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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修2双基限时练15]


双基限时练(十五)
一、选择题 1. 已知正四棱锥的侧棱长为 2 3, 高为 3, 则该棱锥的体积为( A.3 C.9 B.6 D.18
? 2 ?2 a? , ? 2 ?

)

解析 设棱锥的底面边长为 a,则(2 3)2=32+? a2 1 1 ∴ 2 =3,∴a2=6,V 锥=3a2h=3×6×3=6. 答案 B

2. 已知一正四棱台的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

)

A.624 C.131

B.208 131 D. 3

解析 由图可知,棱台的上底面边长为 4,下底面边长为 10,高 1 1 为 4,所以棱台的体积为 V=3(S 上+S 下+ S上· S下)h=3×(16+100+ 624 40)×4= 3 =208.

答案

B

3 3.直角梯形的一个内角为 45° ,下底为上底长的2倍,这个梯形绕 下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+ 2)π, 则旋转体 的体积为( A.2π 5+ 2 C. 3 π ) 4+ 2 B. 3 π 7 D.3π

3 解析 设该直角梯形的上底长为 r, 下底长则为2r.该几何体为圆柱 与圆锥的组合体.
?r? π 2 S 全=π×?2?2+πr2+2r× 2 r ? ? ?5 2 ? =? π+ π?r2=(5+ 2)π, 4 ? ?4

7 ∴r=2,∴V=V 圆柱+V 圆锥=3π. 答案 D

4.在棱长为 1 的正方体上,分别用过公共顶点的三条棱的中点的 平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的多面体的体积是( 2 A.3 4 C.5 解析 答案 7 B.6 5 D.6 1 1 1 1 1 5 V=1-8V 锥=1-8×3×2×2×2×2=6. D )

5. 已知某个几何体的三视图如图所示, 根据图中标明的尺寸(单位: cm)可得这个几何体的体积是( )

4000 A. 3 cm3 C.2000 cm3

8000 B. 3 cm3 D.4000 cm3

解析 由三视图得几何体 S-ABCD, 且面 SCD⊥面 ABCD, 四边 形 ABCD 为正方形,作 SE⊥CD 于 E,得 SE⊥面 ABCD,SE=20 cm. 1 8000 ∴VS-ABCD=3SABCD· SE= 3 (cm3). 答案 B

6.图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视 图,则该几何体的高为( )

A.4 4 C.3

B.12 D.24

解析 由三视图可知该几何体为一个三棱锥 S-ABC,其中 SA⊥ 1 1 1 面 ABC,AB⊥AC,∴V=3S△ABC· h=3×2×5×6×h=5h,得 h=4. 答案 A

二、填空题 7.用一张圆弧长为 12π,半径为 10 的扇形纸片制作一个圆锥体, 则这个圆锥体的体积是________. 解析 由 2πr=12π,得 r=6,h= 102-r2=8,

1 1 ∴V 锥=3S 底· h=3π×62×8=96π. 答案 96π 8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 cm3,则棱台的高为________. 解析 设正四棱台上底为 2a,下底为 8a,斜高为 5a,则(5a)2=h2 +9a2, ∴h2=16a2,∴h=4a, 又由棱台的体积公式求得 h=2(cm). 答案 2 cm 9.在三棱锥 P—ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,设 PA = x , PB = y, PC = 1 ,若 x + y= 4 ,则此三棱锥体积的最大值是 ________. 解析 4], 4 2 ∴当 x=2 即 x=y 时,Vmax=6=3. 2 答案 3 三、解答题 10.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a, 求三棱锥 D—ABC 的体积. 解 1 1 1 1 1 1 V=3×2xy=6xy=6x(4-x)=6(4x-x2)=6×[- (x-2)2+ ,体积为 14

取 AC 的中点 M,连接 BM,DM, ∵BD=a, 2 2 BM= 2 a,DM= 2 a, ∴DM2+BM2=BD2. ∴∠DMB=90° ,又 AD=DC, ∴DM⊥AC. 又 AC∩BM=M, ∴DM⊥面 ABC. 1 1 a2 2 2 ∴V=3S 底· h=3× 2 × 2 a= 12 a3. 11.在下图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所 得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积. 解 (1)俯视图如下图所示.

? 1 ?1 (2)所求多面体的体积 V=V 长方体-V 三棱锥=4×4×6-3×?2×2×2? ? ?

284 ×2= 3 (cm3). 12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,若 正方体的棱长为 a.

(1)求三棱锥 O—AB1D1 的体积; (2)求 O 到平面 AB1D1 的距离. 解 (1)∵VO-AB1D1=VA—B1D1O,

1 2 S△B1D1O=2B1D1· a= 2 a2, 又 AO⊥面 BDD1B1, 2 且 AO= 2 a, 1 2 2 2 a3 ∴VA—B1D1O=VO—AB1D1=3× 2 a × 2 a= 6 . (2)∵AB1=B1D1=AD1= 2a, 1 3 ∴S△AB1D1=2B1D1· AB1 sin60° = 2 a2 , 设 O 到平面 AB1D1 的距离为 h. 1 3 2 a3 由等积转化得3× 2 a h= 6 , 3 ∴h= 3 a. 思 维 探 究 13.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠B=30° ,AC=2,

M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 间的距离为 2 2, 求三棱锥 A-BCM 的体积.



由题意知在 Rt△ABC 中,AB=4,BC=2 3.

1 又∵CM 为中线,∴MA=MB=MC=2AB=2. ∴在三棱锥 A-BCM 中, M 在面 ABC 上的射影为△ABC 的外心. 又∵在折叠后的△ABC 中,AC=2,AB=2 2,BC=2 3, ∴AC2+AB2=BC2,即折叠后的△ABC 也为直角三角形. 取 BC 的中点 E,连接 ME,则 E 为点 M 在面 ABC 上的射影,即 ME 的长为三棱锥 M-ABC 的高. ∵ME 为△MBC 的高,MB=MC=2,∠MBE=30° , 1 ∴ME=2MB=1. 1 2 2 ∴VA-BCM=VM-ABC=3S△ABC· ME= 3 .


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