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不等关系与不等式


第六章 不等式
第1节 不等关系与不等式

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课时作业

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.

第六

章 不等式

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[要点梳理]

1.不等式的定义
在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的.我 >、<、≥、≤、≠ 们用数学符号_______________ 连接两个数或代数式,以表示 它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.

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2.两个实数比较大小的方法 ?a-b>0?a__ >b ? (1)作差法?a-b=0?a___ =b ?a-b<0?a___ < b ? ? ?a>1?a___ > b b ? ?a (2)作商法?b=1?a___ =b ? ?a < b <1 ? a ___ ? ?b

(a,b∈R);

(a∈R,b>0).

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3.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性

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性质内容 a>b?______ b<a a>c a>b,b>c? ______ a+c>b+c a>b? ____________

注意 ? ?

可加性

?

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可乘性

a>b? ? ??______ ac<bc c>0 ? ? a>b? ? ??______ ac>bc c<0 ? ?

c 的符号

同向可加性

a>b? ? a+c>b+d ??___________ c>d ? ?

?

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同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性

a>b>0? ? ??______ ac>bd c>d>0 ? ?
an>bn n∈N,n≥2) a>b>0?_______(

? a,b 同 b,为正 数

a>b>0? a> b(n∈N,n≥2)

n

n

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4.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 1 1 1 1 ①a>b,ab>0?a<b.②a<0<b?a<b. (2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则

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①真分数的性质 b b+m b b-m a<a+m;a>a-m(b-m>0). ②假分数的性质 a a+m a a-m b>b+m;b<b-m (b-m>0).

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[基础自测]

1.给出下列命题:
①一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方 向不变. ②一个非零实数越大,则其倒数就越小. ③同向不等式具有可加和可乘性.

④两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.
其中错误的是( A.①④ ) B.②④

C.①②③

D.②③④
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[ 解析]

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①错,同乘以一个负数或 0 时不等号改变.

1 1 ②错,如-2<2,而-2<2. ③错,同向不等式具有可加性,但不一定具有可乘性,如 1<2,-3<-2,但-3>-4. ④对.当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母,当 这个比值中的分母大于零时,分子大于分母.故选 C.

[答案] C

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2.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应
使汽车的速度v不超过40 km/h,写成不等式就是( A.v<40 km/h B.v>40 km/h )

C.v≠40 km/h
[解析] 即v≤40 km/h,故选D. [答案] D

D.v≤40 km/h

由汽车的速度v不超过40 km/h,即小于等于40 km/h.

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3.(2014· 四川高考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A.c >d a b C.d>c
[ 解析]

)

a b B.c <d a b D.d<c
1 1 1 1 因为 c<d<0,所以d<c <0,即-d>-c>0,与 a

a b a b >b>0 对应相乘得,-d>-c >0,所以d< c.故选 D.
[答案] D
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4.已知a<0,-1<b<0,那么a,ab,ab2的大小关系是 ________________.

[解析] 由-1<b<0,可得b<b2<1.
又a<0,∴ab>ab2>a. [答案] ab>ab2>a

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5 .已知 a>b>0 ,且 c>d>0 ,则 ________________.

a d与

b c 的大小关系是

[ 解析]

∵a>b>0,c>d>0,

a b ∴d>c >0, ∴ a d> b c.
a d> b c
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[ 答案]

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考向一

用不等式(组)表示不等关系

例1 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表: 甲
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 600 800


700 400

设用甲、乙两种食物各x kg,y kg配成至多100 kg的混合食 物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62000单位

维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为____________.
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(2)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售, 每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法 增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减

少10件.若把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天的利润
不低于300元的不等关系为________.

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[ 解析]

? ?x+y≤100, ?600x+700y≥56 000, ? (1)依题意,有?800x+400y≥62 000, ? ?x≥0, ? ?y≥0,

? ?x+y≤100, ?6x+7y≥560, 整理化简得? ?2x+y≥155, ? ?x≥0,y≥0.

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x-10 (2)若提价后商品的售价为 x 元,则销售量减少 1 ×10 件,因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)] 元,则“每天 的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x- 10)] ≥300.即 x2-28x+190≤0,同时 10≤x≤20.

[ 答案]

? ?x+y≤100, ?6x+7y≥560, (1)? ?2x+y≥155, ? ?x≥0,y≥0

(2)x2-28x+190≤0(10≤x≤20)
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拓展提高 策略

用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题

(1)常见类型: ①常量与常量之间的不等关系;

②变量与常量之间的不等关系;
③函数与函数之间的不等关系; ④一组变量之间的不等关系.

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(2)解题策略:

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①分析题目中有哪些未知量; ②选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其 他未知量; ③根据题目中的不等关系列出不等式(组).

提醒:(1)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围,解题
时极易忽略,从而导致错解. (2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应 注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换, 常见的转换关系如表:
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文字 语言 符号 语言 大于,高 于,超过 >

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小于,低 大于等于,至 小于等于,至 于,少于 少,不低于 多,不超过 < ≥ ≤

活学活用 1

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽

车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、 90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车,根据需要, A 型汽车至少买 5 辆, B 型汽车至少买 6 辆,满足上述所有不等关系的不等式为 ________.

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[ 解析]

设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆, ? ?4x+9y≤100, ?x≥5, 即? ?y≥6, ? ?x,y∈N+.

? ?40x+90y≤1000, ?x≥5, 则? ?y≥6, ? ?x,y∈N+.

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[ 答案]

? ?4x+9y≤100, ?x≥5, ? ?y≥6, ? ?x,y∈N+.

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考向二 比较大小 例2

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(1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1, ) B.M>N D.不确定

则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N

1 (2)已知 a≠1 且 a∈R,试比较 与 1+a 的大小. 1-a

思路点拨 (1)将 M,N 作差、变形、因式分解可解. 1 (2)要判断 与 1+a 的大小,只需研究它们差的符号. 1-a
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(1)[ 解析]

因为 M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2

-1)=(a1-1)(a2-1), 又 a1,a2∈(0,1),所以 a1-1<0,a2-1<0, 所以(a1-1)(a2-1)>0,所以 M>N.故选 B.
[答案] B

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(2)[ 解]

1 a2 ∵ -(1+a)= , 1-a 1-a

a2 1 ①当 a=0 时, =0,∴ =1+a. 1-a 1-a a2 1 ②当 a<1,且 a≠0 时, >0,∴ >1+a. 1-a 1-a a2 1 ③当 a>1 时, <0,∴ <1+a. 1-a 1-a

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互动探究

若将本例(1)中,a1,a2∈(0,1)这个条件去掉,

又将如何判断M,N的关系? [解] 作差,即M-N=(a1-1)(a2-1). ①当a1,a2∈(-∞,1)时,(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; ②当a1,a2∈(1,+∞)时,(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N;

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③当a1,a2中一个小于或等于 1,另一个大于或等于 1时, (a1-1)

(a2-1)≤0,即M≤N.
综 上 , 当 a1 , a2∈( - ∞ , 1) 或 a1 , a2∈(1 , + ∞ ) 时 , M>N ,当 a1 , a2 中一个小于或等于 1 ,另一个大于或等于 1 时, M≤N.

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拓展提高 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出 结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配 方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.

(2)作商法:即判断商与 1的关系,得出结论,要特别注意
当商与 1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断, 这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.

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(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采

用特值验证法比较大小.
提醒:当函数解析式里面含有字母时常需分类讨论.

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活学活用 2

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(2015· 吉林联考)已知实数 a、b、c,满足 b

+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、b、c 的大小关系是 ( ) A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b

[解析] ∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b. ∵(b+c)-(c-b)=2a2+2,∴b=a2+1,

∴b-a=a2-a+1>0,∴b>a.
[答案] A
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考向三 简单不等式的证明 1 1 1 例 3 设 a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a

1 1 思路点拨 先确定 + >0,再根据 b-c>0 证得. a-b c-a

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证明 ∵a>b>c,∴-c>-b. 1 1 ∴a-c>a-b>0,∴ > >0. a-b a-c 1 1 1 ∴ + >0.又 b-c>0,∴ >0. a-b c-a b-c 1 1 1 ∴ + + >0. a-b b-c c-a

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拓展提高

不等式证明,就是利用不等式性质或已知条

件,推出不等式成立.

活学活用 3 若 a>b>0,c<d<0,e<0, e e 求证: > . ?a-c?2 ?b-d?2

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证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 ∴0< < . ?a-c?2 ?b-d?2 e e 又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d?

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易错警示9

忽视不等式中等号成立的条件而致误
? ?3≤2x+y≤9, 满足? ? ?6≤x-y≤9,

典例 若变量 x,y 取值范围为________.
分析 的范围.

则 z=x+2y 的

先用 2x+y,x-y 表示 z,再利用不等式的性质求 z

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[ 正解] -n)y,
? ?2m+n=1, 则? ? ?m-n=2,

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设 z=x+2y=m(2x+y)+n(x-y)=(2m+n)x+(m

? ?m=1, 解得? ? ?n=-1,

即 z=(2x+y)-(x-y), 由 6≤x-y≤9 得-9≤-(x-y)≤-6, 又 3≤2x+y≤9,所以-6≤(2x+y)-(x-y)≤3, 即-6≤z≤3. [答案] [-6,3]
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提醒:解答本题易忽视等号成立的条件而分别求出 x,y的

范围后,再由不等式的性质求z的范围.
即时突破
2 3 x x 设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,则y4的

最大值为________.

x3 x2 2 1 x2 2 解析 y4=( y ) · 2,由 4≤ ≤9,3≤xy ≤8, y xy x2 2 1 1 1 x3 得 16≤( y ) ≤81,8≤xy2≤3,得 2≤y4≤27.
[ 答案] 27
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[思维升华] 【方法与技巧】
1.用同向不等式求差的范围.
? ?a<x<b ? ? ? c<y< d ? ?a<x<b ?? ? ?-d<-y<-c

?a-d<x-y<b-c

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.倒数关系在不等式中的作用.
? ?ab>0 ? ? ?a>b ?ab>0 1 1 ? 1 1 ? ?a<b; ?a>b. ? a < b ?

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3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明 的主要方法之一,比差法的主要步骤:作差 —— 变形 —— 判断正

负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时,可考虑比商.

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【失误与防范】

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1.a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc,当 c≤0 时不成立. 1 1 1 1 2.a>b?a<b或 a<b?a>b,当 ab≤0 时不成立. 3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立. a 4.b>1?a>b,对于正数 a、b 才成立.

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5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如: a>b,b>c?a>c,其中 a>c
? ?a>b 不能推出? ?b>c ?

.

6.求范围问题要整体代换,“一次性”使用不等式性质, 注意不要扩大变量的取值范围.

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