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2005-2011年北京高考数学(理科)汇编之解答题(第20题)


2005-2011 年高考数学(理科)汇编之解答题(第 20 题)
11(本小题共 13 分) 若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1) , 数列 An 为 E 数列, 记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ )写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ )若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ )对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

1

10 (本小题共 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1 , x2 ,?, xn ), xi ?{0,1 }, i ? 1,2,?, n}(n ? 2) . 对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?| a ? b |
i ?1 i i

n

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P). 证明: d (P)≤

mn . 2(m ? 1)

2

09. (本小题共 13 分) 已 知 数 集 A ? {a1 ,a 2 , an } ? (1 a1 ?a ? 2

an n ?,

具 2有 ) 性质 P ;对任意的

i, j ( 1 ? i? j? n ) ai a j 与 ,

aj ai

两数中至少有一个属于 A 。

(I)分别判断数集 {1,3, 4} 与 {1, 2,3, 6} 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列。

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08. (本小题共 13 分) 对于每项均是正整数的数列 A :a1,a2, ,an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A 变换成数列

T1 ( A): n,a1 ?1 ,a2 ?1 , ,an ?1 .
对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm , 定义变换 T2 ,T2 将数列 B 各项从大到小 排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B ) ; 又定义 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ?
2 ? mbm ) ? b12 ? b2 ? 2 . ? bm

设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0, 1, 2, ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ) 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 , 存在正整数 K , 当 k ≥ K 时,

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .

4

07、 (本小题共 13 分) 已知集合 A ? ?a1,a2, ,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1 , 2, ,k ) ,由 A 中的元素构成两 个相应的集合:

S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? .
其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (错误!未找到引用源。 )检验集合 ?0, 1, 2, 3? 与 ??1 , 2, 3? 是否具有性质 P 并对其中具有性质

P 的集合,写出相应的集合 S 和 T ;
(错误!未找到引用源。 )对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k ( k ? 1) ; 2

(错误!未找到引用源。 )判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论.

5

06. (本小题共 14 分) 在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3, 4,5, ,则称

{an }为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ; (Ⅱ) 若“绝对差数列”{an } 中,a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 ,

n ? 1, 2,3,

,分别判断当 n ?? 时, a n 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求

出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

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05. (本小题共 14 分) 设 f(x)是定义在[0, 1]上的函数,若存在 x*∈(0,1),使得 f(x)在[0, x*]上单调递 增,在[x*,1]上单调递减,则称 f(x)为[0, 1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间 为含峰区间. 对任意的[0,l]上的单峰函数 f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法. (错误!未找到引用源。 )证明:对任意的 x1,x2∈(0,1),x1<x2,若 f(x1)≥f(x2),则 (0,x2)为含峰区间;若 f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间; (错误!未找到引用源。 )对给定的 r(0<r<0.5) ,证明:存在 x1,x2∈(0,1),满足

x2-x1≥2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r;
(错误!未找到引用源。 )选取 x1,x2∈(0, 1),x1<x2,由(错误!未找到引用源。 )可 确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取 x3,由 x3 与 x1 或 x3 与 x2 类似 地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定 x1,x2,

x3 的值,满足两两之差的绝对值不小于 0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

7

参考答案: 11 (共 13 分) 解: (Ⅰ )0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ )必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999 ). 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ),即An 是递增数列. 综上,结论得证。 (Ⅲ)令 ck ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1),则c A ? ?1. 因为 a2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,
所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c 2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? c n ?1 )]. 2

因为 ck ? ?1, 所以 1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1). 所以 *1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ) 为偶数, 所以要使 S ( An ) ? 0, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N*) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An的项满足a4k ?1 ? a4k ?1 ? 0, a4k ?2 ? ?1, a4 k ? 1
(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;

8

a4k ? 1(k ? 1,2,?, m), a4k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;
当 n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An 的项满足, a4k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a4k ?2 ? ?1, 当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数 列 An, 使得 a1 ? 0, S ( An ) ? 0. 10 (共 13 分) 证明: (I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1? ,所以 | ai ? bi |?{0,1} , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||?| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ? ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi | 所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? k , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。
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设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1 成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 中所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?

m2 (i ? 1, 2,..., n) 4
nm 2 4

所以

A, B?P

?

d ( A, B) ?

从而 d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)

2

09. (本小题共 13 分)

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , ∴该数集具有性质 P. 2 3 1 2 3 6
(Ⅰ)由于 3 ? 4 与 (Ⅱ)略 08. (共 13 分) (Ⅰ)解: A0: 5, 3, 2,

T1 ( A0 ): 3, 4, 2, 1 , A1 ? T2 (T1 ( A0 )): 4, 3, 2, 1 ; T1 ( A1 ): 4, 3, 2, 1, 0 , A2 ? T2 (T1 ( A1 )): 4, 3, 2, 1.
(Ⅱ)略 07. (共 13 分) (错误!未找到引用源。 )解:集合 ?0, 1, 2, 3? 不具有性质 P . 集合 ??1 , 2, 3? 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S ? ?(?13) ,,, (3 ?1)? , (Ⅲ)略

T ? ?(2, ?1),, ? 2 3?? .
10

(错误!未找到引用源。 )略 (错误!未找到引用源。 ) m ? n ,证明:略

06. (共 14 分) (Ⅰ)解: a1 ? 3, a2 ? 1, a3 ? 2, a4 ? 1, a5 ? 1, a6 ? 0, a7 ? 1, a8 ? 1, a9 ? 0, a10 ? 1 (答案不惟一) (Ⅱ)当 n ? ? 时,an 的极限不存在。 lim bn ? 6
n ??

(Ⅲ)略

05.略

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