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初中数学与高中数学衔接第五大课---函数


初中数学与高中数学衔接第五大课------- 函数
【知识要点表解】

函数
(1)变量:因变量,自变量。 在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的 数轴上的点表示因变量。 (2)一次函数:①若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成 y ? kx ? b ( b 为常数, k 不等 于 0)的形式,则

称 y 是 x 的一次函数。②当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 (3)一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标, 在直角坐 标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 y = k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中,当 k ? 0, b ? O,则经 2、3、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、2、 4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、3、4 象限;当 k ? 0, b ? 0 时,则经 1、2、3 象限。 ④当 k ? 0 时, y 的值随 x 值的增大而增大,当 k ? 0 时, y 的值随 x 值的增大而减少。

(4)二次函数:

b b 2 4ac ? b2 , ) ? ①一般式: y ? ax ? bx ? c ? a( x ? ( a ? 0 ),对称轴是 x ? ? 2a 2a 4a
2

(- 顶点是

b 4ac ? b 2 , ); 2a 4a

2 ②顶点式: y ? a( x ? m) ? k ( a ? 0 ),对称轴是 x ? ? m, 顶点是 ? ?m , k ? ;

③交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 ),其中( x1 ,0 ),( x2 ,0 )是抛物线与 x 轴的 交点 (5)二次函数的性质

①函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? ② a ? 0 时, 在对称轴 ( x ? ?

b 对称。 2a

b b ) 左侧,y 值随 x 值的增大而减少; 在对称轴 (x ? ? ) 2a 2a
b 4ac ? b 2 时, y 取得最小值 2a 4a

右侧; y 的值随 x 值的增大而增大。当 x ? ? ③ a ? 0 时, 在对称轴 ( x ? ?

b b ) 左侧,y 值随 x 值的增大而增大; 在对称轴 (x ? ? ) 2a 2a

b 4ac ? b 2 右侧; y 的值随 x 值的增大而减少。当 x ? ? 时, y 取得最大值 2a 4a
(6) 平面直角坐标系 (1) 在平面内, 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做 x 轴或横轴,铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴, x 轴与 y 轴统称坐标轴,他们的公共原点 O 称为 直角坐标系的原点。 (2)平面直角坐标系内的对称点:设 M ( x1 , y1 ) , M ?( x2 , y2 ) 是直角坐标系内的两点, ①若 M 和 M ' 关于 y 轴对称,则有 ?

? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? y2

②若 M 和 M ' 关于 x 轴对称,则有 ?

? x1 ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? y2 。 ? y1 ? x2

③若 M 和 M ' 关于原点对称,则有 ?

④若 M 和 M ' 关于直线 y ? x 对称,则有 ?

⑤若 M 和 M ' 关于直线 x ? a 对称,则有 ?

? x1 ? 2a ? x2 ? x2 ? 2a ? x1 或? 。 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2

新高一知识
课题:§1.1 集合
教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方 面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其 所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型:新授课 教学目标: (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体

问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通 知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是 高二、 高三) 对象的总体, 而不是个别的对象, 为此, 我们将学习一个新的概念——集合 (宣 布课题) ,即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到 这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 3. 思考 1:课本 P3 的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学 生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2) 互异性: 一个给定集合中的元素, 指属于这个集合的互不相同的个体 (对象) , 因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A(或 a A)(举例) ? 6. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集),记作 N 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R (二)集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合。 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…; 例 1.(课本例 1) 思考 2,引入描述法 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。

具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 例 2. (课本例 2) 说明: (课本 P5 最后一段) 思考 3: (课本 P6 思考) 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省 略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注 意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (三)课堂练习(课本 P6 练习) 三、归纳小结 本节课从实例入手, 非常自然贴切地引出集合与集合的概念, 并且结合实例对集合的概 念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 四、作业布置 书面作业:习题 1.1,第 1- 4 题

课题:§1.2 集合间的基本关系
教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型:新授课 教学目的: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解与空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;用 Venn 图表达集合间的关系。

教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别; 教学过程: 五、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N; (2) 2 Q; (3)-1.5 R

2、类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣 布课题) 六、新课教学 (一) 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A)

读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ?B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 A

B

A ? B(或B ? A)

(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A? B?? ?B ? A

练习 结论: 任何一个集合是它本身的子集 (三) 真子集的概念 若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 举例(由学生举例,共同辨析) (四) 空集的概念 (实例引入空集概念) 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 结论: 1 A? A 2 A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C ○ ○ (六) 例题 (1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)化简集合 A={x|x-3>2},B={x|x ? 5},并表示 A、B 的关系; (七) 课堂练习 (八) 归纳小结,强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小 关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法; (九) 作业布置 1、 书面作业:习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业:
1 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a ○

的取值范围。
2 设集合 A ? { 四边形},B ? {平行四边形 },C ? {矩形}, ○

D ? {正方形} ,试用 Venn 图表示它们之间的关系。

课题:§1.3 集合的基本运算
教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 课 型:新授课
教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;

教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么” , “为什么” , “怎样做” ; 教学过程: 七、引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个 集合是否也可以“相加”呢? 思考(P9 思考题) ,引入并集概念。 八、新课教学 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并 集(Union) 记作:A∪B 读作: “A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} B Venn 图表示: A

?

2.

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 A∪B (重复元素只看成一个元素) 。 例题(P9-10 例 4、例 5) 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分) 还应是我们所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: “A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示 说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由 集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例题(P9-10 例 6、例 7) 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A B B A(B) A A B A 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交 集

3.

补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个 集合为全集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示

U

4.

5.

说明:补集的概念必须要有全集的限制 例题(P12 例 8、例 9) 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算,运算结果 U 仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或” , 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发 去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思 想方法。 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A

A

CA

(CUA)∪A=U, (CUA)∩A= ? 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B 课堂练习 (1)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B= ? (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∪Z=Z,B∪Z=Z,A∪B=Z

6.

(3)集合A ? {n |

n m ?1 ? Z},B ? {m | ? Z},则A ? B ? __________ 2 2

5 (4)集合A ? {x | ?4 ? x ? 2},B ? {x | ?1 ? x ? 3},C ? {x | x ? 0,或x ? } 2 那么A ? B ? C ? __________ _____, A ? B ? C ? __________ ___;
九、归纳小结(略) 十、作业布置 3、 书面作业:P13 习题 1.1,第 6-12 题 4、 提高内容: (1) 已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且

X ? A ? ?, X ? B ? X ,试求 p、q;
(2) 集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; (3) A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B


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