ? m sin ? M ? m sin2 ? m Mgcos? ( m ? M )Mg N2 ? , N1 ? 2 2 M ? m sin ? M ? m sin ?

例4、水桶绕自身的铅直轴以角速度?旋转,当水与桶 一起转动时,水面的形状如何? 解:在与桶共转的参考系内液块?m 受两个力:重力?mg 和惯性离心力 ?m?2r, 所以合力为:
z
r

f
?

? c

z0

? ? 2? N=?m( g ? ? r )
水面处处与N垂直,设水面方程为 有
2

?mg

N

z ? z (r )
2

dz ?m? r ? r ? t an? ? ? dr ?m g g



dz ?

?

2

g

rdr
r

积分

?

z

z0

dz ?

?

?
2

2

0

g
r
2

rdr



z ? z0 ?

?

2g

其中Z0为中心水面高度。这是抛物线方程,由于轴 对称性,水面为旋转抛物面。

二、动量定理、动量守恒定律、质心运动定理 可将牛顿第二定律写成 因而有:

? ? ? Fi dt ? dP
? P2 ? P 1

? ? ? ? ? t2 I ? ? ? Fi dt ? ? dP ? P2 ? P 1
t1

在一段时间内,质点所受合外力的冲量,等于在此 时间内该质点动量的增量——质点动量定理。
动量定理在碰撞及冲击问题中特别有用,此时的冲 力变化很大,它随时间而变化的关系难以确定,牛 顿第二定律无法直接应用,但根据动量定理,冲力 的冲量具有确定的量值,它等于冲击(碰撞)前后 动量的变化。而且还可由冲量求出其平均冲力。

例2 一个质量m=0.14 kg 的垒球沿水平方向以v1 =50 m/s 的速率投来,经棒打击后,沿仰角?=450的 方向飞出,速率变为v2 =80 m/s 。求棒对球的冲量 大小与方向。如果球与棒接触的时间为? t =0.02 s, 求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的 几倍? ? ? 解:如图所示,设垒球飞来 方向为x 轴方向,棒对球的 冲量的大小为

I

mv2

? ? 2 I ? mv2 ? mv1 ? m v12 ? v2 ? 2v1v2 cos?

? mv1

a

x

? 0.14? 502 ? 802 ? 2 ? 50? 80? cos45? ? 16.9 N ? s

设I 与x 轴夹角为? ,给出

m v2 sin a ? ? 180 ? arctan mv 1 ? mv 2 cos a
0

80? sin 45 0 ? 180 ? arctan ? 152 2? 0 50 ? 80? cos 45
0 0

棒对球的平均冲力

I 16.9 F? ? ? 845 N ?t 0.02
此力为垒球本身重量的倍数 F/(mg)=845/(0.14?9.8)=616

由质点系动量定理


?


t2

? ? Fi ? 0

t1

? ? ? (? Fi )dt ? P 2 ?P 1

? ? P ? ? mi vi ? 恒矢量

当作用在质点系上的外力矢量和等零时,系统动量守 恒。在应用动量守恒定律时,要注意以下几点: ?动量守恒定律只适用于惯性系。 ? 定律中的速度应是对同一惯性系的速度,动量和应 是同一时刻的动量之和。 ?动量守恒可在某一方向上成立:



?F

ix

?0 ,则 Px ? ? mi vix ? 常量

例1、质量为m 的人从小车的一端 走到另一端,小车质量为M,车长 L,求人与车相对地面的位移。 解:可认为人与车这一系统 在水平方向上不受外力-水 平方向动量守恒。设人、车 的速度分别为v1 和v2 ,则有

m
M

V2

x2 x1
M

v1

mv 1 ? Mv2 ? 0
同乘以dt,有
积分得:

mv 1dt ? Mv2 dt ? mdx 1 ? Mdx2

mx 1 ? Mx2

ML mL , x2 ? 又由图知 x1 ? x2 ? L , ? x1 ? m?M m?M

例2 一辆停在直轨道上质量为M 的平板车上站着 两个人,当他们从车上沿同方向跳下后,车获得了 一定的速度。设两个人的质量均为m ,跳下时相对 于车的水平分速度均为u。试比较两人同时跳下和两 人依次跳下两种情况下,车所获得的速度的大小。 解: 人和车系统的动量的水平分量守恒。 当两人同时跳下车时,设车后退的速率为 v1 有

2mu 2m(u ? v1 ) ? Mv1 ? 0, ? v1 ? M ? 2m
对两人依次跳下的情况,第一人跳下时,以v2? 表示 车的速度,则动量守恒给出:

? ) ? (M ? m)v2 ? ?0 m(u ? v2
随后第二人跳下时,以v2 表示车最后的速度大小, 则动量守恒给出:

? m(u ? v2 ) ? Mv2 ? ?(M ? m)v2
由此得

? m u ? ( M ? m)v2 1 ? 1 ? v2 ? ? m u? ? ? M ?m ? M ? m M ? 2m ?
v1和v2相比,可知 v1<v2

例 3 、火箭在外层空间飞行 ,空气阻力和重力不计 , 设在初始时刻火箭(包括燃料)的总质量为m0,初速v0 , 热气体相对火箭的喷射速度为 u 。随着燃料消耗,火箭 质量不断减少,求当火箭质量为m 时的速度。 解:将火箭和它在 dt 时间内喷出的气体取为系统, 该系统动量守恒。在t 时刻,火箭动量为mv ,经dt 时间后,其质量为m-dm ,速度为v+dv ,喷出的气体 质量为dm ,相对地面速度为v-u 。

动量守恒: mv ? (m ? dm)(v ? dv) ? dm(v ? u)
化简得

dm dv ? ?u m

dm 积分 ? dv ? ? ? u v0 m0 m
v m

m0 得: v ? v0 ? u ln m

火箭的质量比 N=m0/m

? 要提高火箭的速度,可采用提高喷气速度和质量比 的办法。 ? 一般多采用多级火箭来提高速度。

v1 ? u ln N1
v2 ? v1 ? u ln N 2
vn ? vn?1 ? u ln Nn ? u ln(N1 ? N2 ? ? ? Nn )

质心运动定律
系统质心的位矢: (m为总质量)

? ? mi ri rc ? ? ? mi i

? ? mi r i m

系统中各质点的运动可能较复杂,但质心的运动却 最简单。质点系所受外力的矢量和等于系统的总质 量和质心加速度的乘积。—质心运动定律。

? ? ? ? dvc dP ? Fi ? dt ? m dt ? mac

? ? F ? mac

三、动能定理,功能原理,机械能守恒定律
1、变力的功:
b

? ? dA ? F ? dr
b a

? F
a

b

A ? ? dA ? ?
a

? ? F ? dr

? dr

2、质点动能定理:

A ? ? dA ? ?

v2

v1

1 2 1 2 mvdv ? mv 2 ? mv1 2 2

A ? EK 2 ? EK 1

例1:光滑的水平桌面上有一环带, 环带与小物体(质量 m )的摩擦 系数? ,小物体以初速 v0 做圆周运 动,求它转一周后的速率v 和摩擦 力所做的功。 解:物体运动时切线方向上仅有摩擦力,因而

r

v dv dv f ? ??N ? ??m ?m ? mv r dt ds

2

dv ? ? ? ? ds 或 v r

?

v

v0

dv ? 2 ?r ?? ? ds v r 0

得出物体转动一周后的速率:

v ? v0e

?2 ??

再由动能定理得出物体转动一周,摩擦力做功:

1 1 2 2 2 ? 4 ?? A ? m(v ? v0 ) ? mv 0 (e ? 1) 2 2

3、质点系动能定理


? A ? ? A ? ? A ? ?E ? ?E
内 K

K0

dA ? f1 ? dr1 ? f 2 ? dr2
? ? ? f1 ? ? f 2

作用在质点系上所有外力做的功与内力做的功之和 ? ? dr2 等于质点系总动能的增量。 ? f2 f1 m2 m1 ?质点系中一对内力作功: ? ? ? ? ? ? d r r2 ? 1 r1
O

? ? ? ? ? ? ? ? ?dA ? f 2 ? (dr2 ? dr1 ) ? f 2 ? d (r2 ? r1 ) ? f 2 ? dr21
一对内力所做功之和等于一个质点受的力与二质点 间的相对位移的点乘。并与参照系无关。

例1、质量为M的卡车上载有一质量为m的木箱,原先 以速率v向前行驶。因故紧急刹车,卡车又向前滑行了 L的距离,木箱又相对卡车向前滑行了x。已知木箱与 卡车间的滑动摩擦系数为?1,车轮与地面间的滑动摩 擦系数为?2 ,求L与x。 x m 解:取车和木箱为系统,其 水平方向上外力为车轮与地 L 面间的摩擦力,内力为木箱 与车之间的一对内摩擦力。 由动能定理有:

1 2 ? ? 2 (m ? M ) gL ? ?1mgx ? 0 ? (m ? M )v 2

另一方面,若仅取木箱为质点,它相对地面向前滑 了L+x 的距离,由动能定理有:

1 2 ? ?1mg ( L ? x) ? 0 ? mv 2
由上两式求出:

Mv L? [? 2 (m ? M ) ? ?1m]g v x? ?L 2?1 g
2

2

4、保守力的功,势能 质点在均匀力场或有心力场中运动时,场力对质点所 做的功只与质点的始末位置有关,与质点经过的路径 无关。若质点沿任意一闭合路径绕一圈,则保守内力 做功为零: ? ? ?

A ? ? F ( r ) ? dr ? 0

这说明存在一个仅由系统相对位置决 定的函数—相互作用势能:

b I

?定义:

A保 ? ?( EPb ? EPa )

a

II

保守内力的功等于势能增量的负值。

?重力势能

EP重 ? mgh

h 为质点到重力势能零 点(可任选)的高度。

?弹性势能: E P弹


1 2 势能零点选在弹簧原长 ? kx 处(x=0 ) 2

E P弹

1 2 1 2 ? kx ? kx 0 势能零点选在x0处 2 2
M

?引力势能:

GmM EP引 ? ? r
引力势能零点选在r??处

rb
?r f
m

b

ra
a

?势能和保守力的关系: 1、积分关系 2、微分关系

? ? EP = ? F ? dl
b a

F

?
dl Fl

? ? ? dEP ? F ? dl ? F cos?dl ? Fl dl

l

dE P 保守力沿某一方向的分量等于势 ? Fl ? ? dl 能函数沿该方向的空间变化率。


EP ? EP ( x, y, z) 则:

?E P Fx ? ? ?x

?E P Fy ? ? ?y

?E P Fz ? ? ?z

5、系统功能原理,机械能守恒定律

?A ??A


非保内

? ? Eb ? ? Ea

质点系在运动过程中,所有外力的功与非保守内力 的功之总和等于系统机械能的增量。


?A ??A


非保内

?0 则

?E ? ?E
b

a

质点系在运动过程中,若所有外力的功与非保守内 力的功之总和等零(或只有保守内力做功),则系 统的机械能守恒。

例1、一质量为M的平顶小车,在水平面上以速率v0 运动,现将另一质量为m 的物体竖直地放落在车顶前 端,物体与车顶间的摩擦系数为?,车与地面摩擦不 计,为使物体不会从车后滑落,车顶长L应为多少?
m M

? v0

m

M

? v

解:刚开始时m相对车向后滑,最后二者将有共同 的速度v。物-车系统在水平方向上不受外力,动量 守恒:

Mv0 ? (M ? m)v

运动过程中,m与M间一对摩擦内力做功之和为:

A 内 ? ??mgL
由功能原理有

1 1 2 2 A内 ? ??mgL ? (m ? M )v ? Mv 0 2 2
求出车长

Mv L? 2?g ( M ? m)

2 0

例3、质量为m1 和m2 的两物体与一 轻弹簧相联,问要加多大的压力F, 才能在放手后m2 会被提离地面 解:设初始时弹簧压缩了x1 ,放手 后弹簧的最大伸长量为x2 ,则有: 初始时
末态

m1
x2

F

m1

x1

F ? m1 g ? kx1

kx2 ? m2 g

m2 求出:

m2

弹开过程中,机械能守恒:

1 2 1 2 kx1 ? kx 2 ? m1 g ( x1 ? x2 ) 2 2

F ? (m1 ? m2 ) g

例5、质量为m 摆长为L的单摆从左侧角?处静止下摆。 在右侧O点处有一钉子。为使摆球能绕O点作完整的圆 周运动,角?至少应多大?
A

解:小球绕钉转时受重力mg 和张力T 作用,在?角处:

? L

?

r
?

mv T ? m g cos? ? L?r
摆动过程中,机械能守恒

2

O

T
mg

v

m

1 2 ? mgL cos ? ? mv ? mg [r cos ? ? ( L ? r ) cos ?] 2

由此二式解出

2mg T ? 3mg cos ? ? (r cos ? ? L cos ?) L?r
小球能完成圆周运动的条件是:?=?时,T ?0。代 入上式得:

r 3 L?r cos ? ? cos ? ? L 2 L

例 质量为M的斜面放在光滑水 平面上,斜面倾角为?,另一质 量为m的物体从斜面上高h处由静 h 止开始下滑,求它滑到斜面底部 时它们相对地面的速度和二者间 的相对速度

m M ?

解:设m滑到斜面底部时斜面向左的速率为v1,m沿 斜面向下的相对速度为 v2?。物体与斜面这一系统在 水平方向上不受外力,因而系统在水平方向上的动 量守恒

? cos?) ? 0 Mv1 ? m(v1 ? v2

又因为在m下滑的过程中仅有重力作功,系统机械能 守恒

1 1 2 2 mgh ? Mv 1 ? mv 2 2 2
其中 v2是m相对地面的速度,它应满足:
2 ? cos?) 2 ? (v2 ? sin ?) 2 v2 ? (v1 ? v2

由以上三式可求出:
2 gh v1 ? m cos? (m ? M )(M ? m sin 2 ?) ? ? v2 v2 ? 2 gh(m ? M ) M ? m sin 2 ? 2 gh(m 2 sin 2 ? ? 2m M sin 2 ? ? M 2 ) (m ? M )(M ? m sin 2 ?)

四、碰撞 1、对心碰撞:碰撞过程中系统不受外力,动量守恒

m1v10 ? m v20 ? m1v1 ? m2v2
非弹性碰撞的恢复系数 v2 ? v1 碰后相互分离的速度 e? ? v10 ? v20 碰前相互接近的速度 ?完全弹性碰撞:e = 1, 碰撞前、后系统动能相等:

1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 ? m2 v20 ? m1v1 ? m2 v2 2 2 2 2
?完全非弹性碰撞:e =0,碰后两物体不分开。

例2 质量为M1 的小车,静止 M 在光滑水平轨道上,车底用长 1 为L的细绳吊有质量为M2的砂 L ? 袋。现有一质量为m的子弹水 v0 平射入砂袋内,并测出砂袋的 最大摆角为?,求子弹的入射速 M2 m 度。 解:子弹射入砂袋过程, mv0 ? (m ? M 2 )v1 二者动量守恒: 砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率v,且系统 在水平方向上不受外力,动量守恒:

mv0 ? (m ? M1 ? M 2 )v2

砂袋上摆过程中仅有重力做功,机械能守恒:

1 (m ? M 2 )v12 2 1 2 ? (m ? M 1 ? M 2 )v2 ? (m ? M 2 ) gL(1 ? cos?) 2
求出

m ? M1 v0 ? m

2(m ? M 1 ? M 2 ) gL(1 ? cos?) M1

例5、一皮球从距地面h 的高度处自由下落,与地面 相撞,恢复系数为e 。皮球经多次反弹后停下,求皮 球所经过的总路程。 解:皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为:

v 2 v 2 v1 ? ev0 , h1 ? ?e ?e h 2g 2g
第二次碰后则为

2 1

2 0

v 4 v2 ? ev1 ? e v0 , h2 ? ?e h 2g
2

2 2

第i 次碰后则为

v 2i vi ? e v0 , hi ? ?e h 2g
i

2 i

因而皮球在停下前走过的总路程为:

S ? h ? 2h1 ? 2h2 ? ? ? 2hi ? ? ? h ? 2e h ? 2e h ? 2e h ? ?
2 2 4 6

? h ? 2e h(1 ? e ? e ? e ? ?)
2 4 6

1 ? 0 ? e ? 1, ? (1 ? e ? e ? e ? ?) ? 2 1? e
2 4 6



1? e S? h 2 1? e
2

例6、有三个完全一样的小球 A、B、C,放在光滑水平桌 面上,开始时A、B两球静止 并相互接触,C球以初速v0 射 C 向A、B的正中。碰后C球静 止,求C与A、B间的碰撞恢 复系数。

y A

vA
30°

v0

30°x
B

vB

解:取坐标系如图所示,三小球相撞时,三者球心 的连线形成一正三角形,因而碰后A、B两球的速度 与x 轴的夹角均为30°。碰撞过程中x,y 两方向上均 动量守恒:

m v0 ? m vA cos30? ? m vB cos30? m vA sin 30? ? m vB sin 30? ? 0

求出

3 v A ? vB ? v0 3

碰撞的恢复系数

vA ? 0 2 e? ? v0 cos30? ? 0 3

2、非对心碰撞
设两个表面光滑的小球,初始 时m2 静止,m1 以初速v10 与 m2 斜碰。取相碰瞬间两球心 的连线方向为y 轴,两球面切 线方向为x 轴,并设v10 与x 轴 夹角为?。

? v10
m1
?

? v1
x

m2

? v2
y

相碰时,两球的相互作用力仅在y 轴方向,因而碰后 m2 一定沿y 轴方向运动。碰撞过程中动量守恒:

m1v10 cos? ? m1v1x m1v10 sin ? ? m1v1 y ? m2v2

e?

v2 ? v1 y v10 sin ?

例3、两个质量均为1.4ms( ms 代表太阳质量)的星球,A 星以速率v0=680 km/s 运动, B星原先静止。两星“相撞” 后,A星偏转了?1=35°,求 碰后两星的速度。

y A

? v0
B

? v1
?1 ?2

x

? v2

解:在万有引力作用下,两星的相互作用可作为弹性 碰撞处理。有:

x : m1v0 ? m1v1 cos?1 ? m2 v2 cos? 2 y : 0 ? m1v1 sin ?1 ? m2 v2 sin ? 2 1 1 1 2 2 2 m1v0 ? m1v1 ? m2 v2 2 2 2

求出:

v1 ? v0 cos?1 ? 557km / s v2 ? v ? v ? 390km / s
2 0 2 1

? v1 sin ?1 ? 2 ? arcsin ? ?55? v2

五、角动量定理,角动量守恒定律
质点对一参考点的角动量:

? ? ? ? ? L ? r ? mv ? r ? P

?

? mv

大小:

L ? rmv sin ?

? r
O

力对一参考点的力矩:

? ? ? M ? r ?F 大小: M ? rF sin ?
方向:满足右手螺旋法则。

?

? r

? F
O

质点对参考点的角动量定理:

dL M ? r?F ? dt
? M ?0

质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该 点的角动量对时间的变化率 角动量守恒定律:若质点所受的合外力矩

? dL 则 ?0 dt

? 或 L ? 常矢量

如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零,则 质点对该固定点的角动量矢量保持不变

例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1,半径为R的 行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时,以初 速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器, 要使探测器正好能掠着行星表面着陆,?角应多大? 解:探测器飞行过程中只 受到行星的引力,因而对 O点的角动量守恒: m

? v0

?
2

R
r
O

? v

m2v0r sin ? ? m2vR

m1

1 m1m2 1 m1m2 2 2 又由机械能守恒: m2 v0 ? G ? m2 v ? G 2 r 2 R
代入r=4R,求出

1 3Gm1 sin ? ? 1? 2 4 2 Rv 0

例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点,开始时将小 球移开使绳与竖直方向成?角,并给小球一水平初速 度v0使小球绕O点旋转,若希望在运动过程中,绳与 竖直方向的最大瞬时夹角为90°,问v0 应多大?
解:小球运动过程中受重力和绳中张 力的作用。张力不作功机械能守恒:
O

1 2 1 2 mv 0 ? mv ? mgL cos ? 2 2

? L

? v
mg

? v0

重力对竖直轴无力矩,张力过O点也对竖直轴无力矩, 因而对竖直轴角动量守恒:

mv0 L sin ? ? mvL

求出:

2 gL v0 ? cos?

质点系的角动量定理、角动量守恒
质点系中内力总是成对出现的,因而对同一参考点 而言,内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点 ? 的角动量定理为:

? ? ? dL M ? ? ri ? Fi ? dt
? L ? 恒矢量

质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所 有外力对该点力矩的矢量和。 当

? M ?0

时,

当外力对参考点O的力矩矢量和为零时,质点系对该 点的角动量守恒。

第三部份 刚体力学
一、刚体运动的描述

1、刚体的平动:刚体运动时,刚体上任一条直线 的位置始终保持彼此平行,称为平动。可任选刚 体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心 ? ? 运动定理:

? F ? ma
i

c

2、刚体的定轴转动:刚体绕一固定直线(转轴Z) 的转动,各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周 运动,因而角速度?、角加速度?都一样。

d? d? d 2? ? ? ? (t ), ? ? , ?? ? 2 dt dt dt

3、刚体的定点转动:刚体绕一固定点O的转动,在 任一瞬时,刚体上都存在一条瞬时转轴Z,各质点都 在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。瞬时转轴 的方位,在空间中不断变化。
4、刚体的平面运动:刚体在运动过程中,各质点均 在平面内运动。

平面运动 = 质心平动 + 过质心轴的定轴转动

5、刚体的一般运动: 刚体的一般运动 = 平动 + 定点转动。

二、刚体定轴转动动力学
1、定轴转动角动量定理,转动定律,角动量守恒

角动量
转动惯量

L ? I?
I ? ? r dm
2

?

r

dm

I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。 ?平行轴定理:

I D ? I C ? md

2

IC

ID

d
C

IC 、 ID 分别是刚体对过质心轴, 和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为d

?薄板的正交轴定理:

z o x
y

Iz ? Ix ? I y
X,Y 轴在薄板面上,Z轴与薄板 垂直。
转动定律:

d? M ?I ? I? dt

dL d ? ( I? ) 角动量定理:M ? dt dt
角动量守恒 当M= 0 时,L = 常量

I1?1 ? I 2?2

例5 一质量为M,半径为R的定滑轮(当作圆盘)上 面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂 忽略轴处摩擦,求物体m由静止下落h高度时的速度 和此时滑轮的角速度。
? ?
M

解:对定滑轮 M ,由转动定律, 对于轴O,有

R

O T1 T2 a mg

RT ? I? ? MR ? / 2
2

对物体m,由牛顿第二定律

mg ? T ? ma
滑轮和物体的运动学关系为

a ? R?

h

以上三式联立,可得物体下落的加速度为

m a? g m?M 2
物体下落高度h时的速度

4m gh v ? 2ah ? 2m ? M
这时滑轮转动的角速度

v ?? ? R

4m gh 2m ? M R

例题一根质量为m、长为l的均匀细棒AB,可绕一 水平光滑轴o在竖直平面内转动,o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动,求棒 转过角?时的角加速度和角速度。 解 各物体受力情况如图所示。
A

1 l 2 1 2 mg 图6-14 2 I o ? ml ? m( ) ? ml 12 6 9 M o 3g ?? ? cos? Io 2l d? d? d? d? 3g ? ? ?? ? cos ? 又因 ? ? dt d? dt d? 2l
22

l M o ? mg cos ? 6

o

C

?

B

3g cos ?d? 所以 ?0 ?d? ? ?0 2l 3g sin ? 完成积分得 ? ?
? ?

l

讨论: (1)当?=0时,?=3g/2l, ?=0 ; (2)当?=90°时, ?=0,?=(3g/l)1/2。

例题一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心 且垂直于盘面的光滑轴正以?o的角速度转动。现将盘 置于粗糙的水平桌面上,圆盘与桌面间的摩擦系数为 ? ,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来? 解 摩擦力是分布在整个盘面上的,计算摩擦力的 力矩时,应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的 圆环积分。故摩擦力矩为
23

m 2 M ? ? ? r ? ?g 2?rdr ? ? ?mgR 2 0 ?R 3 ?o 1 2 I ? mR 2 dr M 4?g ?? 于是得 ? ? r I 3R 由?= ?o+?t = 0得
R

?o 3R?O t?? ? ? 4?g

又由?2-?o2=2???,所以停下来前转过的圈数为

?? ? ?o 3?o R N? ? ? 2? 2? 16??g
2 2

24

二、刚体定轴转动的动能定理
1、力矩的功 外力 Fi 使刚体转动一微小角 度d? 所作的元功:

? ? dAi ? Fi ? dri ? M i d?

刚体转过有限大角度时力矩的功 Ai ? 2、刚体定轴转动的动能定理:
?2 ?2

??

?
o

M i d?

A ? ? M Z d? ? ?
?1

?1

1 2 1 2 I?d? ? I? 2 ? I?1 2 2

外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

机械能守恒定律在刚体系统中的应用
一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作 功,则这系统的机械能也同样守恒。在计算刚体的重 力势能时,可将它的全部质量集中在质心。因此刚 1 E ? mgh c ? I? 2 2 式中,hc为刚体质心到零势面的高度。 例题一质量为m、长为l的均匀细直棒可绕其一端 且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时,棒静 止在竖直位置,求棒转到与水平面成?角时的角速度 和角加速度。 解 棒在转动的过程中,只有保守力(重力)作功, 故机械能守恒。取水平面为零势面,于是有

l l 1 2 mg ? mg sin ? ? I? 2 2 2 1 l 2 1 2 2 I ? ml ? m( ) ? ml 12 2 3 由此得 ? ? 3 g (1 ? sin ? ) / l

C

hc
o

?

d? d? d? d? 3g ?? ? ? ? ?? ? cos ? dt d? dt d? 2l

讨论:本题也可先由M=I?求出?,再用?=d?/dt积 分求出?。

29

例3 质量M长L的均匀细杆可绕过O点的 水平轴转动,初始时杆静止于竖直位置 M, L 质量m 的小球以v0垂直撞向杆的下端与杆 发生完全弹性碰撞,求碰后小球回弹速 度v, 杆角速度?及上摆的最大角度? m, v0

O

? ?

解:相撞过程系统对O轴的角动量守恒;撞前后动能 相等,上摆过程机械能守恒: 求出 1 2 m v0 L ? I? ? m vL, I ? ML 3 6m v0 M ? 3m v? v0 , ? ? 1 2 1 2 1 2 M ? 3m (m ? 3m) L m v0 ? m v ? I? 2 2 2 24m 2 cos? ? 1 ? 1 2 2 ( m ? 3 m ) gL I? ? MgL(1 ? cos? ) 2

三、刚体平面运动动力学
1、刚体平面运动基本方程

刚体平面运动 = 质心平动 + 绕过质心轴的定轴转动
?质心平动基本方程

? ? ? Fi ? mac

?过质心轴的定轴转动基本方程

?M

i

? I?

实际上,刚体质心的平动与一个质点的运动没有区 别,因而可应用质点动力学的所有公式;同样,绕 质心轴的定轴转动也可应用定轴转动的所有公式。

例1 质量为m、半径为R的均质圆柱,在水平外力作用 下,在粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱 中心轴线的垂直距离为l,求质心的加速度和圆柱所受 ? 的静摩擦力。 F 解:设静摩擦力f 的方向如图,则由 l ac 质心运动方程 F ? f ? maC f

圆柱对质心的转动定律
纯滚动条件为 求出

F l ? f R ? IC ?
又 I C ? mR
1 2 2

aC ? R?

2F (R ? l ) aC ? 3mR

R ? 2l f ? F 3R

当R > 2L时,f >0, 向后;当R < 2L时,f <0, 向前。

例2 长l 质量m的均匀直杆,在光滑的水平桌面上由竖 直位置自然倒下。求当杆与竖直线的夹角为? 时杆质 心的速度和转动角速度。 解:只有重力作功,故系统机械能守 l ? ? c 恒。设杆与竖直线的夹角为? 时杆质 2 心速度为 vc,杆的角速度为? ,由机 y 械能守恒定律有 A vC 1 2 1 l 2 mv c ? I C? ? mgy ? mg y ? l cos? / 2 2 2 2 其中 l vc ? ? sin ? 从A点运动叠加可知 2

1 12gl(1 ? cos? ) 解出 vc ? sin ? 2 (1 ? 3 sin 2 ? )

2 vc ?? l sin ?

例3 圆盘质量为 m,半径为R,初始角速度为 ω0(逆 时针转动),质心初始速度 vc0 向右,圆盘与桌面间 的滑动摩擦系数为? ,讨论其运动。 解:开始阶段,由于质心初始速 度向右,圆盘逆时针转动,圆盘 必定是又滚又滑,所受摩擦力为 滑动摩擦力。在摩擦力作用下无 论是质心速度还是角速度均要随 时间而衰减。有:
?
vc R f

mac ? ??mg,
ac ? ? ?g
求出

? ?mgR? IC ?
vc ? vc 0 ? ?gt 2?g ? ? ?0 ? t R

? ??

?m gR
IC

2?g ?? R

圆盘作纯滚动的条件为: vc ? ??R 由此求出圆盘开始作纯滚动的时刻

vc 0 ? ? 0 R tp ? 3?g

圆盘开始作纯滚动后,滑动摩擦力变为零,将保持 此质心速度和角速度一直运动下去。可求出:

2vc 0 ? ? 0 R vcp ? vc 0 ? ?gt p ? 3 2vc 0 ? ? 0 R 2 ?g ? p ? ?0 ? tp ? ? R 3R
可见,圆盘的实际运动取决于ω0、vc0和R的大小。

例4 质量m, 半径R的球体,从高h 的斜面上由静止开 始无滑动滚下,求它到底部时质心速度和转动角速度
解:纯滚动时摩擦力不作功, 机械能守恒:

1 2 1 2 mgh ? mv C ? I C? 2 2
纯滚动条件: vC ? R? 对实心球体
2 I C ? mR 2 5

求出

10 vC ? gh, 7

1 10 ?? gh R 7

例5 在光滑的桌面上有一质量为M、长2l的细杆,一质 量为m的小球沿桌面以速率v0垂直地撞击在细杆的一端。 设碰撞是完全弹性的,求碰后球和杆的运动情况 解:设碰撞后小球和杆的质心速度分别 为v1和vC,杆绕质心的角速度为ω,有 动量守恒:

mv0 ? mv 1 ? MvC

关于质心角动量守恒: mv l ? mv l ? I ? 0 1 C
碰前后系统动能相等
1 2 1 2 1 1 2 mv 0 ? mv1 ? Mv C ? I C? 2 2 2 2 2

求出

6m v0 2m v0 4m ? M ?? , v1 ? v0 , vC ? ( M ? 4m)l M ? 4m M ? 4m

例7 半径R1, R2的两滑轮同轴合在一起, 总质量M,对质心轴转动惯量IC。内轮 上缠绕的细线悬挂于天花板,外轮上也 用细线悬挂另一重物。求物体加速度, 滑轮质心加速度、角加速度,及细线中 张力。

? T1 R1 O M R2 ac

T2

a m

解:画出受力和加速度如图。列出方程组:

mg ? T2 ? ma,
求出

Mg ? T2 ? T1 ? Mac

T1R1 ? T2 R2 ? I C ? , a ? ( R1 ? R2 ) ? , ac ? R1?
MgR1 ? m g( R1 ? R2 ) ?? , T2 ? m( g ? a) 2 2 m( R1 ? R2 ) ? MR1 ? I C T1 ? ( M ? m) g ? m a ? MaC

第四部份 振动与波
一、简谐振动
简谐振动动力学方程

d x 2 ? ? x?0 2 dt

2

k ?? m

有一类习题要证明物体作简谐振动:先找出平衡 位置,并设为坐标原点;再分析物体运动到X位置 时的受力,写出运动微分方程,化简成上式。

简谐振动运动学方程

x ? A cos(? t ? ? )
dx v? ? ??A sin( ? t ? ? ) dt

其中A、?为积分常数,由初始条件确定。

振子运动的速度

串联弹簧的等效刚度

1 1 1 ? ? k eq k1 k 2

并联弹簧的等效刚度

k eq ? k1 ? k 2

简谐振动的旋转矢量表示法
A矢量绕o点以?逆针旋转, A 矢端在 x 轴上的投影作简谐 振动: x = Acos (? t+ ?) 且有对应关系: 旋转矢量 简谐振动 长度 A = 振幅 A 角速度? = 圆频率 ? 初角位置? = 初相位 ? 角位置?t+ ? = 相位?t+ ? ?t o

? A

? X x

因而可用旋转矢量来直观地表示简谐振动,尤其是在 表示振动相位、振动合成等时候。

例4 谐振子m 速度振幅vm , 周期T, t = 0 时位置在xm/ 2, x > 0, 且朝向平衡位置运动; 求: (1)振动方程 (2) 劲度 系数 (3)物体运动到负最大位移处所需最少时间.

解: (1)振动方程一般式 x = Acos (? t+?) 圆频率: ? =2?/T, 振幅: A= vm / ? = vmT/2? 初相位: 由旋矢图, ? = ?/3

?
? o x x xm

v

振动方程: x= (vmT/2 ?) cos[(2 ? /T)t+ ? /3] (2) k = m ? 2 = m (2?/T)2 (3) 运动到负最大位移处, 经过的最小相位变化为: ??= ? 2/3,所需最少时间为:Δt = ?? / ? =T/3

简谐振动的能量
?动能

1 E K ? mv 2 2 1 ? mA2? 2 sin 2 (?t ? ? ) 2

o

x

?势能

1 2 1 2 E p ? kx ? kA cos 2 (? t ? ? ) 2 2

总能量

1 2 1 2 1 2 E ? mv ? kx ? kA 2 2 2

例1 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧,一 端固定,另一端系一质量为M的物体,在光滑的水平 面上振动。证明它作简谐振动。 解:弹簧上各点随物体作同 相振动,各点的位移与到固 定端的距离s成正比。当物体 位于x处时,取弹簧元ds,其
s ds
M

l

O

x

X

s dx s s m ? v x ,速度为 质量 dm ? ds ,位移为 l dt l l l

1 s 2 动能 dEK 1 ? dm ( v) 积分得出此时弹簧动能 2 l l 1 m s 2 1 2 EK 1 ? ? ds ? ( v) ? mv 0 2 l l 6

物体的动能 EK 2

1 1 2 2 ? Mv ,弹性势能 E P ? kx 2 2

忽略阻力,则系统机械能守恒。

1 1 2 1 2 2 Mv ? mv ? kx ? 常量 2 6 2 对时间求导得 ( M ? m ) dv ? kx ? 0 3 dt


k 2 ? ? M ?m 3

得出

d x 2 ?? x ? 0 2 dt
m M? 2π 3 T? ? 2π ? k

2

考虑了弹簧质量时,弹簧振 子运动仍是简谐振动。周期

例3 质量为m的某种液体,密度为?, 装在U形管中,管的横截面积为S。 证明当液体上、下振动时,液面的运 动为简谐振动,并求其周期。

x
O

-x

证:取图示坐标,O点取在两边液面 高度相同的平衡位置。设某一时刻, 右边液面上升了x,液面运动速度为v。液体运动过程 中只有重力作功,机械能守恒: 1 2 E ? mv ? ?Sgx 2 2

d 2 x 2 ?Sg ? x?0 求导并化简得 2 dt m
液面是作简谐振动,其周期

m T? ? 2? ? 2 ?Sg

2?

简谐振动的合成
1、同方向同频率简谐振动的合成

x1 (t ) ? A1 cos(? t ? ?1 ), x2 (t ) ? A2 cos(? t ? ? 2 )
合振动 其中

x(t ) ? x1 (t ) ? x2 (t ) ? A cos(?t ? ? )
A? A ? A ? 2 A1 A2 cos( ? 2 ? ?1 )
2 1 2 2

A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ? ? arctan A1 cos?1 ? A2 cos? 2
两个同方向同频率的简谐振动合成后仍是一同频率 简谐振动,注意:A与A1,A2及?2-?1都有关。

例2 N 个同方向、同频率的简谐振动,它们的振幅 相等,初相分别为0,?,2?,· · · ,依次差一个恒量 ?,求它们的合振动表达式。 M 解:合振动仍为简谐振动, 合振幅 N? A ? 2 R sin 2
在?OCP 中 a ? 2 R sin
?
R C R ? N? a5 a4 ? a3 a2 P

?
2
O P

?

N? sin 2 ? A?a ? sin 2

?
a1

?

Q x

1 1 ? ?COM ? (π ? N? ) ?COP ? (π ? ? ) 2 2

M

?
R C N? a5 a4 ? a3

N ?1 ?? ? ?COP ? ?COM ? ? 2

合振动方程:

R ?

?

x ? A cos(?t ? ? ) N? sin N ?1 ? ? 2 ?a cos? ? t ? ?? ? 2 ? ? sin 2
O

?
a1 P

a2

?

Q x

2、同方向不同频率的简谐振动合成,拍 若两分振动的振幅和初相位都相等,当两分振动的频 率都很大,且相差甚微时,合振动为:

x(t ) ? A cos(?1t ? ? ) ? A cos(? 2t ? ? ) ? 2 A cos(

? 2 ? ?1
2

t ) cos(

? 2 ? ?1
2

t ??)

拍频率为两分 振动频率之差: ?拍= ??1 - ?2?

3、相互垂直,同频率的简谐振动合成


x ? A1 cos(? t ? ?10 ), y ? A2 cos(? t ? ? 20 )

消去时间参数 t 可得出质点运动轨迹方程为XOY平面 上的椭圆方程:

x y 2 xy 2 ? 2? cos(? 20 ? ?10 ) ? sin (? 20 - ?10 ) 2 A1 A2 A1 A2
??=0 ??=? ? ? = ?/2 ? ? = 3?/2

2

2

4

演示:相互垂直,不同频率简谐振动的合成

二、阻尼振动,受迫振动与共振

质量为m的物体在弹性回复力和阻力作用下的动力学 方程 : ? ? ?kx ? ?x ? m? x


d2 x dx 2 ? 2? ? ?0 x ? 0 2 dt dt

k ? 其中 ? ? , ? ? m 2m
2 0

? < ?。欠阻尼情况:

x

x(t ) ? A0e

?? t

cos( ? ? ? t ? ? 0 )
2 0 2

受迫振动的动力学方程

F0 d2 x dx 2 ? 2? ? ? 0 x ? cos ? t 2 dt dt m
上式在? < ?0 时的解为

x(t ) ? Ae

? ? ?t

cos( ? ? ? t ? ? 0 ) ? Ap cos(? t ? ? x )
2 0 2

其中第一项(通解)为阻尼振动项,随时间的推移而 趋于消失。第二项(特解)是系统在足够长时间后的 定态解:

x(t ) ? Ap cos(? t ? ? x )

它代表的是一等幅振动,其频率是强迫力的频率?

其中 AP ?

F0 / m
2 (? 0 ? ? 2 ) 2 ? 4 ? 2? 2

AP
?



2 ? ? ?r ? ?0 ? 2? 2



振幅有极大值,称为位移共振:

Ar ?

F0 / m 2? ? ? ?
2 0 2

Vm ? ?AP

速度共振条件为

? ? ?0

? ?0

F0 共振时 Vr ? 2m?

三、平面简谐波方程
平面波在媒质中传播时,若波源及各质元都作同频率 的简谐振动,且各质元振幅也相同(不考虑媒质的吸 收时)。称之为平面简谐波。 u 设一平面简谐波沿x方向传播, x 波速为u,平面简谐波方程 x 0

x y ( x, t ) ? A cos[? (t ? ) ? ?0 ] u
1 与各质点振动的周 , ?? ?波的周期与频率 T ? ? T 期和频率相同。
?波长、周期、波速的关系

2?

? ? uT ?

u

?

平面简谐波方程的物理意义
1. 固定 x, (x= x0)有: y( x0 , t ) ? A cos(?t ? kx0 )

它代表了x0处质点的简谐振动方程。
2. 固定 t, (t = t0 )有: y( x, t0 ) ? A cos(?t0 ? kx)

它给出在t0时刻各质点的位移,即t0时刻的波形 3. 原表达式反映了波形的平移:

y( x ? ?x, t ? ?t ) ? y( x, t )
其中 ?x ? u?t

波动微分方程

?2 y 1 ?2 y ? 2 2 2 ?x u ?t

其中u是波速,完全由媒质本身的性质决定。 平面简谐波方程

x y ( x, t ) ? A cos[? (t ? ) ? ?0 ] u

就是该波动微分方程的一个解。
?波的能量密度:

dE x 2 2 2 w? ? ?A ? sin ? (t ? ) dV u

?平均能量密度:

1 w? T

?

T

0

x 1 2 2 ?A ? sin ? (t ? )dt ? ?A ? u 2
2 2 2

?平均能流密度矢量:单位时间内通过与波的传播方向

垂直的单位面积的能量。又称为波的强度

? ? 1 2 2? I ? w u ? ?A ? u 2

四、入射波、反射波、透射波,半波损失
一列波从媒质 1 垂直入射媒 质 2 ,在分界面上出现反射 波与透射波。 1. 波的表达式: 反射波:
媒质1 入射波 界面 媒质2 透射波 o 反射波 x

入射波: y1 = A1cos(?t - k1 x) , 透射波:
2. 振幅关系

(x?0) y1?= A1?cos(?t + k1x+? ?) , (x?0) y2 = A2cos(?t - k2x), (x?0)
A2 2 Z1 ? A1 Z1 ? Z 2
其中Z1=?1u1,

? Z1 ? Z 2 A1 ? A1 Z1 ? Z 2

Z2=?2u2

3. 反射系数R与透射系数T
2 2 2 ? ? I1 A1 ( Z1 ? Z 2 ) I 2 Z 2 A2 4 Z1 Z 2 R? ? 2 ? T? ? ? 2 2 I1 A1 ( Z1 ? Z 2 ) I1 Z1 A1 ( Z1 ? Z 2 )

R+T=1 ( 能量守恒 ) 讨论:

? Z1 、 Z2互换, R、T 不变
?如Z1 ? Z2, 则R ? 0 , T ? 1 (无反射)

?如Z1 >> Z2, 或Z2 >> Z1 则 R?1 , T?0 ( 全反射)

4. 相位关系
(1)反射波: 若Z1>Z2 则 A1?和 A1同号, 反射波和 入射波同相; 若Z1 < Z2 则 A1?和A1 反号, 反射 波和入射波反相--半波损失。 (2)透射波:A2总与A1同号, 无相位突变。透射波 和入射波总是同相。 五、波的叠加、干涉、驻波 1、波的叠加原理 当几列波在媒质中某点相遇时,该点的振动是各个 波单独存在时在该点引起振动的矢量和。相遇后每 列波仍保持它们的原有特性,继续向前传播。--也 称为波传播的独立性原理。

2、波的干涉 频率相同;振动方向相同;相位差恒定的两列波在 空间相遇时,空间中有一些点,振动始终加强,而 在另一些点处,振动始终减弱或完全抵消。称为波 的干涉现象。 设两相干波源S1,S2的振动方程为

y10 ? A10 cos(? t ? ?10 ) y20 ? A20 cos(? t ? ? 20 )
P质点的 合振幅 波强

A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos ??
2 1 2 2

I ? I1 ? I 2 ? 2 I1I 2 cos ??

其中

?? ? (? 20 ? ?10 ) ?




?

(r2 ? r1 )

当 Δ ? ? (? 20 ? ?10 ) ?

?

(r2 ? r1 ) ? ?2kπ , k ? 0,1,2,...

A ? Amax ? A1 ? A2 , I ? I max ? I1 ? I 2 ? 2 I1I 2
此时两分振动互相加强,干涉相长,合振幅最大。 当 Δ ? ? ?(2k ? 1)π , k ? 0,1,2,3,.... 时

A ? Amin ?| A1 ? A2 |, I ? I min ? I1 ? I 2 ? 2 I1I 2
两分振动互相抵消,干涉相消,合振幅最小。

例题 同媒质中同振幅的两相干波源S1、S2 相 距20 米,S1 与S2的位相差为 。波速为400米/秒,频率为 100 赫兹。设波的强度不随距离而变化,则 S1与S2 两 点联线上因干涉而加强的点的位置距 S1的距离分别是 多少?

?

解:取坐标系如图所示。

s1 x
o

P

s2
x

设因干涉使A ? Amax的点P 距波源s1的距离为x . 则 r1 ? x, r2 ? 20 ? x
u 400 ? ? uT ? ? ? 4 ?m ? ? 100

2? ?? ? ?20 ? ?10 ? ?r2 ? r1 ? ?

干涉加强: ? ? ??10 ? x ? ? ?2m?
x ? ?2m ? 9

2? ? ? ? ?20 ? 2x ? ? ? ? ??10 ? x ? 4

?m ? 0,1,2,?? ?m ? 0,1,2,3,4,5?

在s1 s2连线上因干涉而加强的 点的坐标为:
x=1、3、5、7、9、11、13、15、17、19 米.

3、驻波 沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波, 若它们的振动频率和振幅都相同,初相差恒定,就会 叠加形成驻波。

y1 ? A cos(?t ? kx), y2 ? A cos(?t ? kx) y ? y1 ? y2 ? 2 A cos kx ? cos?t ? 2 A cos 2?

? 在 x?k , 2

? 2? x ?1 k ? 0,?1,?2,?3,... 处 cos ?
k ? 0,?1,?2,?3,... 处 cos

x ? cos?t

质点的振幅最大;称为“波腹”。即干涉加强处。

? 在 x ? (2k ? 1) , 4

2?

?

x ?0

质点的始终静止;称为“波节”。即干涉相消处

?

驻波的相位:

相邻两波节内各点,各质点振动同相。而在一波节 两侧,各质点振动相位相反。 驻波的能量: 各质点的位移达到最大时 ,dEk 为零,势能 dEp 不为 零。波节处势能最大;在波腹处势能最小。势能集 中在波节附近。各质点回到平衡位置时,此时势能 dEp 都为零;而动能 dEk 达到最大,而且动能集中 在波腹附近。

?

入射波和反射波叠加形成驻波

此时,反射点的振动是入射波和反射波在该点引起振 动的叠加。对自由端反射,在反射点处入射波和反射 波的振动同相,反射点为“波腹”;对固定端反射, 在反射点处入射波和反射波的振动反相,反射点为 “波节”,称有“半波损失”。

弦线上的驻波与简正模式 在两端拉紧、绳长为L 的弦上的波经两端反射后在 弦上形成驻波,两端点均为波节。弦上驻波的波长 必须满足下列条件:

?n L ? n , n ? 1,2,3,... 2

2L 因而波长和频率应为: ?n ? , n

u ?n ? n 2L

弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称 为弦振动的本征频率,对应的振动方式称为简正模式 最低的频率称为基频,其它整倍数频率为谐频。

? t x? y 入 ? A cos 2π ? ? ? 例题3 有一平面简谐波 ?T ? ? 向右传播,在距坐标原点O 为l=5? 的B 点被垂直界 面反射,设反射有半波损失,反射波的振幅近似等 于入射波振幅。试求:(1) 反射波的表达式;(2) 驻波 的表达式;(3) 在原点O 到反射点B 之间各个波节和 波腹的坐标。
? O 解

入射波 P ? x

B 反射波 l

X

(1) 入射波在B点的振动方程为

y入B

?t l? ? A cos 2π ? ? ? ?T ? ?

? O

入射波 P ? x

B 反射波 l

X

反射波在B点的振动方程
y反B

? ?t l? (l ? x) ? 反射波的表达式 y反 ? A cos ?2π ? ? ? ? π ? 2π ? T ? ? ? ? ? ?

任取一点P,其坐标为x,P点的振动比B点的振动相 位落后 (l ? x) 2π ?

? ?t l? ? ? A cos ?2π ? ? ? ? π ? ? ?T ? ? ?

l=5?

? t x? y反 ? ? A cos 2π ? ? ? ?T ? ?

t x? ? y反 ? A cos? 2π ? 21π ? 2π ? ?? ? T

(2) 驻波的表达式为 ? t x? ? t x? y ? y入 ? y反 ? A cos 2π ? ? ? ? A cos 2π ? ? ? ?T ? ? ?T ? ? 2π 2π y ? ?2 A sin x ? sin t ? T (3) 驻波波节 k 2π x? ? sin x?0 2 ?

3 5 7 9 x ? 0, , ? , ? ,2? , ? ,3? , ? ,4? , ? ,5? 2 2 2 2 2
波腹的坐标
? 3
sin 2π

?

?

x ?1

x ? (2k ? 1)

?
4

5 7 9 11 13 15 17 19 x? , ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ? 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

六、多普勒效应 当波源与接收者之间有相对运动时,接收者所测量出 来的波的频率与波源的频率不同。称为多普勒效应。 当接收者运动时测出的波速会变化;当波源运动时 波长会变化:

u ? VR u ? VR ?? ? ? ? ? ? VS T u ? VS
当接收者向波源运动时,VR 取+号,反之取-号; 当波源向接收者运动时,VS 取-号,反之取+号。

例2、一人站立不动,一声源S以V1的速度向右运动, 同时一反射屏以V2的速度向左运动。求人听到的“拍 频” 是多少?已知声频为ν,声速为u
解:人听到的“拍频”是直接由 声源S传到人耳的声频ν1和由反 射屏反射回来的声频ν2之差。有:
S V1 V2

u ?1 ? v u ? V1
为求ν2要分两步进行,先将反射屏作为接收器,它接 收到的频率为:

u ? V2 ?? v2 ? u ? V1

再将反射屏作为波源,人听到的反射波频率为:

u u (u ? V2 ) ?? ?2 ? v2 ? u ? V2 (u ? V1 )(u ? V2 )
因而人听到的“拍频”为:

(u ? V2 ) 1 ?? ? v2 ? v1 ? ? u? (u ? V1 )(u ? V2 ) u ? V1

第五部份 流体力学
一、不可压缩流体的连续性方程(流量守恒)
v2

v1s1 ? v2 s2  或 vs ? 常量

v1 S1

S2

二、理想流体定常流动的伯努利方程:
v

1 2 1 2 p1 ? ?v1 ? ?gh1 ? p2 ? ?v2 ? ?gh2 2 2 1 2 或 p ? ?v ? ?gh ? 常量 2

1

v
2

方程的应用 1、小孔流速问题:大桶侧壁有一小孔, 桶内盛满了水,求水从小孔流出的速 度和流量。
取一根从水面到小孔的流线,在水面 那一端速度几乎是0(桶的面积比小孔 大得多),水面到小孔的高度差为h, 此流线两端的压强皆为p0(大气压),故由伯努利方 程有: 1 2 p0 ? ?gh ? p0 ? ?v  求出:v ? 2 gh 2

2、文特利流量计 在水平管道中取一条流线,对1,2两 点,应用伯努利方程: 1 2 1 2 p1 ? ?v1 ? p2 ? ?v2 2 2
又由连续性方程:

v1S1 ? v2 S 2

及压差关系:

p1 ? p2 ? ( ?汞 ? ? ) gh
2 1 2 2

求出流量:

2( ? 汞 ? ? )2 ghS S Q ? v1S1 ? 2 2 ? ( S1 ? S 2 )

3、皮托管测气体流速
开口A迎向气流,是个速度 vA=0的驻点;开口B在侧壁, 其外流速vB差不多就是待测的 流速v。可求得待测气体流速

v?

2?p

?

?

2?液 gh

?

4、虹吸管
补充1:一截面为5.0cm2的均匀虹吸管从容积很大 的容器中把水吸出。虹吸管最高点高于水面1.0m, 出口在水下0.60m处,求水在虹吸管内作定常流动 时管内最高点的压强和虹吸管的体积流量。


相关文章:
2014年初三物理力学总复习
2014年初三物理力学总复习_理化生_初中教育_教育专区。针对2014年中考物理毕业复习和测试初中力学总复习什么是力:一个物体对另个物体的一种作用 物体间力的作用是相...
高二物理奥赛专题复习----力学部分
高二物理奥赛专题复习---力学部分_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。培训资料整理 高二物理奥赛专题复习---力学部分 2015 年 4 月 21 1 2 3 4 5 6 7...
初中物理力学总复习
初中物理力学总复习_理化生_初中教育_教育专区。初中物理力学专题复习(一) 一、物质的属性 I、基本知识 1 、质量:物体所含物质的数量 叫质量,质量是物体的基本 ...
物理竞赛专题训练(力学提高)
物理竞赛专题训练(力学提高)_学科竞赛_初中教育_教育专区。物物理竞赛复赛讲座(力学部分)一、竞赛解题技巧浅谈 例题 1、 如图所示为探究老鼠出洞时的运动情况。 一...
力学物理总复习
物理总复习 力学部分 1.如图 1 所示,甲小车上放铁条,乙小车上放条形磁铁,将两车都放在玻璃板上,当条形磁铁与 铁条靠近时,发生的现象是 A.甲车向乙车靠近,...
初中物理力学复习题(答案)
初中物理力学复习题(答案)_理化生_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初中物理力学复习题(答案)_理化生_初中教育_教育专区。1.对于静止在...
高中物理竞赛力学题集锦
高中物理竞赛力学题集锦_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。历届复赛力学题全国中学生物理竞赛集锦(力学) 全国中学生物理竞赛集锦(力学) 届预赛( 第 21 届预赛...
高三物理 力学知识复习(含答案)
高三物理 力学知识复习(含答案)_理化生_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三物理 力学知识复习(含答案)_理化生_高中教育_教育专区。【...
高中物理力学专题复习
高中物理力学专题复习 2 98页 1下载券 高中物理复习教案.专题复... 12页 1...力的专题复习专题一.力的概念、重力.弹力.摩擦力 1.下述各力中,根据力的性质...
初中物理力学专题复习资料
初中物理力学专题复习资料_理化生_初中教育_教育专区。精心设计力学专题复习资料,绝对经典初中物理力学专题复习资料 专题一 单位: 单位符号: 力一.力指物体对物体的...
更多相关标签: